aula revisao P2 Helio Dias

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O caso crítico
O caso super crítico
O caso sub-critico
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4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa.
(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalo
de tempo mostrado no gráfico?
V = 0
A velocidade é zero quando a
tangente da curva for zero.
Isso corresponde em t = 3 s
t = 3s
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(b) A equação horária x(t) pode ser escrita como:
 x(t) = e−/2t(a + bt)
Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial.
E em seguida mostramos que a identidade vale:
Determine os valores de a e b.
(c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola.
(d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador.
R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s−1; (d) v0 = −0.75 m/s.
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Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade.
Freqüência angular com dissipação viscosa.
é o atrito viscoso.
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Vamos testar uma solução com a função:
As suas respectivas derivadas são:
Que, substituídas na equação resulta:
Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso
a solução para x será:
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A solução fica na forma:
Mas!
então o termo da raiz é complexo!
Escrevendo a raiz na forma:
Uma solução parcial será:
Observe que temos duas 
 soluções possíveis!
e fazendo:
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A solução final tem a forma:
O termo de atrito viscoso é:
Usando-se a relação de Euler:
A freqüência angular desta oscilação será:
A oscilação esta em estado crítico quando: 
Também chamado caso degenerado:
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A outra solução é procurar a forma : e repetindo o
processo anterior de derivação sucessiva.
Concluiremos que a segunda solução :
 
E assim a solução geral do caso degenerado será:
Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções 
que no caso degenerado já sabemos uma.
 
Como será a forma da segunda solução?
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Item b:
Para t = 0 temos x = 0.5
t = 0
x = 0
Para t = 1s temos x = 0
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Item c:
Se v(3) = 0
EXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola : 
A VELOCIDADE SERÁ: 
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A equação de d´Alembert
A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt)
onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva () e
(+) regressiva () e v é a velocidade de propagação da onda.
A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno. 
A solução y(x,t) = f(x±vt)
pode ser simples ou muito
complexa!
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20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. 
Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima.
(a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da onda
transversal progressiva que é produzida na corda.
(b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um
ponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.
(c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.
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Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é :
A velocidade é dada por:
O comprimento de onda é dado por:
Onde :
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Uma solução geral da equação de d´Alembert é:
A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m(f = p/3)
3cm
2m
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A potência média é :
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18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência, têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de /2 rad
R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx − t + 0, 64)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
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A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
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25. Duas ondas transversais de mesma frequência = 100 s−1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm3, submetido a uma
tensão T = 500 N. As ondas são dadas por
 y1 = A cos (kx − t + /6) y2 = 2Asen(t − kx)
onde A = 2 mm.
(a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante
da superposição dessas duas ondas.
(b) Calcule a intensidade da resultante.
(c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão
entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante?
R: (a) y = 5, 29 × 10−3 cos(2, 23x − 628t +1, 24). 
(b) 9, 8 W. 
(c) IMAX IMIN = 9.
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Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferença
nas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do:
 BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!
TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
TONNN.iiii....
 Toonnnnnn.iii.....
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24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária.
O deslocamento da corda é dado por:
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado em metros e t em segundos.
(a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) 
(b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t) 
(c) Qual é a massa da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) 
(d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o período de oscilação? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) 
 R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s
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y = (0, 10)sen(x/2)sen(12t)
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Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.
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y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de L ?l
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Qual o valor de v ?l
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
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Qual o valor de m?
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
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T3 = ?
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
 Terceiro harmônico
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Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.
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A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).
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 = Cp/Cv processo ádiabático
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Doppler Effect
A Doppler effect is experienced whenever there is relative motion between a source of waves and an observer.
When the source and the observer are moving toward each other, the observer hears a higher frequency
When the source and the observer are moving away from each other, the observer hears a lower frequency
Although the Doppler Effect is commonly experienced with sound waves, it is a phenomena common to all waves
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Doppler Effect, Moving Observer I
An observer moves toward a stationary source.
Due to this movement, 
the observer detects an 
additional number of wave fronts per unit time The frequency heard is increased
Use positive V0 if the observer is moving toward the source.
f = v /l
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Fig 14.8, p. 435
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Doppler Effect, Moving Observer II
An observer moves away from a stationary source.
The observer detects fewer wave fronts per second.
The frequency appears lower.
Use negative V0 if the observer is moving away from the source.
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Fig 14.9, p. 436
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Doppler Effect,Source in Motion
As the source moves toward the observer (A), the wave-length l appears shorter.
Use –vs when the source moves toward the observer; and +vs when the source moves away from the observer
Because the frequency is inversely proportional to the wavelength, f varies in the opposite way as l:
As the source moves away from the observer (B), the wave-length l appears longer.
f = v /l
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Doppler Effect: 
both observer and source moving
Both the source and the observer could be moving
Use positive values of vo and vs if the motion is toward
Frequency appears higher
Use negative values of vo and vs if the motion is away
Frequency appears lower
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