M15 aluno

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estatı´stica
Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III-A – Mo´dulo 15
Exerc´ıcio 1: Calcule
I =
∮
C
(
− x
2
y
1 + x2
+ y2
)
dx+ (x+ arctg x) dy
onde C e´ o caminho fechado formado por y = 0, x + 2y = 4 e x = 0, orientado no sentido
anti-hora´rio.
Exerc´ıcio 2: Calcule a integral de linha
I =
∫
C
(
y2 + x
)
dx+
(
5x− ey2 +
√
1 + y6
)
dy
sobre a circunfereˆncia superior x2 + y2 = 1, com y ≥ 0, orientada no sentido anti-hora´rio.
Exerc´ıcio 3:
a) A integral I =
∫
C
(sen xy + xy cosxy) dx+ x2 cosxy dy e´ independente do caminho?
b) Calcule o valor I onde C e´ dada por σ(t) =
(
t2 − 1, t2 + 1
)
, com 0 ≤ t ≤ 1.
Exerc´ıcio 4: Seja um campo de forc¸as dado por
−→
F (x, y, z) = (3x2yz + ez, x3z, x3y + xez + 3z2).
a)
−→
F e´ um campo conservativo? Por queˆ?
b) Calcule o trabalho realizado por
−→
F para mover uma part´ıcula ao longo da curva C intersec¸a˜o
da superf´ıcie z = 1− x2 com o plano y + z = 1, orientada no sentido do crescimento de x.
Exerc´ıcio 5: Calcule o fluxo de
−→
F = (ez arctg z)
−→
i +
[
ez ln
(
x2 + 1
)]−→
j + z
−→
k
atrave´s de S parte do paraboloide z = 4 − x2 − y2, acima de z = 1, na direc¸a˜o da normal exterior−→n .
Exerc´ıcio 6: Seja S a calota esfe´rica dada pela equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0 e considere o
campo
−→
F (x, y, z) = (y2x, z2y + x, x2z + 4). Fixe uma orientac¸a˜o sobre S e calcule o fluxo de
−→
F
atrave´s de S.
Ca´lculo III-A Mo´dulo 15 2
Exerc´ıcio 7: Calcule
I =
∫
C
(
ex
2
+ y2
)
dx+
(
ey
2 − z2
)
dy +
(
ez
2 − x2
)
dz
onde C e´ o contorno da parte do plano x + y + z = 1, que esta´ no primeiro octante, no sentido
anti-hora´rio.
Exerc´ıcio 8: Calcule
∮
C
−→
F · d−→r , sendo −→F um campo em R3 dado por
−→
F (x, y, z) =
(
− y +
√
1 + x10 , x , 3x+ z10
)
e C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie x2 + y2 = 1 com o plano z − y = 2, com uma orientac¸a˜o tal que
quando projetada no plano z = 0 produz um percurso hora´rio.
Exerc´ıcio 9: Seja S a porc¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 9 limitada pelos planos z = 0 e y + z = 4.
Exerc´ıcio 10: Calcule a massa da superf´ıcie S porc¸a˜o do cone z =
√
x2 + y2 compreendida entre
os planos z = 1 e z = 3, sendo a densidade superficial de massa dada por δ(x, y, z) = x2 + y2.
Exerc´ıcio 11: Calcule a integral dupla de f(x, y) = xy, sobre a regia˜o D da figura que se segue, de
duas maneiras distintas.
Exerc´ıcio 12: Inverta a ordem de integrac¸a˜o e calcule a integral resultante de:
∫
1
0
∫
1
y
senx
x
dxdy .
Exerc´ıcio 13: Uma laˆmina tem a forma da regia˜o plana D limitada pelas curvas x2 + y2 = 1, com
y ≥ 0,x2 + y2 = 4, com y ≥ 0 e o eixo x. Sua densidade de massa e´ δ(x, y) = k
√
x2 + y2 .
Determine o valor da constante k se a massa da laˆmina e´ igual a 14pi/3 u.m.
Exerc´ıcio 14: Uma placa D tem a forma de uma regia˜o limitada pelas curvas y =
√
4− x2 , y = −x
e y = x. A densidade em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem. Determine a
massa da placa D.
UFF IME - GMA