Teorema função limitada

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Cálculo I-A-UFF – Notas de Aula Página 1 
Professora: Luciana P. M. Pena 
Função Limitada 
Definição: Dizemos que uma função f é limitada, se existir 0M > tal que ( )f x M≤ , 
fx D∀ ∈ . 
Exemplos: 
a) 
1,( )
1,
xf x
x
∈
= 
− ∉
ℚ
ℚ
 é uma função limitada. 
b) ( ) cos( )f x x= é uma função limitada. 
c) 
2( )f x x= não é uma função limitada. 
 
Teorema do Confronto de Limites (ou Sanduíche) 
Definição: Sejam f, g e h funções tais que ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ , x D∀ ∈ . Se 
lim ( ) lim ( )
x p x p
g x h x L
→ →
= = então lim ( )
x p
f x L
→
= . 
Exemplo 1: Dado 
2( ) 2 3( 1)g x x− ≤ − , x∀ ∈ℝ , use o teorema do confronto para 
provar que 
1
lim ( ) 2
x
f x
→
= . 
Exemplo 2: Seja f uma função e suponha x∀ ∈ℝ , 2( )f x x≤ . 
a) Calcule, caso exista, 
0
lim ( )
x
f x
→
. 
b) F é contínua em 0? Por quê? 
Observação Importante: Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que 
lim ( ) 0
x p
f x
→
= e g é limitada. Então lim ( ) ( ) 0
x p
f x g x
→
= . 
Exemplo: Calcule 
2
0
lim ( )
x
x g x
→
, onde 
1,( )
1,
x
g x
x
∈
= 
− ∉
ℚ
ℚ
. 
 
 
 
 
 
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Continuidade em um intervalo 
Se f for contínua em todo ponto em um intervalo aberto ( ),a b , dizemos que f é 
contínua em ( ),a b . 
 
Dizemos que uma função f é contínua à esquerda em p do seu domínio se 
lim ( ) ( )
x p
f x f p
−→
= . 
Dizemos que uma função f é contínua à direita em p do seu domínio se 
lim ( ) ( )
x p
f x f p
+→
= . 
Dizemos que uma função é contínua em um intervalo fechado [ ],a b , se as seguintes 
condições são satisfeitas: 
I. f é contínua em ( ),a b ; 
II. f é contínua à direita em a; 
III. f é contínua à esquerda em b. 
 
Teorema do Valor Intermediário 
Sejam [ ]: ,f a b → ℝ uma função contínua e d ∈ℝ , tais que ( ) ( )f a d f b< < ou 
( ) ( )f b d f a< < . Então existe ( ),c a b∈ tal que ( )f c d= . 
 
Figura 1 
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Caso particular: 0ϕ = 
Observe a Figura 2: 
 
Figura 2: Gráfico de 
3( ) 4 1f x x x= − + . 
 
Corolário: Teorema do Anulamento ou de Bolzano: Sejam [ ]: ,f a b →ℝ uma função 
contínua tal que ( ) 0 ( )f a f b< < ou ( ) 0 ( )f b f a< < . Então existe ( ),c a b∈ tal que 
( ) 0f c = . 
Exemplo 1: Demonstre que a equação 
3 4 8 0x x− + = , tem pelo menos uma raiz real no 
intervalo ( )3, 2− − . 
Exercícios: 
1. Verifique que os gráficos de ( ) 1g x = e 2( )h x x tgx= se interceptam em pelo 
menos um ponto no intervalo ,
2 2
pi pi 
− 
 
. 
2. Use o TVI para mostrar que a equação cosx x= tem pelo menos uma solução 
no intervalo 0,
2
pi 
 
 
. 
3. A equação 1x senx+ = tem solução em 0,
6
pi 
 
 
?