características das dsitribuições

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Estat´ıstica
Campus Universita´rio Darcy Ribeiro, Pre´dio de Cieˆncia da Computac¸a˜o e Estat´ıstica - CIC/EST, CEP:70910-900 - Bras´ılia/DF
Probabilidade e Estat´ıstica
Roberto Vila
04/09/2017
1 Algumas caracter´ısticas das distribuic¸o˜es
Muitas vezes e´ conveniente considerarmos algumas caracter´ısticas descritivas da v.a. em questa˜o.
Definic¸a˜o 1.1 (Me´dia da func¸a˜o de uma v.a.). Sejam g : R→ R uma func¸a˜o e X : Ω→ R uma v.a.,
definimos a me´dia da func¸a˜o de uma v.a. g(X) como
E(g(X))) :=
{∑
i g(xi)pX(xi), X discreta∫ +∞
−∞ g(x)fX(x)dx, X cont´ınua.
Quando X e´ uma v.a. discreta, estamos assumindo que ela possui valores no conjunto discreto
{x1, x2, . . . , xn, . . .}. Ja´ quando X e´ cont´ınua, estamos assumindo que ela possui valores na ima-
gem de X, notac¸a˜o X(Ω), que pode ser todo R ou um subconjunto de R. Neste ultimo caso, teremos
que fX(x) = 0 para todo x /∈ X(Ω).
Definic¸a˜o 1.2 (Me´dia de uma v.a.). A me´dia (ou valor esperado ou esperanc¸a matema´tica) de uma
v.a. X e´ definida considerando g(x) = x na Definic¸a˜o 1.1, isto e´,
E(X) :=
{∑
i xipX(xi), X discreta∫ +∞
−∞ xfX(x)dx, X cont´ınua.
A me´dia de uma v.a. X e´ conhecida tambe´m como “1o momento entorno da origem”. A me´dia nos
fornece uma indicac¸a˜o de tendeˆncia central da v.a.
Definic¸a˜o 1.3 (Variaˆncia de uma v.a.). A variaˆncia de uma v.a. X e´ definida considerando g(x) =
(x− E(X))2 na Definic¸a˜o 1.1, isto e´,
var(X) := E[(X − E(X))2] =
{∑
i(xi − E(X))2pX(xi), X discreta∫ +∞
−∞ (x− E(X))2fX(x)dx, X cont´ınua.
A variaˆncia de uma v.a. X descreve o espalhamento das probabilidades associadas.
Observac¸a˜o 1.4. Atrave´s de um ca´lculo simples, a variaˆncia de uma v.a. X pode ser escrita como
var(X) := E(X2)− [E(X)]2 =
{∑
i x
2
i pX(xi)− [E(X)]2, X discreta∫ +∞
−∞ x
2fX(x)dx− [E(X)]2, X cont´ınua.
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Exemplo 1.5. Considere o experimento E ≈ Lanc¸ar uma moeda (honesta) 3 vezes e observar a
sequeˆncia de caras (C) e coroas (R). Definindo a v.a. X ≈ nu´mero de caras observadas, determine
E(X) e var(X). Rpta. E(X) = 3/2 = 2var(X).
Exemplo 1.6. Considere que a varia´vel aleato´ria X tem func¸a˜o densidade fX(x) = 2 · 1[0,1/2](x).
Determine E(X) e var(X). Rpta. E(X) = 1/12 = 4var(X)
Proposic¸a˜o 1.7 (Algumas propriedades da me´dia e da variaˆncia). Se X e´ uma v.a. e a, b ∈ R
constantes, enta˜o
1. E(aX ± b) = aE(X)± b. Em particular E(a) = a.
2. var(aX ± b) = a2var(X). Em particular var(a) = 0.
Desafio:
• Dada a v.a. X com densidade nula fora do intervalo [a, b], verifique que var(X) 6 (b−a)4 .
Dica: calcule a variaˆncia da v.a. Y := X−ab−a e depois use as propriedades de variaˆncia.
2 Alguns modelos probabil´ısticos para v.a.’s discretas
2.1 Distribuic¸a˜o uniforme discreta.
A v.a. X ∈ {x1, x2, . . . , xk} tem distribuic¸a˜o uniforme discreta (notac¸a˜o, X ∼ UD[1, k]) se, e
somente se,
pX(x) =
{
1
k , se x ∈ {x1, x2, . . . , xk}
0, caso contra´rio.
Isto e´, cada valor poss´ıvel ocorre com a mesma probabilidade (valores equiprova´veis). Este tipo de
distribuic¸a˜o e´ a mais simples das v.a.’s discretas. Veja que
∀x ∈ R : FX(x) = #{xi : xi 6 x}
k
=
∑
xi:xi6x
1
k
, i = 1, 2, . . . , k.
Proposic¸a˜o 2.1. Se X ∼ UD[1, k], enta˜o
E(X) =
1
k
k∑
i=1
xi e var(X) =
1
k

k∑
i=1
x2i −
1
k
(
k∑
i=1
xi
)2 .
Exemplo 2.2. Considerando a v.a. X ≈ nu´mero de pontos na face superior de uma dado (honesto),
quando ele e´ lanc¸ado, temos que E(X) = 21/6 e var(X) = 35/12.
2.2 Distribuic¸a˜o de Bernoulli.
Muitos problemas sa˜o tais que o experimento consiste em um nu´mero finito de tentativas ou sub-
experimentos. Em esta sec¸a˜o nos restringimos a experimentos formados por uma tentativa individual
(chamados ensaio de Bernoulli), que tem como seus dois resultados poss´ıveis “sucesso”(resp. 1),
ou “fracasso” (resp. 0). Por exemplo:
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1. Uma moeda e´ lanc¸ada: o resultado e´ uma cara ou coroa.
2. Um dado e´ lanc¸ado: ou ocorre face 5 ou na˜o.
3. Uma pec¸a e´ escolhida ao acaso de um lote: essa pec¸a e´ defeituosa ou na˜o.
4. Uma pessoa selecionada ao acaso de uma cidade: e´ ou na˜o do sexo masculino.
Definic¸a˜o 2.3. Seja p ∈ (0, 1). Uma v.a. X ∈ {0, 1} com func¸a˜o de probabilidade
pX(1) = p = P(Sucesso)
pX(0) = 1− p = P(Fracasso)
ou equivalentemente
pX(x) =
{
px(1− p)1−x, x ∈ {0, 1}
0, caso contra´rio
e´ chamada v.a. de Bernoulli (notac¸a˜o, X ∼ Bern(p)).
Veja que
∀x ∈ R : FX(x) = (1− p)1[0,1)(x) + 1[1,∞)(x).
Proposic¸a˜o 2.4. Se X ∼ Bern(p), enta˜o
E(X) = p e var(X) = p(1− p).
Exemplo 2.5. Considere o experimento E ≈ Um dado e´ lanc¸ado: ou ocorre face 5 ou na˜o. Definindo
a varia´vel
X =
{
1, se ocorre a face 5
0, caso contra´rio
teremos que E(X) = 1/6 e var(X) = 5/36.
2.3 Distribuic¸a˜o Binomial.
A repetic¸a˜o de ensaios de Bernoulli independentes (isto e´, o resultado de um ensaio na˜o tem in-
flueˆncia nenhuma no resultado de qualquer outro ensaio) da´ origem a` “mais importante v.a. discreta”
denominada modelo Binomial.
Definic¸a˜o 2.6. Considere a repetic¸a˜o de n ensaios de Bernoulli independentes e todas com a mesma
probabilidade de sucesso p ∈ (0, 1). A v.a.
X ≈ nu´mero total de sucessos ∈ {0, 1, 2, . . . , n}
e´ denominada Binomial (notac¸a˜o, X ∼ bin(n, p)) com paraˆmetros n e p, e sua func¸a˜o de probabili-
dade e´ dada por
pX(x) =
{(
n
x
)
px(1− p)n−x, x ∈ {0, 1, 2, . . . , n}
0, caso contra´rio.
Proposic¸a˜o 2.7. Se X ∼ bin(n, p) temos que ∀x ∈ R: FX(x) =
x∑
k=0
pX(k) e
E(X) = np, var(X) = np(1− p).
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Proposic¸a˜o 2.8. Se X1, X2, . . . , Xn sa˜o n distribuic¸o˜es de Bernoulli independentes com o mesmo
paraˆmetro p, enta˜o sua soma X =
∑n
i=1Xi e´ a distribuic¸a˜o binomial bin(n, p).
Exemplo 2.9. Assuma que para cada cliente que solicita o cancelamento de um plano, a companhia
responsa´vel o fac¸a com probabilidade p.
a) Se n clientes solicitam o cancelamento, qual e´ a probabilidade de que a companhia cancele o
plano de exatamente k(6 n) clientes? Rpta. Use varia´veis aleato´rias =
(
n
k
)
pk(1− p)n−k.
b) Qual e´ a probabilidade de que sejam necessa´rios exatamente n solicitac¸o˜es para que o 1o cance-
lamento seja efetuado? Rpta. Use varia´veis aleato´rias = (1− p)np.
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