Generalidades sobre Vetores

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
Generalidades sobre vetores
Grandezas escalares e grandezas vetoriais
Muitas grandezas ficam perfeitamente definidas quando delas conhecemos o valor numérico e a correspondente unidade. Tais grandezas são denominadas grandezas escalares. Ex.: comprimento, tempo, temperatura.
Grandezas que necessitam, além do valor numérico e unidade, de direção e sentido para serem definidas são chamadas grandezas vetoriais. Ex.: uma força, uma velocidade, uma aceleração.
Observa-se que enquanto as grandezas escalares dependem apenas de um número, as vetoriais dependem de três elementos heterogêneos, ou seja, dois de natureza geométrica (a direção e o sentido) e um de natureza aritmética (o valor quantitativo).
Tornou-se, então, necessário o surgimento de um ente, que representasse para a grandeza vetorial o mesmo que o número representa para a escalar; que condensasse em sua estrutura os três elementos que definem uma grandeza vetorial. A abstração foi feita e o ente foi criado. Seu nome é vetor e sua definição será dada nos próximos itens.
VETOR
Vetor: 
Um vetor pode ser pensado como um segmento de reta orientado utilizado para representar uma grandeza vetorial. 
O vetor na verdade representa uma classe de segmentos de reta orientados, que possuem todos mesma intensidade (denominada módulo), mesma direção e mesmo sentido.
Observe a figura :
Os segmentos da figura têm a mesma extensão geométrica, isto é, o mesmo comprimento (módulo), a mesma direção e o mesmo sentido. Os segmentos orientados com estas características comuns são chamados de segmentos equipolentes.
Desse modo dado um segmento de reta orientado existem infinitos segmentos equipolentes a ele; um em cada ponto do espaço. Estes infinitos segmentos podem ser representados por um único ente, o vetor, também chamado de vetor livre.
Considere a figura abaixo:
 
Neste contexto, um vetor pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que seja membro da classe deste vetor, ou seja: pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que possua mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da referida classe.
Ex.: O vetor vermelho pode ser representado pelo vetor verde, ou pelo vetor laranja, ou pelo vetor preto.
Retomando: 
Vetor livre: é o ente analítico que representa um conjunto de vetores (ou de segmentos orientados) que apresentam mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
Notação: 
 
Outra notação: 
Nesta notação vincula-se a origem do vetor ( ponto A) e a sua extremidade (ponto B).
Considere a representação a seguir:
 
 A B reta r
Vetor 
|
| = 4
Direção: reta r
Sentido: de A para B
Encontre agora o vetor 
|
| = ............
Direção: ...................
Sentido: ...................
Exemplo de vetores: a figura representa um cruzamento de ruas, tal que você, situado em O, pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores d1, d2, d3, e d4. Diferenciando estes vetores segundo suas características, tem-se que: 
Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos. 
Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos. 
Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes. 
Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes. 
Fonte: http://educar.sc.usp.br/fisica/vetores.html
Valor algébrico: (v) é o número que expressa o comprimento do vetor e nos dá informações sobre o sentido deste vetor.
Ex:
 
 
 
 
 
= - 
Operações com vetores
1) Adição de vetores
a)Regra do polígono: 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Regra do paralelogramo (para 2 vetores): 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
representa o ângulo formado pelos vetores 
 e 
. Entende-se por ângulo entre dois vetores, aquele formado entre as duas orientações positivas quando colocadas na mesma origem.
 
 
 
 
2) Diferença entre dois vetores: 
 = 
Multiplicação de um vetor por escalar (número real): Fazer vídeo
Definimos o produto de um vetor 
 por um escalar m, como um novo vetor 
, tal que este vetor tenha:
 - mesma direção de 
 - módulo: | m | vezes maior
 - Sentido: é o mesmo de 
se m > 0 e contrário a 
se m < 0.
 
 
 
= m . 
 
VETOR UNITÁRIO: Um vetor 
é unitário se |
| = 1. 
VERSOR de um eixo: versor de um eixo E, 
, é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido do eixo E. Sua notação é 
.
�� EMBED Equation.3 
 
 
 E
VERSOR: versor de um vetor, não nulo 
, é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 
. Sua notação é 
.
 
 
 
 E
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE EIXO:
REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA DE UM VETOR NO PLANO:
Módulo de 
:
 : hipotenusa do triângulo retângulo
² = x² + y² ; 
= 
Podemos oferecer para a projeção uma conotação vetorial, ou seja, 
.
Então teríamos: 
e 
. A soma de 
 resulta no vetor 
.
Logo, 
= 
 é a representação analítica de um vetor no plano.
Esta expressão analítica também pode ser escrita em forma de par ordenado.
Ex.: 
 = 
 vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais.
Portanto o vetor 
= 3
- 5
 pode ser escrito da seguinte forma: 
 = (3,-5)
Notação de Grassmann
 = (
)
+ (
)
 corresponde a diferença entre a abscissa da extremidade e a abscissa da origem.
corresponde a diferença entre a ordenada da extremidade e a ordenada da origem
Exercícios:
1)Encontre a expressão analítica para os vetores representados abaixo, sabendo que |
|=3.
a ) b) 
 55º
 
c) 
 d)15º
 35º 
2) Dados os vetores abaixo, 
, 
e 
 determine:
a) as expressões analíticas dos vetores,
b) os módulos dos vetores,
c) os ângulos diretores dos vetores,
d) a expressão analítica de um vetor com o mesmo módulo de 
, mesma direção porém sentido contrário.
 y 
 
 
 
 3 
 1 
 -3 2 5 x
 
 
 -4
3) Uma força de módulo 10kfg está no plano XOY formando, com o eixo X, um ângulo de 20°. Escrever a expressão analítica dessa força sabendo que a projeção da força sobre o eixo y é negativa.
4) Um vetor de módulo 20 pertence ao plano XOY. Sabe-se que o ângulo do vetor com o eixo OX é 143°. Escrever a expressão analítica deste vetor.
Respostas:
1) a) 
	b) 
 c) 
 d) 
2) a) 
	;
; 
 
 b) |
| = 3,61;	|
| = 3; |
| = 5
 c) 
 = 33,7°	
	
	
	
	
 d) 
 = 
3) 
 4) 
→=
� EMBED Equation.3 ���
B
A
� EMBED PBrush ���
p: projeção algébrica
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���: projeção geométrica
 � EMBED Equation.3 ���
 
 
 � EMBED Equation.3 ��� 
 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� E
� EMBED Equation.3 ���: versor do eixo x
� EMBED Equation.3 ���: versor do eixo y
x = � EMBED Equation.3 ���
x = projeção do vetor � EMBED Equation.3 ��� sobre o eixo x. 
y = � EMBED Equation.3 ���
y = projeção do vetor � EMBED Equation.3 ��� sobre o eixo y.
x e y são denominadas de projeções algébricas
� EMBED Equation.3 ���e � EMBED Equation.3 ���são os chamados ângulos diretores de � EMBED Equation.3 ���
� EMBED PBrush ���
 y
 � EMBED Equation.3 ��� 
 � EMBED Equation.3 ��� 
 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� x 
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