Resultantes de Forças Tridimensionais

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15/04/2018 Disciplina Portal
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Mecânica Geral
Aula 5 - Resultante de Forças Tridimensionais
INTRODUÇÃO
Dando continuidade aos estudos sobre ação forças em corpos, vamos fazer análises em situações tridimensionais.
Essa abordagem será amplamente utilizada nos estudos de equilíbrio de forças em um ponto e equilíbrio de um corpo
rígido. Para tanto, vamos trabalhar com um exemplo simples para que você entenda bem essa teoria.
OBJETIVOS
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Desenvolver cálculos de forças tridimensionais por formulação vetorial.
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CÁLCULOS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS
Para cálculos tridimensionais, é melhor trabalhar a formulação vetorial, pois utiliza-se menor quantidade de análises.
Vejamos a �gura a seguir: 
Agora, vamos substituir as forças e os momentos atuantes no corpo, mostrado na �gura, por uma força resultante e
um momento atuante no ponto O? 
O corpo, de acordo com a �gura, o possui: 
Força F1=100N aplicada no ponto A
Força F2=70N aplicada no ponto E
Momento M1=5 N.m em B
Momento M2=15 M.m em C
Vamos ao passo a passo?
1. Primeiro passo
De�nir o ponto de estudo. 
O ponto de estudo é o ponto O ou origem dos eixos.
2. Segundo passo
De�nir, para cada força aplicada no corpo, os vetores r (posição de aplicação da força), F (força) e M (momento = 
) nas suas componentes. 
Para r é o vetor de origem O até o ponto de aplicação da força F (A). 
Para r da origem O até o ponto de aplicação de F (E). 
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Vamos analisar a �gura a seguir: 
Para se determinar os vetores e , é necessário se determinar as coordenadas dos pontos de aplicação das
forças e A e E. 
Ponto A: alinhado com o eixo x, deslocado de 70 a partir da origem. Portanto é o ponto A(0.07,0,0) 
Ponto E: em relação ao eixo x, está deslocado de 30 a partir da origem no sentido negativo; em relação ao eixo y, está
deslocado de 100 no sentido positivo; em relação a z, está deslocado de 30 (80-50) para cima. Portanto é o ponto E
(-0.03, 1, 0.03)
Agora pode-se determinar os vetores e , ambos com origem em O (0,0,0) e destino em A (0.07,0,0) e E (-0.03,
1, 0.03), respectivamente. 
 
Para dar sequência à resolução, deve-se determinar os vetores que representam as forças. 
Força : sabe-se o módulo (100) e, pelo desenho, deve-se observar que possui inclinação de -2(x), 3(y) e -5(z).
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Vamos determinar o vetor força de duas formas diferentes: 
 
Através do produto do vetor unitário na direção da
força por 100 
Vetor com a direção da força: (2, 3, 5) 
Vetor unitário na direção da força (dividir pelo seu
módulo): 
 
Multiplicar o vetor unitário por 100 
Através da decomposição, utilizando os ângulos com
os eixos x, y e z: 
 
Estudando o plano paralelo a X-Y no ponto A com as
distâncias 2 e 3 usando Pitágoras, acha-se a
hipotenusa de 3,6 e o ângulo de 56,3°, mas, nesse
caso, vamos aproximar para 56°. Na Figura V.3,
conhecendo a altura de 5 e os 3,6 da diagonal,
encontramos o ângulo de 54,25°, nesse caso, vamos
aproximar a 54°.
 
Vejamos 
CÁLCULOS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS
Então, agora é possível calcular as componentes de F no eixo z e no plano paralelo ao plano x-y. 
 
 
 
O sinal é negativo, pois a componente y da força F é no sentido –z. 
 
Agora a outra componente será a diagonal F da força F no plano paralelo ao chão. 
 
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Assim: 
 
 
 
Comparando as duas respostas, vê-se que são ligeiramente diferentes pelos arredondamentos utilizados nos ângulos,
uma vez que na primeira forma só houve arredondamento na resposta �nal. Fique à vontade para adotar a solução que
fornecer maior segurança ou menor trabalho, pois as duas estão corretas. 
 
Como F é paralela ao eixo y, não há necessidade de se repetir o processamento anterior. 
 
 
 
Para a determinação dos momentos, o procedimento é semelhante ao das forças. 
 
Vejamos, novamente a �gura a seguir: 
 
 
 
Momento M : analisando a �gura, percebe-se que o vetor é paralelo ao eixo x em sentido contrário, provocando o sinal
negativo. Como possui magnitude de 5 N.m, 
 
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Para o Momento M (15 N.m), é preciso que se determine as componentes, repetindo-se o procedimento utilizado em
F1. Como nesse caso os ângulos foram fornecidos, o processo de decomposição �ca facilitado.
3. Terceiro passo
Calcula-se a força equivalente (resultante): 
4. Quarto passo
Calcular os momentos gerados pelas forças em torno ao ponto O. 
5. Quinto passo
Calcular o momento equivalente. 
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Magnitude Meq = 22,7Nm 
As forças e os momentos atuantes no corpo podem ser substituídos por uma força e um momento no ponto O, F e
M mostrados acima.
ATIVIDADE PROPOSTA
Determine a intensidade e o sentido de F necessários para manter o sistema concorrente da �gura abaixo em
equilíbrio. [8]. 
Resposta Correta
eq
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Glossário