aula Estudo das Circunferencias

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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
SEÇÕES DE UM CONE
Sabe-se que as cônicas são curvas planas obtidas através da interseção de um plano com um cone circular reto. Dependendo da posição do plano, tem-se uma seção cônica diferente:
ELIPSE
HIPÉRBOLE
PARÁBOLA
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Por definição, uma circunferência é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano eqüidistantes de um ponto fixo. O ponto fixo chama-se centro da circunferência e a medida da distância é o raio da circunferência.
Em outras
 palavras:
ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
A representação matemática das seções cônicas se faz através de equações de segundo grau em x e y .
ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
Elementos
 principais:
C - centro
 r - raio
Considere uma circunferência com centro no ponto C = (h, k) e de raio “r”, representada no plano cartesiano conforme a figura abaixo, sendo P = (x, y) um ponto qualquer pertencente à circunferência
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A equação reduzida da circunferência, com centro no ponto C = (h, k) e de raio “r”, pode ser obtida relacionando a distância entre os pontos “C” e “P” com o raio “r”:
ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
Equação reduzida da circunferência, C (h, k) e raio r .
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EXEMPLO:
Encontre a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto (2, 4).
ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
 (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25
Solução:
Como: h = 2 ; k = 4 e r = 5 , a equação reduzida da circunferência é:
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OBSERVAÇÃO:
Se o centro da circunferência coincide com a origem “0” do sistema de coordenadas cartesianas, temos que (h = k = 0) , de modo que a equação reduzida da circunferência se reduz a:
ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
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EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
Desenvolvendo a equação reduzida da circunferência:
ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
x2 - 2xh + h2 + y2 - 2yk + k2 - r2 = 0
x2 + y2 - 2xh - 2yk + h2 + k2 - r2 = 0
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
x2 + y2 - 2xh - 2yk + h2 + k2 - r2 = 0
Fazendo: -2h = D , -2k = E e h2 + k2 - r2 = F , obtém-se a equação geral da circunferência: 
Equação geral da circunferência
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
OBSERVAÇÕES:
1) Quando os coeficientes (x2 e y2) da equação geral da circunferência são unitários, as coordenadas do centro da circunferência são determinadas através das relações a seguir:
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
2) Se os coeficientes (x2 e y2) da equação geral da circunferência não forem unitários, deve ser feita a divisão da equação por tais coeficientes (que no caso da circunferência são iguais).
3) Para a determinação do raio “r”, note que: F = h2 + k2 - r2. 
OBSERVAÇÕES:
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
tem-se que o raio é calculado da seguinte maneira:
OBSERVAÇÕES:
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
EXEMPLO:
Esboce a circunferência dada pela equação:
 x2 + y2 - 6x + 8y = 0.
SOLUÇÃO
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
D = -6 , E = 8 e F = 0
 logo:
Assim, o centro da circunferência é o ponto (3, -4) e o raio é igual a 5.
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
5) Para que a equação x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 represente uma circunferência, a condição D2 + E2 - 4F > 0 dever ser observada no cálculo do raio (não existe raiz quadrada de número negativo!). Portanto, não há circunferência quando D2 + E2 - 4F < 0 .
OBSERVAÇÕES:
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
6) Se D2 + E2 - 4F = 0 , a equação x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 na realidade representa apenas um ponto do plano cartesiano! Ex: x2 + y2 + 6x - 8y + 25 = 0 é a equação de um ponto! Verifique.
OBSERVAÇÕES:
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
1) Determine a geometria representada pelas equações abaixo e esboce o gráfico das mesmas:
Exercícios de Fixação 
a) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9	 R.: Circ. com C(-3,2), r = 3
b) x2 + (y – 2)2 = 25 	R.: Circ.com C(0,2), r = 5
d)9x2 + 9y2 + 6x - 6y + 5 = 0	R.: Conjunto vazio	S = {}
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
2) Determine a equação do círculo que satisfaz as condições indicadas abaixo e esboce o gráfico das mesmas:
a) Centro C(2,-3), raio 5. R.: (x -2)2 + (y + 3)2 = 25
b) Centro C(4,-3), raio 5.	 R.: (x -4)2 + (y + 3)2 = 25
c) Centro C(0,0), raio 8.	 R.: x2 + y2 = 64
d) Centro (-5,-12), raio 3.	 R.: (x +5)2 + (y +12)2 = 9
e) Centro C(-4,6), passando por P(1,2). R.: (x +4)2 + (y - 6)2 = 41
f) Centro C(1,2), passando por (3,-1).	 R.: (x -1)2 + (y - 2)2 = 13
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
g) Centro C(-2,5) e que seja tangente à reta x = 7.	
 R.: (x +2)2 + (y -5)2 = 81
h) Tangente a ambos os eixos, centro no segundo quadrante, raio 4. R.: (x +4)2 + (y -4)2 =16
i) Extremos de um diâmetro A(4,-3) e B(-2,7).
 R.: (x -1)2 + (y - 2)2 = 34
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
3) Achar o centro e o raio de cada circunferência. Esboçar o gráfico.
a) x2 + y2 – 4x + 6y = 12	 	R.: C(2,-3), r = 5
b) x2 + y2 + 6y = 0			R.: C(0,-3), r = 3
c) x2 + y2 + 2x + 2y = 2		R.: C(-1,-1), r = 2
d) 2x2 + 2y2 + 2x - 2y = 1	R.: C(-1/2,1/2), r = 1
e) 9x2 + 9y2 – 6x - 12y = 11	R.: C(1/3,2/3), r = 4/3
f) x2 + y2 - 6x - 8y + 9 = 0	R.: C(3,4), r = 4
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ESTUDO DAS CIRCUNFERÊNCIAS
g) 3x2 + 3y2 + 4y - 7 = 0		R.: C(0,-2/3), r = 5/3
h) 2x2 + 2y2 - 2x + 2y + 7 = 0 R.: Não existe circunferência. S = {}
i) x2 + y2 - 10x - 10y + 25 = 0	 R.: C(5,5); r = 5