2.0 - Distribuições Discretas de Probabilidade

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Distribuição de Probabilidade 
Conceito Chave:
Uma variável aleatória é a que tem um único valor numérico, determinado ao acaso, para cada resultado de um experimento.
Uma distribuição de probabilidade é uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória.
Exemplo:
Doze jurados devem ser selecionados aleatoriamente de uma população na qual 80% dos elegíveis são índios. 
Admite-se que os jurados foram selecionados ao acaso sem tendenciosidade.
Considera-se x = número de jurados índios entre 12 jurados;
x é uma variável aleatória pois seu valor depende do acaso;
Exemplo:
Os possíveis valores de x são: 0,1, 2, 3, ..., 12;
As tabelas abaixo listam os valores de x e suas probabilidades.
As tabelas descrevem uma distribuição de probabilidade.
X(índios)
P(x)
0
0+
1
0+
2
0+
3
0+
4
0,001
5
0,003
6
0,016
X(índios)
P(x)
7
0,053
8
0,133
9
0,236
10
0,283
11
0,206
12
0,069
Definições:
Uma variável aleatória discreta tem ou um número finito de valores ou uma quantidade enumerável de valores.
‘Enumerável” se refere ao fato de que podem existir infinitos valores, mas que podem ser associados a um processo de contagem.
Uma variável continua tem infinitos valores, e esses valores podem ser associados com medidas em uma escala continua, de modo que não existem pulos ou interrupções.
Condições para uma Distribuição de Probabilidades
 , onde x toma todos os valores possíveis.
 , para todo x.
1 – Variável Aleatória
● Seja E um experimento e S o espaço associado ao experimento.
● Uma função X que associa a cada elemento sS um número real X(s), é denominada variável aleatória.
Exemplo:
● E: lançamento de duas moedas;
X: nº de caras obtidas nas duas moedas;
S={(C,C), (C,R), (R,C),(R,R)}
 X = 0→corresponde ao evento (r,r) com probabilidade ¼;
X = 1→corresponde ao evento (r,c), (c,r) com probabilidade 2/4;
X = 2→corresponde ao evento (c,c) com probabilidade ¼.
● Emprega-se o termo variável aleatória para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento.
Tipos de Variáveis:
Variáveis Aleatórias Discretas – Admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores.
Variáveis Aleatórias Continuas – pode tomar um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua.
2 - Distribuição de Probabilidades
Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável.
Exemplo:
Suponha que a USAir detenha 20% de todas as linhas aéreas domésticas e que todos os voos tenham a mesma chance de um acidente. Se a variável aleatória x representa o número de acidentes com a USAir dentre os sete acidentes escolhidos,aleatoriamente, então a distribuição de probabilidades é calculado pela Tabela – 1 a seguir.
Tabela – 1
Tabela 1 – Distribuição de Probabilidades do Número de Acidentes com a USAir, dentre Sete Acidentes.
x
P(x)
0
0,210
1
0,367
2
0,275
3
0,115
4
0,029
5
0,004
6
0+
7
0+
Solução:
Pela tabela 1, vemos que a probabilidade de 0 acidentes com a USAir (dentre sete acidentes) é 0,210
A probabilidade de 1 acidente é 0,367, etc.
Os valores denotados por 0+ representam possibilidades tão pequenas que equivalem a 0,000 quando arredondadas para três casas decimais.
Exemplo:
P(x) = x/5, (onde x toma os valores 0, 1, 2, 3) define uma distribuição de probabilidades?
Exemplo:
P(x) = x/3, (onde x toma os valores 0, 1 ou 2) define uma distribuição de probabilidades?
Média, Variância e Desvio Padrão:
Nas aulas iniciais, vimos que os dados apresentam três características extremamente importantes:
1 – Valor representativo, como uma média;
2 – Medida de dispersão ou variação, como um desvio padrão;
3 – Natureza ou forma da distribuição, como forma de sino. 
Fórmulas:
1 – 
2 –
 
3 – 
4 – 
Média de uma distribuição de probabilidades
Variância para uma distribuição de probabilidades
Variância para uma distribuição de probabilidades
Desvio Padrão para uma distribuição de probabilidades
Regras para o arredondamento de μ, σ2 e σ
Ao utilizar as fórmulas anteriores, aplique esta regra para arredondar os resultados:
Arredonde os resultados tomando uma casa decimal a mais além do número de casas decimais usadas na variável x. Se os valores de x são inteiros, arredonde μ, σ2 e σ para uma decimal.
Exemplo:
A tabela – 2 a seguir representa a distribuição de probabilidades do número de acidentes com a USAir, dentre sete acidentes selecionados aleatoriamente.
Com a distribuição de probabilidades da tabela – 2 a seguir, suponha que repitamos o experimento que consiste em selecionar sete acidentes e que a cada vez encontremos o número de acidentes com a USAir.
Determine o número médio de acidentes com a USAir, dentre sete, a variância e o desvio padrão. 
Tabela 2:
x
P(x)
x.P(x)
x2
X2.P(x)
0
0,210
0,000
0
0,000
1
0,367
0,367
1
0,367
2
0,275
0,550
4
1,100
3
0,115
0,345
9
1,035
4
0,029
0,116
16
0,464
5
0,004
0,020
25
0,100
6
0+
0,000
36
0,000
7
0+
0,000
49
0,000
Total
1,000
1,398
3,066
Solução:
 = 1,398 = 1,4 colisões (arredondado);
 = 3,066 – 1,3982 = 1,111596 = 1,1 colisões (arredondado);
 = 1,054323 = 1,1 colisões (arredondado);
Solução:
Aplicando a regra prática dada na primeira aula, pode-se concluir que a USAir deve ter 0 a 3,6 acidentes dentre os sete escolhidos aleatoriamente.
Estimativas de valores:
Mínimo: média menos duas vezes o desvio padrão;
Máximo: média mais duas vezes o desvio padrão;
Esperança:
A esperança de uma variável aleatória discreta é denotada por E e representa o valor médio dos resultados. É dada por:
Exemplo:
Considere o jogo de números praticado há muitos anos por organizações ligadas ao crime e agora legalizados por muitos governos organizados – e outros não tão bem organizados.
Em geral conhecido como “Escolha três” (Pick three). O apostador aposta em três números que deverão coincidir com os números sorteados.
Exemplo:
O ganho típico é de 499 para 1, o que significa que para cada R$ 1,00 apostado o jogador recebe R$ 500,00.
O retorno líquido é de R$ 499,00.
Suponha que você apostou R$ 1,00 no número 238.
Qual é a esperança de seu ganho ou perda?
Solução:
Por essa aposta há dois resultados simples:
Ou você ganha ou perde;
Como o número escolhido foi 238, e como há 1.000 possibilidades (de 000 a 999);
 a probabilidade de ganhar é 1/1000 = 0,001;
a probabilidade de perder é 999/1000 = 0,999.
A tabela – 3 a seguir resume a situação;
Tabela – 3
O jogo dos números
Evento
x
P(x)
x.P(x)
Ganha
R$499
0,001
R$0,499
Perde
–R$ 1
0,999
–R$ 0,999
Total
–R$ 0,50
Interpretação:
Em qualquer jogo individual, ou você perde R$ 1,00 ou tem um ganho de R$ 499,00.
Mas o valor esperado mostra que, a longo prazo, você pode esperar perder uma média de R$ 0,50 para cada real apostado.
Esse jogo deve ter algum valor de entretenimento limitado, mas é definitivamente um investimento financeiro bastante fraco.
Distribuição Binomial
Uma variável aleatória tem distribuição binomial quando o experimento ao qual está relacionada apresenta apenas dois resultados: Sucesso ou Fracasso. 
Distribuição Binomial
Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: 
1 – O experimento tem um número fixo de tentativas (n);
2 – As tentativas tem que ser independentes e do mesmo tipo(quando realizadas);
3 – Cada tentativa admite somente dois resultados – Sucesso ou Fracasso;
4 – a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso 1 – p = q;
Notação para a Distribuição Binomial
S e F (Sucesso ou Fracasso)
p e q denotam a probabilidade de S ou F;
P(S) = p e P(F) = 1 – p;
n denota o número fixo de tentativas;
x denota um número específico de sucessos em n tentativas, podendo ser qualquer número inteiro entre 0 e n, inclusive.
p denota a probabilidade de sucesso em uma
das n tentativas.
q denota a probabilidade de Fracasso em uma das n tentativas.
P(x) denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n tentativas.
Fórmula
Para X=x, tem-se x sucessos e (n–x) fracassos, correspondendo às seqüências com x algarismos 1 e n–x zeros. 
Cada seqüência terá probabilidade px.qn-x e como há , seqüências distintas, tem-se:
Principais características:
Média: E(X ) = n.p
Variância: Var(X ) = n.p.q
Desvio padrão:
 
Exemplo:
Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:
a) dar 5 caras;
b) pelo menos uma cara;
c) no máximo 2 caras.
Solução:
x = sair cara, p=0,5 (probabilidade do sucesso de X);
q = 1 – p = 0,5 (probabilidade do fracasso de X0);
n = 8 ( número de repetições do evento).
Solução:
a)
b)
c)
Abrir a tabela de Distribuição Binominal
Exemplo:
A USAir detinha 20% dos voos domésticos e estava envolvida em quatro de cada sete acidentes aéreos consecutivos.
Supondo que os acidentes aéreos sejam eventos independentes e aleatórios e admitindo ainda que a USAir seja tão segura quanto as outras companhias de aviação.
Determine a probabilidade de que, em sete acidentes aéreos, quatro ocorram com aviões da USAir.
Solução:
Trata-se de um experimento binomial, porque:
1 – Temos um número fixo de provas (7);
2 – Admite-se que as provas sejam independentes;
3 – Há duas categorias:
A) Cada acidente envolve um avião da USAir;
B) Cada acidente não envolve um avião da USAir;
4 – A probabilidade de um acidente envolver um avião da USAir (Sucesso) igual a 0,20, ou seja, P(S)=0,20;
Solução:
Vamos identificar os valores de n, p, q e x:
n = 7; Número de tentativas (acidentes);
p = 0,20; Probabilidade de Sucesso;
q = 0,80; Probabilidade de Fracasso;
x = 4; Número de acidentes com a USAir, dentre sete acidentes;
Recorremos a tabela de Distribuição Binominal:
Tem-se P(4) = 0,029;
???
Exemplo:
1 – Qual é a probabilidade de a USAir ter ao menos quatro dentre sete acidentes?
2 – Qual é a probabilidade de que qualquer companhia aérea (com 20% dos voos domésticos) tenha quatro dentre sete acidentes?
3 – Qual é a probabilidade de que qualquer companhia aérea (com 20% dos voos domésticos) tenha ao menos quatro dentre sete acidentes?
Solução:
1 – P(USAir ter ao menos 4 em 7acidentes)=
= P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 0,029 + 0,004+0+ + 0+
=0,033; Obs.: Calcular usando o SISVAR!
2 – Suponha – se que haja 5 companhias aéreas A, B, C, D e E, cada uma com 20% dos voos.
P(A ou B ou C ou D ou E) = 
= 0,033 + 0,033+ 0,033 + 0,033 + 0,033 = 0,165
Mas o que significa 0,165?
Solução:
Para interpretar essa possibilidade, escolhe-se arbitrariamente 0,05 como valor de separação, ou fronteira, que separa os resultados comuns dos resultados não considerados comuns.
Como a probabilidade de 0,165 é maior do que o valor de separação de 0,05, conclui-se que não é fora do comum uma companhia ter quatro dentre sete acidentes.
Solução:
3 – Procura-se obter quatro sucessos em sete provas, com uma probabilidade de 0,20 sucesso em cada prova.
Cálculo errado: 
=0,20* 0,20* 0,20* 0,20*0,80*0,80*0,80 = 0,000819
Na verdade há 35 ordenações distintas de quatro sucessos e três fracassos:
Ou seja = 35*0,000819 = 0,029;
Exemplo:
De acordo com o problema a USAir estava envolvida em quatro de sete acidentes e p=0,20.
Calcule a média, a variância e o desvio padrão. Verifique se os resultados são os mesmos.
Solução:
Identifique n, p e q.
Solução:
n = 7; p = 0,20; e q = 0,80;
μ = n.p = 7.0,20 = 1,4
σ2 = n.p.q = 7.0,20.0,80 = 1,1(arredondado);
 (arredondado);
Comparando cuidadosamente os resultados, podemos notar pequenas discrepâncias nos valores arredondados.
Exemplo:
Alguns casais preferem ter filhos do sexo feminino, porque as mães são portadoras de um distúrbio recessivo que é herdado por 50% de seus filhos, mas em nenhuma de suas filhas.
O método Ericsson de seleção de sexo tem uma taxa de 75% de sucesso. 
Suponha que 100 casais utilizem o método Ericsson, com o resultado de que, dentre 100 recém nascidos, há 75 meninas.
Exemplo:
a) Supondo que o método de Ericsson não produza efeito, e admitindo que menino e menina sejam igualmente* prováveis, determine a média e o desvio padrão do número de 100 crianças.
b) Interprete os valores da parte (a) para determinar se o resultado de 75 meninas em 100 bebês confirma a alegação de eficiência do método Ericsson.
Solução:
a) Identifique n, p e q;
n = 100; p = 0,5 e q = 0,5;
μ = n.p = 100.0,5=50;
 ;
Para grupo de 100 casais com um filho cada um, o número médio de meninas é 50 e o desvio padrão é 5;
Solução:
b) Deve-se agora interpretar os resultados para determinar se 75 meninas em 100 nascimentos é um resultado que pode ocorrer facilmente por chance, ou se é tão improvável que o método Ericsson de seleção de sexo parece eficiente.
De acordo com a regra, as estimativas dos valores mínimo e máximo são as seguintes:
mínimo≈ média – 2x(desvio padrão) = 50 – 2(5)=40;
máximo≈ média+ 2x(desvio padrão) = 50+2(5)=60;
Solução:
A regra prática indica que os valores típicos estão provavelmente entre 40 e 60.
De acordo com a regra empírica da amplitude, os valores considerados usuais para nascimento em 100 casais ficam entre 40 e 60 nascimentos, de modo que 75 meninas não parece um resultado devido unicamente ao acaso.
A regra prática
A regra prática se aplica apenas quando a distribuição é em forma de sino.
Análise Gráfica: Regra Empírica
68% dos valores de z estão entre: –1σ e 1σ;
95,5% dos valores de z estão entre: –2σ e 2σ;
99,7% dos valores de z estão entre: –3σ e 3σ;
Obs.: O valor do escore z é calculado pela expressão:
	R.: Conclui-se que o método Ericsson parece eficiente para aumentar a probabilidade de um bebê ser menina.
A Distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado.
Distribuição de Poisson
Exemplos:
Usuários de computador ligados à Internet;
Clientes chegando ao caixa de um supermercado;
Acidentes com automóveis em uma determinada estrada;
Número de carros que chegam a um posto de gasolina;
Número de aviões seqüestrados em um dia;
Exemplos:
Número de falhas em componentes por unidade de tempo;
Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t;
Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida;
1) O número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (espaço) é independente do número de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto – ocorrências independentes umas das outras;
2) A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero;
Condições para aplicar a Distribuição de Poisson
Condições para aplicar a Distribuição de Poisson
3) O número médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é constante ao longo do tempo (espaço) – ocorrências distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado;
4) O número de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo; quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrências;
Função da Distribuição de Poisson
x é a variável aleatória;
μ é a média;
e  2,71828 é a constante natural;
Observação:
Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n é muito grande e p é muito pequeno. 
Pode-se, então, fazer uma aproximação de binomial pela distribuição de Poisson, da seguinte forma: 
λ = n.p.
Exemplo:
Em média, são feitas 2 chamadas por hora para certo telefone. 
Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em 2 horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos.
Solução:
λ = 2 por hora, para 2 horas λ= 4
P(X≤3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
Diferenças entre as Distribuições
Aspectos
Binomial
Poisson
1
É afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p
É afetada
apenas pela médiaμ
2
Os valores possíveis para as variáveis aleatóriax são 0, 1, 2,..., n.
Os valores possíveis para as variáveis aleatóriax são 0, 1, 2,..., sem limite superior.
Exemplo:
Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. 
Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?
Solução:
X = 0; μ = 5;
P(X=0) = ?
X = v. a. do número de chamadas em um intervalo de tempo;
μ = taxa de ocorrência de chamadas (número esperado de chamadas);
Parâmetros: