lista fourier c2

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Lista de Exerc´ıcios - Se´ries de Fourier
Ca´lculo 2 - Prof. Leandro
Lista-1
UnB - 2009/02
7 de outubro de 2009
Esta lista esta´ dispon´ıvel em formato PDF no site, http://leandromat.wordpress.com e
ela consiste de alguns dos exerc´ıcios do livro: Ca´lculo-Volume 2, G.B. Thomas 10a edic¸a˜o,
que se encontram nas pa´ginas 88,89,95 e 96.
Nos exerc´ıcios 1-14, encontre as se´ries de Fourier das func¸o˜es nos intervalos especificados.
1- f(x) = 1, −pi < x < pi.
2- f(x) =
{ −1, −pi < x < 0;
1, 0 < x < pi.
4- f(x) = x, −pi < x < pi.
3- f(x) = 1− x, −pi < x < pi.
5- f(x) = x
2
4 , −pi < x < pi.
6- f(x) =
{
0, −pi < x < 0;
x2, 0 < x < pi.
7- f(x) = ex, −pi < x < pi
8- f(x) =
{
0, −pi < x < 0;
ex, 0 < x < pi.
9- f(x) =
{
0, −pi < x < 0;
cosx, 0 < x < pi.
10- f(x) =
{ −x, −2 < x < 0;
2, 0 < x < 2.
11- f(x) =

0, −pi < x < −pi2 ;
1, −pi2 < x < pi2
0, pi2 < x < pi
12- f(x) = |x|, −1 < x < 1.
13- f(x) = |2x− 1|, −1 < x < 1
14- f(x) = x|x|, −pi < x < pi
1
Lista de exerc´ıcios-Ca´lculo 2 2
15- Use o Exerc´ıcio 5 e o Teorema de Fourier para mostrar que
1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ . . . =
pi2
6
Nos exerc´ıcios 17-21, prove que
17-
∫ L
−L
cos
mpix
L
dx = 0, para todo m ∈ N.
18-
∫ L
−L
sen
mpix
L
dx = 0, para todo m ∈ N.
19-
∫ L
−L
cos
npix
L
cos
mpix
L
dx =
{
0, m 6= n;
L, m = n.
(dica: cosα cosβ = 12 [cos(α+ β) + cos(α− β)].)
20-
∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
{
0, m 6= n;
L, m = n.
(dica: sen α sen β = 12 [cos(α− β)− cos(α+ β)].)
21-
∫ L
−L
sen
npix
L
cos
mpix
L
dx = 0, para quaisquer m,n ∈ N.
(dica: sen α cosβ = 12 [sen (α+ β) + sen (α− β)].)
22- Suponha que f, g : [−L,L]→ R, sejam func¸o˜es que satisfazem as condic¸o˜es do Teorema de Fourier.
Podemos concluir enta˜o que a se´rie de Fourier de (f + g) em [−L,L] e´ a soma das se´ries de Fourier de
f e de g no intervalo [−L,L] ?
23- Use o Teorema de Fourier para verificar que a se´rie de Fourier da func¸a˜o f(x) = x para −pi < x < pi,
converge para f(x) sempre que −pi < x < pi.
24- Embora f ′(x) = 1 para todo −pi < x < pi, mostre que a se´rie obtida por derivac¸a˜o termo a termo
da se´rie de Fourier do exerc´ıcio acima diverge.
25- Pode-se mostrar que a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o seccionalmente cont´ınua no intervalo [−L,L]
pode ser integrada termo a termo. Use este fato, para mostrar que para toda func¸a˜o seccionalmente
cont´ınua f : [−pi, pi]→ R e x ∈ (−pi, pi), temos:∫ pi
−pi
f(x) dx =
a0
2
(x+ pi) +
∞∑
n=1
an
n
sen nx−
∞∑
n=1
bn
n
(cosnx− cosnpi),
onde a0, an e bn sa˜o os coeficientes de Fourier de f .
Lista de exerc´ıcios-Ca´lculo 2 3
Se´ries de Cossenos
Em cada um dos exerc´ıcios 26-33, fornecemos uma func¸a˜o f definida no intervalo (0, L). Trace o gra´fico
de f e de sua extensa˜o par para o intervalo (−L,L). Em seguida, encontre a se´rie de cossenos de f .
26- f(x) = x, 0 < x < pi.
27- f(x) = sen x, 0 < x < pi.
28- f(x) = ex, 0 < x < 1.
29- f(x) = cosx, 0 < x < pi.
30- f(x) =
{
1, 0 < x < 1;
−x, 1 < x < 2.
31- f(x) =
{ −1, 0 < x < 12 ;
1, 12 < x < 1.
32- f(x) = |2x− 1|, 0 < x < 1.
33- f(x) = |2x− pi|, 0 < x < pi.
Se´rie de Senos
Em cada um dos exerc´ıcios 34-41, fornecemos uma func¸a˜o f definida no intervalo (0, L). Trace o gra´fico
de f e de sua extensa˜o ı´mpar para o intervalo (−L,L). Em seguida, encontre a se´rie de senos de f .
34- f(x) = −x, 0 < x < 1.
35- f(x) = x2, 0 < x < pi.
36- f(x) = cosx, 0 < x < pi.
37- f(x) = ex, 0 < x < 1.
38- f(x) = sen x, 0 < x < pi.
39- f(x) =
{
x, 0 < x < 1;
1, 1 < x < 2.
40- f(x) =
{
1− x, 0 < x < 1;
0, 1 < x < 2.
41- f(x) = |2x− pi|, 0 < x < pi.
Lista de exerc´ıcios-Ca´lculo 2 4
Miscelaˆnea
42-
a) Encontre a se´rie de senos para
f(x) =
{
1, 0 < x < pi;
0, se x = 0 e x = pi.
b) use o item a) para mostrar que
pi
4
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ . . .
43-
a) Trace o gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
{
1− x, 0 < x < 1;
x− 1, 1 < x < 2.
b) encontre uma se´rie de Fourier de f .
c) encontre uma se´rie de cossenos de f .
44- Use o resultado do exerc´ıcio 27 para encontrar o valor de
∞∑
n=1
(−1)n
4n2 − 1
45- Dada a func¸a˜o
f(x) = 2− x, 0 < x < 2,
defina uma func¸a˜o cuja a representac¸a˜o em se´rie de Fourier em senos convirja para f(x) para todos os
valores de x.
(Observac¸a˜o: a resposta na˜o e´ u´nica !)