Lista Semana 15 Fixação

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 15
Temas abordados : Integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais; Comprimento de arco
Sec¸o˜es do livro: 8.4; 6.3
1) Calcule cada uma das integrais abaixo.
(a)
∫
1
1− x2dx (b)
∫
x+ 4
x2 + 5x− 6dx
(c)
∫
x
x2 − 2x− 3dx (d)
∫
x3
x2 + 2x+ 1
dx
(e)
∫
1
(x2 − 1)2dx (f)
∫
1
(x+ 1)(x2 + 1)
dx
(g)
∫
ex
e2x + 3ex + 2
dx (h)
∫
cos(x)
sen2(x) + sen(x)− 6dx
(i)
∫
1
x3 − xdx (j)
∫
2x+ 3
x2(4x+ 1)
dx
(k)
∫
x3 + 5x2 − 4x− 20
x2 + 3x− 10 dx (l)
∫
x2
x2 − x− 6dx
2) Se f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o deriva´vel enta˜o o comprimento da curva determinada pelo
gra´fico de f e´ dado pela integral L =
∫ b
a
√
1 + f ′(x)2dx. Calcule esse comprimento em
cada um dos casos abaixo.
(a) f(x) =
1
2
(ex + e−x), para x ∈ [0, 2]
(b) f(x) =
1
3
(x2 + 2)3/2, para x ∈ [0, 3]
(c) f(x) =
√
1− x2, para x ∈ [−1/2, 1/2]
3) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a ≤ t ≤ b.
Suponha que x′ e y′ sa˜o func¸o˜es cont´ınuas que na˜o se anulam simultaneamente em [a, b]
e que a curva C e´ percorrida exatamente uma vez quando t avanc¸a de t = a para t = b.
Nessas condic¸o˜es, o comprimento de C e´ dado pela integral definida
L =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2dt.
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a) x(t) = r cos(t), y(t) = r sen(t), para 0 ≤ t ≤ 2pi e r > 0
(b) x(t) = cos3(t), y(t) = sen3(t), para 0 ≤ t ≤ 2pi
(c) x(t) = et − t, y(t) = 4et/2, para 0 ≤ t ≤ 3
(d) x(t) = t3, y(t) =
3
2
t2, para 0 ≤ t ≤ √3
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 15 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a)
1
2
ln
∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣+K
(b)
5
7
ln |x− 1|+ 2
7
ln |x+ 6|+K
(c)
3
4
ln |x− 3|+ 1
4
ln |x+ 1|+K
(d)
1
2
x2 − 2x+ 1
1 + x
+ 3 ln |1 + x|+K
(e) −1
4
(
1
x− 1 +
1
x+ 1
+ ln
∣∣∣∣x− 1x+ 1
∣∣∣∣)+K
(f)
1
4
(− ln |x2 + 1|+ 2 ln |1 + x|+ 2arctan(x)) +K
(g) ln(ex + 1)− ln(ex + 2) +K
(h)
1
5
ln | sen(x)− 2| − 1
5
ln | sen(x) + 3|+K
(i)
1
2
ln |x2 − 1| − ln |x|+K
(j) −3
x
− 10 ln |x|+ 10 ln |1 + 4x|+K
(k)
1
2
x(x+ 4) +K
(l) x+
9
5
ln |x− 3| − 4
5
ln |x+ 2|+K
2) (a) (e2 + e−2)/2
(b) 12
(c) pi/3
3) (a) 2pir
(b) 6
(c) e3 + 2
(d) 7
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 15 - Pa´gina 2 de 2