Assinale a opção que apresenta o resultado do produto misto entre os vetores u with rightwards arrow on top equals open parentheses 5 comma 1 comma...

O produto misto entre os vetores \( \vec{u} = (5, 1, 6) \), \( \vec{v} = (1, 1, 1) \) e \( \vec{w} = (4, 3, -2) \) é dado por: \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \] Calculando o produto vetorial entre \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \), obtemos: \[ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} ((1 \times -2) - (1 \times 3)) - \hat{j} ((1 \times -2) - (1 \times 4)) + \hat{k} ((1 \times 3) - (1 \times 4)) \] \[ = \hat{i} (-2 - 3) - \hat{j} (-2 - 4) + \hat{k} (3 - 4) \] \[ = \hat{i} (-5) - \hat{j} (-6) + \hat{k} (-1) \] \[ = (-5, 6, -1) \] Agora, calculando o produto escalar entre \( \vec{u} \) e \( (\vec{v} \times \vec{w}) \), temos: \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (5, 1, 6) \cdot (-5, 6, -1) \] \[ = 5 \times -5 + 1 \times 6 + 6 \times -1 \] \[ = -25 + 6 - 6 \] \[ = -25 \] Portanto, o resultado do produto misto entre os vetores dados é -25.