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Prova de EDO - UFABC

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Universidade Federal do ABC - UFABC
IEDO- Diurno - SA
Prof. Celso Nishi Q2.2014
Prova 2
Na˜o esquec¸a de escrever nome, RA e turma na folha de resposta.
Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, celulares e afins.
Escreva a resposta final a` caneta.
Entregue a folha de questo˜es dentro da folha de respostas.
1. (a) Verifique se y = cos2 t e´ soluc¸a˜o da EDO y′′ + 4y = 2.
(b) Se y1 = t e y =
1
t sa˜o soluc¸o˜es da EDO t
2y′′ + ty′ − y = 0, deˆ uma soluc¸a˜o y3 que satisfaz
y3(1) = 1, y
′
3(1) = 3.
2. A EDO u′′+0,2u′+9u = 0 descreve a posic¸a˜o horizotal u de um corpo em um sistema massa-mola.
u e´ medido em cm e o tempo t em s. Inicialmente, o corpo obedece u(0) = 0 e u′(0) = −6cm/s.
(a) Encontre u(t) em qualquer tempo. (Aproxime se necessa´rio.)
(b) Esboce o gra´fico de u(t). (Marque o quase-per´ıodo.)
(c) Deˆ a posic¸a˜o do corpo em t = 3/4T , onde T e´ o quase-per´ıodo.
3. Econtre a eq. de 1a ordem que fornece uma segunda soluc¸a˜o para a eq. (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0,
x > 0, sabendo-se uma soluc¸a˜o y1 = e
x.
4. Encontre a soluc¸a˜o geral da eq. 9y′′+ 6y′+ y = et/3 + e−t/3, sabendo-se que e−t/3 e´ uma soluc¸a˜o
da eq. homogeˆnea associada.
Universidade Federal do ABC - UFABC
IEDO- Diurno - SA
Prof. Celso Nishi Q2.2014
Prova 2
Na˜o esquec¸a de escrever nome, RA e turma na folha de resposta.
Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, celulares e afins.
Escreva a resposta final a` caneta.
Entregue a folha de questo˜es dentro da folha de respostas.
1. (a) Verifique se y = sin2 t e´ soluc¸a˜o da EDO y′′ + 4y = 2.
(b) Se y1 = t e y =
1
t sa˜o soluc¸o˜es da EDO t
2y′′ + ty′ − y = 0, deˆ uma soluc¸a˜o y3 que satisfaz
y3(1) = −1, y′3(1) = 3.
2. A EDO u′′+0,2u′+9u = 0 descreve a posic¸a˜o horizotal u de um corpo em um sistema massa-mola.
u e´ medido em cm e o tempo t em s. Inicialmente, o corpo obedece u(0) = 0 e u′(0) = 9cm/s.
(a) Encontre u(t) em qualquer tempo. (Aproxime se necessa´rio.)
(b) Esboce o gra´fico de u(t). (Marque o quase-per´ıodo.)
(c) Deˆ a posic¸a˜o do corpo em t = 3/4T , onde T e´ o quase-per´ıodo.
3. Econtre a eq. de 1a ordem que fornece uma segunda soluc¸a˜o LI para a eq. (x−1)y′′−xy′+y = 0,
x > 0, sabendo-se uma soluc¸a˜o y1 = e
x.
4. Encontre a soluc¸a˜o geral da eq. 4y′′+ 4y′+ y = et/2 + e−t/2, sabendo-se que e−t/2 e´ uma soluc¸a˜o
da eq. homogeˆnea associada.
Universidade Federal do ABC - UFABC
IEDO- Noturno - SBC - turma A
Prof. Celso Nishi Q2.2014
Prova 2
Na˜o esquec¸a de escrever nome, RA e turma na folha de resposta.
Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, celulares e afins.
Escreva a resposta final a` caneta.
Entregue a folha de questo˜es dentro da folha de respostas.
1. (a) Verifique se y = te−2t e´ soluc¸a˜o da EDO y′′ + 4y′ + 4y = 0.
(b) Se y1 = t e y =
1
t sa˜o soluc¸o˜es da EDO t
2y′′ + ty′ − y = 0, deˆ uma soluc¸a˜o y3 que na˜o e´
mu´ltiplo de y1 nem de y2.
2. A EDO x′′ + pi2x = 0 descreve a posic¸a˜o horizotal x de um corpo, em cm, em termos do tempo
t, em s. Inicialmente, o corpo obedece x(0) = 10cm e x′(0) = −picm/s.
(a) Encontre x(t) em qualquer tempo.
(b) Esboce o gra´fico de x(t) e marque o quase-per´ıodo.
(Se necessa´rio, aproxime tg(0,1) ≈ 0,1 e tg(−0,1) ≈ −0,1.)
(c) Apo´s 10s, quantas vezes o objeto passou pela posic¸a˜o x = 0?
3. Encontre a EDO de 1a ordem que resulta da aplicac¸a˜o do me´todo de reduc¸a˜o de ordem para
EDO t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0, onde uma soluc¸a˜o conhecida e´ y1 = t. (Na˜o precisa encontrar
y2.)
4. Encontre uma soluc¸a˜o particular para a EDO y′′ + 4y = et + 7 sen(2t).