Capítulo VII - Forças em Vigas e Cabos

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Mecânica Geral 
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Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM 
Mecânica Geral 
I. L. Ferreira, N. Medeiros 
Capítulo 7 
Forças em Vigas e Cabos 
... 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Introdução 
Ø  Definição de Vigas: 
ü  São barras longas, retas e prismáticas, capazes de 
suportar cargas longas aplicadas em vários pontos ao 
longo de seu comprimento. 
Ø  Definição de Cabos: 
ü  Componentes flexíveis que suportam apenas cargas 
trativas, distribuídas ou centradas. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
7.1.1 – Tipos de carregamentos e vínculos externos 
ü  As cargas aplicadas ao longo da viga, em geral, são 
perpendiculares ao seu eixo. Assim, causam cisalhamento e 
flexão. Por outro lado, quando não formam 90º com a viga, 
produzem também carregamentos axiais de tração ou 
compressão. 
ü  Projetos de Vigas: Dois passos distintos; 
i.  Determinação das forças cortantes e dos momentos 
fletores produzidos pelas cargas (Mecânica Geral); 
ii. Escolha da seção reta mais adequada para resistir aos 
esforços cortantes e momentos fletores obtidos no item 
anterior (Resistência dos Materiais) 
7.1 Vigas 
Ø  Tipos de carregamentos 
ü  Cargas Concentradas: A viga esquematizada abaixo 
suporta as cargas Q1 e Q2, atuantes nos respectivos pontos 
B e C da mesma. Portanto, tratam-se de cargas 
concentradas. 
D A 
Q1 Q2 
B C 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
ü  Cargas Distribuídas: A viga mostrada abaixo está 
submetida a uma carga w ao longo de seu comprimento. 
Assim, tal solicitação é denominada carga distribuída. Caso, 
w seja constante, é dita uniformemente distribuída sobre uma 
dada região da viga. 
C A 
w 
B 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Ø  Classificação de Vigas: As vigas, de acordo com o modo 
de vinculação, se classificam em: 
A B A B 
L L 
L 
(a) (b) 
(c) 
i.  Vigas estaticamente determinadas: São aquelas em que 
vínculos externos impõem até três incógnitas. Exemplos 
destes casos são abaixo ilustrados, 
L - Distância entre os apoios, 
denominado vão. 
(a) Viga simplesmente apoiada, (b) simplesmente apoiada em 
balanço e (c) em balanço. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
A B B 
L/2 L 
L 
(a) (b) 
(c) 
ii.  Vigas estaticamente indeterminadas: São aquelas em que 
a vinculação fornece mais de três incógnitas. Nestes 
casos, será preciso considerar as propriedades da viga 
em termos de sua resistência à flexão. As ilustrações a 
seguir mostram estas condições: 
L - Distância entre os apoios, 
denominado vão. 
(a) Viga contínua, (b) simplesmente engastada e 
simplesmente apoiada no outro e (c) em biengastada. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
L/2 
7.1 Vigas 
A B 
B 
iii.  Vigas Acopladas por Articulação: formam uma única 
estrutura contínua e as reações por envolverem quatro 
incógnitas serão determinadas considerando-se os 
diagramas de corpo-livre de cada viga em separado. 
Assim, incluindo-se as componentes de força na 
articulação, um total de seis incógnitas será observado 
acompanhado por seis equações de equilíbrio. Exemplos 
de vigas combinadas são mostradas abaixo: 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
A 
H 
H C 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
7.1.2 – Forças Cortantes e Momento Fletor 
ü  Considere a viga AB submetida a cargas concentradas (Q1, 
Q2 e Q3) e distribuídas (w1 e w2). 
A 
Q1 
C 
B 
w1 
Q2 Q3 
w2 
i.  Determinação das reações em A e B: Utiliza-se a viga 
inteira como corpo-livre, desta forma, 
A 
Q1 
C 
B 
w1 
Q2 Q3 
w2 
RA RB 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Ou seja, 
A 
Q1 
C 
B 
w1 
Q2 Q3 
w2 
RA RB 
0=∑ AM RA 
0=∑ BM RB 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
ii.  Determinação das Forças Internas: A viga é seccionada 
em C para a construção dos diagramas de corpo-livre das 
partes AC e CB, conforme mostrado abaixo 
A 
Q1 
C 
B 
w1 
Q2 Q3 
w2 
RA RB C 
M M’ 
V V’ 
Em AC: 
0=∑ YF Fornece a força cortante V em C; 
0=∑ CM Fornece o momento fletor M em C; 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
A 
Q1 
C 
B 
w1 
Q2 Q3 
w2 
RA RB C 
M M’ 
V V’ 
De forma análoga, em CB: 
0=∑ YF Fornece a força cortante V’ em C; 
0=∑ CM Fornece o momento fletor M’ em C; 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Ø  Convenção de Sinais: A força cortante V e o momento 
fletor M, atuantes sobre um dado ponto da viga serão 
positivos quando as forças internas e os momentos que 
agem em cada parte da viga forem orientados como se 
segue: 
Forças internas na seção 
(força cortante e momentos 
fletor positivos) 
M M’ 
V V’ 
Efeito das forças externas 
(força cortante positiva) 
C 
C 
Efeito das forças externas 
(momento fletor positivo) 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
7.1.3 – Diagramas de Forças Cortantes e Momento Fletor 
ü  Diagramas de força cortante: Representação da força 
cortante em qualquer ponto de uma viga. 
Considere a viga AB, simplesmente vinculada, de vão L e 
submetida a uma única carga Q aplicada em seu ponto médio 
D. 
A 
D 
B 
Q 
ü  Diagramas de momento fletor: Representação dos valores 
de força cortante em função de uma distância x, tomada a 
partir de uma das extremidades da viga. 
L/2 L/2 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
A 
D 
B 
Q 
i.  Determinação das reações promovidas por cada vínculo: 
Construção do diagrama de corpo-livre para a viga inteira, ou 
seja, 
RA = Q/2 RB = Q/2 
C E 
ii.  Determinação da força cortante V e do momento fletor M: 
A viga é seccionada em C, entre A e D, e os diagramas de 
corpo-livre de AC e CB são construídos, ou seja, 
A 
RA = Q/2 
C 
M 
V 
D 
B 
Q 
RB = Q/2 
E 
C 
M’ 
V’ 
x 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Considerando o corpo-livre AC: 
2:0 QVFY ==∑
RA tende a cisalhar e fletir a viga 
no ponto C. 
2:0 xQMMC ==∑
ü  Representação gráfica de V e M entre A e D: 
L/2 
x 
y 
Q/2 
V = constante = Q/2 
L/2 
x 
M 
QL/4 
M aumenta linearmente 
x = 0; M = 0 
x = L/2; M = QL/4 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Seccionando-se a viga em E, entre D e B, os diagramas de 
corpo livre AE e EB são esquematizados como se segue, 
M 
B 
RB = Q/2 
E 
M’ 
V’ x 
A 
D 
Q 
RA = Q/2 
C E 
L-x 
V 
ü  Considerando o diagrama de corpo-livre EB: 
2:0 QVFY −==∑ RB tende a flexionar a viga em E, 
mas promove o cisalhamento 
oposto ao corpo-livre AC. ( ) 2:0 xLQMMC −==∑
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
ü  Representação gráfica de V e M entre A e D: 
L/2 
x 
y 
Q/2 
V = constante = ±Q/2 
L/2 
x 
M 
QL/4 
M aumenta linearmente 
x = 0 ou x = L; M = 0 
x = L/2; M = QL/4 
L 
-Q/2 L 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
7.1.4 – Relações entre Carga e Força Cortante 
Considere a viga AB, simplesmente vinculada, que suporta a 
carga w por unidade de comprimento. Ainda, observe os 
pontos C e C’ separados pela distância Δx. 
A 
D 
B 
w 
Δx 
C C’ 
x 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
cortante ForçaV =
Em C: 
Fletor MomentoM =
Supostamente positivos 
cortante ForçaVV =Δ+
Em C’: 
Fletor MomentoMM =Δ+
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
ü  Diagrama de corpo-livre, 
C C’ 
M+ΔM M 
V V+ΔV 
Δx 
Δx/2 0=∑ YF
( ) 0xwVVV =Δ−Δ+−
então, 
xwV Δ−=Δ
D i v i d in d o - s e p o r Δ x e 
aplicando o limite quando Δx 
tende a zero, 
w
dx
dV −=
Esta relação indica uma inclinação negativa para o diagrama 
de força cortante de uma barra carregada de forma proposta. 
wDx 
w 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
A carga total aplicada numa parte da viga, por exemplo, entre 
os pontos C e D, pode ser calculada por: 
Assim, 
∫∫∫ −=−→−=
D
C
D
C
D
C
X
X
CD
X
X
V
V
dxwVVdxwdV
( )[ ]CDCD xxwVV −−=−
O termo entre colchetes ou a integral de wdx fornecem a 
carga total aplicada entre C e D, ou seja, denota a área sob a 
curva de carga entre tais pontos. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
não é válida para pontos de carga concentrada, já que o 
respectivo diagrama de força cortante é descontínuo. 
ü  A equação, 
∫−=−
D
C
X
X
CD dxwVV
não é válida cargas concentradas entre C e D, pois não 
considera a variação súbita de força cortante em razão desta 
carga. 
ü  A equação, 
∫−=−
D
C
X
X
CD dxwVV
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
7.1.5 – Relações entre Força Cortante e Momento Fletor 
Considerando novamente o diagrama de corpo livre para a 
região CC’, 
C C’ 
M+ΔM M 
V V+ΔV 
Δx 
Δx/2 0' =∑ CM
0
2
xxwxVMMM =ΔΔ+Δ−−Δ+
então, 
( )2
2
1 xwxVM Δ−Δ=Δ
wDx 
w 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Dividindo-se por Δx e aplicando o limite quando Δx tende a 
zero, 
V
dx
dM =
ü  A força cortante V é nula quando o momento fletor M é 
máximo; 
ü  A inclinação dM/dx da curva do momento fletor é igual à 
força cortante em pontos onde não há carga concentrada! 
Considerando-se os pontos C e D: 
∫∫ =
D
C
D
C
X
X
M
M
dxVdM
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
Assim, se V não é constante, 
∫=−
D
C
X
X
CD dxVMM
ü  A integral 
∫
D
C
X
X
dxV
fornece o momento fletor total entre os pontos C e D, ou seja, 
define a área sob a curva de força cortante entre tais pontos. 
Esta curva será positiva onde a força cortante for positiva e 
negativa para forças negativas. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.1 Vigas 
ü  A integral 
∫
D
C
X
X
dxV
é válida para cargas concentradas entre C e D se a curva de 
força cortante for traçada de forma correta. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
7.2.1 – Cabos com Cargas Concentradas 
Considere o cabo flexível abaixo, preso nos pontos A e B, e 
sujeito às cargas verticais Q1, Q2 e Q3. 
d y3 y2 
y1 
L
x1 
x2 
x3 
ü  Qualquer parte do cabo 
entre cargas sucessiva é 
considerada um elemento 
submetido à duas cargas! 
ü  As forças internas, em qualquer ponto do cabo, são 
reduzidas à tração tangente a tal ponto. 
C1 
C2 C3 
B
A
Q1 
Q2 Q3 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
O objetivo é determinar a forma do cabo, ou seja, a projeção 
vertical da distância de A até os pontos C1, C2 e C3 e também 
a tração T atuante em cada porção do mesmo. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
Portanto, é preciso construir o diagrama de corpo-livre para 
todo o cabo, ou seja, 
d y3 y2 
y1 
L
x1 
x2 
x3 
C1 
C2 C3 
B
Bx 
By 
A
Ay 
Ax 
Q1 
Q2 Q3 
Isto envolve 4 incógnitas e, já que se podem escrever apenas 
três equações de equilíbrio, o sistema se torna 
indeterminado. A solução é considerar o equilíbrio de uma 
determinar porção do cabo. 
Como não se sabe as 
declividades das partes do 
cabo presas em A e B, as 
reações em A e B são 
r e p r e s e n t a d a s p e l a s 
respectivas componentes 
Ax, Ay, Bx e Bz. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
Conhecendo as coordenadas x e y do ponto D, o diagrama de 
corpo-livre para a porção AD do cabo será, 
y 
x1 
x 
C1 
A
Ay 
Ax 
Q1 
A projeção vertical de A até qualquer ponto do cabo pode ser 
determinada como se segue. Por exemplo, considerando-se 
o ponto C2 e constituindo-se o diagrama de corpo-livre da 
parte AC2, tem-se que, 
Assim, a relação adicional para 
determinação das reações em A e B, 
entre Ax e Ay é fornecida por: 
T 
D 
0=∑ DM
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
y2 
x1 
x2 
C1 
A
Ay 
Ax 
Q1 
Fornece y2 
T 
D 
0
2
=∑ CM
C2 Q2 
θ 
Tração T 
0=∑ xF
0=∑ yF
Mas, 
xAT =− θcos ou xAT −=θcos
ou seja, a componente horizontal de T é a mesma em 
qualquer ponto do cabo. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
7.2.2 – Cabos com Cargas Distribuídas 
Considere o cabo abaixo fixado nos pontos A e B e que 
suporta um carga distribuída. 
ü  O cabo forma uma cruva 
e a força interna em um 
ponto D é uma tração T 
d i r ig ida ao longo da 
tangente à curva. 
ü  O objetivo é determinar a tração em qualquer ponto no 
cabo e, para tanto, constrói-se o diagrama de corpo-livre para 
o ponto mais baixo C e um dado ponto D. 
A 
C 
D 
B
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
7.2.2 – Cabos com Cargas Distribuídas 
então, 
ü  Forças atuantes no corpo livre: 
C 
D 
B
θ 
T
TO 
θ 
TO 
W 
W 
T
i.  Tração TO em C, a qual é horizontal; 
ii.  Tração T em D, tangente ao cabo; 
iii.  Resultante W da carga distribuída suportada pela 
posição CD do cabo. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos 
7.2 Cabos 
A partir do triângulo de forças pode-se escrever, 
θ 
TO 
W 
T
θcosTTO = ; θ= senTW ; 
22
O
WTT += e 
OT
Wtg =θ
ü  A componente horizontal de T, ou seja, TO, é a mesma ao 
longo do cabo; 
ü  A componente vertical de T é igual ao módulo W da carga.