Aula 17 ENE005

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Análise de Sistemas 
Elétricos de Potência 1
7.0 Representação Matricial de Redes
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G om e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b r
E N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3
1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
7. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, 
Zbarra);
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
Equivalência entre Fontes de Tensão e Corrente
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
3
As fontes de tensão e 
corrente são equivalentes
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
4
Equações Nodais da Rede quando Modelada por Admitância:
Figura 2.2: Sistema exemplo, onde E3 representa um motor.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
5
Utilizando-se o modelo de cada elemento:
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
6
Cada fonte de tensão em série com uma impedância foi transformada em uma
fonte de corrente em paralelo com uma admitância e as impedâncias das linhas 
foram transformadas em admitâncias.
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
7
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
8
Equações nodais do circuito:
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
9
Agrupando-se os termos das equações para as barras 1, 2 e 3 vem:
Colocando-se as equações na forma matricial:
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
10
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
Generalizando
� 1ª Lei de Kirchhoff
� Reescrevendo em função 
de Y e V
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
11
iniiii IIIII ++++= ...210
ii
n
j
jiiji VyVVyI 0
1
)( +−=∑
=
Representação Matricial de uma Rede
� Sendo:
� Desenvolvendo:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
12
( ) ( ) ( ) nini
n
j
ijiiii VyVyyVyVyI −++






+++−+−= ∑
=
......
1
02211
ii
n
j
jiiji VyVVyI 0
1
)( +−=∑
=
Representação Matricial de uma Rede
� Portanto, para um SEP com N barras, todas as tensões e correntes nodais 
são relacionadas pelo seguinte sistema matricial:
� Vetor I
� Vetor com as injeções de corrente em cada um dos nós da rede
� Vetor V
� Vetor com as tensões nodais da rede
� Matriz Ybus (Ybarra)
� É a matriz admitância nodal da rede.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
13
























=












NNNNN
N
N
N V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
&
M
&
&
K
MOMM
K
K
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
 . 
[ ] [ ] [ ]VYI . BUS=
[ ] [ ] [ ]VYI . BARRA=
Matriz Admitância Nodal (Ybarra, Ybus)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
14
























=












NNNNN
N
N
N V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
&
M
&
&
K
MOMM
K
K
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
 . [ ] 
21
22221
11211












=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY
∑
=
+=
n
j
ijiii yyY
1
0
ikik yY −=
� Elemento da Diagonal Principal:
� Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra
� Elemento Fora da Diagonal
� Negativo da admitância entre barras
� Contribuição de Elemento Série em Ybus:
� Na posição PP e QQ (diagonal)
� Na posição PQ e QP (fora da diag.)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
15
Formação da Matriz Admitância
pqpqpq VyI && =
pqpqpq IzV && =
[ ]
 
21
22221
11211












=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSYpqy+
pqy−
� Contribuição de Elemento em Derivação em Ybus:
� Na posição PP (diagonal)
� Nas demais posições
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
16
Formação da Matriz Admitância
000 ppp VyI && =
000 ppp IzV && =
[ ]
 
21
22221
11211












=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY0py+
0
Matriz Admitância Nodal (Ybarra, Ybus)
� A matriz Ybus em SEP:
� Simétrica;
� Complexa;
� Quadrada de dimensão n, onde n é o 
número de barras (exceto ref.);
� Esparsa (>95%);
� Diagonal principal dominante
� Elementos da diagonal principal Ykk
são o somatório das admitâncias 
diretamente ligadas à barra;
� Elementos fora da diagonal principal 
Ykj: soma das admitâncias que ligam 
as barras k e j (sinal contrário).
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
17
Matriz Impedância Nodal (Zbarra, Zbus)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
18
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IZIYV . . 1 BUSBUS == −
[ ]
 
21
22221
11211
-1
21
22221
11211












=












=
NNNN
N
N
NNNN
N
N
ZZZ
ZZZ
ZZZ
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
K
MOMM
K
K
BUSZ
� Obs.: A obtenção direta dos elementos de Zbus não é prática, 
sendo a seu cálculo através da inversa de Ybus mais conveniente.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
19
Matriz Impedância Nodal (Zbarra, Zbus)
� A matriz Zbus em SEP:
� Simétrica;
� Complexa;
� Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.);
� Matriz cheia.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
20
Exemplo 7.0.2
Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever 
I = Ybarra * V para o sistema abaixo:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
21
Escrever o diagrama unifilar de impedâncias do circuito:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
22
Cálculo dos parâmetros:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
23
Transformar todas as fontes de tensão em fontes de corrente:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
24
Montagem da Ybarra:
O sistema de equações com a matriz admitância de barras:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
25
Interpretação Física dos Elementos de Zbarra
Seja a equação que descreve o circuito:
Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio 
em circuito aberto onde:
Zkk: impedância própria de circuito aberto da barra k;
Zik: impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k;
Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortas 
em todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
26
Interpretação Física dos Elementos de Zbarra
Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortas 
em todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0
A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o 
efeito à causa e é:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
27
Interpretação Física dos Elementos de Ybarra e Zbarra
• Se a corrente I1(injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu:
ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões.
• Zkk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência 
com as demais fontes de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do 
equivalente de Thèvenin:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
28
Exemplo 7.0.3
Resolva as equações nodais do Exemplo 7.0.2 para encontrar a matriz impedância 
de barra pela inversão da matriz admitância de barra.
Calcule as tensões de barra.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
29
Invertendo-se a matriz Ybarra:
O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada:
Exemplo 7.0.3 (Solução)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
30
Exemplo 7.0.4
Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre 
a barra 4 e a referência do circuito. 
Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
31
Exemplo 7.0.4 (Solução)
Z44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.
V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado
Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
32
Exemplo 7.0.4 (Solução)
Z44 é a impedância equivalente da rede vistada barra 4.
V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado
Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra
Exercício 1 para Aluno
� Calcule a Corrente de Curto Trifásico de 
todas as barras do exemplo 7.0.2.
� Do exemplo 7.0.3 tem-se:
� Tensão Pré-falta
� Matriz Zbus
� Lembrando que:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
33
1
1
3 Z
EI curto
k
&
&
=φ
Sistema Matricial Trifásica
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
34
























=












abc
N
abc
abc
NNNN
N
N
abc
N
abc
abc
V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
&
M
&
&
K
MOMM
K
K
&
M
&
&
2
1
abc
21
22221
11211
2
1
 . 
[ ]










=
c
i
b
i
a
i
abc
i
I
I
I
I
&
&
&
&
[ ]
 
 












=
cc
ij
cb
ij
ca
ij
bc
ij
bb
ij
ba
ij
ac
ij
ab
ij
aa
ij
abc
ij
YYY
YYY
YYY
Y
[ ] [ ]∑
=
+=
n
j
abc
ij
abc
i
abc
ii yyY
1
 Prim Prim
0
[ ] Primabcikabcik yY −=
Formação da Matriz Ybus Trifásica
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
35
A
B
C
Z’A
Z’B
Z’C
Z’AB
Z’BC
Z’AC
A
B
C
P Q




















=










PQ
C
PQ
B
PQ
A
CCBCA
BCBBA
ACABA
PQ
C
PQ
B
PQ
A
I
I
I
zzz
zzz
zzz
V
V
V
&
&
&
&
&
&
.
'''
'''
'''
[ ] [ ] [ ]abcpqabcpqabcpq z IV . Prim=
[ ] [ ]( )
1
1PrimPrim
'''
'''
'''
−
−










==
CCBCA
BCBBA
ACABA
abc
pq
abc
pq
zzz
zzz
zzz
zy
� Elemento Série Trifásico:
[ ] [ ] [ ]abcpqabcpqabcpq y VI . Prim=
Formação da Matriz Ybus Trifásica
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
36
� Elemento em Derivação Trifásico:
� Conectado em Estrela (Y):
� Conectado em Triângulo (Delta)
[ ]
1
Prim
'
−










+−−
−+−
−+
=
BCCABCCA
BCABBCAB
ACABCAAB
abc
pq
yyyy
yyyy
yyyy
y
[ ]










=










=
−
−
−
1
1
1
Prim
C
B
A
C
B
A
abc
pq
z
z
z
y
y
y
y
1−
= ABAB zy
1−
= BCBC zy
1−
= CACA zy
Formação da Matriz Admitância Nodal
� Montagem da Matriz Ybus
� Montagem Direta
� Através do Grafo da Rede
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
37
[ ]
 
21
22221
11211












=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY
Montagem Direta da Ybus (Ybarra)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
38
[ ]
 
21
22221
11211












=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY
∑
=
+=
n
j
ijiii yyY
1
0
ikik yY −=
� Elemento da Diagonal Principal:
� Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra
� Elemento Fora da Diagonal
� Negativo da admitância entre barras
Montagem de Ybus Através do Grafo da Rede
� A matriz Ybarra pode ser obtida, também, através das matrizes de 
impedância primitiva e de incidência:
� Matriz de Incidência A: Obtida através de um grafo orientado das correntes.
� Matriz YPrimitiva: Formada pelos elementos da rede.
� Procedimento:
� Montagem do grafo da rede adotando-se uma orientação (“aleatória”) em função do fluxo das 
correntes na rede;
� Montagem da Matriz de Incidência A;
� Montagem da Matriz YPrimitiva;
� Cálculo da Matriz YBus.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
39
[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva . .T =BUS
Montagem do Grafo da Rede
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
40
Matriz de Incidência A
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
41
+1 ; se a corrente no ramo j sai do vértice i
-1 ; se a corrente no ramo j entra no vértice i
0 ; se a corrente no ramo j não incide no vértice i
Matriz Incidência (nº de ramos x nº de vértices)
=jia
=jia
=jia
+−
−+
−+
0
0
0
321
C
B
A
[ ]
 
101
110
011










+−
−+
−+
=A
Matriz de Incidência A (reduzida)
� Como a matriz incidência é 
linearmente dependente, deve-se 
eliminar um vértice o de 
referência do sistema (vértice 1). 
Assim, tem-se:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
42
[ ]
 
101
110
011










+−
−+
−+
=A
[ ]
 
10
11
01










+
−+
−
=A
Matriz YPrimitiva
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
43
C
B
A
y
y
y
00
00
00
C
B
A
CBA
[ ]
 
00
00
00
Pr










=
C
B
A
imitiva
y
y
y
Y
Matriz Ybus
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
44
[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva . .T =BUS
C
B
A
y
y
y
00
00
00
C
B
A
CBA
+−
−+
−+
0
0
0
321
C
B
A
[ ]
 
10
11
01
 
00
00
00
110
011










+
−+
−
















+−
+−
=
C
B
A
BUS
y
y
y
Y
[ ] 





+−
−+
=
CBB
BBABUS
yyy
yyy
Y
Exercício 7.0.7
� Determine a matriz incidência e a matriz admitância 
nodal do sistema abaixo:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
45
A B C
D
6
4 5
1 2 3
Grafo Orientado
y6
y4 y5
y3y2y1
31
2
Ref
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
46
Seja um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entre 
alguns elementos do sistema elétrico.
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
47
A polaridade da tensão induzida é importante.
Onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
48
Montagem da Matriz Ybarracom Elementos Acoplados
Passando-se para admitância vem:
A matriz Y é chamada de matriz 
admitância primitiva do elemento.
Expandindo-se a equação acima vem:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
49
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
Sabendo-se que e colocando-se a equação acima 
em forma matricial tem-se:
Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz Ybarra sem mútua.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
50
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
51
Exemplo 7.0.5
Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
52
Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.
1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua:
2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva
Exemplo 7.0.5 (Solução)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
53
Exemplo 7.0.5 (Solução)
3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):
4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos 
terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos 
terminais diferentemente marcados:
Acrescentar +ym em (1,3), (2,4), (3,1) (4,2)
Acrescentar –ym em (1,4), (2,3), (3,2) , (4,1).
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
54
Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.
Determinar a matriz admitância de barra do circuito da figura abaixo.
Exemplo 7.0.6
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Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.
Exemplo 7.0.6 (Solução)
1) Matriz de impedâncias primitiva: 2) Matriz de admitância primitiva:
3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
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Exemplo 7.0.6 (Solução)
3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):
4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos 
terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos 
terminais diferentemente marcados:
Acrescentar +ym em (3,3), (1,2), (3,3), (2,1).
Acrescentar –ym em (3,2), (1,3), (2,3), (3,1).
y13 = y23 = -j6,25 pu. ym = j3,75 pu.
ym = j3,75 pu.
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A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da 
matriz Ybarra encontrada com a utilização da regra 
acima:
Exemplo 7.0.6 (Solução b)
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Em forma matricial vem:
que confere com o exercício.
Exemplo 7.0.6 (Solução b)