Lista5 (2b)

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Matema´tica Aplicada - GMA
Ca´lculo II-B 2017.1 Profa Fernanda
Lista 5
1. Calcule a derivada (matriz jacobiana) de cada f no ponto X0 indicado.
(a) f(x, y) =
√
y + x2 ; X0 = (x0, y0) = (−1/2, 0)
(b) f(t) = (t, t2, t3) ; X0 = t0 = 0
(c) f(x, y, z) = (x2 − y2, x2 + z2, x+ y − z) ; X0 = (x0, y0, z0) = (1, 0,−1).
2. Mostre que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel ou, se na˜o for diferencia´vel, indique em que pontos na˜o e´ diferencia´vel.
(a) f : Rn → R , f(X) = ‖X‖
(b) f(r, s, t) =
(
1
r − t ,
s
r + t
)
.
3. Sejam X ∈ Rn, A uma matriz m × n e f a func¸a˜o linear f(X) = AX. Prove que dX0f(X) = AX para
todo X0, isto e´, a diferencial em todo ponto X0 de uma func¸a˜o linear e´ a pro´pria func¸a˜o linear f .