Unidade I - Aula 5

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Ca´lculo Nume´rico
Integrac¸a˜o Nume´rica
Aula 8
Prof. Roberto Capistrano e Prof. Jose´ Vicente
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 1 / 16
Suma´rio
1 Integrac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
2 Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos
Fo´rmula dos trape´zios
Fo´rmula de Simpson
Me´todo Simpson-Exemplo
Me´todo Simpson - Soluc¸a˜o
3 Exerc´ıcios Preopostos
4 Bibliografia
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 2 / 16
Integrac¸a˜o Nume´rica Introduc¸a˜o
Integrac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Nesta etapa, vamos discutir procedimentos nume´ricos para o ca´lculo aproximado da
integral
∫ b
a
f (x)dx onde conhecemos os extremos de integrac¸a˜o a e b e a func¸a˜o
f (x).
O intervalo de integrac¸a˜o pode ser limitado ou na˜o e f (x) pode ser dado por uma
expressa˜o anal´ıtica onde a primitiva pode na˜o existir(no caso f (x) = e−x
2
) ou
representada atrave´s de uma tabela da forma (xi , f (xi )), para i = 0, 1, 2, . . . , n.
A ideia ba´sica da integrac¸a˜o nume´rica esta´ em aproximar f (x) por um polinoˆmio.
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Integrac¸a˜o Nume´rica Introduc¸a˜o
Integrac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Nesta etapa, vamos discutir procedimentos nume´ricos para o ca´lculo aproximado da
integral
∫ b
a
f (x)dx onde conhecemos os extremos de integrac¸a˜o a e b e a func¸a˜o
f (x).
O intervalo de integrac¸a˜o pode ser limitado ou na˜o e f (x) pode ser dado por uma
expressa˜o anal´ıtica onde a primitiva pode na˜o existir(no caso f (x) = e−x
2
) ou
representada atrave´s de uma tabela da forma (xi , f (xi )), para i = 0, 1, 2, . . . , n.
A ideia ba´sica da integrac¸a˜o nume´rica esta´ em aproximar f (x) por um polinoˆmio.
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Integrac¸a˜o Nume´rica Introduc¸a˜o
Integrac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Nesta etapa, vamos discutir procedimentos nume´ricos para o ca´lculo aproximado da
integral
∫ b
a
f (x)dx onde conhecemos os extremos de integrac¸a˜o a e b e a func¸a˜o
f (x).
O intervalo de integrac¸a˜o pode ser limitado ou na˜o e f (x) pode ser dado por uma
expressa˜o anal´ıtica onde a primitiva pode na˜o existir(no caso f (x) = e−x
2
) ou
representada atrave´s de uma tabela da forma (xi , f (xi )), para i = 0, 1, 2, . . . , n.
A ideia ba´sica da integrac¸a˜o nume´rica esta´ em aproximar f (x) por um polinoˆmio.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
A integral de uma func¸a˜o positiva em [a, b] pode ser aproximada pela a´rea do trape´zio
como indica a figura:
Assim, pomos : ∫ b
a
f (x)dx ∼= (f (a) + f (b)) (b − a)
2
e este valor e´ conhecido como “aproximac¸a˜o de primeira ordem” para
∫ b
a
f (x)dx .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
A integral de uma func¸a˜o positiva em [a, b] pode ser aproximada pela a´rea do trape´zio
como indica a figura:
Assim, pomos : ∫ b
a
f (x)dx ∼= (f (a) + f (b)) (b − a)
2
e este valor e´ conhecido como “aproximac¸a˜o de primeira ordem” para
∫ b
a
f (x)dx .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
A integral de uma func¸a˜o positiva em [a, b] pode ser aproximada pela a´rea do trape´zio
como indica a figura:
Assim, pomos : ∫ b
a
f (x)dx ∼= (f (a) + f (b)) (b − a)
2
e este valor e´ conhecido como “aproximac¸a˜o de primeira ordem” para
∫ b
a
f (x)dx .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
A integral de uma func¸a˜o positiva em [a, b] pode ser aproximada pela a´rea do trape´zio
como indica a figura:
Assim, pomos :
∫ b
a
f (x)dx ∼= (f (a) + f (b)) (b − a)
2
e este valor e´ conhecido como “aproximac¸a˜o de primeira ordem” para
∫ b
a
f (x)dx .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
A integral de uma func¸a˜o positiva em [a, b] pode ser aproximada pela a´rea do trape´zio
como indica a figura:
Assim, pomos : ∫ b
a
f (x)dx ∼= (f (a) + f (b)) (b − a)
2
e este valor e´ conhecido como “aproximac¸a˜o de primeira ordem” para
∫ b
a
f (x)dx .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
Neste caso o erro e´ cometido por : E =
∫ b
a
f (x)dx − (f (a) + f (b))(b − a)
2
. Podemos
melhorar esta aproximac¸a˜o, isto e´ reduzindo o erro com a soma de va´rios trape´zios. Seja
f (x) com derivada continua ate´ a ordem 3 em (a, b) e n um inteiro positivo.
Subdividimos [a, b] em n intervalos de comprimennto h =
b − a
n
,colocando x0 = a,
xn = b e os outros pontos dados por : xi+1 = xi + h, i = 1, 2, 3, . . . , n − 1, obtendo os
intervalos [xi−1, xi ] de tamanho h. Logo,∫ xi
xi−1
f (x)dx ∼= h
2
(f (xi−1 + f (xi )).
Somando estas integrais obtemos :∫ b
a
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + 2(f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn−1)) + f (xn)] .
onde o erro e´ estimado por : E ≤ h
2
12
(b − a) ma´x
x ∈ [a, b] |f
′′(x)|.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
Neste caso o erro e´ cometido por : E =
∫ b
a
f (x)dx − (f (a) + f (b))(b − a)
2
.
Podemos
melhorar esta aproximac¸a˜o, isto e´ reduzindo o erro com a soma de va´rios trape´zios. Seja
f (x) com derivada continua ate´ a ordem 3 em (a, b) e n um inteiro positivo.
Subdividimos [a, b] em n intervalos de comprimennto h =
b − a
n
,colocando x0 = a,
xn = b e os outros pontos dados por : xi+1 = xi + h, i = 1, 2, 3, . . . , n − 1, obtendo os
intervalos [xi−1, xi ] de tamanho h. Logo,∫ xi
xi−1
f (x)dx ∼= h
2
(f (xi−1 + f (xi )).
Somando estas integrais obtemos :∫ b
a
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + 2(f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn−1)) + f (xn)] .
onde o erro e´ estimado por : E ≤ h
2
12
(b − a) ma´x
x ∈ [a, b] |f
′′(x)|.
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Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
Neste caso o erro e´ cometido por : E =
∫ b
a
f (x)dx − (f (a) + f (b))(b − a)
2
. Podemos
melhorar esta aproximac¸a˜o, isto e´ reduzindo o erro com a soma de va´rios trape´zios. Seja
f (x) com derivada continua ate´ a ordem 3 em (a, b) e n um inteiro positivo.
Subdividimos [a, b] em n intervalos de comprimennto h =
b − a
n
,colocando x0 = a,
xn = b e os outros pontos dados por : xi+1 = xi + h, i = 1, 2, 3, . . . , n − 1, obtendo os
intervalos [xi−1, xi ] de tamanho h. Logo,
∫ xi
xi−1
f (x)dx ∼= h
2
(f (xi−1 + f (xi )).
Somando estas integrais obtemos :∫ b
a
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + 2(f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn−1)) + f (xn)] .
onde o erro e´ estimado por : E ≤ h
2
12
(b − a) ma´x
x ∈ [a, b] |f
′′(x)|.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
Neste caso o erro e´ cometido por : E =
∫ b
a
f (x)dx − (f (a) + f (b))(b − a)
2
. Podemos
melhorar esta aproximac¸a˜o, isto e´ reduzindo o erro com a soma de va´rios trape´zios. Seja
f (x) com derivada continua ate´ a ordem 3 em (a, b) e n um inteiro positivo.
Subdividimos [a, b] em n intervalosde comprimennto h =
b − a
n
,colocando x0 = a,
xn = b e os outros pontos dados por : xi+1 = xi + h, i = 1, 2, 3, . . . , n − 1, obtendo os
intervalos [xi−1, xi ] de tamanho h. Logo,∫ xi
xi−1
f (x)dx ∼= h
2
(f (xi−1 + f (xi )).
Somando estas integrais obtemos :∫ b
a
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + 2(f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn−1)) + f (xn)] .
onde o erro e´ estimado por : E ≤ h
2
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(b − a) ma´x
x ∈ [a, b] |f
′′(x)|.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula dos trape´zios
Neste caso o erro e´ cometido por : E =
∫ b
a
f (x)dx − (f (a) + f (b))(b − a)
2
. Podemos
melhorar esta aproximac¸a˜o, isto e´ reduzindo o erro com a soma de va´rios trape´zios. Seja
f (x) com derivada continua ate´ a ordem 3 em (a, b) e n um inteiro positivo.
Subdividimos [a, b] em n intervalos de comprimennto h =
b − a
n
,colocando x0 = a,
xn = b e os outros pontos dados por : xi+1 = xi + h, i = 1, 2, 3, . . . , n − 1, obtendo os
intervalos [xi−1, xi ] de tamanho h. Logo,∫ xi
xi−1
f (x)dx ∼= h
2
(f (xi−1 + f (xi )).
Somando estas integrais obtemos :∫ b
a
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + 2(f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn−1)) + f (xn)] .
onde o erro e´ estimado por : E ≤ h
2
12
(b − a) ma´x
x ∈ [a, b] |f
′′(x)|.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o : Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o : Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o : Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o :
Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o : Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o : Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :
∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula dos trape´zios
Descrevendo o Me´todo
Exemplo
Um mo´vel tem sua velocidade em func¸a˜o do tempo(Km/h) dado atrave´s da tabela
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Determine a distancia percorrida apo´s 24 minutos.
Soluc¸a˜o : Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t)dt
vamos usar a regra do trape´zio com n = 4 e h = 0, 1. Assim, obtemos :∫ 0,4
0
v(t)dt ∼= 0, 1
2
[4, 2 + 2(7, 5 + 9 + 10, 5) + 7] = 3, 26km
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula de Simpson
Pre´-requisitos :
1 A transformac¸a˜o de y =
2
b − ax −
2a
b − a leva o intervalo [a,b] em [0,2].
2 Fo´rmula de Lagrange para aproximar uma func¸a˜o f (x) por um polinoˆmio de grau
2, onde h =
b − a
2
, isto e´, x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h
f (x) = f (a) + (x − a) ∆f (a)
h
+ (x − a)(x −m) ∆
2f (a)
2h2
onde m =
a + b
2
( ponto me´dio do intervalo [a,b]). Este resultado sera´ discutido com
mais detalhes no to´pico 7.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula de Simpson
Pre´-requisitos :
1 A transformac¸a˜o de y =
2
b − ax −
2a
b − a leva o intervalo [a,b] em [0,2].
2 Fo´rmula de Lagrange para aproximar uma func¸a˜o f (x) por um polinoˆmio de grau
2, onde h =
b − a
2
, isto e´, x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h
f (x) = f (a) + (x − a) ∆f (a)
h
+ (x − a)(x −m) ∆
2f (a)
2h2
onde m =
a + b
2
( ponto me´dio do intervalo [a,b]). Este resultado sera´ discutido com
mais detalhes no to´pico 7.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula de Simpson
Pre´-requisitos :
1 A transformac¸a˜o de y =
2
b − ax −
2a
b − a leva o intervalo [a,b] em [0,2].
2 Fo´rmula de Lagrange para aproximar uma func¸a˜o f (x) por um polinoˆmio de grau
2, onde h =
b − a
2
, isto e´, x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h
f (x) = f (a) + (x − a) ∆f (a)
h
+ (x − a)(x −m) ∆
2f (a)
2h2
onde m =
a + b
2
( ponto me´dio do intervalo [a,b]). Este resultado sera´ discutido com
mais detalhes no to´pico 7.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 7 / 16
Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula de Simpson
Pre´-requisitos :
1 A transformac¸a˜o de y =
2
b − ax −
2a
b − a leva o intervalo [a,b] em [0,2].
2 Fo´rmula de Lagrange para aproximar uma func¸a˜o f (x) por um polinoˆmio de grau
2, onde h =
b − a
2
, isto e´, x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h
f (x) = f (a) + (x − a) ∆f (a)
h
+ (x − a)(x −m) ∆
2f (a)
2h2
ondem =
a + b
2
( ponto me´dio do intervalo [a,b]). Este resultado sera´ discutido com
mais detalhes no to´pico 7.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula de Simpson
Assim, ∫ b
a
f (x)dx ∼=
∫ b
a
[
f (a) + (x − a) ∆f (a)
h
+ (x − a)(x −m) ∆
2f (a)
2h2
]
dx
usando ∆f (a) = f (a + h)− f (a) e ∆2f (a) = f (b)− 2f (a + h) + f (a) e o resultado
1 para mudar a varia´vel de integrac¸a˜o, obtemos∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
[f (a) + 4f (m) + f (b)]
o qual e´ conhecida como fo´rmula de Simpson de ordem 2. Este me´todo de integrac¸a˜o
nume´rica pode ser melhorado.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Fo´rmula de Simpson
Assim, ∫ b
a
f (x)dx ∼=
∫ b
a
[
f (a) + (x − a) ∆f (a)
h
+ (x − a)(x −m) ∆
2f (a)
2h2
]
dx
usando ∆f (a) = f (a + h)− f (a) e ∆2f (a) = f (b)− 2f (a + h) + f (a) e o resultado
1 para mudar a varia´vel de integrac¸a˜o, obtemos∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
[f (a) + 4f (m) + f (b)]
o qual e´ conhecida como fo´rmula de Simpson de ordem 2. Este me´todo de integrac¸a˜o
nume´rica pode ser melhorado.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Me´todo Melhorado Simpson
Considere f (x) com derivadas ate´ ordem 4 e continuas em [a, b].Subdividindo o
intervalo [a, b] em 2n subintervalos de tamanho h =
b − a
2n
e colocamos
a = x0 < x1 = a + h < x2 = a + 2h < · · · < x2n = b.
Se para aplicarmos o me´todo anterior, e somarmos os resultados obteremos∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4 [f (x1) + · · ·+ f (x2n−1)] + 2 [f (x2) + · · ·+ f (x2n−2)] + f (b)
}
onde o erro cometido e´ estimado com E ≤ h
4
180
(
b − a) ma´x
x ∈ [a, b]
∣∣f (4)(x)∣∣.
Atenc¸a˜o
Note que para usar o me´todo o intervalo [a, b] deve ser dividido e um nu´mero par de
subintervalos.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 9 / 16
Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Me´todo Melhorado Simpson
Considere f (x) com derivadas ate´ ordem 4 e continuas em [a, b].Subdividindo o
intervalo [a, b] em 2n subintervalos de tamanho h =
b − a
2n
e colocamos
a = x0 < x1 = a + h < x2 = a + 2h < · · · < x2n = b.
Se para aplicarmos o me´todo anterior, e somarmos os resultados obteremos
∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4 [f (x1) + · · ·+ f (x2n−1)] + 2 [f (x2) + · · ·+ f (x2n−2)] + f (b)
}
onde o erro cometido e´ estimado com E ≤ h
4
180
(
b − a) ma´x
x ∈ [a, b]
∣∣f (4)(x)∣∣.
Atenc¸a˜o
Note que para usar o me´todo o intervalo [a, b] deve ser dividido e um nu´mero par de
subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Me´todo Melhorado Simpson
Considere f (x) com derivadas ate´ ordem 4 e continuas em [a, b].Subdividindo o
intervalo [a, b] em 2n subintervalos de tamanho h =
b − a
2n
e colocamos
a = x0 < x1 = a + h < x2 = a + 2h < · · · < x2n = b.
Se para aplicarmos o me´todo anterior, e somarmos os resultados obteremos∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4 [f (x1) + · · ·+ f (x2n−1)] + 2 [f (x2) + · · ·+ f (x2n−2)] + f (b)
}
onde o erro cometido e´ estimado com E ≤ h
4
180
(
b − a) ma´x
x ∈ [a, b]
∣∣f (4)(x)∣∣.
Atenc¸a˜o
Note que para usar o me´todo o intervalo [a, b] deve ser dividido e um nu´mero par de
subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Me´todo Melhorado Simpson
Considere f (x) com derivadas ate´ ordem 4 e continuas em [a, b].Subdividindo o
intervalo [a, b] em 2n subintervalos de tamanho h =
b − a
2n
e colocamos
a = x0 < x1 = a + h < x2 = a + 2h < · · · < x2n = b.
Se para aplicarmos o me´todo anterior, e somarmos os resultados obteremos∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4 [f (x1) + · · ·+ f (x2n−1)] + 2 [f (x2) + · · ·+ f (x2n−2)] + f (b)
}
onde o erro cometido e´ estimado com E ≤ h
4
180
(
b − a) ma´x
x ∈ [a, b]
∣∣f (4)(x)∣∣.
Atenc¸a˜o
Note que para usar o me´todo o intervalo [a, b] deve ser dividido e um nu´mero par de
subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Descrevendo o Me´todo
Me´todo Melhorado Simpson
Considere f (x) com derivadas ate´ ordem 4 e continuas em [a, b].Subdividindo o
intervalo [a, b] em 2n subintervalos de tamanho h =
b − a
2n
e colocamos
a = x0 < x1 = a + h < x2 = a + 2h < · · · < x2n = b.
Se para aplicarmos o me´todo anterior, e somarmos os resultados obteremos∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4 [f (x1) + · · ·+ f (x2n−1)] + 2 [f (x2) + · · ·+ f (x2n−2)] + f (b)
}
onde o erro cometido e´ estimado com E ≤ h
4
180
(
b − a) ma´x
x ∈ [a, b]
∣∣f (4)(x)∣∣.
Atenc¸a˜o
Note que para usar o me´todo o intervalo [a, b] deve ser dividido e um nu´mero par de
subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo
Exemplo
Calcule aproximadamente
∫ 4
0
f (x)dx , onde, f (x) tem derivada ate´ 4 ordem e continua
em (0, 4) e vale a tabela
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2
use o me´todo de Simpson com n = 4( quatro subintervalos) e h =1 .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo
Exemplo
Calcule aproximadamente
∫ 4
0
f (x)dx , onde, f (x) tem derivada ate´ 4 ordem e continua
em (0, 4) e vale a tabela
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2
use o me´todo de Simpson com n = 4( quatro subintervalos) e h =1 .
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo - Soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o
A fo´rmula de Simpson para n = 3 e´∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4[f (x1) + f (x3)] + 2[f (x2)] + f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0) = 0, 7;f (1) = 2, 6;
f (2) = 3, 9;f (3) = 2, 1 e f (4) = 0, 2 e∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
f (0) + 4[f (1) + f (3)] + 2[f (2)] + f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
0, 7 + 4[2, 6 + 2, 1] + 2[3, 9] + 0, 2
}
∼= 27, 5
3
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 11 / 16
Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo - Soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o
A fo´rmula de Simpson para n = 3 e´
∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4[f (x1) + f (x3)] + 2[f (x2)] + f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0) = 0, 7;f (1) = 2, 6;
f (2) = 3, 9;f (3) = 2, 1 e f (4) = 0, 2 e∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
f (0) + 4[f (1) + f (3)] + 2[f (2)] + f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
0, 7 + 4[2, 6 + 2, 1] + 2[3, 9] + 0, 2
}
∼= 27, 5
3
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo - Soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o
A fo´rmula de Simpson para n = 3 e´∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4[f (x1) + f (x3)] + 2[f (x2)] + f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0) = 0, 7;f (1) = 2, 6;
f (2) = 3, 9;f (3) = 2, 1 e f (4) = 0, 2 e∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
f (0) + 4[f (1) + f (3)] + 2[f (2)] + f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
0, 7 + 4[2, 6 + 2, 1] + 2[3, 9] + 0, 2
}
∼= 27, 5
3
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Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo - Soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o
A fo´rmula de Simpson para n = 3 e´∫ b
a
f (x)dx∼= h
3
{
f (a) + 4[f (x1) + f (x3)] + 2[f (x2)] + f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0) = 0, 7;f (1) = 2, 6;
f (2) = 3, 9;f (3) = 2, 1 e f (4) = 0, 2 e
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
f (0) + 4[f (1) + f (3)] + 2[f (2)] + f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
0, 7 + 4[2, 6 + 2, 1] + 2[3, 9] + 0, 2
}
∼= 27, 5
3
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Exemplo - Soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o
A fo´rmula de Simpson para n = 3 e´∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4[f (x1) + f (x3)] + 2[f (x2)] + f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0) = 0, 7;f (1) = 2, 6;
f (2) = 3, 9;f (3) = 2, 1 e f (4) = 0, 2 e∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
f (0) + 4[f (1) + f (3)] + 2[f (2)] + f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
0, 7 + 4[2, 6 + 2, 1] + 2[3, 9] + 0, 2
}
∼= 27, 5
3
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 11 / 16
Integrac¸a˜o Nume´rica - Me´todos Fo´rmula de Simpson
Exemplo - Soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o
A fo´rmula de Simpson para n = 3 e´∫ b
a
f (x)dx ∼= h
3
{
f (a) + 4[f (x1) + f (x3)] + 2[f (x2)] + f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0) = 0, 7;f (1) = 2, 6;
f (2) = 3, 9;f (3) = 2, 1 e f (4) = 0, 2 e∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
f (0) + 4[f (1) + f (3)] + 2[f (2)] + f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)dx ∼= 1
3
{
0, 7 + 4[2, 6 + 2, 1] + 2[3, 9] + 0, 2
}
∼= 27, 5
3
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Exerc´ıcios Preopostos
Exerc´ıcio Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP1.) Calcule a integral de f (x) =
√
2x + 3 no intervalo [1, 5] usando a fo´rmula dos
trape´zios com h = 1.Fac¸a o mesmo com h = 0, 1. Compare os resultados.
EP2.) Determine h para que a integral de f (x) = e−x em [0, 1], calculada via me´todo
de Simpson tenha erro menor do que 10−4.
EP3.) Calcule
∫ 3
−2
(x5 − e−x)dx pelos me´todos apresentados.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 16
Exerc´ıcios Preopostos
Exerc´ıcio Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP1.) Calcule a integral de f (x) =
√
2x + 3 no intervalo [1, 5] usando a fo´rmula dos
trape´zios com h = 1.Fac¸a o mesmo com h = 0, 1. Compare os resultados.
EP2.) Determine h para que a integral de f (x) = e−x em [0, 1], calculada via me´todo
de Simpson tenha erro menor do que 10−4.
EP3.) Calcule
∫ 3
−2
(x5 − e−x)dx pelos me´todos apresentados.
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Exerc´ıcios Preopostos
Exerc´ıcio Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP4.) Uma viga de 11m esta´ sujeita a uma carga de forc¸a de cisalhamento a qual e´
modelada pela equac¸a˜o V (x) = 5 + 0.25x2 onde V e´ a forc¸a de cisalhamento
e x e´ a distancia ao longo da viga. Sabemos que V =
dM
dx
e´ o momento de
deformac¸a˜o. A integrac¸a˜o fornece a relac¸a˜o
M = M0 +
∫ x
0
Vdx .
Se M0 = 0 e x = 11,calcule M usando:
a) A integrac¸a˜o anal´ıtica;
b) A regra do Trape´zio
c) A regra de Simpson
Para (b) e (c), use h = 1 e h = 1.1, em ambos os casos calcule o erro do me´todo
e compare com a integrac¸a˜o anal´ıtica.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 16
Exerc´ıcios Preopostos
Exerc´ıcio Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP4.) Uma viga de 11m esta´ sujeita a uma carga de forc¸a de cisalhamento a qual e´
modelada pela equac¸a˜o V (x) = 5 + 0.25x2 onde V e´ a forc¸a de cisalhamento
e x e´ a distancia ao longo da viga. Sabemos que V =
dM
dx
e´ o momento de
deformac¸a˜o. A integrac¸a˜o fornece a relac¸a˜o
M = M0 +
∫ x
0
Vdx .
Se M0 = 0 e x = 11,calcule M usando:
a) A integrac¸a˜o anal´ıtica;
b) A regra do Trape´zio
c) A regra de Simpson
Para (b) e (c), use h = 1 e h = 1.1, em ambos os casos calcule o erro do me´todo
e compare com a integrac¸a˜o anal´ıtica.
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Bibliografia
Refereˆncias I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software.
Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es
Sa˜o Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange.
MOREIRA, Jose´ Vicente.
Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico
Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 14 / 16
Bibliografia
Refereˆncias II
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR,
Annibal.
Ca´lculo Nume´rico Fundamentos de Informa´tica
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
CUNHA, M. Cristina.
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo: Pearson, 2006.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 15 / 16
Bibliografia
Refereˆncias III
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o
com aplicac¸o˜es usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005.
SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry
Monken e
Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 16 / 16
	Integração Numérica
	Introdução
	Integração Numérica - Métodos
	Fórmula dos trapézios
	Fórmula de Simpson
	Exercícios Preopostos
	Bibliografia