Topografia e Geodésia I

Prévia do material em texto

Prof. Sebastião Jarbas Pinheiro e Paulo Ferreira 
Bueno 
Fev/14
1
Topografia e Geodésia I
1. TOPOGRAFIA
1.1 - Etimologia
A palavra Topografia é formada pela conjunção dos
termos gregos topos (lugar) e graphein (descrição).
1.2 - Definição
A Topografia é uma ciência aplicada que tem por
objetivo representar a superfície física da Terra e todos
os detalhes existentes naturais e artificiais, adotando
um plano horizontal como referência, sem levar em
conta a curvatura da Terra (Fig. 1).
2
• A figura abaixo (ESPARTEL, 1987) representa exatamente a relação da
superfície terrestre e de sua projeção sobre o papel.
3
Superfície física
Planta
Fig. 1
1.3 - IMPORTÂNCIA DA TOPOGRAFIA 
 Ao se projetar qualquer obra de engenharia, se impõe o
prévio levantamento topográfico do lugar onde a mesma
deverá ser implantada, como por exemplo, obra viária,
núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, usinas
hidrelétricas, sistema de água e esgoto, urbanismo, etc.
 Tem igualmente importância nas ciências agrárias, tais
como: projetos de regularização fundiária, assentamentos,
planejamento agropecuário, projetos de reserva legal,
controle do meio-ambiente, desmembramentos,
demarcação de propriedades rurais, divisão de glebas etc.
4
1.4 - APLICAÇÕES DA TOPOGRAFIA
Na Engenharia Civil 
 Estradas
 Reconhecimento
 Exploração
 Projeto
 Locação
 Controle de execução 
 Medições
 Construção Civil 
 Obtenção da planta topográfica
 Locação de obras
 Acompanhamento durante a construção
 Verificação após o término da obra (Controle de recalques, etc.)
5
1.5 - Limite do campo de atuação da Topografia
 Dentro de um raio de 10 km (20 km de extensão), é lícito
considerar plana a superfície da Terra, para efeito de
levantamentos topográficos. A partir daí, tem que se levar
em conta a curvatura da terra, campo de atuação da
Geodésia (Fig. 4).
6
2. Divisão da Topografia
2.1- Planimetria : Determina a posição de pontos no terreno
e os representa sobre um plano de referência horizontal
(Fig. 1).
2.2- Altimetria : Determina as alturas ou distâncias verticais
de um certo número de pontos, referidos ao plano de
projeção horizontal (Fig. 2).
7
DN (-)
Fig. 2
8
2.3 - Topologia : estuda as formas exteriores da superfície terrestre e as leis
que regem seu modelado. Sua principal aplicação é na representação
topográfica do terreno pelas curvas de nível. É muito importante por ser a
parte interpretativa nos levantamentos topográficos (Fig. 3).
9
Curva de nível
3. Processos de medidas de distâncias
3.1 - Medição direta : a distância é obtida com o uso de
trena e balizas (Fig. 5).
10
3.1.1 - Erros cometidos nas medições direta de distâncias
 A exatidão da medida no terreno pode ser perturbada por
causas diversas, tais como : negligência do operador,
imperfeição dos instrumentos, dificuldade em percorrer o
terreno, etc.
11
 Fontes de erros nas medidas: catenária, tensão,
temperatura, horizontalidade da trena, verticalidade da
baliza, alinhamento incorreto ou desvio lateral,
comprimento incorreto da trena.
Exemplo de medida com trena e balizas
12
3.2-Medição indireta : a distância é obtida com o uso de Teodolito e mira
(régua graduada), sendo calculadas pela fórmula :
D = c. g. sen²z ou
D = c. g. cos²α , em que:
c = constante instrumental ( 100 )
g = número gerador ( FS – FI ) em metros
z = ângulo vertical (zenital)
α = ângulo vertical (inclinação)
13
3.3 -Medida eletrônica: A medida eletrônica de distâncias baseia-se na
emissão/recepção de sinais luminosos (visíveis ou não) ou de
microondas que atingem um anteparo ou refletor. A distância entre o
emissor/receptor e o anteparo ou refletor é calculada eletronicamente
(Fig. 7).
14
Fig. 7
4. Levantamento da poligonal
4.1 - ÂNGULO INTERNO : é o ângulo formado por dois
alinhamentos consecutivos de um polígono. É sempre
medido no sentido horário e tomado internamente (Fig. 8).
15
4.2 - ângulo externo : é o ângulo medido entre dois
alinhamentos consecutivos, do lado externo de um polígono
fechado. É sempre medido no sentido horário e tomado
externamente (Fig.9).
16
4.3 - Ângulo de Deflexão: São ângulos medidos a partir
do prolongamento do alinhamento anterior até o
alinhamento seguinte (fig. 10)
17
5 - ângulo horizontal
18
B
A
C
AC
É o ângulo formado por dois planos verticais que contém as direções formadas
pelo ponto ocupado e os pontos visados (fig.). É medido sempre na horizontal,
razão pela qual o teodolito deve estar devidamente nivelado e aprumado no
ponto (vértice do ângulo).
19
Conforme pode ser visto na fig. abaixo, o ângulo entre as direções AO – OB e CO-
OD é o mesmo, face que os pontos A e C estão no mesmo plano vertical  e B e
D no plano vertical ’ . Em campo, quando da colimação ao ponto que define a
direção de interesse, deve-se tomar o cuidado de apontar o retículo vertical
exatamente sobre o ponto, visto que este é que define o plano vertical.
5.1 - Causas de erros cometidos nas medições de ângulos
 Instalação e nivelamento do instrumento sobre o ponto
topográfico (operador ).
Manipulação dos equipamentos nas visadas de ré e vante
(auxiliares).
Intempéries : temperatura, ventos, etc.
Leituras imprecisas e anotações incorretas.
20
6 . Métodos de levantamentos planimétricos
6.1 - LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO: consiste numa medição 
sucessiva de ângulos e distâncias descrevendo uma poligonal fechada 
(Fig. 11).
21
6.2 -Levantamento por irradiação : pode ser executado a partir de um
único ponto (áreas pequenas) ou a partir de todos os vértices de uma
poligonal de levantamento. Sua finalidade é levantar detalhes do terreno
(Fig.12).
22
7. Unidades de Medidas
7.1 -Medidas lineares : Quilômetro (kilômetro : km), metro (m), 
centímetro (cm), milímetro (mm).
• 1 km = 1000 m
• 1 m = 100 cm 
• 1 m = 1000 mm
7.2 - Medidas de superfície : m² (metro quadrado), Alqueire (Alq.), 
hectare (ha).
• 1 alqueire = 48400 m²
• 1 Hectare = 10000 m²
7.3- Medidas angulares : Graus, minutos, segundos. Graus 
decimais.
Ex. 25° 15´ 30´´ (vinte e cinco graus, quinze minutos e 
trinta segundos).
Ex. 12,655º (doze vírgula 655 graus decimais).
 Funções trigonométricas : seno, cosseno, tangente. Arc seno, 
Arc cosseno, Arc cotangente.
23
7.4 – EXERCÍCIOS - CONVERSÕES
a) 5,354 km = m b) 25,87 m = cm
c) 12,54 m = mm d) 500 cm = m
e) 1500 mm = m. f) 50 alqueires = ha
g) 484000 m² = Alq. h) 105,0000 = Alq. 
i) 209650 m² = ha j) 15° 13´ 23´´ = graus decimais.
k)15,223055º = graus ( ° ) minutos ( ´ ) segundos ( ´´ )
l) Seno de 43° 15´ 18´´ m) Cosseno de 20° 15´ 35´´ =
n)Tangente de 56° 23´ 18´´ = o) Arcsen de 0,3216712 =
p) Arccos de 0,35273255 = q) Arc tangente de 0,5817543 =
r) 12º 45´ 50´´ + 26º 32´ 26´´ = s) 78º 15´ 40´´ - 17º 28´ 30´´ =
24
8. Rumo e azimute
8.1 – Rumo : denomina-se rumo de um alinhamento ao ângulo contado 
a partir da direção Norte e Sul. O rumo varia de 0º a 90º. No primeiro 
quadrante é “NE”. No segundo quadrante é “SE”. No terceiro quadrante 
é “SW” e no quarto quadrante é “NW” (Fig. 13a). 
25
26
8.2- Azimute: denomina-se azimute de um alinhamento ao
ângulo contado a partir da direção Norte. O azimute varia
de 0º a 360°, sempre no sentido horário (Fig. 13b).
8.3- conversão de azimute em rumo
27
8.4-EXERCÍCIOS: CONVERSÕES DE AZIMUTES EM RUMOS E VICE-VERSA 
 Azimutes para Rumos Rumos para Azimutes
• 193°17´ 30´´= 43º 16´ 45´´ SW =
• 0º 00´ 00´´ = 17º 53´ 15´´ SE =
• 78º 10´ 40´´ = 0º 00´ 00´´ N =
• 90º 00´ 00´´ = 90º 00´ 00´´ W =
• 270º 00´ 00´´= 38º 24´ 40´´ NW =
• 242º 25´ 35´´= 0º 00´ 00´´ S =
• 360º 00´ 00´´= 18º 32´ 20´´ NE =
• 296º 18´ 50´´= 90º 00´ 00´´ E =
28
9. Sistema de Coordenadas Planas
9.1 - Coordenadas polares (Fig. 14)
29
No sistema de coordenadas polares (fig. acima) são
conhecidos o Azimute e a Distância entre dois pontos
topográficos.
 Exemplo : 
 Az → 1 – 2 = 55º 17´30´´ D → 1 – 2 = 63,18 m
 Exercícios:
1) Converter em coordenadas cartesianas:
a) 0 - A → Az = 65º 15´ 30´´ D = 78,56m.
b) 0 - B → Az = 136º 18´ 45´´ D = 120,50m. 
c) 0 - C → Az = 254º 25´ 50´´ D = 97,73m.
d) 0 - D →Az = 338º 32´ 20´´ D = 110,25m.
 Fórmulas para converter coordenadas polares em coordenadas 
cartesianas :
 X = D * seno Az 
 Y = D * cosseno Az
 Obs.: - os resultados de X e Y são também conhecidos como projeções 
diretas dos pontos A, B, C e D.
30
9.2 - Coordenadas cartesianas (Fig. 15)
31
No sistema de Coordenadas cartesianas (fig. 15) são conhecidas as
coordenadas de dois pontos topográficos.
1→ X1= 100,00 , Y1= 100,00 ; 2 → X2 = 158,26 , Y2 = 131,17
 EXERCÍCIOS
1) Calcular as coordenadas polares (Az e D) de: A-B, B-C e C-D.
a) A XA = 100 YA = 100
b) B XB = 300 YB = 80
c) C XC = 400 YC = 200
d) D XD = 250 YD = 300
 Para converter coordenadas cartesianas em coordenadas polares .
 Fórmulas :
 Azimute (Az) : Arc Tan (Rumo) = X2 – X1 = X
Y2 – Y1 Y
 Distância :D =√ (X2 – X1)² + (Y2 – Y1)² 
 ou D =√(X)² + (Y)²
32
Exemplo 
10. CÁLCULO ANALÍTICO DE COORDENADAS
33
PROJEÇÕES DIRETAS
E + W - CX N+ S - CY
∑
R E V AH LIDO CA AH COMP. AZIMUTE DIST. (DH)
4 1 2 56º12’ 50” 95º 00’ 00” 37,30
1 2 3 118º58’40” 28,20
2 3 4 66º01’55” 32,70
3 4 1 118º46’15” 33,10
∑ 131,30
10.1 - ROTEIRO PARA O CÁLCULO DA PLANILHA DE COORDENADAS
a) Cálculo do erro angular : ( Ea)
Ea = ∑ah(i) – [180(n-2)+ → âng. Internos
Ea = ∑ah(e) – *180(n+2)+→ âng. Externos
b) Compensação angular: (Ca)
CA = Ea/n → onde n = nº de vértices da poligonal.
34
PROJEÇÕES COMPENSADAS COORDENADAS
P
E + W - N+ S - X Y 
∑
c) Cálculo dos ângulos horizontais compensados:
 Subtrai ou soma (Ca) ao ângulo Horizontal lido, conforme 
o sinal do (Ea)
d) Cálculo dos azimutes
Fórmulas:
 Azn = Aza + AH + ou – 180º ou -540º , onde: Azn → 
azimute a calcular e Aza → azimute anterior.
 Se Aza + AH > 180º (-180º)
 Se Aza + AH < 180º (+180º)
 Se Aza + AH > 540º(-540º)
e) Cálculo das projeções diretas (eixo de X e eixo de Y)
 Projeção de X (E+ , W-) → X = D * sen Az
 Projeção de Y (N+, S - ) → Y = D* cos Az
35
f) Cálculo do erro linear no eixo X (ex) , no eixo Y (ey) e erro total (Et) 
 ex = ∑ E - ∑ W e ey = ∑ N - ∑ S e Et=  ex² + ey²
g) Cálculo da tolerância linear (Tl) e precisão linear dos trabalhos (Pl)
 Tl = ∑D / 1000 onde : ∑D = perímetro ; Pl = 1: M onde :
M = ∑D/Et
 A tolerância do erro linear é : 1/1000. 
 Se Et ≤ Tl → Ok! 
h) Cálculo do fator de correção linear no eixo X e no eixo Y (fcx e fcy)
 fcx = ex / ∑ E + ∑ W (em módulo)
 fcy = ey / ∑ N + ∑ S (em módulo)
i) Cálculo da correção linear no eixo X e no Eixo Y (Cx e Cy )
 Cx = fcx * proj. direta de X e Cy = fcy *proj. direta de Y
36
j) Cálculo das projeções compensadas ( Eixo de X e 
Eixo de Y) 
Se a soma em E+ foi menor do que em W-, 
acrescenta o valor de CX em E+ e tira em W- ;
Se a soma em W- foi menor do que em E+, 
acrescenta o valor de CX em W- e tira em E+ ;
Se a soma em N+ foi menor do que em S-, 
acrescenta o valor de CX em N+ e tira em S- ;
Se a soma em S- foi menor do que em N+, 
acrescenta o valor de CX em S- e tira em N+.
37
k) Cálculo das Coordenadas ( X , Y )
 Para evitar coordenadas com valores negativos, arbitra-se para o ponto
inicial do polígono um valor tal que todas as coordenadas tenham valores
positivos.
 Num polígono fechado, as coordenadas são calculadas mediante a fórmula
: Cn = Ca +/- PCn, ou seja C2 = C1 +/- Pc2, onde Cn = coordenada a calcular
; Ca = coordenada do ponto anterior e PCn = projeção compensada do
ponto a calcular.
l) Pontos irradiados
 Os azimutes são calculados com base nos ângulos horiz. Lidos.
 As projeções diretas são calculadas do mesmo modo que na poligonal de
levantamento.
 As coordenadas são calculadas com base nas projeções diretas.
Exemplo : C1a = C1 +/- PD1a.
38
10.2 - Exercício 
• Cálculo Analítico de Coordenadas - poligonal fechada com 
pontos irradiados.
1) Com base no croqui (fig. 16) e na caderneta de campo ,
preencher a planilha, proceder os cálculos até obter as
coordenadas de todos os pontos.
39
R E V ANG. HOR. AZIMUTE DISTÂNCIA
5 1 2 98º44’50” 105º15’30” 74,30
5 1 1A 236º30’10” 12,00
1 2 3 101º56’10” 42,85
1 2 2A 233º50’15” 8,65
2 3 4 103º43’30” 66,15
2 3 3A 244º29’50” 6,80
3 4 5 112º13’20” 40,75
3 4 4A 242º12’30” 5,70
4 5 1 123º21’50” 43,70
4 5 5A 260º31’20” 10,00
• CADERNETA DE CAMPO
40
11. Cálculo de Áreas
11.1 - Processo de Gauss
 Neste processo a área é calculada em função das coordenadas (X,Y) dos pontos
(vértices) do polígono. É o processo mais utilizado e o que oferece maior
precisão.
 Fórmula : A = (X1 – X3)Y2 + (X2 – X4)Y3 + (X3 – X1)Y4 + (X4 – X2)Y1 
2
Exemplo
41
P
COORDENADAS DIFERENÇAS PRODUTOS
X Y POSITIVAS 
(+)
NEGATIVAS 
(-)
POSITIVOS 
(+)
NEGATIVOS (-)
1 100 100
2 170 70
3 200 150
4 120 180
∑
Exercício 
1) Com base no croqui (Fig. 17) e nas coordenadas dos pontos, calcular
a área do polígono pelo processo supracitado.
42
11.2 - Processo do semiperímetro
 Divide-se o polígono (Fig. 18) em triângulos e mede-se as distâncias 
entre os pontos. 
Exemplo:
43
 Fórmula para o cálculo das áreas A1 e A2 :
 A1 = √ p (p – a) . (p – b) . (p – c) e A2 = √p (p – a´) . (p – b´) . (p – c´)
 Em que para (A1) : p = a + b + c e para (A2) : p = a´ + b´ + c´
 2 2 
 E a área total = A1 + A2.
Exercicio 
1) Com base no croqui (Fig. 19) e nas medidas dadas, calcular a área do 
polígono pelo processo supracitado. 
44
11.3 - Processo trigonométrico
 A área do triângulo (Fig. 20) é calculada fazendo o lado 
AB (12m) x o lado AC (15m) x sen 30°
2
45
A = b x c x sen  A = 15 x 12 x sen 30°
2 2
A = 15 x 12 x 0,5 A = 45 m²
2
Exercício
1)Com base no croqui (Fig. 21) e nas medidas dadas, calcular
a área do polígono pelo processo supracitado.
46
12. Desenho por Coordenadas
Trata-se do desenho da planta da área levantada, utilizando papel
milimetrado, no formato A2 (Fig. 22).
47
 Espaço útil para o desenho → 400 mm x 400 mm = 0,40 m x 0,40 m
 Carimbo → 50 mm x 175 mm
 Escala (quando é dado o formato)
 Epx = XM – Xm / 0,4 m  denominador da escala
 Epy = YM – Ym / 0,4 m  denominador da escala
Obs.: Adota-se o de > valor e arredonda para cima para uma escala conhecida.
 Posição dos Eixos 
 ∆x = XM – Xm e ∆y = YM – Ym
2 2
 Obs.: ∆x é marcado do centro do espaço útil do papel para a esquerda na 
escala calculada.
 ∆y é marcado a partir do centro do espaço útil do papel para baixo na mesma 
escala.
 Graduação dos eixos
 A partir do encontro de ∆x e ∆y faz-se a graduação dos eixos, com a menor coordenada 
de x (Xm) e de y (Ym) arredondadas. 48
49
Exercício 
1) Com base na tabela abaixo, fazer o desenho da planta no formato A2. Seguir o
roteiro conforme item 11 acima.
PlotagemCom base nas coordenadas inteiras (graduação dos eixos x e y) e na planilha
de coordenadas, é feita a plotagem dos pontos no papel milimetrado.
13. Orientação da planta
 Norte Verdadeiro, Norte Magnético e Declinação Magnética (Fig. 23).
 Norte Verdadeiro ( NV ) : é a linha que liga o pólo norte geográfico ao
pólo sul geográfico.
 Norte Magnético ( NM ): é a linha que liga o pólo norte magnético ao
pólo sul magnético.
 A diferença angular entre o norte verdadeiro e o magnético é
chamada de Declinação Magnética ( DM ).
50
 A agulha da bússola não aponta para o norte verdadeiro.
Na maior parte da superfície terrestre, a agulha da bússola
aponta em direção a um ponto a leste ou oeste do Norte
Verdadeiro (também conhecido como Norte Geográfico).
13.1 - Determinação da declinação magnética
 A determinação da declinação magnética pode ser
feita por cálculo, em função de dados obtidos em
mapa que contenha latitude, longitude e as curvas
isogônicas e isopóricas, ou diretamente mediante a
determinação em campo da direção do norte
verdadeiro e do norte magnético.
51
13.1.1 - Cartas isogônicas e isopóricas
 O Observatório Nacional do Rio de Janeiro publica em
(
) um mapa do país, com o traçado das
curvas isopóricas, lugar geométrico das regiões que tem a
mesma variação anual da declinação magnética e as curvas
isogônicas, lugar geométrico dos pontos de uma região,
que tem a mesma declinação magnética.
13.1.2 - Variação da declinação magnética
É o fenômeno do desvio da linha norte-sul magnética no
decorrer do tempo. Essa variação pode ser diária, semanal,
mensal, anual e secular. Para os cálculos da declinação
magnética interessa a variação anual.
52
 A transformação de rumos e azimutes com orientação
pelo Norte Verdadeiro é um processo simples, basta
somar ou subtrair da declinação magnética.
 A declinação magnética pode ocorrer para a direita da
linha norte-sul verdadeira (sentido horário : E ) ou para a
esquerda da linha norte-sul verdadeira (sentido anti-
horário : W ).
 Se a Declinação magnética for para leste o azimute
verdadeiro será obtido da seguinte forma : Azv = Azm +
DM.
 Para o caso do Brasil, onde a declinação magnética é
negativa, ou seja, para Oeste, o Azimute verdadeiro é
assim calculado : Azv = Azm + (- DM).
53
13.1.3 - Fórmula para o cálculo da declinação magnética
DM = Cig + [(A + Fa) Cip]
onde:
DM - Declinação Magnética
Cig - Curva Isogônica (valor interpolado)
Cip - Curva Isopórica (valor interpolado) 
A - Ano da observação
Fa - Fração do ano
 Exemplo de cálculo da Declinação Magnética para Goiânia
em 15/08/2012, utilizando o Mapa Magnético do Brasil –
1985,0.
54
 DM = Cig + [(A + Fa) Cip]
 DM : Declinação Magnética (valor interpolado)
 Cig : Curva Isogônica (valor interpolado)
 Cip : Curva Isopórica (valor interpolado)
 A : Ano da Observação – ( 1985 )
 Fa : fração do ano 
• Fração do Ano
• 01 Jan a 19 Jan 0,0
• 20 Jan a 24 Fev 0,1
• 25 Fev a 01 Abr 0,2
• 02 Abr a 07 Mai 0,3
• 08 Mai a 13 Jun 0,4
• 14 Jun a 19 Jul 0,5
• 20 Jul a 25 Ago 0,6
• 26 Ago a 30 Set 0,7
• 01 Out a 06 Nov 0,8
• 07 Nov a 12 Dez 0,9
• 13 Dez a 31 Dez 1,0 55
 Utilizando o Mapa Magnético do Brasil - 1985,0, obteve-se
os seguintes resultados por interpolação gráfica para
Goiânia :
 Longitude λ = 49º 13´ 46´´ W
 Latitude φ = 16º 23´ 37´´ S
DM = - 17º 05´ 00´´ (Cig)
VM = - 8´ 13´´ (Cip)
A : 2012 – 1985 = 27 anos
Fa = ,6
DM = - 17º 05´ 00´´ + [( 27 + ,6) . (– 8´13´´)]
DM = - 17º 05´ 00´´ + [27,6 ( - 493´´)]
DM = - 17º 05´ 00´´ - 13606´´,8
DM = - 17º 05´ 00´´ - 3º 46´ 47´´
DM = - 20º 51´ 47´´ W
56
 Para o referido cálculo é necessário ter em mãos o Mapa Magnético do
Brasil, no qual são fornecidos as latitudes, longitudes, as curvas isogônicas ,
as curvas isopóricas e a tabela das Frações do Ano.
 Calcular a DM para Teresina (PI) em 13/Fev/ 96 sabendo que a DM
interpolada é igual a – 20º 36´ 00´´ W e a VM é igual a - 4´30´´ W (Mapa
de 1985,0).
 13.1.4- Aviventação (correção) de Rumos e Azimutes em função
da variação da declinação magnética.
 Aviventar significa atualizar o rumo ou azimute de um
alinhamento em função da variação da declinação magnética,
num determinado intervalo de tempo.
Exercícios
a) O Azimute verdadeiro de um alinhamento AB é igual a 65º 17´
30´´ e a DM é igual a 18º 25´ 15´´ W. Calcular o valor do Azimute
Magnético.
57
b) O Azimute verdadeiro de um alinhamento CD é igual a 48º 25´ 40´´ e a
DM é igual a 9º 15´ 20´´ E. Calcular o valor do Azimute Magnético.
c) Azimute magnético de um alinhamento 0A é igual a 86 18´ 50´´ e a DM
é igual a 16º 40´ 30´´ W. Calcular o Azimute verdadeiro.
d) O Azimute magnético de um alinhamento 0B é igual a 55º 30´ 15´´ e a 
DM é igual a 17º 50´ 10´´ E. Calcular o Azimute verdadeiro.
e) Aviventar para o ano de 1975 um rumo magnético 0A de 35 NE,
determinado no ano de 1925.
 VM ( interpolada) = 10´ RMc : Rumo Magnético corrigido
 Fórmula : RMc = RMa +/- DMw RMa : Rumo Magnético a corrigir
 DMw : Declinação Magnética para Oeste
f) Aviventar para o ano de 1975 um rumo magnético 0A de 45 NW, 
determinado no ano de 1920.
 DM para Oeste (W) 
 VM = 10´
58
14. Introdução a Geodésia
 Definição: ciência que estuda a forma, as dimensões, o campo de
gravidade da Terra e as suas variações temporais.
 A Geodésia estuda o conjunto de métodos e procedimentos adotados
para definir a forma e dimensão da terra. Determina, através de
observações, a forma e o tamanho da terra, as coordenadas dos
pontos, comprimento e direções de linhas da superfície terrestre e as
variações da gravidade terrestre.
 A Geodésia se ocupa do levantamento e da representação cartográfica
de uma grande extensão da superfície terrestre de um Estado ou de
um País, projetada sobre uma superfície de referência (elipsóide de
revolução).
 Já a Topografia se ocupa do levantamento de pequena extensão de
uma área, projetada sobre um plano horizontal de referência. Esta é,
pois, a distinção entre Geodésia e Topografia.
59
14.1 - Coordenadas Geodésicas (Geográficas) : Latitude () e 
Longitude () (Fig. 24).
 Latitude ( φ ): é a distância angular entre um ponto
qualquer da superfície terrestre e a linha do equador.
Exemplo : Latitude de Goiânia = 16° 40´ 24´´ S.
 Longitude ( λ ) : é distância angular entre um ponto
qualquer da superfície terrestre e o meridiano inicial ou de
origem . Exemplo : Longitude de Goiânia = 49° 15´ 29´´ W.
60
61
Equador
Meridiano 
Principal
Latitude
Longitude
Observatório
de Greenwich
Exemplo
Latitude (ϕ) e Longitude () - GOIÂNIA
62
15. Sistema de Coordenadas UTM (Fig. 25)
 Universal Transversa de Mercator (UTM) - é um sistema de
coordenadas baseado no plano cartesiano (eixo x,y) e usa o
metro (m) como unidade para medir distâncias e
determinar a posição de um objeto. Diferentemente das
Coordenadas Geográficas (ou Geodésicas), o sistema UTM
não acompanha a curvatura da Terra e por isso seus pares
de coordenadas também são chamados de coordenadas
planas.
 Os fusos do sistema UTM indicam em que parte do globo as
coordenadas obtidas se aplicam, uma vez que o mesmo par
de coordenadas pode se repetir nos 60 fusos diferentes.
63
Outra característica do sistema de Mercator é que não há
coordenadas negativas e apenas dois eixos: E(x) e N(y),
indicando, respectivamente, Longitude e Latitude. No nosso
hemisfério sul, as distâncias do eixo N(y) iniciam em
10.000.000 na linha do Equador e decrescem para o sul até
0; enquanto o eixo E(x) começa em 500.000 aumentando
para o Leste e decrescendo para Oeste. No hemisfério
Norte, as coordenadasde eixo E(x) se comportam da
mesma maneira, enquanto que as do eixo N(y), tem sua
origem no Equador e aumentam para o Norte
64
65
MC – Meridiano central
Fig. 25
Exemplo
Localização da PUC - GOIÁS
66
16. GPS – Sistema de Posicionamento Global (Fig. 26)
 O GPS (Sistema de Posicionamento Global) é formado por
três segmentos: o espacial, de controle e utilizador.

 O espacial é composto por 24 satélites distribuídos em
seis planos orbitais. O segmento de controle é
responsável pelo monitoramento das órbitas dos
satélites. Por fim, o segmento do utilizador é o receptor
GPS, responsável pela captação dos sinais fornecidos
pelos satélites.

 Esse sistema de navegação permite, através de satélites
artificiais, a obtenção de informações sobre a localização
geográfica em qualquer lugar da superfície terrestre e em
qualquer hora do dia.
67
 A localização geográfica ocorre em razão da emissão de
ondas de rádio dos satélites, que são captadas por
receptores GPS na Terra, onde são decodificadas as
informações e fornecidos a latitude, longitude e altitude.
 Princípio básico do sistema GPS : velocidade da luz x 
tempo = distância.
 Precisão do relógio atômico : um nano segundo = 
0,000000001 s.
 Precisão do GPS portátil : + ou – 10 metros.
 Precisão do GPS topográfico : 1 a 10 mm.
68
Número de satélites necessários para um 
posicionamento 3 D
69
17. LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Converter para Rumos os seguintes Azimutes :
a) 201° 15´ 40´´ = b) 65° 10´ 50´´ = 
c) 126° 45´ 15´´ = d) 285° 17´ 10´´ =
2)Converter para Azimutes os seguintes Rumos :
a) 45° 25´ 30´´ NE = b) 28° 16´ 25´´ SE =
c) 63° 30´ 20´´ SW = d) 42° 18´ 40´´ NW =
3) Sabendo que o Azimute do ponto 2 para 3 é igual a 250° , qual
será o Azimute do ponto 3 para 2 ?
Resposta:______________
4) Sabendo que o Rumo do ponto 3 para 4 é igual a 50° SE , qual 
será o Rumo do ponto 4 para 3 ?
Resposta:__________________
70
5) -Calcular os ângulos internos nos vértices 1, 2 e 3 (Fig. 27).
71
6) Com base nas coordenadas polares dadas (azimutes e
distâncias), calcular as coordenadas cartesianas ( X, Y )
entre os pontos 0 para A; 0 para B; 0 para C e 0 para D.
 Azimute de 0 - A = 62° 15´ 30´ Distância de 0 - A = 58,75 m
 Azimute de 0 - B = 112° 22´15 Distância de 0 - B = 118,63 
m
 Azimute de 0 - C = 193° 28´50´´ Distância de 0 - C = 97,46 
m
 Azimute de 0 - D = 306° 05´ 45´´ Distância de 0 - D = 135,15 
m
72
7)Com base nas coordenadas cartesianas dadas ( x, y ),
calcular as coordenadas polares (azimutes e distâncias)
entre os pontos 1 para 2 ; 2 para 3; 3 para 4 ; e 4 para 1.
 X1 = 75,15 , Y1 = 180,30 ; X2 = 120,50 , Y2 = 80,45
 X3 = 280,10 , Y3 = 150,25; X4 = 200,75 , Y4 = 240,20
8) Com base no croqui (Fig. 28) e nos elementos da planilha,
desenvolver os cálculos, calculando os azimutes, as
projeções diretas e as coordenadas dos pontos. : 1A, 2,
2A , 3, 3A, 4, 4A, 5 e 5A.
73
74
9) Com base no croqui (Fig. 29) e na planilha, calcular :
a) as coordenadas dos pontos. 1, 2, 3 e 4
b) os azimutes e as distâncias entre os citados pontos
c) a área pelos mesmos pontos pelo processo de Gauss
75