Capítulo 3A – Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
CONTEUDOCONTEUDO
� Introdução ao modelagem matemático de sistemas.
� Conceitos de função de transferência e resposta ao impulso .
� Representação do modelo de sistemas físicos mediante diagramas de bloco.
� Conclusões.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
OBJETIVOSOBJETIVOS
� Familiarizar-se com os fundamentos da modelagem de sistemas físicos.
� Conhecer os conceitos de função de transferência e resposta ao impulso de 
um sistema linear.
� Familiarizar-se com a representação do fluxo do sinais em um sistema 
mediante um diagrama de bloco do modelo. 
� Conhecer e aplicar a definição e algumas regras de representação e 
simplificação dos diagramas de bloco.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Para estudar os sistemas de controle, diga-se analisar suas características e realizar seu projeto, 
precisa-se primeiramente modelar matematicamente o sistema.
� O modelo matemático define-se como o conjunto de equações e expressões matemáticas que 
descrevem acertadamente, ou ao menos aproximadamente bem, as características de desempenho do 
sistema.
� Há modelos e Modelos de sistemas físicos, ou seja, o modelo não é único; o sistema pode ser modelado 
de varias maneiras, de acordo com as perspectivas de sua utilização.
� Os sistemas podem ser físicos: mecânicos, elétricos, térmicos, etc. 
� e eles podem ser descritos por equações integro-diferenciais e outras expressões matemáticas.
� Essas equações podem ser obtidas mediante as leis físicas que regem no sistema. 
� Ex. as leis de Newton, Kirchhoff, etc. 
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Sistema: Conjunto de componentes que se integram para processar variáveis 
de entrada e gerar variáveis de saída (monovariáveis e multivariáveis).
SistemaE(t) S(t)
SistemaE2(t)
E1(t)
E3(t) S3(t)
S2(t)
S1(t)
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Um sistema se diz linear se o mesmo cumpre com o principio da superposição, 
o seja, a saída do sistema, como resposta a vários sinais de entrada, 
pode-se calcular somando as respostas individuais para cada entrada. 
� Nos sistemas lineares existe uma relação causa-feito entre entrada e saída que é
linear.
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
� Sistemas lineares:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Um sistema se diz linear invariante com o tempo se os parâmetros de 
seu modelo são constantes.
� Um sistema se diz linear variante com o tempo se os coeficientes ou 
parâmetros de seu modelo são funções do tempo. 
� Sistemas lineares invariantes e variantes com o tempo:
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
� Modelar um sistema físico qualquer significa obter uma representação 
matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento 
do sistema na prática.
Modelo Plano de um Veículo
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
• Sistemas dinâmicos ⇒ Equações diferenciais;
• Inter-relação linear ou linearizável entre variáveis ⇒ Transformada de 
Laplace;
• Obtenção das equações diferenciais que regem o comportamento do 
sistema. 
Exs.:
- Leis de Newton ⇒ Sistema mecânico;
- Leis de Kirchhoff⇒ Sistema elétrico.
�� Modelos de sistemas contModelos de sistemas contíínuosnuos
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
TemperaturaEnergia TérmicaCalorTérmico
PressãoVolumeVazãoHidráulico
Deslocam
angular
Velocidade 
angular
Momento 
angularTorque
Mecânico
Rotacion.
Deslocam
linear
VelocidadeMomento linearForça
Mecânico
Translac.
-TensãoCargaCorrenteElétrico
Variável 
interna 
integrada
Variável 
interna
Variável 
transmitida 
integrada
Variável
transmitidaSistema
�� Modelos de sistemas contModelos de sistemas contíínuosnuos
3.1 Introdu3.1 Introduçção:ão:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Relação entre a transformada de Laplace da saída (função resposta)
� e a transformada de Laplace da entrada (função excitação).
� Considerando nulas todas as condições iniciais .
3.3 Fun3.3 Funçção de Transferência:ão de Transferência:
� Podemos então escrever a função de transferência como:
)().()(
)(
)()(
sXsGsY
sX
sY
sG
=
= (3.1)
Função 
de 
Transferência
Função de excitação X(s) Função Resposta Y(s)
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++++ −
−
)(...)()( 011 sYasYsasYsa nnnn termos de condição inicialde y(t)
++++= −
−
)(...)()( 011 sXbsXsbsXsb mmmm termos de condição inicial de x(t)
� Admitindo-se, condições iniciais nulas:
)()...()()...( 011011 sXbsbsbsYasasa mmmmnnnn +++=+++ −−−−
� Por Laplace,
3.3 Fun3.3 Funçção de Transferência:ão de Transferência:
� Escrevendo a saída Y(s) em função de X(s), obtém-se:
)...(
)...(
)(
)()(
0
1
1
0
1
1
asasa
bsbsb
sX
sY
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
==
−
−
−
− (3.2)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Considere a representação de sistema mostrada a seguir:
)...( 011 bsbsb mmmm +++ −−)(sX
)...( 011 asasa nnnn +++ −−
)(sY
� A relação de polinômios acima G(s), denomina-se de Função de 
Transferência e o seu cálculo é feito com condições iniciais nulas.
)...(
)...(
)(
)()(
0
1
1
0
1
1
asasa
bsbsb
sX
sY
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
==
−
−
−
− (3.2)
3.3 Fun3.3 Funçção de Transferência:ão de Transferência:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
• Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO)
)()()()( tutyatybty =++ &&&Ex. equação de 2da ordem
3.3 Fun3.3 Funçção de Transferência:ão de Transferência:
• Representação por Função de Transferência (FT)
)(1)(
)(
)()()()(
2
2
sG
asbssU
sY
sUsYasYsbsYs
=
++
=
=++
Trans. de
Laplace
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� É um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar 
a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada.
� Representa uma propriedade do sistema, independente da magnitude ou 
natureza da função de entrada ou excitação.
� Inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada e saída, mas não 
fornece nenhuma informação em relação a natureza física do sistema.
� Comentários sobre a Função de Transferência
3.3 Fun3.3 Funçção de Transferência:ão de Transferência:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Se a FT for conhecida, possibilita o estudo de várias possibilidades de entrada.
� Se a FT não for conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente, 
através de entradas conhecidas e observação das respectivas respostas.
� Comentários sobre a Função de Transferência
3.3 Fun3.3 Funçção de Transferência:ão de Transferência:
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3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
Sistema
FísicoControlador
r u y
Malha Aberta
Malha Fechada
Sistema
FísicoControlador
e u yr
+
–
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Sistemas de Controle em Malha Aberta são Caracterizados Tecnicamente por :
▲ Níveis Inerentes de Imprecisão Operador ;
▲ Sem Adaptações às Variações Externas, Interferências, Perturbações & Erros ;
▲ Dependência Técnica do Julgamento, Bom Senso & Estimativa do Operador ;
▲ Simplicidade, Baixos Custos, Sem Que se 
Envolvam Elementos Sofisticados nas Etapas 
de Sensoriamento, Medição, Quantificação,
Ajustes, Calibrações dos Sinais de Controle &
Atuação Funcional ;
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Um diagrama de blocos contém informações relativas ao comportamento 
dinâmico, 
� mas não inclui nenhuma informação sobre a construção física do sistema.
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
G1: Controlador;
G2: Elemento final de 
controle, ou atuador;
G3: Processo a controlar;
H: Transdutor ou Sensor.
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3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
Procedimentos para Construir um Diagrama de Blocos
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
�Somador
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� O sinal de +/- indica se o sinal deve ser somado ou subtraído.
a a-b
b
+
-
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3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
Soma de dois sinais
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3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
�Ponto de Ramificação
� É um ponto em que o sinal que vem de um bloco, avança simultaneamente 
em direção a outros blocos ou somadores.
G(s)
Sinal de 
Entrada
Sinal de 
Saída
Ponto de 
ramificação
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� Diagrama de Blocos de um Sistema Malha Fechada
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� A saída C(s) é realimentada ao somador, em que é comparada à referência
de entrada R(s).
� C(s) ⇒ saída do bloco : multiplicação da função de transferência G(s) pela 
entrada do bloco E(s).
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Diagrama de Blocos de um Sistema Malha Fechada
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
�Elemento de Realimentação
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a 
entrada, 
� é necessária converter a soma do sinal à do sinal de entrada.
� Mas, geralmente o sinal de saída, velocidade, temperatura, fluxo, nível, 
etc. são sinais de engenharia que precisam serem convertidos a sinal 
elétrica ou pneumática, nos controladores reais.
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� Função de Transferência de Malha aberta e função de transferência de 
ramo direto
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� Relação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de erro atuante E(s).
G(s)H(s)
E(s)
B(s)
aberta malha de ncia transferêde Função == (3.3)
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3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
G(s)
E(s)
C(s)direto ramo de Função == (3.4)
� Se o feedback é unitário H(s) = 1 e ambas funções de transferência coincidem.
G(s)H(s)
E(s)
B(s)
aberta malha de ncia transferêde Função == (3.3)
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� Função de Transferência de Malha Fechada
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� A saída C(s) e a entrada R(s) estão relacionadas como:
)()()( sEsGsC =
)()()()()()( sCsHsRsBsRsE −=−=
[ ])()()()()( sCsHsRsGsC −=
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+
= (3.5)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Função de Transferência de Malha Fechada
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+
= (3.5)
)()()(1
)()( sR
sHsG
sG
sC
+
= (3.6)
� Que recebe o nome de FT de malha fechada e fica dada por FT do ramo 
direto/1+FT da malha aberta
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
R(s)
D(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
+
-
+
+
C(s)
H(s)
� Sistema em malha fechada submedido a distúrbio
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Considerando a referencia zero (R=0) e aplicando o conceito de FT de 
malha fechada, dado anteriormente, resulta para a resposta ao distúrbio:
� Sistema em malha fechada submedido a distúrbio
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
)()()(1
)(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sG
sD
sCD
+
= (3.7)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� De igual forma, considerando D(s) = 0, resulta para a resposta do sistema 
ao sinal de referencia R(s):
� Sistema em malha fechada submedido a distúrbio
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
sHsGsG
sGsG
sD
sCR
+
= (3.8)
� A resposta a ambos sinais R e D fica dada por:
[ ])()()()()()(1
)()()()( 1
21
2 sDsRsG
sHsGsG
sG
sCsCsC DR ++
=+= (3.9)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� Topologias comuns na interconexão de subsistemas : 
- Associação em cascata
- Associação em paralelo
- Associação com retroação
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� ASSOCIAÇÃO EM CASCATA:
2G1G 21GG
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� ASSOCIAÇÃO EM CASCATA:
)()()()( 123 sGsGsGsGe = (3.10)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� ASSOCIAÇÃO EM PARALELO:
1G
2G
21 GG +
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagemMatemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� ASSOCIAÇÃO EM PARALELO:
)()()()( 321 sGsGsGsGe ±±±= (3.11)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� ASSOCIAÇÃO COM RETROAÇÃO:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sC
sGe ±
== (3.12)
� Topologias:
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
� ASSOCIAÇÃO COM RETROAÇÃO:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Teoremas de Transformação para Diagrama de Blocos
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Teoremas de Transformação para Diagrama de Blocos
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Teoremas de Transformação para Diagrama de Blocos
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Obtendo Funções de Transferência em Cascata, Paralelo e com 
Realimentação com o Matlab
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Programa em MATLAB
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Programa em MATLAB
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Programa em MATLAB
3.4 Diagrama de Blocos:3.4 Diagrama de Blocos:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
� Simplifique os seguintes diagramas usando álgebra de blocos.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXERCEXERCÍÍCIOS:CIOS:
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3.5 Simbologia:3.5 Simbologia:
Simbologia Geral para Instrumentos ou Funções Programadas
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.5 Simbologia:3.5 Simbologia:
Simbologia e Funções de Processamento de Sinais
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.5 Simbologia:3.5Simbologia:
Simbologia de Linhas para Instrumentos