Método DMLT

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Método da Diferença Média Logarítmica de Método da Diferença Média Logarítmica de 
TemperaturasTemperaturas
Soluções do Balanço de EnergiaSoluções do Balanço de Energia
O balanço de energia geral e a condutância do trocador de calor não são 
suficientes para resolver um problema de trocadores de calor
Dadas as condições de operação (temperaturas e vazões de entrada) e a 
geometria (e portanto UA) não é possível calcular as temperaturas de 
( )
( )
, ,
, ,
H H H in H out
C C C out C in
q m c T T
q m c T T
= −
= −
& &
& &
saída do trocador e seu desempenho
Considerando os balanços de energia de cada corrente junto com a 
equação da taxa de transferência de calor com base na condutância total 
para derivar um conjunto de EDO acopladas (ou EDPs, dependendo na 
sua configuração) os parâmetros de saída podem ser determinados. 
As soluções dessas equações diferenciais acopladas tem sido obtidas 
para uma variedade de configurações. A solução é manipulada 
algebricamente e colocada no formato da DMLT ou da efetividade- NUT.
Solução para um Trocador em ContracorrenteSolução para um Trocador em Contracorrente
Aqui se deriva a solução para um trocador de calor em contracorrente e 
se mostra como a mesma se pode rearranjar algebricamente e colocar no 
formato da DMLT ou no formato da efetividade-NUT.
Definindo um volume de controle diferencial para ambas as correntes
,
,C C inm T&,,C C outm T&
,
,H H inm T& ,,H H outm T&
dx
x
Balanço de Energia DiferencialBalanço de Energia Diferencial
O balanço de energia diferencial na 
corrente quente fornece: 
que pode ser simplificado como:
,
,C C inm T&,,C C outm T&
,
,H H inm T& ,,H H outm T&
dx
x
( ) ( ) ( )H HH H H Hx x d m im i m i dx dqdx= + +
&
& & &
di
A taxa de variação da entalpia com a 
posição se relaciona com os 
gradientes de pressão e temperatura: dq&
( )C C xm i& ( ) ( )C CC C x d m im i dxdx+
&
&
( ) ( )H HH H x d m im i dxdx+
&
&( )H H xm i&
0 HH
di
m dx dq
dx
= +& &
neglected
0
H
H H H H
H
P T
c
i dT i dp
m dx dq
T dx P dx
 
 ∂ ∂   
= + +    ∂ ∂    
  
& &
14243 14243
Balanço de Energia DiferencialBalanço de Energia Diferencial
Tipicamente, apenas o componente 
devido à temperatura é importante:
Um processo similar para o fluido frio 
fornece:
dq&
( )C C xm i& ( ) ( )C CC C x d m im i dxdx+
&
&
H
H H
dTdq m c dx
dx
= −& &
fornece:
A taxa de transferência de calor é 
induzida pela diferença local de 
temperaturas:
( ) ( )H HH H x d m im i dxdx+
&
&( )H H xm i&
C
C C
dTdq m c dx
dx
= −& &
( )
{local temp.
amount of difference
conductance
in segment 
H C
dx
dxdq T T UA
L
= −&
14243
Equações Diferenciais AcopladasEquações Diferenciais Acopladas
Substituindo as equações das taxas nos balanços de energia se obtem: 
que podem ser simplificadas como:
( ) HH C H H dTdxUA T T m c dxL dx− = − &
( ) CH C C C dTdxUA T T m c dxL dx− = − &
que podem ser simplificadas como:
( )H H C
H H
dT UA T T
dx Lm c
= − −
&
( )C H C
C C
dT UA T T
dx Lm c
= − −
&
este conjunto de equações 
diferenciais acopladas 
deve ser resolvida para 
obter uma solução para o 
trocador de calor em 
contracorrente
Solução Para um Trocador em ContracorrenteSolução Para um Trocador em Contracorrente
Esta é a solução para o caso em que a calor específico de cada corrente 
é constante:
( )
( )
H
H C
H H
C
H C
C C
dT UA T T
dx Lm c
dT UA T T
dx Lm c
= − −
 
− = − − 
 
&
&
( ) ( ) 1 1H C H C
H H C C
d T T UA T T
dx L m c m c
−  
= − − − 
 & &
Uma EDO para a diferença de temperatura H CT Tθ = −
1 1
H H C C
d UA
dx L m c m c
θ θ  = − − 
 & &
Solução Para um Trocador em ContracorrenteSolução Para um Trocador em Contracorrente
Separando:
e integrando:
1 1
H H C C
d UA dx
L m c m c
θ
θ
 
= − − 
 & &
0 0
1 1x L
x
L
H H C C
d UA dx
L m c m c
θ
θ
θ
θ
=
=
 
= − − 
 
∫ ∫& &
1 1ln x L UAθ =  = − − 
0
1 1ln x L
x H H C C
UA
m c m c
θ
θ
=
=
 
= − − 
 & &
,
,C C inm T&,,C C outm T&
,
,H H inm T& ,,H H outm T&
dx
x
, ,x L H out C inT Tθ = = −
0 , ,x H in C outT Tθ = = −
Solução Para um Trocador em ContracorrenteSolução Para um Trocador em Contracorrente
A solução é:
Esta equação, quando acoplada com o balanço de energia global:
, ,
, ,
1 1ln H out C in
H in C out H H C C
T T
UA
T T m c m c
 −  
= − −    
−    & &
( )
( )
, ,H H H in H outq m c T T
q m c T T
= −
= −
& &
& &
é a solução completa. Dadas as condições de operação (vazões mássicas 
e temperaturas de entrada) e geometria (que permite calcular a 
condutância) agora é possível determinar as temperaturas de saída e o 
desempenho. 
As formas da DMLT (diferença média logarítmica de temperatura) e da 
efetividade – NUT dessa solução são obtidas através de manipulações 
algébricas – elas não fornecem informação nova
( )
, ,C C C out C inq m c T T= −& &
Diferença Média Logarítmica de TemperaturasDiferença Média Logarítmica de Temperaturas
A DMLT expressa a solução na forma de:
onde ∆Tlm é a diferença de temperatura média logarítmica. 
A DMLT representa a diferença média de temperaturas no trocador de 
calor que impulsiona o processo de transferência de calor e depende da 
configuração.
lmq UA T= ∆&
configuração.
A DMLT se obtêm resolvendo o balanço de energia global para as 
capacitâncias:
( )
( )
, ,
, ,
H H in H out
C C out C in
q C T T
q C T T
= −
= −
&&
&&
( )
( )
, ,
, ,
H
H in H out
C
C out C in
qC
T T
qC
T T
=
−
=
−
&&
&&
Diferença Média Logarítmica de TemperaturasDiferença Média Logarítmica de Temperaturas
Substituindo as capacitâncias nas solução:
, ,
, ,
1 1ln H out C in
H in C out H C
T T
UA
T T C C
 −  
= − −    
−   
& &
( )
( )
( ) ( )
, , , , , ,
, ,
ln H out C in H in H out C out C in
H in C out
T T T T T T
UA
qT T
   
− − − −
= −   
−      
&
e resolvendo para a taxa de transferência de calor:
( )
, ,H in C out      
( ) ( )
( )
( )
,
, , , ,
, ,
, ,
ln
lm cf
H out C in H in C out
H out C in
H in C out
T
T T T T
q UA
T T
T T
∆
 
 
− − − 
=  
 
− 
  
−   
&
1444442444443
DMLT para um 
trocador de calor em 
contracorrente
Diferença Média Logarítmica de TemperaturasDiferença Média Logarítmica de Temperaturas
Finalmente a DMLT para um trocador de calor em contracorrente é:
Um processo similar para um trocador de calor em paralelo se escreve como:
( ) ( )
( )
( )
, , , ,
,
, ,
, ,
ln
H out C in H in C out
lm cf
H out C in
H in C out
T T T T
T
T T
T T
− − −
∆ =
 
−
 
−  
Um processo similar para um trocador de calor em paralelo se escreve como:
As soluções para configurações em contracorrente e paralelo são idênticas 
quando se expressam em termos de diferenças de temperatura nas saídas 
dos trocadores de calor
( ) ( )
( )
( )
, , , ,
,
, ,
, ,
ln
H in C in H out C out
lm pf
H in C in
H out C out
T T T T
T
T T
T T
− − −
∆ =
 
−
 
−  
Diferença Média Logarítmica de TemperaturasDiferença Média Logarítmica de Temperaturas
A DMLT se expressa em termos das diferenças de 
temperatura nos extremos do trocador:
0
, ,
0ln
x x L
lm pf lm cf
x
x L
T T
θ θ
θ
θ
= =
=
=
−∆
= ∆ =
 
 
 ,,C C inm T
&
,
,C C outm T& ,,C C inm T&,,C C outm T&
,
,H H inm T& ,,H H outm T&
Temperature
TH,in
TC,in
TH,out
TC,out0xθ =
x Lθ =
x
0 L
,
,H H inm T& ,,H H outm T&
Temperature
TH,in
TC,in
TH,out
TC,out
0xθ =
x Lθ =
x
0 L
Diferença Média Logarítmica de TemperaturasDiferença Média Logarítmica de Temperaturas
Note que não interessa qual extremo do trocador de calor se define como 
x = 0 e x = L
( )00 0
, ,
0
0 0
ln ln ln
x L xx x L x L x
lm pf lm cf
x x L x L
x L x x
T T
θ θθ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
= == = = =
= = =
= = =
− −
− −∆ = ∆ = = =
     
−     
     
Soluções da DMLT para Outras ConfiguraçõesSoluções da DMLT para Outras Configurações
A DMLT para outras configurações requer que a DMLT para o trocador de 
calor em contracorrente seja multiplicado por um fator de correção, F
O fator de correção depende da configuração e também dos parâmetros 
adimensionais:
,lm lm cfT F T∆ = ∆
adimensionais:
O fator de correção para a maioria das configurações de trocadores de 
calor estão disponíveis na forma de gráficos ou tabelas, assim como de 
funções do EES.
( )
( )
, ,
, ,
C out C in
H in C in
T T
P
T T
−
=
−
, ,
, ,
 
H in H outC
C out C inH
T TC
R
T TC
−
= =
−
&
&
Gráficos de Fatores de CorreçãoGráficos de Fatores de Correção
Por exemplo, o fator de correlação para um trocador de calor de fluxo 
cruzado com ambos os fluidos misturados:
0.9
1
r
r
e
c
t
i
o
n
 
f
a
c
t
o
r
,
 
F
R = 0.2
0.4
0.6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.6
0.7
0.8
LMTD effectiveness, P
L
o
g
-
m
e
a
n
 
t
e
m
p
.
 
d
i
f
f
e
r
e
n
c
e
 
c
o
r
0.6
0.8
1
1.5
2
3
4
Funções no EES do Fator de CorreçãoFunções no EES do Fator de Correção
Essas soluções também são programadas no EES:
Utilizando as Soluções da DMLTUtilizando as Soluções da DMLT
As soluções da DMLT são convenientes para problemas do tipo projeto. Ou 
seja para problemas onde o desempenho e portanto as temperaturas de 
entrada e saída são conhecidas, e deve ser calculada a condutância do 
trocador (área de transferência de calor) 
Para problemas de projeto, a solução da DMLT pode ser usada para 
determinar a condutância requerida:
( )
,
, lm cfq F R P T UA= ∆&
Para problemas de simulação, a solução da DMLT não é conveniente porque 
as temperaturas não são conhecidas
As soluções da efetividade-NUT são geralmente superiores à forma da DMLT
( )
( )
, ,
, ,
C out C in
H in C in
T T
P
T T
−
=
−
, ,
, ,
 
H in H out
C out C in
T T
R
T T
−
=
−
( ) ( )
( )
( )
, , , ,
,
, ,
, ,
ln
H out C in H in C out
lm cf
H out C in
H in C out
T T T T
T
T T
T T
− − −
∆ =
 
−
 
−  
ExemploExemplo
Um trocador de calor com ambos os fluidos não misturados.
,
300 K
70 W/K
C in
C
T
C
=
=
&
W60 
K
UA =
,H outT
70 W/KCC =&
,
400 K
120 W/K
H in
H
T
C
=
=
&
,C outT
Solução no Solução no 
Os dados de entrada são colocados no EES
A temperatura de saída do fluido frio se assume:
e se usa para calcular a taxa de transferência de calor no trocador de calor:
( ), ,C C out C inq C T T= −&&
SoluçãoSolução
A temperatura de saída quente se calcula do balanço de energia:
A DMLT para o trocador de calor em contracorrente se calcula:
, ,H out H in
H
qT T
C
= −
&
&
( ) ( )
( )
( )
, , , ,
,
, ,
, ,
ln
H out C in H in C out
lm cf
H out C in
H in C out
T T T T
T
T T
T T
− − −
∆ =
 
−
 
−  
Fator de CorreçãoFator de Correção
O fator de correção é obtido usando as funções internas do EES:
Os valores das temperaturas calculadas são renovados e o valor assumido 
, ,
, ,
 
H in H out
C out C in
T T
R
T T
−
=
−
( )
( )
, ,
, ,
C out C in
H in C in
T T
P
T T
−
=
−
Os valores das temperaturas calculadas são renovados e o valor assumido 
da temperatura fria de saída é comentado:
A taxa de transferência de calor é calculada usando a solução DMLT:
que produz TH,out = 371.5 K, TC,out = 348.9 K, e 3.4 kW de transferência de 
calor.
( )
,
, lm cfq F R P T UA= ∆&