lista1 Cálculo Diferencial Integral III

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Faculdade Pitágoras 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
Lista 1 
Professoras: Bruna Gonçalves 
 
Fórmulas 
Eq. Plano ��� − ��� + ��	 − 	�� + 
�� − ��� = 0 
Plano tangente � − �� = �����, 	���� − ��� + �����, 	���	 − 	�� 
Área da superfície: 
���� = � �1 + ������
� + ����	�
� � �� 
� = � 1�� =
 
 
! = � "��, 	, ����
 
 
�̅ = 1! � �"��, 	, ���� 
	$ = 1! � 	"��, 	, ���� 
�̅ = 1! � �"��, 	, ���� 
� ���, 	, ����
 
= % % % ��&
'�(, &�)*(, �� & �� �& �(+,�-./01,-0231�+4�-./01,-0231�
5,�1�
54�1�
6
7 � = " �)*8 
'�( 	 = " �)*8 �)*( � = " 
'�8 
� ���, 	, ����
 
= % % % ��" �)*8 
'�(,9:
6
7
;
. " �)*8 �)*(, " 
'�8� "� �)*8 �" �( �8 
 
0-a) Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P(1, 3, 2) e tem como vetor normal < = 〈12,20,14〉. 
b) Determine a equação do plano tangente, que toca a superfície � = 3	� − 2�� + � no ponto P (2,-1,-3). 
c) Deseja-se fazer uma terraplanagem em um terreno do município de Caeté, para a instalação 
de uma indústria de equipamentos microeletrônicos. O engenheiro fez o estudo do terreno e 
definiu que a melhor terraplanagem seria a partir de um ponto de coordenadas B = �3,5, −1� e 
como referência adotou o vetor normal a esse plano o vetor * = < 1, 3, 1 >. Então a equação 
geral do plano a ser construído no terreno é: 
(A) � + 3	 + � − 18 = 0. 
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(B) �	 � 	3		 � 	�	– 	17	 � 	0. 
(C) 3�	 � 	5		– 	�	– 	18	 � 	0.	
(D) 3�	 � 	5		– 	�	– 	17	 � 	0. 
(E) � � 	3		 � 	�	– 	16	 � 	0. 
 
1- Calcule o volume do sólido W limitado pelas superfícies �	 � 	�	, 		 � 	 �� 	� 	1 e �	 � 	0. 
 
 
 
2- Encontre a massa e a coordenada �̅ do centro de massa do sólido W limitado pelos gráficos 
das equações �	 � 	4	 � 	�, �	 � 	0, 		 � 	0, �	 � 	0 e 		 � 	4 sendo a densidade "��, 	, �� 	� 	J�, 
onde J	 E 	0 é uma constante. 
 
 
 
3- Seja W o sólido limitado pelas superfícies �	 �	�� 	� 	4, 		 � 	�	 � 4, 		 � 	0 e �	 � 	0. 
Calcule, por integral tripla, o volume do sólido W. 
 
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4- Para desenvolver um certo protótipo é necessário fazer o seguinte cálculo 
.
1
1 1 1
2 3
dxdydz
xyz
e e e
   Qual será o valor obtido? 
(A) 6e 
(B) 16 −e 
(C) 12 
(D) 6 
 
5- Determine a área da superfície � � �	 que está dentro do cilindro �� � 	� � 1. 
6- Determine a área da superfície � � �L M�
N
, � 	
N
,O, 0 P � P 1, 0 P 	 P 1. 
 
7- Seja o sólido W limitado pelas superfícies �� � 	� � 1, � � 	 � 2 e � � 0. (Como mostrado 
na figura abaixo). Calcule a massa de W, supondo que a densidade em ��, 	, �� é dada por 
"��, 	, �� 	� 	�. Em seguida calcule a coordenada �̿ do centro da massa. 
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8- Encontre o momento de inércia RS do sólido no primeiro octante, limitado pelos gráficos das 
equações	�	 � 		, �� 	� 		� 	� 	1, �	 � 	0 e �	 � 	0 se a densidade é dada por "��, 	, �� 	� 	J�, 
onde k > 0 é uma constante. Em seguida monte as equações das coordenadas R�	e R� 
 
 
 
 
9- Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide �	 � 	 �� 	� 		� e pelo plano z = 4, sendo 
a densidade em cada ponto do sólido dada por 	"��, 	, �� � T��� �		��. 
 
 
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10- Sabendo-se que uma das maneiras de calcular o volume é por meio de uma integral tripla, 
uma metalúrgica que fabrica reservatórios para armazenamento de combustíveis, modelou a 
face superior de cada reservatório com a superfície UV � WV � XV � VY, a face inferior pelo 
plano x0y e a lateral pelo cilindro UV � WV � Z. Sendo assim, o volume do reservatório pode ser 
corretamente estimado por meio do cálculo da integral representada por: 
 
(A) [ [ [ rdz√�`ab
,
� 	
c
�
�d
� 	dr	dθ. 
(B) [ [ [ rdz√�`ab
,
�
L
�
�d
� 	dr	dθ. 
(C) [ [ [ dz√�`fb
,
� dr
L
�
�d
� dθ. 
(D) [ [ [ ��√�`a-
,
�
L
aL
�g
� 	�&	�( 
(E) [ [ [ &��√�`f-
,
�
cL
�
�g
� 	�&	�( 
 
11- Utilize coordenadas esféricas: 
a) Calcule ∭ ��� � 	� � ���i �j, onde B é a bola unitária �� � 	� � �� P 1. 
b) Calcule ∭ T�� � 	� � �� �j, onde E é limitado abaixo pelo cone 8 � k/6 e acima pela 
esfera " � 2. 
 
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12- Calcule 	[ [ [ Tx� �	y� 	� 	z�	dVp , onde W é limitado inferiormente pelo cone � �
T3��� � 	�� e superiormente pela esfera �� �		� 	� 	�� 	� 	4. 
 
 
 
13- Calcule a massa do sólido W inferior ao cone � � T3��� � 	�� e limitado pela esfera 
�� � 	� � �� � 1�� � 	1 , sendo a densidade igual ao quadrado da distância de ��, 	, �� ao 
plano	�	 � 	0. 
 
 
 
14- Uma fábrica de produtos químicos possui um tanque usado durante o processo de misturas 
de substâncias. Este tanque possui uma tampa metálica com densidade de massa igual a 3 
Jq/!� e tem o formato de uma calota. Adotando um sistema de coordenadas retangulares, a 
tampa deste tanque pode ser descrita pela superfície delimitada por �� � 	� � �� � 1	e �	 � 	0. 
Use uma integral tripla em coordenadas esféricas para encontrar a massa da tampa. 
(A) 4π/3 
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(B) 8k 
(C) 8k/3 
(D) s�gL 
(E) 4k. 
 
RESPOSTAS: 
1- 8/15 
2- ! = s�tuL ; z=1; 
3- 128/5 
4-12 
7- 18k/3; 
 8- ugvt 
9- s�tg` 
11- a) vg` 
b) 4kw2 − √3x 
 
12- 4k�2 − √3� 
13- L`gL�