Álgebra-Linear-I

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2ª Edição
Florianópolis, 2011
Álgebra Linear I
Sonia Elena Palomino Castro Bean
Daniel Noberto Kozakevich
Governo Federal
Presidente da República: Dilma Vana Rousseff
Ministro de Educação: Fernando Haddad
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Universidade Federal de Santa Catarina
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Curso de Licenciatura em Matemática na
Modalidade à Distância
Coordenação de Curso: Neri Terezinha Both Carvalho
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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.
Ficha Catalográfica
 
K88a Kozakevich, Daniel 
 Álgebra Linear I / Daniel Norberto Kozakevich, Sonia Elena 
 Palomino Castro Bean. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/ 
 CFM, 2011. 
 250 p. : il. ; grafs. , tabs. 
 
 Inclui bibliografia 
 UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância 
 ISBN 978-85-8030-023-9 
 
 1. Álgebra linear. I. Bean, Sonia Elena P. Castro. II. Título. 
 CDU 512.64
Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC
Sumário
Apresentação ............................................................................. 7
1. Matrizes ................................................................................. 9
1.1 Matriz .......................................................................................... 11
1.2 Tipos de Matrizes ...................................................................... 16
1.3 Operações com Matrizes ........................................................... 24
1.4 Determinantes ........................................................................... 41
1.5 Matriz Adjunta: Adj (A) ............................................................. 51
1.6 Inversa de uma Matriz .............................................................. 55
Resumo .............................................................................................. 71
Bibliografia Comentada ................................................................... 73
2. Sistemas Lineares ............................................................... 73
2.1 Preliminares ................................................................................ 75
2.2 Sistemas Lineares ....................................................................... 80
2.3 Decomposição LU .................................................................... 108
Resumo ............................................................................................114
Bibliografia Comentada ..................................................................115
3. Espaços Vetoriais .............................................................. 117
3.1 Introdução ..................................................................................119
3.2 Espaços Vetoriais ...................................................................... 124
3.3 Subespaços Vetoriais ................................................................ 133
3.4 Espaços Gerados ........................................................................148
3.5 Independência Linear .............................................................. 155
3.6 Bases e Dimensão ......................................................................166
3.7 Subespaços Associados a Matrizes e Computação de 
Bases .................................................................................................189
3.8 Espaços Linha/Coluna e os Sistemas Lineares .................... 194
Resumo ............................................................................................ 197
Bibliografia Comentada ................................................................. 199
4. Transformações Linares .................................................. 201
4.1 Introdução ................................................................................. 203
4.2 Operações com Transformações Lineares .............................216
4.3 A Imagem e o Núcleo de uma Transformação Linear ........ 226
4.4 Transformações Injetoras, Sobrejetoras e Isomorfismos ..... 233
4.5 Representação Matricial de Transformações Lineares ....... 239
4.6 Matrizes e Transformações Lineares, Equivalências e 
Propriedades ................................................................................... 247
Bibliografia Comentada ................................................................. 249
Apresentação
A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das trans-
formações lineares definidas entre eles. Quando os espaços têm 
dimensões finitas, as transformações lineares podem ser repre-
sentadas por matrizes. Também com matrizes podem ser repre-
sentadas as formas bilineares e, mais particularmente, as formas 
quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transfor-
mações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. 
São numerosas e bastante variadas as situações, em Matemática 
e em suas aplicações, onde esses objetos se apresentam. Daí a im-
portância central da Álgebra Linear no ensino da Matemática.
Neste livro se introduzem os conceitos da Álgebra Linear, desde 
os mais simples, que são as matrizes, até os mais abstratos, quan-
do se trata do estudo de espaços vetoriais. Todos esses conceitos 
são apresentados, dentro do possível, de uma forma acessível, aju-
dando a compreensão com muitos exemplos, exercícios resolvidos 
e propostos. Também, com o objetivo de facilitar a compreensão 
do conteúdo, colocamos alguns tópicos com detalhes e justifica-
ções que usualmente não são expostos nos livros tradicionais.
Este texto pretende fornecer conceitos suficientes para que os 
estudantes consigam ter acesso ao nível dos livros avançados. 
Isto não significa deixar para trás as possibilidadesque oferece a 
utilização de um software matemático ou ignorar as aplicações, 
no favor de uma exclusiva e única compreensão da Matemática. 
Significa que se pretende, principalmente, que o leitor obtenha 
uma compreensão global dos conceitos (como por exemplo, que 
a multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser entendida 
como a aplicação de uma transformação linear) e também consiga 
acompanhar as provas e demonstrações. 
O primeiro capítulo trata de Matrizes e Aplicações. No segundo 
capítulo, se estudam os Sistemas Lineares, começando com uma 
breve revisão dos conceitos da Geometria Analítica, para poder en-
tender em uma forma geométrica como é que tais sistemas podem 
ser caracterizados. No terceiro capítulo define-se Espaço Vetorial, 
um conceito básico da Álgebra Linear que proporciona unidade 
e precisão aos assuntos essenciais da Matemática. E finalmente, 
o quarto capítulo introduz a noção de Transformação Linear e as 
relações que existem entre transformações lineares e matrizes. 
Embora a apresentação esteja focalizada sobre os principais tópi-
cos da Álgebra Linear, não pressupõe que os estudantes possuam 
desde o início uma prática em trabalhar com conceitos que de-
mandem certos níveis de abstração, ainda que desejável. Em lugar 
disso, esta atividade é estimulada através dos muitos exemplos e 
exercícios que diferem das verificações rotineiras ou uso de téc-
nicas de resolução. O objetivo está colocado principalmente em 
desenvolver, sendo o material usual de um curso de graduação, o 
nível de maturidade matemática de um estudante da Licenciatu-
ra de Matemática. 
Sonia Elena Palomino Castro Bean
Daniel Noberto Kozakevich
Capítulo 1
Matrizes
Capítulo 1
Matrizes
Ao finalizar o estudo deste Capítulo você será capaz de 
identificar alguns tipos de matrizes, fazer operações e 
provar propriedades e teoremas sobre matrizes. Também, 
será capaz de compreender e aplicar o conceito de matri-
zes em situações reais.
1.1 Matriz 
As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser encontra-
das em muitos problemas do nosso dia-a-dia. Por isso, neste capí-
tulo, iniciaremos o estudo das matrizes com um problema vindo 
do nosso cotidiano.
Problema 1. Já pensou que a temperatura que temos em cada esta-
ção do ano pode ser registrada dia a dia e hora a hora (e até minuto 
a minuto!), com ajuda de dispositivos especiais? Isso é feito pelo 
Instituto de Meteorologia de cada uma das regiões. Considere a 
seguinte situação:
As temperaturas de cinco cidades brasileiras nas primeiras horas da 
manhã de um determinado dia (durante o inverno) foram registra-
das da forma seguinte:
Cidade n° 1•	 : São Joaquim (SC) às 3 horas da manhã apresenta 
3− graus centígrados;
Cidade n° 2•	 : Rio de Janeiro (RJ) às 5 horas da manhã apresenta 
14 graus centígrados;
Cidade n° 3•	 : Turvo (SC) às 7 horas da manhã apresenta 5 
graus centígrados;
Cidade n° 4•	 : Florianópolis (SC) às 9 horas da manhã apresenta 
16 graus centígrados;
12
Cidade n° 5•	 : São Luis (MA) às 11 horas da manhã apresenta 
20 graus centígrados.
Essas informações podem ser arranjadas em tabelas de várias for-
mas, como as que apresentamos a seguir:
Cidade
Temperatura 
(°C)
1 -3
2 14
3 5
4 16
5 20
 
Hora
Temperatura 
(°C)
3 -3
5 14
7 5
9 16
11 20
Observe que dessa forma as informações estão dispostas em forma 
vertical, mas também podemos colocar as mesmas informações em 
forma horizontal. 
Pergunta 1. De que forma podem ser arranjados os dados acima de 
modo a estarem dispostos horizontalmente? 
Se considerarmos H como sendo a hora e T a temperatura da cida-
de, então, a terceira tabela pode ser disposta da seguinte maneira:
H 3 5 7 9 11
T (°C) -3 14 5 16 20
Deixamos de atividade para você completar essa disposição hori-
zontal no caso das outras tabelas.
Continuando com o Problema 1, suponhamos que por algum moti-
vo é do nosso interesse os dados do arranjo dado pela última tabela. 
Cidade Hora
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
Hora Cidade
3 1
5 2
7 3
9 4
11 5
13
Assim, podemos formular o seguinte:
Em cinco cidades brasileiras, em determinadas horas, foram regis-
tradas as seguintes temperaturas:
H T (°C)
3 -3
5 14
7 5
9 16
11 20
Observação. A mesma informação poderia ter sido colocada da se-
guinte forma:
H 3 5 7 9 11
T (°C) -3 14 5 16 20
Os dois jeitos de arranjar os dados estão nos fornecendo o que deno-
minaremos como Matriz.
1.1.1 Definição de matriz 
Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras, etc., dispos-
tos em linhas e colunas.
1.1.2 Ordem de uma matriz 
As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas e seus 
elementos por letras minúsculas. Se uma matriz possui m linhas e 
n colunas diremos que a matriz tem ordem m n× .
Exemplo 1. Denominemos por A e B as duas matrizes definidas no 
Problema 1 e na Pergunta 1, respectivamente. Assim:
3 3
5 14
7 5
9 16
11 20
A
− 
 
 
 =
 
 
  
 e 
3 5 7 9 11
3 14 5 16 20
B  =  − 
.
É de nosso interesse 
trabalhar apenas com 
números reais neste Livro, 
assim sendo tudo o que 
será definido mais adiante, 
no caso das matrizes ou 
vetores, será com elementos 
reais (mais adiante você 
terá a possibilidade de 
trabalhar com números 
complexos também!).
14
A matriz A tem 5 linhas e 2 colunas, ou seja, é de ordem 5 2× ; já a 
matriz B tem 2 linhas e 5 colunas e é de ordem 2 5× . 
O elemento da 2ª linha e 2ª coluna da matriz A é igual a 14, ou seja:
22 14a = .
O elemento da 1ª linha e 4ª coluna da matriz B é igual a 9, isto é:
14 9b = .
Quando uma matriz é obtida por algum problema específico (como 
o explicitado no Problema 1), é possível fornecer alguma interpreta-
ção aos seus elementos. 
Por exemplo, as matrizes A e B do Exemplo 1 com elementos 
22 14a = e 14 9b = podem ser interpretadas da seguinte forma:
“No segundo horário (5 horas da manhã) o segundo valor da temperatura 
(no Rio de Janeiro) é 14 graus”.
“São 9 horas da manhã quando a temperatura em Florianópolis é 16 graus”.
E, claro, após fornecermos todas as interpretações podemos fazer 
algumas conclusões: 
Eu gosto do frio, portanto irei para São Joaquim no inverno. •	
Não, não gosto de tanto frio, por isso no inverno ficarei no Rio •	
de Janeiro.
Bom, você deve estar se perguntando: onde está a matemática nesse 
papo todo? Se estiver fazendo esse tipo de questionamento está indo 
por um bom caminho, pois a matemática, por incrível que pareça, 
está presente em muitas situações! E é isso que esperamos mostrar 
ao longo deste material! 
Lembrete. A partir de agora, serão apresentados vários exercí-
cios que pediremos para você resolver.
15
Agora verifique se você está acompanhando as discussões que fi-
zemos, resolvendo os seguintes exercícios.
Exercício 1. Coloque mais alguma condição no Problema 1 para 
construir uma matriz de ordem 3 x 5. 
Dica: Imagine que os dados são colhidos durante 3 dias. 
Exercício 2. Será que você pode imaginar e criar um problema do 
seu cotidiano diferente do dado acima para chegar a uma matriz? 
Dada uma linha i e uma coluna j de uma matriz A, o elemento 
na posição (i, j) será denotado por ija . Assim, uma matriz com m n× 
elementos pode ser escrita na seguinte forma estendida: 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
 
 
     
 
     
 
 
 Também podemos colocá-la na forma abreviada:
ij m n
A a
×
 =  
Assim, a matriz A de ordem m n× possui m n⋅ elementos da forma 
ija com 1, ,i m=  e 1, ,j n=  . 
Alguns livros denotama matriz A de elementos ija na forma
( )ij m nA a ×= .
Muitas vezes é fornecida uma lei de formação para obtermos os ele-
mentos de uma matriz. Por exemplo, se 
2 3ij
A a
×
 =   com ija i j= + , 
com 2m = e 3n = , estaremos construindo a seguinte matriz A:
1 1 1 2 1 3 2 3 4
2 1 2 2 2 3 3 4 5
A
+ + +   = =   + + +   
.
16
Exemplo 2. Vamos obter a matriz 3 4( )ijB b ×= , de ordem 3 4× , cujos 
elementos são da forma
, 1, 2
0, 3
j
ij
i i
b
i
 ==  =
.
Solução. Observe que não há nenhuma condição para os índices j, 
isto é, j está variando conforme o número de colunas que a matriz 
tem. Já na 3ª linha ( 3)i = todos os elementos serão nulos. Assim 
sendo, a matriz B é dada por:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 4 8 16
0 0 0 0 0 0 0 0
B
   
   = =   
     
.
1.2 Tipos de Matrizes 
1.2.1 Matriz Retangular
São denominadas assim aquelas matrizes cujo número de linhas é 
diferente do número de colunas. Por exemplo:
1 1
0 9
5 2
A
− 
 =  
 − 
 
0 1 2 3 4
7 2 3 8 0
1 3 3 2 6
3 5 0 0 9
B
 
 − =
 −
 
 
 e 
0 0 1
1 3 9
C  =  − 
,
e podem ser colocadas na forma [ ] [ ] [ ]3 2 4 5 2 3, e A B C× × ×= = = . No 
que segue podemos omitir a ordem na representação da matriz toda 
vez que ela venha dada na forma estendida.
1.2.2 Matriz Linha
A matriz linha é uma matriz que tem apenas uma linha. Por exemplo:
[1 2 3 4]L = (0 0 1 8)M = .
Observação. É comum colocarmos vetores no plano e no espaço 
como matrizes linha entre parênteses, onde os elementos estão se-
parados por vírgula. Exemplo: (0, 0,1, 8). 
17
1.2.3 Matriz Coluna
A matriz coluna é uma matriz que tem apenas uma coluna. Por 
exemplo:
2
2
2
B
 
 =  
  
 
0
1
1
4
3
D
 
 
 
 = −
 
 
  
.
Observação. Sabia que um vetor no plano (ou no espaço) pode ser 
considerado como uma matriz coluna? Mais adiante (capítulo de 
Sistemas Lineares) usaremos essa forma ao representar a solução 
de um sistema de equações. Assim, se tivermos duas ou três incóg-
nitas elas podem ser alocadas numa forma vetorial no plano ou no 
espaço, respectivamente; você também encontrará essa notação no 
livro “Um curso de geometria analítica e álgebra linear”, citado na 
bibliografia comentada. 
1.2.4 Matriz Nula
A matriz nula é uma matriz cujos elementos são todos nulos. Por 
exemplo:
0 0
0 0
O  =  
 
 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
O
 
 =  
  
.
Esses tipos de matrizes geralmente são denotados pela letra maiús-
cula O e dependendo do problema deverá discernir a ordem da ma-
triz no exercício ou problema em questão. Alguns autores denotam 
essa matriz da forma: 0ij m nO × =   .
1.2.5 Matriz Quadrada
Uma matriz quadrada é uma matriz onde o número de linhas é 
igual ao número de colunas. Nas seguintes matrizes, A é uma ma-
triz de ordem n e B uma matriz de ordem 3:
ij n
A a =   
1 1 1
1 1 2
3 7 0
B
 
 = − −   
Para facilitar, usamos ape-
nas a notação ij n
A a =   
para representar, de forma 
abreviada, matrizes qua- 
dradas de ordem n.
18
No caso de matrizes quadradas, é possível definir duas diagonais:
A •	 diagonal principal de uma matriz quadrada está dada pe-
los elementos na posição i j= . Por exemplo, os valores 1, 1− e 0 
são os elementos da diagonal principal da matriz B. 
A •	 diagonal secundária está dada pelos elementos da matriz 
cujos índices contabilizam o valor 1i j n+ = + , assim, na mes-
ma matriz B dada acima os elementos 1, 1− e 3 são aqueles 
cujos índices sempre somam 3 1 4i j+ = + = , esses elementos 
são 13b , 22b e 31b .
Exemplo 3: Considere a matriz 
1 1 1
1 1 2
3 7 0
B
 
 = − − 
  
.
Os elementos {1, -1, 0} formam a diagonal principal e os elementos {3, 
-1, 1} formam a diagonal secundária.
A partir de agora, falaremos um pouco mais sobre matrizes qua-
dradas.
1.2.6 Matriz Diagonal
A matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos fora da 
diagonal principal são nulos, isto é, 0ija = se i j≠ . Por exemplo:
1 0 0
0 3 0
0 0 6
D
 
 =  
  
 
0 0
0 1
E  =  − 
.
Pelo fato das matrizes diagonais possuírem elementos, quase sem-
pre não nulos. Apenas na posição ( , )i i é que elas podem ser deno-
tadas como 1 2{ , , , }ndiag d d d , ou ainda na forma 1 2{ , , , } ndiag d d d 
onde 1 2, , , nd d d indicam os elementos diagonais. Por exemplo, a 
matriz D dada anteriormente pode ser escrita como {1,3,6}=D diag .
1.2.7 Matriz Identidade
A matriz identidade é uma matriz diagonal onde todos os elemen-
tos da diagonal principal são iguais a um. É geralmente denotada 
19
com a letra I e com um índice que denota a ordem, como ilustrado 
a seguir:
2
1 0
0 1
 =  
 
I 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 =  
 
 
I .
1.2.8 Matriz Triangular Superior
A matriz triangular superior é uma matriz quadrada de ordem n
cujos elementos ija são nulos quando i j> . Isto é:
11 12 1
22 20
0 0
n
n
nn
a a a
a a
A
a
 
 
 =
 
 
 


   

.
1.2.9 Matriz Triangular Inferior
A matriz triangular inferior é uma matriz quadrada de ordem n 
cujos elementos ija são nulos quando i j< , ou seja:
11
21 22
1 2
0 0
0
n n nn
a
a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 


   

.
1.2.10 Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada S, de ordem n, é simétrica se ij jia a= , para 
quaisquer valores dos índices ,i j. São exemplos de matrizes simé-
tricas:
2
0 1
1 0
S
− =  − 
 4
1 0 1 3
0 1 4 5
1 4 0 0
3 5 0
S
a
− 
 − =  −
 − 
.
Observe que o elemento a na posição (4, 4) da matriz 4S não tem 
valor numérico, isto é, assume qualquer valor real.
Quando falamos de 
elementos assumindo 
qualquer valor real podemos 
denotá-los com a∈. 
Nesse caso, o símbolo ∈ é 
lido como “pertence a” e  
denota os números reais.
20
Exemplo 4. Encontre os valores de , , , , ,t w s z a b para obtermos S si-
métrica: 2 0
0
0 0
1 0 0 0
a t
x b w
S
z z
− 
 
 =
 −
 
 
.
Solução. Pela definição de matriz simétrica, todos os elementos ijs da 
matriz S devem ser tais que ij jis s= . Como a matriz é de ordem 4n = 
e considerando que ,i j variam entre 1 e 4 (ou seja, , 1, , 4i j =  ), 
encontramos que:
21 122s x s= = = .
Também:
31 130s z s= = = ,
e de forma similar:
41 141s t s= = − = .
Assim,
1t = − .
Também,
32 23s z w s= − = = ,
como 0z = e o oposto de zero é ele próprio, então:
0w = .
Por último, 
11s a= e 22s b= ,
mas não há nenhuma condição para esses valores. Portanto, a e b 
são valores reais quaisquer, isto é, ,a b∈. 
1.2.11 Matriz Anti-simétrica
Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se ij jia a= − . São exemplos 
de matrizes anti-simétricas as matrizes:
0 1
1 0
A
− =  
 
 
0 2 6
2 0 4
6 4 0
B
 
 = − − 
 − 
21
Exemplo 5. Considere a matriz S fornecida no Exemplo 3; encontre 
os valores de , , , , ,t w s z a b para S ser uma matriz anti-simétrica.
Solução. Usando um raciocínio similar ao usado no Exemplo 3 e con-
siderando que para cada valor de i e j deve se satisfazer ij jia a= − , 
encontra-se 2x = − , 0z = , 1t = , 0w = , 0a = e 0b = . Assim:
0 2 0 1
2 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
S
− 
 − =
 
 
 
.
Você percebeu que os elementos da diagonal principal das 
matrizes anti-simétricasfornecidas são todos nulos? Isso seria 
apenas uma coincidência? No exemplo seguinte, provaremos 
que esse resultado vale para qualquer matriz anti-simétrica.
Exemplo 6. Prove que os valores da diagonal principal de uma ma-
triz anti-simétrica qualquer são todos nulos.
Solução. Se ij nA a =   é uma matriz anti-simétrica de ordem n, os seus 
elementos satisfazem a relação ij jia a= − para quaisquer valores ,i j.
Os elementos na diagonal principal encontram-se na posição i j= , 
então ii iia a= − .
Daí, 2 0iia = para qualquer valor de i. Em consequência, 0iia = para 
qualquer i.
Um exemplo numérico que ilustra o que acabamos de provar foi 
dado no Exemplo 4. Nele, você encontrou que os valores diagonais 
são todos nulos!
1.2.12 Matriz Elementar
Uma matriz é denominada elementar se for obtida por meio de uma 
única mudança na matriz identidade. Essa mudança pode ser de 
um dos seguintes tipos:
22
A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna);1) 
A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor 2) ∈;
A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor 3) ∈, 
com outra linha (ou coluna).
Exemplos:
A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha 1 a) 
pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 
 
é dada por:
1
0 1
1 0
E  =  
 
.
A matriz elementar de ordem 4 obtida ao multiplicar na linha 3 b) 
da matriz identidade (de ordem 4) por 2− é dada por:
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
E
 
 
 =
 −
 
 
A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha 3 c) 
por 3− e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem 
3) é dada por:
3
1 0 0
0 1 0
0 1 3
E
 
 =  
 − 
Também, são matrizes elementares as matrizes: 
1 0
0 2
A  =  − 
 
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
B
 
 
 =  
 
 
Agora é com você!
Exercício 3. Como foram obtidas as matrizes elementares A e B 
anteriores?
23
1.2.13 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B, de ordem m n× , são ditas serem iguais se 
todos os seus elementos são iguais. Isso pode ser expressado com a 
seguinte relação de igualdade:
.
A expressão 
, ,ij ija b i j= ∀
também pode ser colocada como: 
, {1, , }, {1, , }ij ija b i m j n= ∀ ∈ ∀ ∈  .
Exemplo 7. Forneça condições para estabelecer a igualdade das ma-
trizes A e S dadas a seguir.
0 2 0 1
2 0 2
0 2 0 0
1 0 0
t
A
t
− 
 − − =
 −
 
 
 
11 2 0 1
2 2
0 2 0 0
1 0 0
s
y t
S
t
− 
 − − =
 −
 − 
Solução. Como as matrizes são de ordem 4, teremos , {1, , 4}i j∈  . 
Se A S= , então, ij ija s= , {1, , 4}i j∀ ∈  , assim:
11 110a s= =
22 220a s y= = = ,
daí resulta:
0y = .
Também,
24 24a t s t= − = = − ,
com isso:
t∈.
Mais,
42 42a t s t= = = −
2 0t = ,
O símbolo matemático ∀ é 
lido “para todo”. Na relação 
dada, ∀ i, j é lido “para todo 
i e para todo j”.
24
que implica:
0t = .
Por último, como t∈ e 0t = , implica 0t = .
Observação. As matrizes 
1 1
1 1
A  =  
 
 e 
1 1 1
1 1 1
B  =  
 
 possuem os mes-
mos elementos, mas não são iguais, você pode justificar o porquê?
Agora é com você!
Exercício 4. Quais são os valores de b para a matriz 
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
b b
A
b
b b
 
 
 =
 
 
 
 ser simétrica?
1.3 Operações com Matrizes
A seguir, serão definidas as operações de adição, produto por um 
escalar e produto de matrizes.
1.3.1 Adição de Matrizes
Dadas as matrizes ij m nA a × =   e ij m nB b × =   , a adição das matrizes A 
e B é a matriz ij m nC c × =   , onde ij ij ijc a b= + , ,i j∀ .
Notação. C A B= + .
ij ij m n
A B a b
×
 + = + 
Exemplo 8. Se 
0 2 0 1
2 0 2
0 2 0 0
1 0 0
t
A
t
− 
 − − =
 −
 
 
 e 
11 2 0 1
2 2
0 2 0 0
1 0 0
s
y t
S
t
− 
 − − =
 −
 − 
, calcu-
le C A S= + para ,t y e 11s quaisquer números reais.
25
Solução. Ao aplicarmos a definição de soma de matrizes nas matrizes 
A e S , teremos: 
11 4 0 2
0 0 2
0 4 0 0
2 0 0 0
s
y t
C
− 
 − =
 −
 
 
.
1.3.2 Produto de uma matriz por um escalar
Dado o escalar , o produto da matriz A pelo escalar é uma matriz 
da mesma ordem cujos elementos foram multiplicados pelo valor . 
Em outras palavras, se ij m nA a × =   e ∈, o produto de A pelo es-
calar  é uma matriz C de elementos ijc com ij ijc a= para todos os 
valores ,i j definidos na matriz A. Isto é:
ij m n
C c
×
 =   , tal que ij ijc a= , ,i j∀ .
Notação. ij m nC A a  × = =   .
Exemplo 9. Multiplique a matriz 4I pelo escalar 2 = − .
Solução.
4
1 0 0 0 2 0 0 0
0 1 0 0 0 2 0 0
2
0 0 1 0 0 0 2 0
0 0 0 1 0 0 0 2
C I
−   
   −   = = − =
   −
   −   
Nota. Quando 1 = − , podemos escrever 1 A A− ⋅ = − .
1.3.3 Produto de Matrizes
Dadas as matrizes [ ]ik m tA a ×= e kj t nB b × =   , o produto das matrizes A 
e B é uma matriz ij m nC c × =   cujos elementos ijc são da forma:
1
t
ij ik kj
k
c a b
=
=∑ .
Escalar
Na maioria dos casos, é um 
número real ∈ . É pos-
sível, também, tomarmos 
os escalares como números 
complexos, ∈ . Os es-
calares podem ser tomados 
de qualquer sistema numéri-
co no qual podemos somar, 
subtrair, multiplicar e dividir 
de acordo com as leis habi-
tuais da aritmética.
26
Isto é, ao definirmos as matrizes
11 12 1
21 22 2
1 2
t
t
m m mt m t
a a a
a a a
A
a a a ×
 
 
 =
 
 
 


   

, 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
t t tn t n
b b b
b b b
B
b b b ×
 
 
 =
 
 
 


   

 e 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn m n
c c c
c c c
C
c c c ×
 
 
 =
 
 
 


   

,
os elementos da matriz produto adotam a forma:
1 1 2 2ij i j i j it tjc a b a b a b= + + +
1
t
ij ik kj
k
c a b
=
=∑ .
Note que o número de colunas da matriz A é igual ao número de 
linhas da matriz B. 
Notação: 
1 3 4
t
ik kj
k
C AB a b
= ×
 = =   
∑ . 
Exemplo 10. Seja a matriz 
2 3 4
3 4 5
4 5 6
A
 
 =  
  
 e a matriz B, de ordem 
3 4× com elementos jijb i= . Obter a matriz produto C AB= . 
Solução. Como o número de colunas de A é igual ao número de 
linhas de B, o produto pedido é possível. As matrizes explicitadas são 
dadas respectivamente por:
2 3 4
3 4 5
4 5 6
A
 
 =  
  
 e 
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
B
 
 =  
  
.
Para obtermos a matriz produto 
3 4ij
C AB c
×
 = =   com elementos 
3
1
, 1, ,3, 1, , 4ij ik kj
k
c a b i j
=
= = =∑   .
Percorrendo cada valor de i e j dado temos os elementos da:
Primeira linha:•	
11
12
13
14
(2)(1) (3)(2) (4)(3) 2 6 12 20
(2)(1) (3)(4) (4)(9) 2 12 36 50
(2)(1) (3)(8) (4)(27) 2 24 108 134
(2)(1) (3)(16) (4)(81) 2 48 324 374
c
c
c
c
= + + = + + =
= + + = + + =
= + + = + + =
= + + = + + =
27
Segunda linha:•	
21 (3)(1) (4)(2) (5)(3) 3 8 15 26c = + + = + + =
22 (3)(1) (4)(4) (5)(9) 3 16 45 64c = + + = + + =
23 (3)(1) (4)(8) (5)(27) 3 32 135 170c = + + = + + =
24 (3)(1) (4)(16) (5)(81) 3 64 405 472c = + + = + + =
E, por último, os da terceira linha:•	
31 (4)(1) (5)(2) (6)(3) 4 10 18 32c = + + = + + = ;
32 (4)(1) (5)(4) (6)(9) 4 20 54 78c = + + = + + = ;
33 (4)(1) (5)(8) (6)(27) 4 40 162 206c = + + = + + = ; 
34 (4)(1) (5)(16) (6)(81) 4 80 486 570c = + + = + + = .
 Sendo assim, temos a seguinte matriz:
11 12 13 14
21 22 2324
31 32 33 34
20 50 134 374
26 64 170 472
32 78 206 570
c c c c
C c c c c
c c c c
   
   = =   
      
. 
Ao multiplicarmos matrizes devemos tomar cuidado com a or-
dem das linhas e colunas, ou seja, poderemos fazer o produto 
de matrizes quando o número de colunas da primeira matriz 
for igual ao número de linhas da segunda. Assim, a matriz 
produto C terá um número de linhas igual ao número de li-
nhas da matriz A e um número de colunas igual ao número 
de colunas de B. 
1.3.4 Propriedades das Operações com Matrizes 
Considere ij m nA a × =   , ij m nB b × =   e ij m nC c × =   , então temos as se-
guintes propriedades:
1) Propriedades da Adição
A1) Comutatividade: A B B A+ = + ;
A2) Associatividade: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + ;
A3) Elemento Neutro da Soma: A O A+ = , [0]m nO ×= ;
A4) Elemento Simétrico: ( )A A O+ − = ( )A A O− = .
28
Observação. 1 1 ( )ij ijm n m nA A a a× ×   − = − ⋅ = − ⋅ = −   
• Prova das Propriedades 
A1) Comutatividade: A B B A+ = +
Seja ij m nA a × =   e ij m nB b × =  
ij ijm n m n
A B a b
× ×
   + = +   
ij ij m n
a b
×
 = + 
( )ij ij m na b × = +  .
Usando a propriedade comutativa dos números reais:
( ) ( )x y y x+ = + , com ,x y∈
temos:
( )ij ij m nb a × = + 
ij ij m n
b a
×
 = + 
B A= + .
Logo,
A B B A+ = + .
A2) Associatividade: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + .
Consideremos ij m nA a × =   , ij m nB b × =   e ij m nC c × =   .
Da definição de soma de matrizes,
ij ij m n
A B a b
×
 + = + 
e ( ) ( )ij ij ij m nA B C a b c × + + = + +  .
Usando a propriedade associativa dos números reais:
( ) ( )x y z x y z+ + = + + com , ,x y z∈.
Temos, então:
( )ij ij ij m na b c × = + +  .
E usando a definição de soma de matrizes:
ij ij ijm n m n
a b c
× ×
   = + +   
29
( )A B C= + + .
Logo,
( ) ( )A B C A B C+ + = + + .
A3) Elemento Neutro da Soma: A O A+ = , [0]m nO ×= .
Seja ij m nA a × =   e [0]m nO ×=
0 ( 0)ij ijm n m nA O a a× ×   + = + = +    .
Pela propriedade dos números reais:
0x x+ = com x∈.
Então,
0 , ,ij ija a i j+ = ∀ .
Com isso,
0ij ijm n m na a× ×   + =    A= .
Logo,
A O A+ = .
A4) Elemento Simétrico: ( )A A O+ − = .
Seja ij m nA a × =   e ij m nA a × − = −  . Logo,
( ) ( )ij ij m nA A a a × + − = + −  .
Pela propriedade dos números reais:
( ) 0x x+ − = com x∈.
Então,
( ) 0, ,ij ija a i j+ − = ∀ .
Assim,
( ) [0]ij ij m nm na a O×× + − = =  .
Logo, 
( )A A O+ − = .
2) Propriedades do Produto por um Escalar 
Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem e ,  dois escalares, 
então:
M1) ( ) ( )A A  = ;
M2) ( )A B A B  + = + ; 
30
M3) ( ) A A A   + = + ;
M4) 1 A A⋅ = .
Observação. Quando trabalhamos com matrizes, pode acontecer a 
necessidade de multiplicá-las pelo escalar zero, dando como resulta-
do a matriz nula. Isto é, .
Vejamos: se ij m nA a × =   , [0]m nO ×= e o escalar nulo (0):
0 ij m nO A a × ⋅ =  
0 ij m na × = ⋅ 
[0]m n×=
O= .
• Prova das Propriedades 
M3) ( ) A A A   + = + .
Sejam ,  dois escalares e a matriz ij m nA a × =   , então:
( ) ( ) ij m nA a    × + ⋅ = +   
( ) ij m na  × = +  .
Usando a propriedade distributiva dos números reais 
( )x y z xz yz+ ⋅ = +
para cada elemento da matriz, temos:
( ) ( )ij ij m na a  × = + 
ij ijm n m n
a a 
× ×
   = +    .
Pela definição de produto por um escalar,
ij ijm n m n
a a 
× ×
   = +   
A A = + .
Logo,
( ) A A A   + ⋅ = + .
M4) 1 A A⋅ = .
Você observou as diferenças 
entre o zero escalar e a 
matriz zero, denotada pela 
letra O?
31
Seja ij m nA a × =   e o escalar 1∈.
1 1 ij m nA a × ⋅ = ⋅  
1 ij m na × = ⋅ 
(1 )ij m na × = ⋅  .
Usando a propriedade do elemento neutro da multiplicação dos nú-
meros reais, 
1 ,x x x⋅ = ∀ ∈.
Temos:
1 ij ijm n m na a A× ×   ⋅ = =    .
Logo,
1 A A⋅ = .
Agora é com você!
Exercício 5. Prove as outras propriedades do produto de uma ma-
triz por um escalar.
3) Propriedades do Produto de Matrizes
Considere , e A B C matrizes, então valem as seguintes proprieda-
des de produto de matrizes: 
P1) Associativa: ( ) ( )AB C A BC= ;
P2) Distributiva: ( )A B C AB AC+ = + ; 
P3) ( )A B C AC BC+ = + ; 
P4) ( ) ( ) ( )AB A B A B  = = .
• Prova das Propriedades
P3) ( )A B C AC BC+ = + ; 
Sejam as matrizes [ ]ik m pA a ×= , [ ]ik m pB b ×= , [ ]kj p nC c ×= , então:
( ) [( )] .ik ik m p kj p nA B C a b c× × + = +   .
Usando a definição do produto de matrizes para A B+ e C , 
temos:
1
( )
p
ik ik kj
k m n
a b c
= ×
 = + 
 
∑ .
Ao enunciar as propriedades 
do produto de matrizes 
não explicitamos a ordem 
das mesmas, por exemplo, 
em 1P, ( ) ( )AB C A BC= 
supomos possíveis os 
produtos AB e BC, isto 
é, o número de colunas de 
A é igual ao número de 
linhas de B e o número de 
colunas de B é igual ao 
número de linhas de C.
32
Usando a propriedade distributiva dos números reais:
1
p
ik kj ik kj
k m n
a c b c
= ×
 = + 
 
∑ .
Pela propriedade 2 dos somatórios e da definição de adição de ma-
trizes,
1 1 1 1
p p p p
ik kj ik kj ik kj ik kj
k k k km n m n m n
a c b c a c b c
= = = =× × ×
     + = +     
     
∑ ∑ ∑ ∑
.
Pela definição do produto de matrizes:
AC BC= + .
Logo,
( )A B C AC BC+ = + .
P4) ( ) ( ) ( )AB A B A B  = = .
Seja ∈, [ ]ik m tA a ×= e [ ]kj t nB b ×= 
1
( ) [ ] [ ] ( )
t
ik m t kj t n ik kj
k m n
AB a b a b  × ×
= ×
 = ⋅ = ⋅  
∑ .
Usando a propriedade do somatório:
1 1
n n
i i
i i
c x cx
= =
=∑ ∑ , c: constante,
temos:
 
1
( )
t
ik kj
k m n
a b
= ×
 = ⋅  
∑ .
Da propriedade associativa dos números reais:
( ) ( )xy z x yz⋅ = ⋅ com , ,x y z∈.
Temos:
 
1
( )
t
ik kj
k m n
a b
= ×
 ⋅  
∑ .
E, pela definição de produto de matrizes e produto de uma matriz 
por um escalar,
( )A B= .
Logo,
( ) ( )AB A B = .
A lista de propriedades 
encontra-se no final desta 
Seção.
33
Observação. É importante observar que em geral AB BA≠ , isso será 
ilustrado com o seguinte exemplo.
Exemplo 11. Dadas as matrizes 
1 0
0 1
A  =  − 
 e 
1 1
1 0
B  =  
 
, a matriz 
produto 
1 1
1 0
AB  =  − 
, entretanto 
1 1
1 0
BA
− =  
 
, verificando que
AB BA≠ .
No ambiente virtual da disciplina você encontrará algumas 
atividades nas quais poderá praticar tanto a multiplicação de 
matrizes numéricas, usando problemas do cotidiano, quanto a 
aplicação das propriedades.
Agora é com você!
Exercício 6. Prove as outras propriedades do produto de 
matrizes.
1.3.5 Transposta de uma Matriz
Seja ij m nA a × =   , a matriz transposta de A, denotada por A', é aquela 
matriz obtida trocando-se as linhas pelas colunas de A. Isto é: 
ji n m
A a
×
′  =   . 
Por exemplo, se 
2 3
1 2 3
4 5 6
A
×
 =  
 
, a matriz transposta é uma matriz 
de ordem 3 2× dada por:
3 2
1 4
' 2 5
3 6
A
×
 
 =  
  
.
Observe que na matriz transposta cada elemento na linha i e co-
luna j aparece como sendo um elemento da linha j e coluna i da 
matriz A.
Na literatura é também 
usual encontrarmos a 
transposta de uma matriz 
denotada como TA ou 
tA , mas usaremos tal 
notação pelo fato de ser a 
forma como trabalharemos 
computacionalmente com 
alguns softwares como 
MATLAB® ou SCILAB®, 
duranteas nossas aulas ou 
no ambiente virtual.
34
Exemplo 12. Seja A uma matriz de ordem 2, encontre o valor de x 
de modo que 'A A= .
1
1 0
x
A  =  − 
.
Solução.
1 1
'
0
A
x
− =  
 
.
Como 'A A= é uma condição do exercício, então:
1 1 1
0 1 0
x
x
−   =   −   
.
Isso será válido apenas se 1x = − .
Observação. Outra forma de definirmos a matriz simétrica é usan-
do a matriz transposta. Assim, diremos que uma matriz é simétrica 
se ela coincide com a sua transposta, isto é, 'A A= . 
1.3.6 Propriedades da Matriz Transposta
Dadas as matrizes e A B, são válidas as propriedades da matriz 
transposta:
( ') 'A A=1) ;
( ) ' ' 'A B A B+ = +2) ;
( ) ' ' 'AB B A=3) ;
( ) ' ', A A  = ∈4) .
• Prova da Propriedade 3
( ) ' ' 'AB B A= .
Sejam [ ]ik m pA a ×= , [ ]kj p nB b ×=
1
p
ik kj
k m n
AB a b
= ×
 =  
 
∑
[ ]ij m nc ×= .
35
Assim:
1
p
ij ik kj
k
c a b
=
=∑ .
Pela definição de transposta de uma matriz,
( ) ' [ ]ji n mAB c ×=
1
p
jk ki
k n m
a b
= ×
 =  
 
∑ (1)
Pode-se verificar que:
1 1
p p
jk ki jk ki
k k
b a a b
= =
=∑ ∑ . (2)
Por outro lado:
' [ ] , ' [ ]jk n p ki p mB b A a× ×= =, ' [ ] , ' [ ]jk n p ki p mB b A a× ×= = .
Observe que { }1, ,k p∈  , e
1
' '
p
jk ki
k n m
B A b a
= ×
 =  
 
∑
(deixamos a você a tarefa de pesquisar a propriedade do somatório 
usado), substituindo (2) e (1):
1
( ) '
p
jk ki
k n m
AB b a
= ×
 =  
 
∑ .
Logo,
( ) ' ' 'AB B A= .
Agora é com você!
Exercício 7. Prove as demais propriedades, justificando todos os 
passos do seu procedimento.
Exercício 8. Prove que se 'A A= − , então A é anti-simétrica.
Exercício 9. Dado um escalar não nulo  , prove que, se A é uma 
matriz simétrica e B é uma matriz anti-simétrica, então, 1 A

 é si-
métrica e 
1 B

 é anti-simétrica. 
36
Exemplo 13. Prove que toda matriz quadrada pode ser colocada 
como a soma de uma matriz simétrica com outra anti-simétrica.
Solução. Seja ij nA a =   . Em primeiro lugar, vejamos que 'A A+ é 
uma matriz simétrica. 
Seja ij nA a =   e A B C= + com B simétrica eC anti-simétrica (am-
bas de ordem n). Isto é, 'B B= e 'C C= − .
Transpondo, ' ' 'A B C= + .
Somando a última expressão na equação A B C= + , temos:
' ( ' ) ( ' )A A B B C C+ = + + + .
Sendo B simétrica eC anti-simétrica:
' 2A A B+ = .
Então,
'
2
A AB += .
Como C é anti-simétrica, ao substituirmos as equações:
' ' '
' ( ')
2
A A B C B C
B B C C
C
− = + − −
= − + −
=
Então:
'
2
A AC −= .
Assim,
' '
2 2
A A A AA + −   = +      
.
1.3.7 Potência de uma Matriz: Ap
Seja A uma matriz quadrada e p um número inteiro positivo, a 
potência p da matriz A, denotada por pA está definida por:
vezes
p
p
A A A= ⋅ ⋅

37
Exemplo 14. Seja [ ]ij nA a= , com ija i j= − , calcule 
3A , para 2,3,4p = .
Solução. Pela lei de formação fornecida obtemos facilmente o valor 
de A:
Se 2n = ,
0 1
1 0
A
− =  
 
.
Assim, 
2 0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
A AA
− − −     = = =     −     
.
Se 3p = ,
3 2 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
A AAA A A
− −     = = = =     − −     
.
Deixamos como exercício calcular 
4A . 
Observações: 
Calcular 1) pA equivale a calcular 1pA A− ⋅ . Assim, se quiser encon-
trar 50A , calcule 49A e multiplique o resultado por A (para o que 
previamente calculou o valor de 48A e assim por diante).
Por definição, se 2) 0p = e A O≠ , então 0A I= .
1.3.8 Traço de uma Matriz
Dada ij nA a =   , o traço de A, denotado por ( )Tr A , é o número dado 
pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto é:
1
( )
n
ii
i
Tr A a
=
=∑ .
Por exemplo, se 
1 1 1 0
0 0 2 5
 ( ) 1 0 7 5 13
3 4 7 1
0 0 0 5
A Tr A
− 
 
 = ⇒ = + + + =
 
 
 
.
38
1.3.9 Propriedades do Traço
Dados ij nA a =   
e ij nB b =   , são verdadeiras as seguintes proprie-
dades:
( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = +1) ;
( ) ( )Tr A Tr A =2) ;
( ') ( )Tr A Tr A=3) ;
( ) ( )Tr AB Tr BA=4) .
• Prova da Propriedade 1
( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = +
Sejam ij nA a =   e ij nB b =   duas matrizes quadradas.
Pela definição do traço,
1
( ) ( )
n
ii ii
i
Tr A B a b
=
+ = +∑ ,
e pela propriedade do somatório:
1 1
n n
ii ii
i i
a b
= =
= +∑ ∑
( ) ( )Tr A Tr B= + .
Agora é com você!
Exercício 10. Prove as outras propriedades.
Exercícios Resolvidos 
Dada a matriz 1) 
2 3
1 1 7
0 5 2
A
×
− =  − 
, encontre a sua transposta. 
Solução.
3 2
1 0
' 1 5
7 2
A
×
 
 = − 
 − 
.
39
Encontre o traço de matriz identidade.2) 
Solução. Seja nI a matriz identidade de ordem n.
1
( ) 1
n
n
i
Tr I n
=
= =∑ .
Encontre o traço de uma matriz diagonal e de uma matriz 3) 
triangular de qualquer ordem.
Solução. Usando a notação simplificada, temos a matriz diagonal 
{ }1 2, , , nD diag d d d=  . Assim: 
1
( )
n
i
i
Tr D d
=
=∑ .
Deixamos para você o cálculo do traço no caso de se ter uma ma-
triz triangular.
1.3.10 Propriedades de Somatórios 
Os seguintes itens fornecem algumas propriedades de somatórios 
úteis para a prova das propriedades listadas anteriormente.
 a) 
1 1
n n
i j
i j
b b
= =
=∑ ∑ ;
1 1 1
( )
n n n
i i i i
i i i
a b a b
= = =
+ = +∑ ∑ ∑b) ;
1 1
n n
i k k i
i i
b a a b
= =
=∑ ∑c) ;
1 1 1 1
n m m n
ij ij
i j j i
b b
= = = =
=∑∑ ∑∑d) .
Observação. No final deste Capítulo você encontrará um resumo de 
todas as propriedades até aqui utilizadas, que servirá de ajuda ao 
resolver exercícios de demonstração. 
40
Agora é com você!
Exercício 11. Dadas as matrizes:
1 2 1
2 3 2
1 4 5
A
− 
 = − − 
  
, 
1 0 3
2 1 4
3 1 17
B
 
 = − 
 − − − 
,
encontre: 
2C A B= +a) ;
2C B=b) ; 
( )tr Ac) , ( )tr B e ( )tr AB ;
Expresse as matrizes A e B como somas de uma matriz simétrica 
com outra anti-simétrica.
Exercício 12. Sejam as matrizes A e B, de ordem 4, 
4ij
A a =   com 
se
0 se
i
ij
j i j
a
i j
 ≥=  <
, e B uma matriz simétrica com ijb i j= + se i j≤ . 
Encontre:
2 3C A B= −a) .
2C B=b) . C é uma matriz simétrica?
Exercício 13. Sejam A e B matrizes simétricas, justifique se os enun-
ciados a seguir são falsos ou verdadeiros:
A B+•	 é uma matriz simétrica.
AB•	 é uma matriz simétrica.
Nota. Se sua resposta for verdade, prove. Se for falsa, apresente um 
contraexemplo.
Exercício 14. Imagine uma situação cotidiana e procure problemati-
zá-la de tal forma que você possa fazer uso:
da soma de matrizes;•	
41
da subtração de matrizes;•	
do produto de matrizes.•	
1.4 Determinantes 
1.4.1 Menor de uma Matriz: Mij
Dada uma matriz quadrada, [ ]ij nA a= , o menor da matriz A, deno-
tado por ijM , é uma submatriz de ordem ( 1)n − obtida ao cancelar-
mos a linha i e a coluna j. 
Assim, se:
11 12 1 1
21 22 2 2
( 1)
1 2
1 2
j n
j n
ij ij n
i i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
A M a
a a a a
a a a a
−
 
 
 
 
 = ⇒ =    
 
 
  
 
 
     
 
     
 
.
Com:
 
11 1( 1) 1( 1) 1
( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)
( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)
j j n
i i j i j i n
ij
i i j i j i n
n n j n j nn
a a a a
a a a a
M
a a a a
a a a a
− +
− − − − + −
+ + − + + +
− +
  
 
 
=  
 
 
 
  
 
     
 
 
     
 
. 
Exemplo:
Se 
2 3 4 5 6
0 0 1 3 4
2 1 3 2 0
0 0 0 1 0
1 1 1 1 1
A
 
 
 
 = −
 − 
  
,
42
então, o menor 34M é obtido ao eliminarmos a linha 3 e a coluna 4, 
isto é:
34
2 3 4 6
0 0 1 4
0 0 0 0
1 1 1 1
M
 
 
 =
 
 
 
.
Similarmente, ao eliminarmos a linha 1 e a coluna 1, obtemos o 
menor 11M .
11
0 1 3 4
1 3 2 0
0 0 1 0
1 1 1 1
M
 
 − =
 −
 
 
.
Agora é com você!
Exercício 15. Verifique que ij nA a =   (com 
2n elementos) possui 2n 
menores. 
Nessa parte da teoria assumimos que você está familiarizado(a) 
com o cálculo de determinantes de matrizes de ordem 2 e 3. O valor 
do determinante de uma matriz A é denotado nas formas det ( )A , 
det A ou A . Por exemplo, se:
0 1
1 0
A  =  − 
, então ( ) (0)(0) ( 1)(1) 1det A = − − = .
Similarmente, se:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B
 
 =  
  
, então: 
det ( ) (1)(5)(9) (2)(6)(7) (3)(4)(8) (3)(5)(7) (1)(6)(8) (2)(4)(9)B = + + − − − = 
45 84 96 105 48 72 0= + + − − − = .
Com esses exemplos, estamos relembrando de forma rápida que o 
determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado de uma única 
maneira: o produto dos elementos da diagonal principal menos o 
produto dos elementos da diagonal secundária. E o determinante 
de uma matriz de ordem 3 é calculado pela Regra de Sarrus.
Para lembrar esta regra 
pesquise na Internet 
ou em algum material 
de matemática do 
ensino médio.
43
1.4.2 Cofator de uma Matriz: Aij
O cofator ijA do elemento na posição ( , )i j de uma matriz A é dado pelo 
valor do determinante ijM , multiplicado pelo valor ( 1)
i j+− . Isto é:
( 1) det ( )i jij ijA M
+= − .
Ou:
( 1) i jij ijA M
+= − .
Exemplo 15. Se 
2 3 4 6
0 0 1 4
0 0 0 0
1 1 1 1
A
 
 
 =
 
 
 
, calcule A44, A11, A31, A33, A14, A23 e A32. 
Solução.
4 4
44 44
2 3 4
( 1) ( 1) 0 0 1 0
0 0 0
A M+= − = + =
1 1
11 11
0 1 4
( 1) ( 1) 0 0 0 0
1 1 1
A M+= − = + =
3 1
31 31
3 4 6
( 1) ( 1) 0 1 4 19 18 1
1 1 1
A M+= − = + = − =
3 3
33 33
2 3 6
( 1) ( 1) 0 0 4 12 8 4
1 1 1
A M+= − = + = − =
1 4
14 14
0 0 1
( 1) ( 1) 0 0 0 0
1 1 1
A M+= − = − =
2 3
23 23
2 3 6
( 1) ( 1) 0 0 0 0
1 1 1
A M+= − = − =
44
 3 232 32
2 4 6
( 1) ( 1) 0 1 4 (18 14) 4
1 1 1
A M+= − = − = − − = −
Observe as mudanças de sinais dos elementos nas posições ( , )i j , 
isto é, ( 1) i j+− : 
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − +
Em geral, para uma matriz de qualquer ordem, as mudanças de si-
nais dos elementos nas posições ( , )i j ( 1)( )i j+− são:
+ − +
− + −
+ − +



   
1.4.3 Determinante de A usando Cofatores
Dada A uma matriz de ordem n, ij nA a =   .
Se 2n = , os menores e os cofatores da linha um da matriz de ordem 
dois são dados respectivamente por:
11 22 11 22[ ],M a A a= = ,
12 21 12 21[ ],M a A a= = − .
E o valor do determinante será:
11 12
11 22 21 12
21 22
det ( )
a a
A a a a a
a a
= = −
11 11 12 12| | ( | |)a M a M= + −
11 11 12 12a A a A= + .
Se 3n = , o valor do determinante da matriz (colocado em função dos 
cofatores relativos à primeira linha) será:
45
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det ( )
a a a
A a a a
a a a
=
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − −
11 22 33 32 23 12 23 31 33 21 13 21 32 31 22( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + −
11 11 12 12 13 13( | |) ( | |) ( | |)a M a M a M= + + − + +
3
11 11 12 12 13 13 1 1
1
j j
j
a A a A a A a A
=
= + + =∑ .
Note que calculamos o determinante de A usando cofator onde 1i = . 
Podemos usar qualquer linha da matriz. Por exemplo, com 2i = : 
21 21 22 22 23 23| | ( | |) ( | |) ( | |)A a M a M a M= − + + + −
3
21 21 22 22 23 23 2 2
1
j j
j
a A a A a A a A
=
= + + =∑
Por exemplo, se 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
 
 =  
  
 o determinante usando a segunda 
linha é dado por:
21 22 23| | 4 5 6A A A A= + +
21 22 234( ) 5( ) 6( )M M M= − + + + −
4(18 24) 5(9 21) 6(8 14)= − − + − − −
24 60 36 0= − + = .
No caso geral de uma matriz de ordem n, o cálculo do determinante 
da matriz referido à linha 1 (ou a qualquer linha k) é dado por:
11 11 12 12 1 1| | n nA a A a A a A= + + +
1 1 1 1
1 1
n n
i i j j
i j
a A a A
= =
= =∑ ∑ .
Se o desenvolvimento do determinante for referido a qualquer linha 
k, temos:
1
n
kj kj
j
A a A
=
=∑ ,
onde k é um valor fixo. 
46
Por exemplo, na matriz do Exemplo 14, calculamos o determinante 
pelo desenvolvimento de cofatores referido à linha 3 (pois tendo todos 
seus elementos nulos evitaremos cálculos desnecessários). Assim:
31 32 33 340 0 0 0 0A A A A A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .
Nota. Fica como regra: ao calcular o determinante usando cofatores, 
escolha a linha (ou coluna) da matriz que tiver o maior número de 
elementos nulos.
Similarmente, é possível fazer o desenvolvimento por colunas. Veja:
Usando a primeira coluna:1) 
11 11 21 21 1 1n nA a A a A a A= + + + .
Deixamos para você chegar ao seguinte desenvolvimento para 2) 
uma coluna k qualquer:
1
n
ik ik
i
A a A
=
=∑ .
O desenvolvimento dado acima para encontrarmos o valor do deter-
minante (usando linhas ou colunas) é comumente conhecido como 
o desenvolvimento de Laplace.
1.4.4 Definição Geral do Determinante de uma 
Matriz
• Permutação
Dados os n números (ou n objetos distintos) uma permutação des-
ses números (ou objetos) consiste em dispô-los em uma determina-
da ordem.
Exemplo 16. Considere os números 1, 2 e 3, podemos ordená-los de 
várias formas, por exemplo: (1 2 3), (3 2 1), etc.
O mesmo acontece quando escolhemos 4 números, como 1, 2, 3 e 4. 
Podemos ordená-los, por exemplo: (1 2 3 4), (2 1 3 4), etc.
Notação. Uma permutação de n números é denotada por 1 2( )nj j j .
Astrônomo e matemático 
francês, Marquês de Pierre 
Simon de Laplace (1749-
1827) ficou conhecido 
como o “Newton francês”. 
Sua carreira foi importante 
por suas contribuições 
técnicas para as ciências 
exatas, tanto pelo ponto 
de vista filosófico que ele 
desenvolveu durante sua 
vida, quanto pela parcela 
que tomou parte na 
formação das modernas 
disciplinas científicas. 
47
• Número de Permutações
Dados os números 1 e 2 há duas permutações, (1 2) e (2 1), ou seja, 2! 
permutações.
No caso dos números 1, 2 e 3 as permutações (1 2 3) e (3 2 1) são dois 
exemplos, no total existem 3! permutações. Quais são?
Dado n números, 1,2, , n , existem !n permutações.
Agora é com você!
Exercício 16. Calcule o número de permutações possíveis de 4 nú-
meros.
• Inversão
É o número de mudanças necessárias em uma permutação para vol-
tá-la à sua posição ordenada inicial.
Notação. Uma inversão de n números será denotada por:
1 2( )nJ J j j j=  .
Por exemplo, nas permutações dadas acima:
(1 2 3) 0J = , (1 2 3 4) 0J = e (3 2 1) 3J = .
No último caso, embora o número 2 esteja na posição que lhe cor-
responde, para colocarmos os números 3 e 1 nos seus lugares será 
necessário fazermos assim:
(3 2 1) (2 3 1) (2 1 3)→ → e por último (1 2 3).
Ou (3 2 1) (3 1 2) (1 3 2)→ → e por último (1 2 3).
Em ambos os casos haverá 3 inversões.
Exemplo 17. Construir uma tabela do número de inversões possí-
veis de 2 e 3 números.
Solução. Se 2n = , considere os números 1 e 2.
Permutação N° de inversões
12 (1 2) 0J =
21 (21) 1J =
48
Se 3n = , considere os números 1, 2 e 3.
Permutação N° de inversões
123 (1 2 3) 0J =
132 (1 3 2) 1J =
213 (2 1 3) 1J =
231 (2 3 1) 2J =
312 (31 2) 2J =
321 (3 2 1) 3J =
Agora é com você!
Exercício 17. Verifique que o número de inversões da permutação J 
(4 3 2 1) é igual a 6.
Exemplo 18. Construir uma tabela do número de inversões de 4 
números.
Solução. Neste caso o número de inversões para cada permutação 
1 2 3 4( )j j j j será dado por 1 2 3 4( )J J j j j j= . O resultado será co-
locado na segunda coluna da tabela.
Permutação N° de inversões
1234 0
1243 1
1324 1
1342 2
1432 3
1423 2
2134 1
2143 :
2314 :
2341 :
2431 :
: :
Deixamos para você completar a tabela.
49
• Determinante
Definição. Dada a matriz de ordem n, ij nA a =   , o determinante de 
A é definido por:
1 21 2
det ( ) ( 1)
n
J
j j njA a a a

= −∑  .
Onde 1 2( )nJ J j j j=  indica o número de inversões da permutação 
1 2( )nj j j ,  indica que o somatório é estendido a todas as !n per-
mutações dos números 1,2, , n .
Exemplo 19. Verifique o uso da definição nos casos dos determinan-
tes de ordem 2 e 3.
Solução. Na solução deste exemplo serão usados os resultados obti-
dos no Exemplo 15.
Se 2n = , então 2 = , assim:
1 2
1 2
( ) 0 1
1 2 11 22 12 21 11 22 12 21det ( ) ( 1) ( 1) ( 1) .
J j j
j jA a a a a a a a a a a

= − = − + − = �