Lista Limites MAT3110

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EMERGÊNCIA COVID MAT 3110 FEA June 2, 2020
PROF. ANTONIO DE PADUA FRANCO FILHO
Escolha 5 das 7 Questões como segunda prova, para dia 15 de junho
1. A teoria de limites no cálculo 1
Basicamente, precisamos de saber calcular os limites de algumas funções para obter as suas
derivadas, e estabelecer alguns teorema sobre funções cont́ınuas.
Definição 1.1. Seja a < b números reais, e f :]a, b[−→ R uma função. Para a < x0 < b, e
L ∈ R dizemos que f tende para L quando x tende para x0 e escrevemos L = limx→x0 f(x) se e
somente se:
Dado � > 0 existe um δ > 0 tal que
L− � < f(x) < L+ � sempre que x0 − δ < x < x0 + δ.
Em palavras: sempre que x for δ próximo de x0 o valor da função f(x) fica � próximo de L.
1.1. Exemplos.
(1) Seja f a função constante f(x) = c ∈ R para cada x ∈ R. Seja L = c. Dado � > 0 como
f(x) = c = L tomamos δ = 1, e sempre que x0− 1 < x < x0 + 1 temos que L− � < f(x) < L+ �
pois L = c = f(x) e c− � < c < c+ �. Assim temos
O limite da constante é a própria constante. limx→x0 c = c.
(2) A função identidade: f(x) = x. Dado � > 0 tomamos δ = � e vale:
f(x0)− � < f(x) < f(x0) + � sempre que x0 − δ < x < x0 + δ.
Logo limx→x0 x = x0.
Exerćıcio 1. Seja c 6= 0 e f(x) = cx. Obtenha δ em função de � de modo a provar que
limx→x0 cx = cx0.
Exerćıcio 2. Mostre que limx→x0 f(x) − L = 0 se e somente se limx→x0 f(x) = L. Conclua
que limx→x0 |f(x)| = | limx→x0 f(x)|, sempre que existir o limite de f(x) em x0.
1.2. Alguns teoremas operacionais. Queremos avaliar se existem e seus valores limites de
funções que são soma ou produto ou quocientes de duas funções. Então temos o seguinte
resultado:
1
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Proposição 1.2. Sejam f eg duas funções como o mesmo domı́nio ]a, b[. Suponha que
existam os limites
L = limx→ x0f(x) e M = limx→x0 g(x).
Então:
(1) Existe o limite de (f + g)(x) = f(x) + g(x) e vale L+M = limx→ x0(f(x) + g(x)).
(2) Existe o limite de (f − g)(x) = f(x)− g(x) e vale L−M = limx→ x0(f(x)− g(x)).
(3) Existe o limite de (f.g)(x) = f(x).g(x) e vale L.M = limx→ x0(f(x).g(x)).
(4) Se M 6= 0 então, existe o limite de (f/g)(x) = f(x)/g(x) e vale
L/M = limx→ x0(f(x)/g(x)).
Pode existir o limite da soma f + g sem que existam os limites de cada função f
e g. O mesmo vale para produtos.
Prova. Considere a seguinte função
f(x) =
{
1 se x ∈ Q os racionais
−1 se x ∈ R \Q os irracionais.
Seja g(x) = −f(x). Como f(x) + g(x) = 0 e f(x).g(x) = −1, segue que para a soma e o
produto dessas duas funções os respactivos limites existem.
Como se existir o limite L em Q para a f esse tem que ser L = 1 e nos irracionais esse limite
se existir tem que ser L = −1, em x ∈ R não existe o limite de f .
Argumento mais de acordo com a Matemática: Por absurdo suponha que limx→x0 f(x) = L =
1. Tomamos � = 1/2, e qualquer que seja δ > 0 como nos intervalos ]x0 − δ, x0 + δ[ existem
números irracionais, digamos p ∈]x0 − δ, x0 + δ[\Q, temos que
f(p) = −1 6∈]1− �, 1 + �[= [1/2, 3/2].
Terminem a prova para os casos L = −1 e −1 6= L 6= 1, com argumento análogo. �
Exerćıcio 3. Mostre que existem os limites para as funções a seguir: Para n = 1, 2, 3, ....
p(x) = xn, q(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + ....+ anx
n.
(Use indução finita, e as regras estabelecidas. Note que xn = x.xn−1).
Agora calcule o limite de f(x) = (x5 − 1)/(x− 1) no ponto x0 = 1.
1.3. Um limite especial. Usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica
1 + x+ x2 + ...+ xn =
xn+1 − 1
x− 1
,
que pode ser provada por indução finita, (some ao primeiro membro xn+1), temos
limx→ ax
n − an
x− a
= nan−1.
Isso é: se f(x) = xn para cada a ∈ R sua derivada em x = a é f ′(a) = nan−1.
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1.4. Teoremas Importantes.
Proposição 1.3. Teorema da conservação do sinal. Seja a < b números reais, e f :]a, b[−→ R
uma função. Se existir limx→c f(x) = L > 0, então existe r > 0 tal que
para cada x ∈]c− r, c+ r[∩]a, b[ tem-se f(x)− L/2 > 0.
Do mesmo modo se L < 0 temse f(x)− L/2 < 0.
Solução. Para L > 0 tomamos 0 < � < L/2 e r = δ da definição de limite. Sempre que
x ∈]c − r, c + r[∩]a, b[ temos 0 < L/2 = L − L/2 < f(x) < L + L/2 que é o mesmo que
0 < f(x)− L/2 < L. �
1.5. Funçoes cont́ınuas e funções localmente limitadas.
Definição 1.4. Seja a < b números reais, e f :]a, b[−→ R uma função. Dizemos que f é
localmente limitada ao redor do ponto c ∈]a, b[ se e somente se existir r > 0 e M > 0 tal que
|f(x)| < M sempre que c− r < x < c+ r.
Dizemos que f é cont́ınua em x = c se existir o limite limx→c f(x) = f(c).
Da prova do Teorema da conservação do sinal obtivemos que se existir o limite L então
f é r-limitada localmente ao redor de c, com um limitante dado por |f(x)| < 3|L|/2.
Corolário 1.5. Toda função f cont́ınua em c é localmente limitada ao redor do ponto c ∈
]a, b[. Pois tem limite nesse ponto.
Proposição 1.6. Importante Suponha que limx→c f(x) = 0 e que g(x) seja uma função
localmente limitada ao redor de c ∈]a, b[. Então
lim
x→c
f(x)g(x) = 0.
Solução. Seja r > 0 e M > 0 tal que |g(x)| < M semore que x ∈]c − r, c + r[∩]a, b[. Ento
temos
|f(x)g(x)| < M |f(x)|,
assim dado � > 0 para �/M tomamos δ ≤ r e temos que f(x) ∈] − �/M, �/M [ sempre que
x ∈]c− δ, c+ δ[. Segue que
|f(x)g(x)| < M |f(x)| < M�/M = � sempre que x ∈]c− δ, c+ δ[.
�
Questão 1. Para x ∈ R definimos a seguinte função:
f(x) = sin
1
x
se e somente se x 6= 0
e quando x = 0 por definição f(0) = 0. Mostre que f não é cont́ınua em x = 0. Sugesto: tome
� = 1/2 e suponha por absurdo que f seja cont́ınua em x = 0. Verifique que não existe δ > 0 de
modo a cumprir a definição de limite para essa ecolha de �.
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Mostre que limx→0 x sin 1/x = 0.
Questão 2. Derivada num ponto. Por definição, se existir o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
,
esse número real f ′(a) chama-se derivada da função f no ponto a ∈ dom(f).
Mostre que a função f(x) = |x| não é derivável em a = 0.
Mostre que a função g(x) = x|x| é derivável em a = 0 e que g′(0) = 0.
1.6. Dois grandes Teoremas.
Teorema 1.7 (Bolzano e Weierstrass). Suponha que y = f(x) seja uma função cont́ınua em
todo intervalo fechadoI = [a, b]. Então:
(1) Existem m ∈ R e M ∈ R tais que m ≤ f(x) ≤ M , isto é: f é limitada superiormente e
inferiormente.
(2) Para cada y0 tal que m ≤ y0 ≤M existe um x0 ∈ I tal que f(x0) = y0, portanto M é um
máximo e m é um mı́nimo para y = f(x).
(3) A imagem de f é todo intervalo fechado [m,M ].
Lema 1.8 (Teorema do valor intermediário). Seja y = f(x) uma função cont́ınua em todos
os pontos onde ela é definida. Suponha que f(a) < 0 e que f(b) > 0. Então existe um c com
a < c < b ou b < c < a tal que f(c) = 0.
1.7. Aplicação. Use o lema acima para mostrar:
Exercćio 4. Mostre que toda equação polinomial de grau 3,
x3 + ax2 + bx+ c = 0
tem uma raiz real.
Exerćıcio 5. Obter os pontos e os valores correspondentes aos máximos e mı́nimos da seguinte
função
f(x) = (x+ 1)(x− 1)(x− 2)
no intervalos dados I = [−1, 0], J = [−2, 3], K = [1, 2].
1.8. Regras de L’Hospital. Vamos usar o que sabemos de derivadas para calcular alguns
limites mais complicados. (E os simples também).
Vamos considerar 4 casos, e estudar cada um deles. Para isso vamos definir sḿbolos de
indeteminaçoes!
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1.9. O śımbolo 0/0. Suponha que f e g sejam funções tais que em a temos f(a) = 0 = g(a).
Ao tentar obter limx→a f(x)/g(x) diretamente substituindo os valores f(a) e g(a), vamos obter
0/0 que não faz sentido em R. Porém observando que
f(x)
g(x)
=
f(x)− f(a)
x− a
/
g(x)− g(a)
x− a
se existirem as derivadas em x = a para as duas funções com g′(a) 6= 0 então o limite procurado,
pela proposição 1.2, item (4) é
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
=
f ′(a)
g′(a)
.
Exemplo. Calcular o limite de (sin2 x)/x2 quando x→ 0.
Solução. Como sin0 = 0 e x2 = 0 se x = 0 por substituição direta temos a indeterminação0/0. Então fazemos
lim
x→0
sin2 x
x2
= lim
x→0
2 sinx cosx
2x
continuamos com a indeterminação, assim continuaamos fazendo uso da regra
lim
x→0
sin2 x
x2
= lim
x→0
2 sinx cosx
2x
= lim
x→0
cos2 x− sin2 x
1
= cos2 0 = 1.
�
Questão 3. Obter os limites das seguintes funções quando x→ 0:
f(x) =
1− cosx
x
, g(x) =
ln(1 + x)− ln(1− x)
x
, h(x)x2 sin
1
x
, i(x) =
arctan 2x
sin 3x
.
Questão 4. Obter os limites das seguintes funções
lim
x→0
x cosx− sinx
x
, lim
x→1
1− x
1− sinπx/2
, lim
x→0
arcsinx cosx
sinx
.
Nessa regra se acontecer de f ′(a) 6= 0 mas g′(a) = 0 então estariamos obtendo algo como
f ′(a)/g′(x) com g′(x)→ 0. Nesse caso temos que o limite é ±∞ o sinal sendo dado pelos sinais
de f ′ e de g′.
1.10. O śımbolo ∞/∞. Esses casos ocorrem quando f(x) e g(x) tendem para ±∞. Como
limx→a f(x) = ±∞ é o mesmo que limx→a 1/f(x) = 0, o procedimento é igual ao caso anterior.
limx→ af(x)
g(x)
= limx→ af
′(x)
g′(x)
.
Exemplo. Obter o limite
lim
x→0
lnx
ctanx
= lim
x→0
1/x
−1/ sin2 x
= − lim
x→0
sin2 x
x
= −2 lim
x→0
sinx cosx = 0.
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Questão 5. Obter os seguintes limites
limx→ π/2 tanx
tan 5x
, lim
x→0+
ln(sinmx)
ln sinx
para m > 0.
1.11. Para limx→±∞. Totalmente análogo aos casos acima. Vamos derivando em cima e em
baixo, e em cada passo verificando que temos um indeterminaão, at que possamos decedir.
Exemplo:
lim
x→±∞
ex
x3
= lim
x→±∞
ex
3x2
= lim
x→±∞
ex
6x
= lim
x→±∞
ex
6
= +∞
1.12. A forma indeterminada 0.∞. Temos f(x) → 0 e g(x) → ∞. Nesses casos podemos
escolher
f(x)g(x) =
f(x)
1/g(x)
ou f(x)g(x) =
g(x)
1/f(x)
,
como acharmos mais facil. Exemplo: limx→0(sinx)(lnx), sinx→ 0 enquanto lnx→ −∞.
Solução.
lim
x→0
lnx
1
sinx
= lim
x→0
1
x
− cosx
sin2 x
= lim
x→0
− sin2 x
x cosx
= − lim
x→0
sinx
x
tanx = 0
pois limx→0
sinx
x = 1 e limx→0 tanx = tan 0 = 0. �
1.13. Limites com exponenciação. Vamos considerar alguns exemplos:
(1) limx→+∞ x
1
x . Temos o tipo indeterminado 0+∞. Para resolver usamos a função exponencial
e a identidade: a = eln a
y = x
1
x = elnx
1
x = e
ln x
x .
Agora calculamos o limite limx→+∞ fraclnxx = limx→+∞
1
x = 0 onde aplicamos a regra de
L’Hospital nesse limite. Então
lim
x→+∞
x
1
x = elimx→+∞
ln x
x = e0 = 1.
(2) limx→0 x
sinx. Temos a indeterminada 00. O mesmo procedimento:
lim
x→0
xsinx = lim
x→0
elnx
sin x
= lim
x→0
esinx lnx,
e precisamos resolver o limite com a indeterminação tipo 0.(−∞). Como
lim
x→0
sinx lnx =
lnx
1/ sinx
= 0
como foi feito na prova acima, temos limx→0 x
sinx = e0 = 1.
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Questão 6. Obter os seguintes limites:
lim
x→1
(1− x)cos(
πx
2
), lim
x→0
(1 + x2)
1
x .
Esse último cai no tipo 1∞.
1.14. O caso mais dificil. Para os casos do tipo ∞−∞ temos que ter um certo cuidado.
Suponha que f(x) e g(x) tenham limites infinitos de mesmo sinal num ponto a. Escrevemos
f(x)− g(x) = g(x)
(
f(x)
g(x)
− 1
)
ou f(x)− g(x) = f(x)
(
1− g(x)
f(x)
)
.
Se o limite limx→a
f(x)
g(x) = 1 então temos o caso ∞.0 para resolver, e ainda temos o que fazer.
Se o limite limx→a
f(x)
g(x) 6= 1 então obtem-se ∞.b que é infinito, e acabou.
Para sorte, esses casos em geral ficam mais simples fazendo transformações algbricas. Um
exemplo:
Exemplo. Calcular limx→0
(
1
sin2
− 1
x2
)
. Reduzindo a fração a um denominador comum o que
antes era ∞−∞ transfoma-se em 0/0.
lim
x→0
(
1
sin2
− 1
x2
)
= lim
x→0
x2 − sin2 x
x2 sin2 x
,
e aplicamos a regra de L’ Hospital a esse último limite.
Asśıntotas Inclinadas
Definição 1.9. Seja y = f(x) uma função definida num intervalo do tipo ]a,+∞[ ou ]−∞, b[
ou ]−∞,+∞[= R.
Dizemos que uma reta y = mx+ p é uma asśıntota de f(x), a medida que x→∞ a distância
entre a reta e a curva tende para 0. Isto é:
m = lim
x→∞
f(x)
x
e p = lim
x→∞
−mx.
Exemplos: Começamos com um exemplo onde m existe mas falha a existência de p assim não
h asśıntotas.
(1) f(x) =
√
x. Cálculo de m.
limx→+∞
√
x
x = limx→+∞
1√
x
= 0. Para p temos
limx→+∞ f(x)−mx = limx→+∞
√
x− 0.x = +∞ 6∈ R.
(2) Um que existe: f(x) = x tanhx. Cálculo de m para x→ +∞.
limx→+∞
x tanhx
x = limx→+∞
sinhx
coshx = 1.
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Observe que antes de aplicar a regra de L’Hospital, devemos escrever
tanhx =
sinhx
coshx
=
ex − e−x
ex + e−x
=
e2x − 1
e2x + 1
→ 2e
2x
2e2x
= 1.
Cálculo de p:
limx→+∞ x tanhx− 1.x = limx→+∞ x(tanhx− 1) que é tipo ∞.0 e assim
lim
x→+∞
tanhx− 1
1/x
= 0
sem uso da regra de L’Hospital, porque ficou na forma 0.0 = 0. Obtivemos y = x como asśıntota
à direita.
Para x→ −∞. Também observe antes que
tanhx =
sinhx
coshx
=
ex − e−x
ex + e−x
=
1− e−2x
1 + e−2x
→ −(−2e
−2x)
−2e−2x
= −1.
Assim, m = −1. Agora no cálculo de p tome cuidado com o sinal p = limx→+∞ x tanhx −
(−1).x = limx→+∞ x(tanhx + 1) = limx→+∞ tanhx+11/x = 0. Temos a reta asśıntota à esquerda
y = −x.
Questão 7. Obter as asśıntotas inclinadas e verticais se existirem das curvas y = f(x) onde
y =
x2√
x2 − 1
, y =
x
x2 − 4x+ 3
, y =
x3
x2 + 9
.
2. Técnicas de Integração