Unidade I - Aula 3

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Engenharia Econômica 
Prof. Bruno Abreu 
 
 
 
 
Material de Apoio 
(Parte – 03) 
 
 
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OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Com base nos conceitos de porcentagem vistos anteriormente, é possível 
solucionarmos diversas situações que envolvem negociações envolvendo mercadorias, a 
exemplo do cálculo do lucro, preço de venda, custo, prejuízo, etc. 
De fato, quando trabalhamos com a venda e a compra de mercadorias, tem-se a 
possibilidade de obtenção de lucro ou prejuízo, podendo estes incidir sobre a venda ou 
sobre o custo de uma determinada mercadoria. 
Para obtermos tais informações, é necessário conhecermos o preço de custo de 
uma mercadoria, sabendo que este compreende o preço de aquisição, acrescido das 
despesas diretas sobre a compra e a venda e, ainda, das despesas de administração, 
tributárias (PIS, COFINS, ICMS, etc.) e de funcionamento de um dado estabelecimento. 
Ao falarmos de taxa de lucro ou de prejuízo, automaticamente associamos estas 
ao preço de custo uma vez que este representa o capital empregado por um indivíduo na 
compra das mercadorias a serem negociadas. 
Na prática, torna-se mais cômodo para um negociante desenvolver o cálculo da 
taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de venda, visto que esse preço, presente nas 
tabelas de uso comercial e também estampados nas etiquetas das mercadorias são mais 
acessíveis do que o preço de custo. 
Neste contexto, o conhecimento da taxa de lucro sobre o preço de venda 
possibilitará a determinação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez que entre 
essas duas taxas existem uma relação. 
1.1. Cálculo do custo de uma mercadoria com base no lucro e na taxa 
O preço de custo de uma mercadoria, isto é, o valor-base de cálculo para se 
achar o lucro e o preço de venda pode ser encontrado através da seguinte fórmula: 
Como lidarmos com operações financeiras que envolvem a compra e 
venda de mercadorias? 
3 
 
Preço de Custo (C) = Lucro (L) / Taxa unitária de Lucro (i), ou seja, 
 
EXEMPLO -1 
Um comerciante recebe como lucro a quantia de R$ 357,00 pela venda de uma 
determinada mercadoria. Sabendo-se que a taxa de lucro estipulada pelo comerciante 
em suas negociações é de 6,5%, qual o valor do custo desta mercadoria? 
L = 357 i = 6,5% = 0,065 C = ? 
Como, 
 
Temos, 
 
Assim, o preço de custo da mercadoria é R$ 5.492,31 
 
1- Convertendo também a taxa da forma percentual para unitária de lucro 
 ON f REG 1 ENTER 6,5 % 357 X≥Y ÷ 
2- Utilizando a taxa unitária de lucro 
 ON f REG 357 ENTER 0,065 ÷ 
 
1.2. VENDAS COM LUCRO 
Ao ser realizada a venda de uma mercadoria, pode-se ocasionar um lucro, sobre 
o preço de custo ou sobre o preço de venda da mesma. 
 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
4 
 
1.2.1. Vendas com lucro sobre o preço de custo de uma determinada 
mercadoria 
Para determinarmos o lucro tomando como ponto de partida o preço de custo de 
uma determinada mercadoria se faz necessário identificarmos algumas variáveis e 
desenvolvermos a seguinte formulação: 
V = preço de venda 
C = preço de custo 
L = lucro 
i = taxa unitária de lucro 
Assim, temos: 
Preço de venda (V) = Preço de custo (C) + Lucro (L), ou seja, V = C + L 
Lucro (L) = Taxa unitária de lucro (i) X Preço de custo (C), ou seja, L = i.C 
Logo, V = C + i.C → V – C = i.C 
 
 ou V = (1+i).C 
EXEMPLO -2 
Uma loja de roupas coloca à venda uma determinada calça jeans com um lucro 
de 5% sobre o preço de custo da mesma. Determine o preço de venda sabendo-se que 
esta mercadoria custou R$ 70,00. 
i = 5% = 0,05 C = 70 V = ? 
Como, 
 
Temos, 
 
0,05 x 70 = V – 70 → 3,50 + 70 = V → V = 73,50 
 
Assim, o preço de venda da calça com base no preço do custo é R$ 73,50. 
 
ON f CLX 70 ENTER 5 % + 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
5 
 
EXEMPLO – 3 
Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 2350,00 e quer obter uma 
rentabilidade de 6%. Por quanto esse comerciante deve vender esta mercadoria? 
i = 6% = 0,06 C = 2350 V = ? 
Como, 
 
Temos, 
 
0,06 x 2350 = V – 2350 → 141 + 2350 = V → V = 2491 
 
Assim, o preço de venda da mercadoria com base no preço do custo é R$ 2491,00. 
 
ON f CLX 2350 ENTER 6 % + 
1.2.2. Vendas com lucro sobre o preço de venda 
De forma análoga, para determinarmos o lucro tomando como ponto de partida o 
preço de venda de uma determinada mercadoria também se faz necessário 
identificarmos algumas variáveis e desenvolvermos a seguinte formulação: 
 
V = preço de venda 
C = preço de custo 
L = lucro 
i = taxa unitária de lucro 
Assim, temos: 
Preço de venda (V) = Preço de custo (C) + Lucro (L), ou seja, V = C + L 
Lucro (L) = Taxa unitária de lucro (i) X Preço de venda (V), ou seja, L = i.V 
Logo, V = C + i.V → V – i.V = C → (1-i) V = C 
ou V = C / (1-i) 
 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
6 
 
EXEMPLO - 4 
O dono de um estabelecimento comprou uma mercadoria por R$727,00 e quer 
vendê-la com um lucro de 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o valor de venda 
dessa mercadoria? 
 
i = 25% = 0,25 C = 727 V = ? 
Como, 
 
Temos, 
 
0,25 x V = V – 727 → 0,25 V – V = - 727 → 0,75 V = 727 → V = 969,33 
 
Assim, o preço de venda da mercadoria é R$ 969,33. 
 
 ON f CLX 1 ENTER 25 % - 727 X≥Y ÷ 
1.3 VENDAS COM PREJUÍZO 
De forma semelhante ao que ocorre com o lucro na negociação com 
mercadorias, esta também pode ser vendida com prejuízo sobre o seu preço de custo ou 
sobre o seu preço de venda. 
1.3.1 Vendas com prejuízo sobre o preço de custo 
 
Para determinarmos o prejuízo da venda de uma mercadoria tomando como 
ponto de partida o preço de custo, se faz necessário identificarmos algumas variáveis e 
desenvolvermos a seguinte formulação: 
V = preço de venda 
C = preço de custo 
P = prejuízo 
i = taxa unitária de prejuízo 
 Assim, temos: 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
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Preço de venda (V) = Preço de custo (C) - Prejuízo (P), ou seja, V = C - P 
Prejuízo (P) = Taxa unitária de prejuízo (i) X Preço de custo (C), ou seja, P = i.C 
Logo, V = C – i C V - C = - i.C V = C – iC 
 
V = (1-i) C ou 
 
EXEMPLO - 5 
Um aparelho de TV foi vendido com um prejuízo de 30% sobre o custo. 
Sabendo-se que o custo dessa TV foi de R$ 900,00, qual foi o seu preço de venda? 
i = 30% = 0,30 V = ? C = 900 
Sabendo-se que a fórmula prejuízo sobre o preço do custo é: 
 
Temos, 
 
- 0,30 x 900 = V – 900 → -270 = V – 900 → V = 630 
 
Logo, o preço de venda da mercadoria foi de R$ 630,00 
 
ON f CLX 900 ENTER 30 % - 
1.3.2 Vendas com prejuízo sobre o preço de venda 
 
Para determinarmos o prejuízo da venda de uma mercadoria tomando como 
ponto de partida o preço de venda, também se faz necessário identificarmos algumas 
variáveis e desenvolvermos a seguinte formulação: 
 
V = preço de venda 
C = preço de custo 
P = prejuízo 
i = taxa unitária de prejuízo 
 Assim, temos: 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
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Preço de venda (V) = Preço de custo (C) - Prejuízo (P), ou seja, V = C - P 
Prejuízo (P) = Taxa unitária de prejuízo (i) X Preço de Venda (V), ou seja, 
P = i.V 
Logo, V - C = - i.V V + iV = C C = (1+i) V V = C / (1+i) 
 
EXEMPLO - 6 
Um apartamento que custou R$ 232.000,00 foi vendido com um prejuízo de 
15% sobre o preço de venda. Determine o preço de venda desse apartamento. 
i = 15% = 0,15 C = 232.000 V = ? 
Sabendo-se que a fórmula prejuízo sobre o preço do vendaé: 
 
Temos, 
 
 
- 0,15 x V = V – 232000 → - 0,15 V - V = - 232000 → V = 23200 / 1,15 → V = 
201.739,13 
 
Logo, o preço de venda do apartamento foi de R$ 201.739,13. 
 
 
ON f CLX 1 ENTER 15 % + 232000 X≥Y ÷ 
 
 
 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
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2. Abatimentos e aumentos sucessivos 
 
Na compra e venda de determinadas mercadorias faz-se necessário a retirada de 
uma fatura das mesmas. Nessa fatura encontra-se descrito a relação que acompanha a 
remessa de mercadorias expedidas, com a designação de quantidades, marcas, pesos, 
valores unitários e totais de cada mercadoria, percentuais de descontos, impostos, etc. 
Muitas vezes são realizados descontos ou acréscimos sucessivos nessas faturas, 
decorrentes de ofertas, pagamentos à vista, etc.(para descontos) e de multas, impostos, 
etc.(para acréscimos). 
 
2. 1 Abatimentos sucessivos 
 
Um determinado estabelecimento comercial pode oferecer abatimentos 
sucessivos sobre o valor de uma fatura. 
Para calcularmos o valor líquido da fatura podemos calcular os valores líquidos 
parciais correspondentes aos abatimentos sucessivos, sempre respeitando a ordem das 
taxas, até obtermos o líquido final ou, aplicarmos a fórmula a ser desenvolvida abaixo: 
 
Fórmula do "Valor Líquido" 
 
Tomemos: 
a = abatimento 
PV = valor inicial da fatura 
i = taxa de abatimento 
L = valor líquido da fatura 
Se a1 = PV x i1 
Logo, 
L1 = PV - a1 
10 
 
Consequentemente, 
a2 = L1 x i2 
e, 
 L2 = L1 - a2 
Substituindo, temos: 
L2 = L1 - L1 x i2 L2 = L1 (1 - i2) 
Generalizando, temos: 
Lk =Lk - 1 (1 - ik) 
Se atribuirmos a k os valores 1,2,3,4,...,k, temos: 
L1 = L0 (1 - i1) 
L2 = L1 (1 - i2) 
L3 = L2 (1 - i3) 
L4 = L3 (1 - i4) 
. . 
. . 
. . 
 
Lk = Lk - 1 (1 - ik) 
Multiplicando as igualdades membro a membro, temos: 
Lk = L0 (1 - i1) ( 1 - i2) ( 1 - i3) (1 - i4) ... (1 - ik) 
Fazendo L0 = PV e Lk = L, temos: 
L = PV (1 - i1) (1 - i2) ... (1 - ik) 
Onde: 
i1 , i2 , ... , ik são as taxas sucessivas; 
L = valor líquido da fatura, ou seja, depois dos descontos; 
PV = valor inicial da fatura. 
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EXEMPLO - 7 
Uma fatura cujo valor é de R$20.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 
10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar após esses dois abatimentos sucessivos? 
L = PV (1 - i1) (1 - i2) ... (1 - ik) 
L = 20000 (1 - 0,1) (1 - 0,08) L = 20.000 (0,9) (0,92) 
L = 16. 560 
 
20000 ENTER 10 % - 8 % - 
L = 16.560 
Resposta. O valor líquido a pagar é de R$ 16.560,00 
 
2. 2 Aumentos sucessivos 
 
Para problemas de aumentos sucessivos, ao invés de utilizarmos o valor líquido 
(L), passaremos a utilizar o montante ou valor futuro (FV) e como são aumentos, iremos 
adicionar as taxas e não mais subtraí-las como no desconto. 
Assim, a fórmula para o cálculo de aumentos sucessivos é dada por: 
 
FV = PV (1 + i1) (1 + i2) ... ( 1 + ik) 
EXEMPLO - 8 
Sobre uma determinada mercadoria cujo preço é de R$ 3.500,00 incide um 
imposto federal de 7% e um estadual de 3,5%. Determine o preço final dessa 
mercadoria. 
i1 = 7% = 0,07 i2 = 3,5% = 0,035 PV = 3500 FV = ? 
FV = 3.500 (1 + 0,07) (1+ 0,035) 
FV = 3.500 (1,07) (1,035) 
FV = 3.876,08 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
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3500 ENTER 7 % + 3,5 % + 
FV= 3.876,08 
Resposta: O preço final dessa mercadoria é de R$ 3.876,08 
EXEMPLO – 9 
Anderson fez uma aplicação na Caderneta de Poupança durante três meses e resgatou no 
final do período a quantia de R$ 330.498,90. Sabendo-se que as taxas mensais de 
remuneração foram respectivamente 8%, 9% e 12,3%, quanto Anderson abriu a 
caderneta de poupança? 
i1 = 8% = 0,08 i2 = 9% = 0,09 i3 = 12,3% = 0,123 PV = ? FV = 330.498,90 
330.498,90 = PV (1 + 0,08) (1+ 0,09) (1+ 0,123) 
330.498,90 = PV (1,08) (1,09) (1,123) 
PV = 330.498,90 / 1,322 = 250.000,00 
 
 
330498,90 ENTER 1 ENTER 8 % + 9 % + 12,3 % + ÷ 
Resposta: Anderson aplicou R$ 250.000,00. 
 
 
 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
SOLUÇÃO NA HP 12C