Método de Elementos Finitos Aplicado em Eletromagnetismo

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éMétodo de Elementos Finitos 
Aplicado ao EletromagnetismoAplicado ao Eletromagnetismo
Prof. Mauricio Valencia Ferreira da Luz, Dr.
Departamento de Engenharia Elétrica – EEL
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC
Email: mauricio.luz@ufsc.br
Slide 1 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
GRUCADGRUCAD
Método de elementos finitosMétodo de elementos finitos
O Método de Elementos Finitos (MEF) consiste em um método numérico aproximado
áli d di f ô fí i i ípara análise de diversos fenômenos físicos que ocorrem em meios contínuos, e que
são descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições
de contorno (Problemas de Valor de Contorno), e possivelmente com condições
iniciais (para problemas variáveis no tempo).
O MEF é bastante genérico, e pode ser aplicado na solução de inúmeros problemas dag , p p ç p
engenharia.
Slide 2 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Método de elementos finitosMétodo de elementos finitos
A idéia principal do Método de Elementos Finitos consiste em se dividir o domínio
( i í ) d bl b iõ d i i l (f(meio contínuo) do problema em sub-regiões de geometria simples (formato
triangular, quadrilateral, cúbico, etc.).
Esta idéia é bastante utilizada na engenharia, onde usualmente tenta-se resolver um
problema complexo, subdividindo-o em uma série de problemas mais simples. Logo,
trata-se de um procedimento intuitivo para os engenheiros.p p g
Slide 3 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Problemas de eletromagnetismoProblemas de eletromagnetismo
Eletrostática
Equações de Maxwell
Eletrostática
Eletrocinética
q ç
Magnetostática
Magnetodinâmica
Slide 4 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Problemas de eletromagnetismoProblemas de eletromagnetismo
 Eletrostática Todos os fenômenos são descritos pelas equações de Maxwell♦ Distribuição do campo elétrico devido as cargas estáticas e/ou aos níveis de 
potencial elétrico
 Eletrocinética♦ Distribuição de corrente elétrica estática em condutores
 Eletrodinâmica♦ Distribuição do campo elétrico e da corrente elétrica em materiais (isolantes ç p (
e condutores)
 Magnetostática♦ Distribuição do campo magnético estático devido a ímãs permanentes e ç p g p
correntes contínuas
 Magnetodinâmica♦ Distribuição do campo magnético e das correntes induzidas devido ao ç p g
movimento de ímãs e as correntes variáveis no tempo
 Propagação de Onda♦ Propagação de campos eletromagnéticos
Slide 5 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
p g ç p g
Equações de MaxwellEquações de Maxwell
Equações de Maxwell
rot h = j + t d
rot e = –  b
q ç
Equação de Ampère
Equação de Faradayrot e – t b
div b = 0
Equação de Faraday
Equações de conservação
div d = v
q ç ç
Princípios do Eletromagnetismo
h campo magnético (A/m) e campo elétrico (V/m)
Campos físicos e fontes
p g ( ) p ( )
b densidade de fluxo magnético (T) d densidade de fluxo elétrico (C/m2)
j densidade de corrente (A/m2) v densidade de carga (C/m3)
Slide 6 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Equações constitutivas dos materiaisEquações constitutivas dos materiais
Relações constitutivas
b =  h (+ bs)
d =  e (+ ds)
Relação magnética
Relação dielétrica
j =  e (+ js)
ç
Lei de Ohm
Constantes (relações lineares)
Funções dos campos permeabilidade magnética (H/m) permissividade dielétrica (F/m)
Características dos materiais
(materiais não-lineares)
Tensores (materiais anisotrópicos)
F t í i
 permissividade dielétrica (F/m)
 condutividade elétrica (–1m–1)
bs indução remanente, ...
ds ...
Fontes possíveis
Slide 7 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
js corrente fonte em indutores finos, ...
Aproximação quase-estáticaAproximação quase-estática
rot h = j +  drot h = j + t d
Dimensões << comprimento de onda
Densidade de Corrente Densidade de Corrente> > >
p
e s dade de Co e te
de Condução
Densidade de Corrente
de Deslocamento> > >
rot h = j
Aplicações
Dispositivos eletrotécnicos (motores, transformadores, ...)
Freqüências de Hz até alguns 100 kHz
Aplicações
Slide 8 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
EletrostáticaEletrostática
Tipo de estrutura eletrostáticaEquações de Base Tipo de estrutura eletrostática
rot e = 0
div d = 
d =  e
n  e | 0e = 0
n  d | 0d = 0
& condições de contorno
e campo elétrico (V/m)
d densidade de fluxo elétrico (C/m2)
 densidade de carga elétrica (C/m3)
d  e n d | 0d 0
 densidade de carga elétrica (C/m3)
 permissividade dielétrica (F/m)
Formulação em potencial escalar elétrico
0 Região exterior
c i Condutores
div  grad v = – 
com e = – grad v
Formulação em potencial escalar elétrico
• Formulação para • a região exterior 0
• as regiões dielétricas d,j
i i
c,i Condutoresd,j Dielétrico
com e grad v
Slide 9 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
• Em cada região condutora c,i : v = vi  v = vi sobre c,i
EletrostáticaEletrostática
Linhas de Transmissão
Bucha de Transformador
Slide 10 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Bucha de Transformador
EletrocinéticaEletrocinética
Tipo de estrutura eletrocinéticaEquações de base Tipo de estrutura eletrocinética
rot e = 0
div j = 0
j =  e
q ç
n  e | 0e = 0
n  j |  = 0
& condições de contorno
0e,1
0j
e campo elétrico (V/m)
j densidade de corrente elétrica (C/m2)
d ti id d lét i ( 1 1)
j  e n  j | 0j 0
0e,0
e=?, j=?
c
 condutividade elétrica (–1m–1)
F l ã t i l l lét i V = v1 v0
c Região condutoradiv  grad v = 0
with e = grad v
Formulação em potencial escalar elétrico V = v – v
• Formulação para • a região condutora c
• Em cada eletrodo 0e,i : v = vi  v = vi sobre 0e,i
with e = – grad v
Slide 11 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
EletrocinéticaEletrocinética
Slide 12 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Geometria do isolador e malha de elementos finitos
EletrocinéticaEletrocinética
Isoladores poliméricos para 
ancoragem ou suspensão
Distribuição do potencial elétrico no isolador 
Slide 13 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
polimérico considerando o anel
EletrocinéticaEletrocinética
Campo elétrico no isolador polimérico.
Slide 14 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Campo elétrico no isolador polimérico.
MagnetostáticaMagnetostática
Tipo de configuração estudada
rot h = j
Equações
Tipo de configuração estudada
Equação de Ampère 
div b = 0 Equação da 
conservação magnética m
Relações constitutivas
j
s
b =  h + bs
j = js
Relação magnética
Lei de Ohm 
& f t d t
 Domínio de estudo
m Domínio magnéticos Indutor& fonte de corrente s Indutor
Slide 15 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetostáticaMagnetostática

m
j
s
Equações de MaxwellEquações de Maxwell
(magnetostática)
rot h = j b =  h
Formulação aFormulação 
rot h = j
div b = 0
b  h
Formulação aFormulação 
lado "h" lado "b"
Slide 16 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
lado h lado b
MagnetostáticaMagnetostática
Equações de base
rot h = j div b = 0b =  h
q ç
(h) (b)(m)
Formulação aFormulação 
Potencial escalar magnético  Potencial vetor magnético aPotencial escalar magnético  Potencial vetor magnético a
b = rot a
h d d t l t h j
h = hs – grad   (h) OK (b) OK 
rot ( –1 rot a ) = j
hs dado tal que rot hs = j
(não único)div (  ( hs – grad  ) ) = 0  (b) & (m) (h) & (m) 
Potencial multivalor
Cortes
Potencial não único
Condição de calibre
Slide 17 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
ç
MagnetostáticaMagnetostática
• Protótipo fabricado pela WEG Indústrias S.A. – Motores com as seguintes características:
tê i i l d 0 66 kW t ã i l d 220 V lt t i l d 3 9 A tpotência nominal de 0,66 kW; tensão nominal de 220 Volts; corrente nominal de 3,9 A; torque
nominal de 2,5 N.m, 8 pólos, trifásico.
Domínio de estudo Malha de elementos finitos
Slide 18 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetostáticaMagnetostática
Distribuição do fluxo magnético devido a indução remanente do ímã de 
NdFeB
Slide 19 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetostáticaMagnetostática
zoom
Distribuição da indução magnética devido ao ímã de NdFeB.
Slide 20 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Tipo de configuração estudada
rot h = j
Equações

 s
j
Equação de Ampère
rot e = – t b
div b = 0
 p
js
Equação de Faraday
Equação de
 a
Va
I a
Equação de
conservação
magnética
b =  h + bs
Relações constitutivas
Relação magnética
 Domínio de estudo
p Condutor passivo
j =  e + js Lei de Ohm
& fonte de corrente
p
e/ou domínio magnético
a Condutor ativos Indutor
Slide 21 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica

Formulação h- Formulação a* p
 s
js
 a
Va
I a
Maxwell equations
(quase-estática)
rot h = j
rot e = – t b
div b = 0
b =  h
j =  e
l d "h" l d "b"
Formulação a-vFormulação t- div b 0
Slide 22 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
lado "h" lado "b" 
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Equações de base
rot h = j
rot e = – t b
div b = 0b =  h
q ç
(h) (b)j =  e
Formulação t-Formulação h-
C éti h P t i l t lét i tCampo magnético h
Potencial escalar magnético 
Potencial vetor elétrico t
Potencial escalar magnético 
rot hs = js
h ds c
h = hs – grad  ds cC
 (h) OK j = rot t
(h) OK 
h = t – grad 
rot (–1 rot t) + t ( (t – grad )) = 0
div ( (t – grad )) = 0
rot (–1 rot h) + t ( h) = 0
div ( (hs – grad )) = 0
em c 
 em cC 
 (b) 
+ calibre
Slide 23 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
( ( g ))( ( s g )) + calibre
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Equações de base
rot h = j
rot e = – t b
div b = 0b =  h
Equações de base
(h) (b)j =  e
Formulação a-vFormulação a*
Potencial vetor magnético a*
Potencial vetor magnético a
Potencial escalar elétrico v
b = rot a
(b) OK 
e = – t a – grad v
b = rot a*
 (b) OK
e = – t a*
rot (–1 rot a) +  t a +  grad v = jsrotl (–1 rot a*) +  t a* = js
+ calibre em 
 (h) 
+ calibre em  C
Slide 24 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
+ calibre em + calibre em cC
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Distribuição da Temperatura
Aquecimento por indução
• Cilindro de aço em movimento
C í i fí i ã li l d• Características físicas não-lineares levando 
em conta a temperatura Curie.
Slide 25 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Modelagem de um gerador síncrono
Slide 26 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Equações da máquina em termos 
distribuídos (Elementos Finitos)
Equações do conversor em 
parâmetros concentradosdistribuídos (Elementos Finitos) parâmetros concentrados
fI
fU cU
Acoplamento com circuito externo
Slide 27 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
2 : 1 Do
I1 I2
Acoplamento com 
circuito: conversor
Ein
G
D
R
Cs Co RoVDS Variações súbitas das 
t i á i
circuito: conversor 
Fly-Back
S
Rs Ds correntes no primário e 
secundário do transformador.
Slide 28 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Acoplamento com circuito externo
MagnetodinâmicaMagnetodinâmica
Modelagem de um motorModelagem de um motor 
de fluxo magnético 
transversal
Slide 29 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Referências bibliográficasReferências bibliográficas
1. N. Sadowski, “Apostila de máquinas elétricas - transitório, regime permanente e
i t ” P d Pó G d ã d UFSC Fl i ó li 2011acionamento”, Programa de Pós-Graduação da UFSC, Florianópolis, 2011.
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Dissertação de Mestrado. UFSC, Florianópolis, 2009.
3 A B Albuquerque “Projeto e simulação de contatores CA” Dissertação de Mestrado3. A. B. Albuquerque, Projeto e simulação de contatores CA , Dissertação de Mestrado,
UFSC, Florianópolis, 1998.
4. J. P. A. Bastos, N. Sadowski, "Electromagnetic Modeling by Finite Elements", Marcel
Dekker Inc 2003 New York USA (490pp) (ISBN 0824742699)Dekker, Inc, 2003, New York, USA (490pp) (ISBN 0824742699)
5. N. Ida, J. P. A. Bastos, "Eletromagnetism and calculation of fields", Springer-Verlag, 1992,
New York, USA (458 pp) (ISBN 0-387-97852-6).
6. M. V. Ferreira da Luz, “Desenvolvimento de um Software para Cálculo de Campos6. M. V. Ferreira da Luz, Desenvolvimento de um Software para Cálculo de Campos
Eletromagnéticos 3D Utilizando Elementos de Aresta, Levando em Conta o Movimento e o
Circuito de Alimentação”, Tese de Doutorado, Universidade Federal de Santa Catarina,
2003.
Slide 30 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)
Obrigado pela Atenção !!
Prof. Mauricio Valencia Ferreira da Luz, Dr.
Slide 31 Setembro 2014 PPGEEL/UFSCProf. Mauricio V. F. da Luz, Dr. (UFSC)