razoes-aplic.pdf

Prévia do material em texto

Matemática Essencial
Proporções: Aplicações
Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 25 de Março de 2010.
Prof. Ulysses Sodré - E-mail: ulysses@uel.br
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Conteúdo
1 Proporções com números 1
2 Propriedades das proporções 1
3 Grandezas Diretamente Proporcionais 2
4 Grandezas Inversamente Proporcionais 3
5 Elementos históricos sobre a Regra de três 5
6 Regra de três simples direta 6
7 Regra de três simples inversa 6
8 Regra de três composta 7
9 Porcentagem 10
10 Juros Simples 12
‘...assim também Cristo, oferecendo-se uma só vez para levar os pecados de muitos,
aparecerá segunda vez, sem pecado, aos que o esperam para salvação.’
A Bíblia Sagrada, Hebreus 9:28
Seção 1 Proporções com números 1
1 Proporções com números
Quatro números racionais A, B , C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma
proporção quando:
A
B
= C
D
1. Os números A, B ,C e D são denominados termos
2. Os números A e B são os dois primeiros termos
3. Os númerosC e D são os dois últimos termos
4. Os números A eC são os antecedentes
5. Os números B e D são os consequentes
6. A e D são os extremos
7. B eC são os meios
8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D , é uma constante K , denominada
constante de proporcionalidade K desta razão.
2 Propriedades das proporções
Para a proporção
A
B
= C
D
valem as seguintes propriedades:
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A ·D =B ·C
2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim
como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:
A+B
A
= C +D
C
A−B
A
= C −D
C
3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim
como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:
A+B
B
= C +D
D
A−B
B
= C −D
D
4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos conse-
quentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:
A+C
B +D =
A
B
= A−C
B −D
A+C
B +D =
A−C
B −D =
C
D
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 3 Grandezas Diretamente Proporcionais 2
3 Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a
outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra
também diminui na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são diretamente
proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão,
isto é, existe uma constante K tal que:
X
Y
=K
ou na forma
X =K ·Y
Exemplos:
1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água. A cada 15 minutos é
medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)
15 minutos 30 minutos 45 minutos
XXXXX 50cm
XXXXX 50cm XXXXX 50cm
XXXXX 50cm XXXXX 50cm XXXXX 50cm
Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:
Tempo Altura
15 min 50 cm
30 min 100 cm
45 min 150 cm
Quando duplica o tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o
tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.
Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.
(a) Se o tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na
razão 15/30, e a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura
varia na razão 50/100. Estas duas razões são iguais:
15
30
= 50
100
= 1
2
(b) Se o tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150
cm. Nesse caso, o tempo varia na razão
15
45
e a altura na razão
50
150
. Estas
razões são iguais:
15
45
= 50
150
= 1
3
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 4 Grandezas Inversamente Proporcionais 3
(c) Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira
fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre
igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente
proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.
2. Em média, um automóvel percorre 80 km em 1 hora, 160 km em 2 horas e 240
km em 3 horas. (km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:
Distância Tempo
80 km 1 h
160 km 2 h
240 km 3 h
Quando duplica o tempo, duplica também a distância percorrida e quando o
tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o tempo
aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.
Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de
outro modo.
(a) Se o tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 km
para 160 km, ou seja, o tempo varia na razão de
1
2
enquanto a distância
percorrida varia na razão
80
160
. Assim temos que tais razões são iguais:
1
2
= 80
160
= 1
3
(b) Se o tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 km para
240 km. Nesse caso, o tempo varia na razão
2
3
e a distância percorrida na
razão
160
240
e observamos que essas razões são iguais, isto é:
2
3
= 160
240
= 1
3
(c) Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre
na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente
proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do
automóvel se mantiver constante.
4 Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais se, aumentando uma delas, a outra
diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma
proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que
expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal
que:
X ·Y =K
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 4 Grandezas Inversamente Proporcionais 4
ou ainda na forma
X = K
Y
Exemplos:
1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores
alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.
(a) apenas o melhor aluno receberá 24 livros
(b) cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros
(c) cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros
(d) cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros
(e) cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros
Escolhidos Livros para cada aluno
1 aluno 24
2 alunos 12
3 alunos 8
4 alunos 6
6 alunos 4
De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade
de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma
depende da outra e se relacionam da seguinte forma:
(a) Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber
cai para a metade.
(b) Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai
receber cai para a terça parte.
(c) Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai
receber cai para a quarta parte.
(d) Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai
receber cai para a sexta parte.
Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhi-
dos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.
Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros
distribuídos varia de 12 para 6.
Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:
2
4
= 1
12/6
= 1
2
e
12
6
= 1
2/4
= 2
Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros
distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais,
mas são inversas:
2
6
= 1
12/4
e
12
4
= 1
2/6
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações- Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 5 Elementos históricos sobre a Regra de três 5
Neste caso, representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a
função real f : (0,∞)→ (0,∞) definida por f (x)= 24
x
, cujo gráfico é:
2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 km da
primeira. Se o percurso é realizado em:
(a) 1 hora, velocidade média de 120 km/h.
(b) 2 horas, velocidade média de 60 km/h.
(c) 3 horas, velocidade média de 40 km/h.
A unidade é km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:
Velocidade Tempo
120 km/h 1 h
60 km/h 2 h
40 km/h 3 h
De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade
média de 120 km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 km/h,
o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a
velocidade para a terça parte, 40 km/h o tempo gasto para realizar o mesmo
percurso triplica.
Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo
gasto, são inversamente proporcionais.
5 Elementos históricos sobre a Regra de três
Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicar
as mesmas na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao
mundo a Regra de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os
princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra
dos três números conhecidos.
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 6 Regra de três simples direta 6
6 Regra de três simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente
proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e
Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que
tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X
Y
=K e W
Z
=K
assim
X
Y
=W
Z
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi pen-
durado um corpo com 10kg de massa e ocorreu um deslocamento no comprimento
da mola de 54cm. Colocando um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa
mola, qual deve ser o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e
cm=centímetro).
X será a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do corpo Deslocamento da mola
10 kg 54 cm
15 kg X cm
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais.
Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X , e, pelos
dados da tabela, podemos montar a proporção:
10
15
= 54
X
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram
na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que
apareceram na tabela anterior e desse modo 10X = 15× 54 = 810, logo X = 81 e o
deslocamento da mola será de 81cm.
7 Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente
proporcionais para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente propor-
cionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D
de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
A ·B =K e C ·D =K
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 8 Regra de três composta 7
segue que
A ·B =C ·D
logo
A
C
= D
B
Exemplo: Em um treino de Fórmula MAT, um corredor imprimiu a velocidade média
de 180 km/h perfazendo um percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200
km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (km/h=quilômetro por hora,
s=segundo). Usaremos a letra T para o tempo. De acordo com os dados do problema,
temos:
Velocidade Tempo
180 km/h 20 s
200 km/h T s
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um
mesmo espaço percorrido. Dados três valores, podemos obter um quarto valor T .
180
200
= T
20
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, en-
quanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram
na tabela acima.
Assim 180× 20 = 200X , donde segue que 200X = 3600, assim X = 3600
200
= 18. Se
a velocidade do corredor for de 200 km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo
percurso.
8 Regra de três composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela
com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira
situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda
situação.
Se A1, B1,C1, D1, E1, ... são valores para grandezas para uma primeira situação e A2,
B2, C2, D2, E2, ... são valores para grandezas para uma segunda situação, montamos
a tabela abaixo para obter o valor numérico de uma grandeza Z2, se conhecemos o
correspondente valor numérico Z1 e as medidas de todas as outras grandezas.
Situação Grand 1 Grand 2 Grand 3 Grand 4 Grand 5 Grand... Grand ?
Sit 1 A1 B1 C1 D1 E1 ... Z1
Sit 2 A2 B2 C2 D2 E2 ... Z2
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 8 Regra de três composta 8
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z , basta
resolver a proporção:
Z1
Z2
= A1 ·B1 ·C1 ·D1 ·E1 ·F1...
A2 ·B2 ·C2 ·D2 ·E2 ·F2...
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z , exceto
a segunda grandeza (indicada com a letra B) que é inversamente proporcional à
grandeza Z , resolvemos a proporção trocando as posições de B1 com B2:
Z1
Z2
= A1 · B2 ·C1 ·D1 ·E1 ·F1...
A2 · B1 ·C2 ·D2 ·E2 ·F2...
As grandezas diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma
ordem (direta) que aparecem na tabela e as grandezas inversamente proporcionais
à grandeza Z aparecem na ordem invertida daquela que aparecem na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B , C , D e Z , sendo a primeira
A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D
inversamente proporcionais à grandeza Z , deveremos resolver a proporção:
Z1
Z2
= A1 · B2 ·C1 · D2
A2 · B1 ·C2 · D1
Observação: O PROBLEMA DIFÍCIL É A ANÁLISE LÓGICA SOBRE QUAIS GRANDEZAS SÃO
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. COMO EM GERAL
É DIFÍCIL REALIZAR ESTA ANÁLISE, NÓS APRESENTAREMOS ALGUNS EXEMPLOS PARA
ENTENDER O FUNCIONAMENTO DA SITUAÇÃO.
Exemplos:
1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produzem 400 peças de uma mercado-
ria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas
iguais às primeiras, se tais máquinas funcionarem durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela letra X . De acordo com os dados do
problema, vamos organizar a tabela:
No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)
5 6 400
7 9 X
A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B)
são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C
que representa o Número de peças. Cada análise deve ser feita de modo
independente para cada par de grandezas.
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 8 Regra de três composta 9
(a) Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas.
Usaremos a lógica para constatar que tendo mais máquinas operando pro-
duziremos mais peças e tendo menos máquinas operando produziremos
menos peças. Assim, estas duas grandezas são diretamente proporcionais.
(b) Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias.
Usandoa lógica constatamos que tendo maior número de dias produzire-
mos maior número de peças e tendo menor número de dias produziremos
menor número de peças. Assim, estas duas grandezas também são direta-
mente proporcionais.
(c) Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente propor-
cionais, logo, basta resolver a proporção:
400
x
= 5×6
7×9
que pode ser posta na forma
400
x
= 30
63
Resolvendo a proporção, obtemos X = 840, assim, se as 7 máquinas
funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 km em 2 dias.
Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 km, se rodar 5 h por dia?
(h=hora, km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X . De acordo com os
dados do problema, vamos organizar a tabela:
Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)
200 4 2
500 5 X
A grandezaNúmero de dias (C) servirá como referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são direta-
mente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que repre-
senta o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente
para cada par de grandezas.
(a) Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a
lógica para constatar que rodando maior número de dias, percorreremos
maior quilometragem e rodando menor número de dias percorreremos
menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são dire-
tamente proporcionais.
(b) Vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Ob-
servamos que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número
de dias necessitaremos menor número de horas por dia e se tivermos
menor número de dias necessitaremos maior número de horas para o
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 9 Porcentagem 10
mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente propor-
cionais. Assim:
2
X
= 200×5
500×4
que pode ser posta como
2
X
= 1000
2000
Resolvendo esta proporção, obtemos X = 4, significando que para percor-
rer 500 km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.
9 Porcentagem
Todos os dias, ouvimos nos meios de comunicação, expressões matemáticas rela-
cionadas com porcentagem. O termo por cento provém do Latim per centum e quer
dizer por cem. Toda razão da forma
a
b
em que o denominador é b = 100, é uma taxa
de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de
autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra
cento utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada
100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o
produto de 10% por 80, isto é:
Produto= 10% de 80= 10
100
80= 800
100
= 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M%
de um número N, realizamos o produto:
Produto=M% de N = M ·N
100
Exemplos:
1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão
etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número
par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Par= 52% de 25= 52%×25= 52×25
100
= 13
No fichário há 13 fichas indicadas com pares e 12 fichas com ímpares.
2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na
primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção
nessa fase?
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 9 Porcentagem 11
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse
problema pode ser expresso da seguinte forma:
X% de 4= 3
Assim:
X
100
4= 3
4X
100
= 3
4X = 300
X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.
3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total
de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos
homens trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse
problema pode ser representado por:
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%X = 255
42,5
100
X = 255
42,5X
100
= 255
42,5X = 25500
425X = 255000
X = 255000
425
= 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.
4. Ao comprar um livro, obtive um desconto de 8% sobre o preço na etiqueta. Se
paguei R$ 690,00 pelo livro, qual era o preço original do livro?
Seja X o preço original do livro. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da
etiqueta, o preço que paguei representa 100%− 8% = 92% do preço original e
isto significa que 92% de X = 690, logo
92%X = 690
92
100
X = 690
92X
100
= 690
92X = 69000
X = 69000
92
= 750
O preço original do livro era de R$ 750,00.
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 10 Juros Simples 12
10 Juros Simples
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em
dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo.
Quando falamos em juros, devemos considerar:
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é
denominada taxa de juros.
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida
a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a
taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma
unidade.
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros,
é denominado montante.
Para calcular os juros simples j de um capital C , durante t períodos com a taxa de i%
ao período, basta usar a fórmula:
j = C · i · t
100
Exemplos:
1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para
pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$
652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é
devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros
cobrada por essa loja?
A diferença entre os preços dados pela loja é:
652,00−450,00= 202,50
A quantia mensal que deve ser paga de juros é:
202,50
5
= 40,50
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da
seguinte forma:
X% de 450,00= 40,50
X
100
450,00= 40,50
450X
100
= 40,50
450X = 4050
X = 4050
450
= 9
A taxa de juros é de 9% ao mês.
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
Seção 10 Juros Simples 13
2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$
1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?
O capital que a aplicação rendeu mensalmente de juros foi de
1920,00
2
= 960,00.
Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:
3% deC = 960,00
3
100
C = 960,00
3C
100
= 960,00
3C = 96000
C = 96000
3
= 32000,00
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.
Matemática Essencial - Proporções: Aplicações - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010
	Proporções com números
	Propriedades das proporções
	Grandezas Diretamente Proporcionais
	Grandezas Inversamente Proporcionais
	Elementos históricos sobre a Regra de três
	Regra de três simples direta
	Regra de três simples inversa
	Regra de três composta
	Porcentagem
	Juros Simples