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ENP153 –Programação Linear Aula 03 –Transformando um modelo padrão em genérico DIMENSIONAMENTO DE LOTE Uma empresa de malha deve atender os seguintes compromissos para os próximos seis meses: JAN: 4000 peças FEV: 2000 peças MAR: 5000 peças ABR: 1000 peças MAI: 4000 peças JUN: 2000 peças Ao final de dezembro do ano anterior, a empresa terminou com um estoque de 500 peças. Sabe-se que a empresa tem capacidade de produzir 3000 peças mensais e que, realizando horas extras, pode produzir 600 peças a mais que sua capacidade nominal. O custo de se produzir uma peça é de $3 por peça. Ao se produzir em horas extras, acrescenta-se um custo de $0,4 por peça. Outro ponto a se saber é que o custo de estoque da organização é de $0,25 por peça. Defina um modelo matemático que represente o problema acima, buscand0 a minimização dos custos de produção. Sejam: 𝐷𝑡 → 𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑡 𝑐𝑥 → 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑐𝑦 → 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑠 → 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑇 → 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 E também: 𝑥𝑡 → 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑡 𝑦𝑡 → 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑡 𝑠𝑡 → 𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑡 Temos que o objetivo é Minimizar o custo de produção 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Temos que o objetivo é Minimizar o custo de produção 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Restrito à: Cumprimento das demandas periódicas (R1) 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 Temos que o objetivo é Minimizar o custo de produção 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Restrito à: Cumprimento das demandas periódicas (R1) 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 Não extrapolação da produção normal máxima (R2) 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 … | 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Temos que o objetivo é Minimizar o custo de produção 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Restrito à: Cumprimento das demandas periódicas (R1) 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 Não extrapolação da produção normal máxima (R2) 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 … | 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Não extrapolação da produção extra máxima (R3) 𝑦1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑦2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 … | 𝑦6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 E seja o estoque definido por (R4) 𝑠0 = 500 𝑠1 = 𝑠0 + 𝑥1 + 𝑦1 − 𝐷1 𝑠2 = 𝑠1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝐷2 … 𝑠6 = 𝑠5 + 𝑥6 + 𝑦6 − 𝐷6 Temos o seguinte modelo para o problema proposto: 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Sujeito à 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑦1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑦2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 … 𝑦6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑠0 = 500 𝑠1 = 𝑠0 + 𝑥1 + 𝑦1 − 𝐷1 𝑠2 = 𝑠1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝐷2 … 𝑠6 = 𝑠5 + 𝑥6 + 𝑦6 − 𝐷6 MODELAGEM GENÉRICA Conforme os sistemas se tornam mais complexos, os modelos em formato padrão vão se tornando muito extensos de se representar Deste modo, a utilização da modelagem genérica se torna mais atrativa Convertendo R1 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 Convertendo R1 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 Ao analisarmos as restrições do tipo R1, se pode observar que o atendimento da demanda no período 𝑡 é sempre garantida pela produção normal no período 𝑡, acrescido da produção extra no período 𝑡, acrescida, ainda, pelo valor em estoque no período 𝑡 − 1 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 + 𝑠𝑡−1 ≥ 𝐷𝑡 Convertendo R1 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑠0 ≥ 𝐷1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑠1 ≥ 𝐷2 … 𝑥6 + 𝑦6 + 𝑠5 ≥ 𝐷6 Ao analisarmos as restrições do tipo R1, se pode observar que o atendimento da demanda no período 𝑡 é sempre garantida pela produção normal no período 𝑡, acrescido da produção extra no período 𝑡, acrescida, ainda, pelo valor em estoque no período 𝑡 − 1 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 + 𝑠𝑡−1 ≥ 𝐷𝑡 Podemos analisar também que a restrição se repete para cada período 𝑡 ∈ 𝑇 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 + 𝑠𝑡−1 ≥ 𝐷𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝑇 Convertendo R2 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Convertendo R2 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Ao analisarmos as restrições do tipo R2, se pode observar que a garantia que nenhuma produção máxima, em horário normal, é feita ao obrigar-se que a produção no horário normal do período 𝑡 seja menor que uma constante 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Convertendo R2 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Ao analisarmos as restrições do tipo R2, se pode observar que a garantia que nenhuma produção máxima, em horário normal, é feita ao obrigar-se que a produção no horário normal do período 𝑡 seja menor que uma constante 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 Podemos analisar também que a restrição se repete para cada período 𝑡 ∈ 𝑇 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 ∀𝑡 ∈ 𝑇 Convertendo R3 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 Convertendo R3 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 Ao analisarmos as restrições do tipo R3, se pode observar que a garantia que nenhuma produção máxima, em horário extra, é feita ao obrigar-se que a produção no horário normal do período 𝑡 seja menor que uma constante 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 Convertendo R3 𝑥1 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑥2 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 … 𝑥6 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 Ao analisarmos as restrições do tipo R3, se pode observar que a garantia que nenhuma produção máxima, em horário extra, é feita ao obrigar-se que a produção no horário normal do período 𝑡 seja menor que uma constante 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 Podemos analisar também que a restrição se repete para cada período 𝑡 ∈ 𝑇 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 ∀𝑡 ∈ 𝑇 Convertendo R4 𝑠1 = 𝑠0 + 𝑥1 + 𝑦1 − 𝐷1 𝑠2 = 𝑠1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝐷2 … 𝑠6 = 𝑠5 + 𝑥6 + 𝑦6 − 𝐷6 Convertendo R4 𝑠1 = 𝑠0 + 𝑥1 + 𝑦1 − 𝐷1 𝑠2 = 𝑠1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝐷2 … 𝑠6 = 𝑠5 + 𝑥6 + 𝑦6 − 𝐷6 Ao analisarmos as restrições do tipo R4, se pode observar que o estoque ao final do período 𝑡 é dado pelo valore do estoque ao final do período 𝑡 − 1, somado a produção em hora normal no período 𝑡, somado, ainda, a produção em hora extra no período 𝑡 e, por fim, subtraindo-se a demanda existente no período 𝑡 𝑠𝑡 = 𝑠𝑡−1 + 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 − 𝐷𝑡 Convertendo R4 𝑠1 = 𝑠0 + 𝑥1 + 𝑦1 − 𝐷1 𝑠2 = 𝑠1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝐷2 … 𝑠6 = 𝑠5 + 𝑥6 + 𝑦6 − 𝐷6 Ao analisarmos as restrições do tipo R4, se pode observar que o estoque ao final do período 𝑡 é dado pelo valore do estoque ao final do período 𝑡 − 1, somado a produção em hora normal no período 𝑡, somado, ainda, a produção em hora extra no período 𝑡 e, porfim, subtraindo-se a demanda existente no período 𝑡 𝑠𝑡 = 𝑠𝑡−1 + 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 − 𝐷𝑡 Podemos analisar também que a restrição se repete para cada período 𝑡 ∈ 𝑇 𝑠𝑡 = 𝑠𝑡−1 + 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 − 𝐷𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝑇 Convertendo 𝜑 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Convertendo 𝜑 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Ao analisarmos a função objetivo observamos que, para cada período 𝑡, o custo de produção é dado pela soma dos custos: total de produção em horário normal; total de produção em horário extra; total de estoque ao final do período. Sabe que o custo total é dado pela multiplicação entre o custo unitário e a quantidade 𝑐𝑥𝑥𝑡 + 𝑐 𝑦𝑦𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠𝑡 Convertendo 𝜑 𝜑 = min 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑐𝑥𝑥1 + 𝑐 𝑦𝑦1 + 𝑐 𝑠𝑠1 + 𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑐 𝑦𝑦2 + 𝑐 𝑠𝑠2 +⋯+ 𝑐 𝑥𝑥6 + 𝑐 𝑦𝑦6 + 𝑐 𝑠𝑠6 Ao analisarmos a função objetivo observamos que, para cada período 𝑡, o custo de produção é dado pela soma dos custos: total de produção em horário normal; total de produção em horário extra; total de estoque ao final do período. Sabe que o custo total é dado pela multiplicação entre o custo unitário e a quantidade 𝑐𝑥𝑥𝑡 + 𝑐 𝑦𝑦𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠𝑡 Podemos analisar, também, que estes valores são somados ao longo de todos os períodos 𝑡 ∈ 𝑇 𝑡=1 𝑇 𝑐𝑥𝑥𝑡 + 𝑐 𝑦𝑦𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠𝑡 𝑜𝑢 𝑡∈𝑇 𝑐𝑥𝑥𝑡 + 𝑐 𝑦𝑦𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠𝑡 Assim, temos o seguinte modelo para o problema proposto: 𝜑 = min𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑠 = 𝑡∈𝑇 𝑐𝑥𝑥𝑡 + 𝑐 𝑦𝑦𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠𝑡 Sujeito à 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 + 𝑠𝑡−1 ≥ 𝐷𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑁 ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑒 ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑠𝑡 = 𝑠𝑡−1 + 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 − 𝐷𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑠0 = 500
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