Lista 2010 Escoamentos Viscosos

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LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 
 
2010 
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos 
 
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 2 
 
[ 1] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre a 
superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenho 
esquemático do problema com a respectiva solução. 
 
[ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m 
de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas na 
tabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial. 
Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s 
 
Posição Radial Velocidade )(ru (m/s) Tensão de cisalhamento )(rτ (N/m2) 
r=0 
r=4,0mm 
r=10mm 
 
[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida com alguma 
instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 a Universidade 
Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de 300mm de diâmetro 
e velocidade V=18m/s e glicerina a 200C. 
Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m2) (c ) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura da 
subcamada viscosa (mm). 
Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s 
 
[ 4 ] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela 
metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; Triplicará 
Quadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16 
 
[ 5 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de 2,0m/s. 
Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa 
Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s 
 
[ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidade constante 
igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos: 
 
(i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga. 
(ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição. 
 
Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equações apropriadas. 
água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s 
 
[ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por: 
 
 







−=
∞
3
2
1
2
3
δδ
yyUu onde a espessura da camada limite é 
∞
=
U
vx
x 64,4)(δ 
 
Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma: 
x
f
A
c
Re
= 
Onde A é uma constante do resultado numérico 
L
D
B
c
Re
= 
onde B é uma constante do resultado numérico 
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[8] Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailer 
instalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de 
diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicional 
necessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanque 
estiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejam 
voltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo. 
Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3. 
 
 
 
[9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimento 
e 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e a 
estrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais. 
Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombar 
lateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15 
kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente. 
Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entre 
rodas é de 1,8m. 
 
 
[10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente de 
sustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800 
kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com 
ρ=1,205 kg/m3. (b) Potência necessária para manter uma velocidade de 
cruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeiro 
de 0,035. 
 
 
[11] Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m2 e 
forma um ângulo de α=300 com a horizontal. A tensão na 
linha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a 
direção do vento. Identifique a força de sustentação e 
arrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h, 
determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação. 
Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cada 
força (sustentação e arrasto) adotar a área projetada como 
sendo a área de referência. Considere massa especifica do 
ar igual a 1,2 kg/m3. 
 
 
[12] Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kg 
descendo em uma estrada com uma inclinação de 120 sem pedalar nem 
brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2 e um coeficiente de 
arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4 
m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando 
a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine a 
velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a 
massa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3. 
 
 
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 [13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm da parede 
apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, d=0,827. Use essa informação para determinar 
a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizando como auxilio o perfil de velocidades de 
Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas na solução de Blasius: 
)(´ ηf
U
u
= e 
2/1






=
x
Uy
ν
η 
 
 
 
[14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensada 
e coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h. 
(a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com o 
fluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ? 
(b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se a 
camada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrasto 
sobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com o 
caso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m e 
b=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs. 
ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s. 
 
 
 
[15]Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui uma 
seção de teste de 30cm de diâmetro e comprimento de 30cm. A 
velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnel 
varia de 1,0m/s a 8,0m/s. O projeto será otimizado para uma 
velocidade de 4,0m/s através da seção de teste. Para o caso de 
escoamento aproximadamente uniforme a 4,0m/s na entrada da 
seção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste. 
(b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em que 
percentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar para 
tornar o escoamento mais uniforme na seção de teste. 
Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL. 
 
 
 
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido 
a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil 
de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação 
que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. 
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 Laminar 














−=
2
max 1)( R
rUru 
Turbulento (n=7) 
n
R
rUru
/1
max 1)( 





−= 
 
 
[ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre do fluido 
é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força de arrasto na 
placa devido a esta alteração da velocidade. 
 
[ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidade 
media igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidades 
exponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número 
de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: 96,1log(Re)85,1 −=n 
 
Determine: 
(a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um 
manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial. 
(b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso. 
 
Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10-3 Pa.s 
 
 
[ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura move-
se a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar as 
equações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a 
posição de transição (x critico) é menor que 10% do comprimento total. 
No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamento 
turbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine: 
 
(a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa. 
 
(b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm. 
 
Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s. 
 
 
 
 
 
 
 
[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quando 
imersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura. 
 
Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de aço 
com massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidade 
U=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda. 
 
Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2/s. 
 
 
 
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[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à 
velocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a área 
superficial das asas é igual a 16,5 m2, determine: 
 
a) O coeficiente de sustentação nestas condições. 
b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05 
determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força de 
arrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a). 
c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrasto 
do avião é igual a 0,05 
 
 
 
 
[22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado com 
combustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225 
km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é igual 
a 100 kg. Utilize ar padrão. 
 
Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quando 
carregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesma 
configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps). 
 
 
 
[23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y e 
apresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine: 
a) A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50 
b) O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica. 
 
 
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[ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimento 
determine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão de 
cisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m). 
água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s 
 
 
[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por um elemento 
flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica uma tensão de 
cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule: 
 
(a) A velocidade de corrente livre (m/s) 
(b) A espessura da camada limite (mm) no ponto 
onde se encontra o elemento. 
(c) A velocidade em (m/s) a 5mm acima do 
elemento. 
 
Ar 200C: 
Massa especifica 1,204 Kg/m3 
Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s 
 
 
 
 
[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal: 





=
∞
δ
pi y
sen
U
u
2
 
 
Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão: )(2 x
U
w δ
piµ
τ ∞= 
 
(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por: 
x
x Re
8,4
=
δ
 
 
determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade (m/s) correspondente na metade da espessura da 
camada limite nesta posição. Obs. Considere uma placa com comprimento total de 0,8m e velocidade de corrente livre igual a 
2,0m/s. 
 
Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s 
 
[ 27] Uma caixa de água esférica (lisa) de 15m de diâmetro é sustentada por uma estrutura 
metálica tubular de 2m de diâmetro e 40m de altura. No local a velocidade de rajada do vento 
máximo em 50 anos é igual a 40 m/s. Obs. O coeficiente de arrasto da estrutura tubular é CD=1,2. 
Determine: 
(a) A força de arrasto exercida pelo vento sobre o reservatório.(b) A força de arrasto dobre a estrutura tubular. 
(c) O momento exercido na base da estrutura tubular. 
 
 Ar a 200C: Massa especifica: 1,2 kg/m3. Viscosidade cinemática: 14,2x10-6 m2/s. 
Obs: Utilize Gráfico em anexo (Fig.1). 
 
[ 28 ] Um túnel de vento vertical para prática de salto (pára-quedismo) possui um diâmetro 2,2 m e altura de 3,0 metros. A 
velocidade no túnel é igual a 65m/s. Considere que a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel flutua com as 
extremidades entendidas com o qual o coeficiente de arrasto é igual a 1,2. Determine a força de arrasto e potência despendida 
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pelo sistema para manter a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel. Considere ar nas condições padrão. 
Ar a 200C ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s. 
 
 
 
[ 29 ] No RS teve uma serie de temporais que ocasionaram sérios danos a construções e também derrubando arvores. Determine 
a força axial exercida pelo vento numa localidade do RS submetida a uma rajada de 120 km/h. Considere que o coeficiente de 
arrasto da árvore é igual a 0,5. Determine a força de arrasto da árvore que apresenta uma área frontal de 5,8m2 
Ar a 200C ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s. 
 
 
 
[ 30] Um perfil aerodinâmico é submetido a um escoamento com velocidade de 15m/s. O perfil possui uma corda de 50cm e um 
comprimento de 12,0m. Numa posição angular a força de arrasto é igual a 267,3N. (a) Determine o ângulo de ataque nesta 
posição. (b) Determine o ângulo de ataque que permita manter a mesma força de sustentação reduzindo drasticamente a força de 
arrasto. Obs: Utilize Gráfico em anexo. Ar a 200C ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s. 
 
[ 31 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0 m/s. 
Determine (a) Força de arrasto na placa (b) Espessura da camada limite no bordo de fuga da placa 
Água: ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s. 
 
[ 32 ] A Ponte Verrazano-Narrows é uma ponte suspensa que conecta a Staten 
Island ao popular bairro do Brooklyn na península de Long Island em Nova Iorque. 
Como parte das comemorações da independência de USA em 1976 um grupo 
empreendedor pendurou uma gigantesca bandeira norte-americana com 59 m de 
altura e 112 m de largura nos cabos de suspensão da ponte. A bandeira foi 
arrancada da sua amarração quando o vento atingiu 16 km/h. Estime a força do 
vento atuante sobre a bandeira a esta velocidade. Utilize de forma aproximada o 
coeficiente de arrasto de uma placa plana quadrada conforme figura (CD=1,2). 
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s. 
 
 
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[ 33 ] A componente vertical da velocidade de aterrissagem de uma pára-quedas 
deve ser inferior a 6,0 m/s. A massa total do pára-quedas e pára-quedista é de 120 
kg. Determine o diâmetro mínimo do pára-quedas aberto. 
 
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s. 
 
 
[ 34 ] Duas bolas de beisebol de 74 mm de diâmetro são conectadas a 
uma barra de 7 mm de diâmetro e 560 mm de comprimento. Determine a 
potência (Watts) necessária para manter o sistema girando a uma 
velocidade angular de 42 rad/s. 
 
Obs. A barra cilíndrica possui um coeficiente de arrasto CD=1,2. Para a 
esfera determine o coef. de arrasto conforme tabela abaixo. 
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s. 
 Tabela – Coeficiente de arrasto de esfera 
Re ≤ 1 1 < Re ≤ 400 400 <Re ≤ 3x105 3x105 < Re ≤ 2x106 Re > 2x106 
Re
24
=DC ( ) 646,0Re
24
=DC 
 
5,0=DC 
 
( ) 4275,0Re000366,0=DC 
 
18,0=DC 
 
[ 35 ] O avião fabricado pelos irmãos Wright chamava-se Flyer (Voador) e era 
um biplano. Foi Orville Wright quem pilotou o primeiro vôo controlado dos 
irmãos, em 17 de dezembro de 1903, na cidade de Kitty Hawk, na Carolina do 
Norte. Considera-se este vôo um marco na história da aviação motorizada. 
 
Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área 
plana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto total 
considerando as asas como sendo placas planas. 
 
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 
e ν=1,46x10-5 m2/s. 
 
 
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[ 36 ] Determinar o momento resultante sobre a base da estrutura 
mostrada na figura. Trata-se de uma placa plana de 2,0m x 2,0m e 
uma estrutura semi tubular com diâmetro de 20cm. Determine o 
momento na base considerando as duas alternativas de estruturas. 
 
Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 e 
na convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura é 
igual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto igual 
a 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3 
 
 
 
[ 37 ] Uma asa de avião de 2,0m de corda avança com uma velocidade de 138 km/h. A velocidade média na superfície superior da 
asa é igual a 160 km/h e na superfície inferior igual a 130 km/h. Determine a força de sustentação considerando uma 
comprimento total de asa de 20m. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3. Determine o coeficiente de sustentação da asa. 
Lembre que num aerofólio a sustentação ocorre pela variação pressão das superfícies superior e inferior. 
 
[38] A Figura mostra o resultado do coeficiente de pressão teórico e determinado em túnel de vento de um cilindro onde escoa ar 
padrão. Quando um manômetro digital esta conectado na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (1) do cilindro, o 
manômetro indica uma pressão equivalente a 14mmH20. Com esta informação pode ser determinada a velocidade de corrente 
livre no túnel que é igual a 15,1 m/s. (a) Determine qual a pressão equivalente (em mmH20) quando o manômetro esta conectado 
na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (2) do cilindro numa posição angular igual a 500. (b) Qual será a velocidade de 
corrente nesta posição do cilindro para o caso real e para o caso teórico. 
 
(a) Sistema de medição em túnel de vento 
 
 
(b) Resultado do coeficiente de pressão real e teórico. 
 
[ 39 ] Uma chaminé de seção quadrada tem 50m de altura. Seus suportes podem resistir a uma força lateral máxima de 90kN. Se 
a chaminé deve suportar furacões de 145 km/h qual será a largura máxima possível ? (b) Considerando a largura determinada 
como sendo o diâmetro qual a força de arrasto para a mesma velocidade se a chaminé for de seção circular ?. 
Considere ar ρ = 1,204 kg/m3 ν=1,51x10-5 m2/s. 
 
 
[ 40 ] Uma rede de peixes consiste em fios de 1 mm de diâmetro sobrepostos e amarrados paraformar quadrados de 1cm por 1 
cm. Calcule o arrasto de 1,0 m2 de tal rede quando puxada normal ao seu plano a 3 m/s na água a 20 ºC. Qual a potência em kW 
necessária para se puxarem 37 m2 dessa rede? Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 
 
[ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico de diâmetro 
D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindo sobre o corpo é 
calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através da superfície) resultando em 
4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera. 
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[ 42 ] Uma ciclista de 80 kg está andando com sua bicicleta de 15 kg descendo em uma estrada com inclinação de 12° sem 
pedalar nem brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45 m² e um coeficiente de arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical, 
e uma área frontal de 0,4 m² e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando a resistência de rodagem e o 
atrito nos rolamento, determine a velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a densidade do as como 1,25 
kg/m³. 
 
[ 43 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0m/s. 
Determine (a) Arrasto sobre um lado da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa para: ar com ρ=1,23 
kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s 
 
[ 44 ] Uma hidrofolio de L=0,37m e largura de b=1,83m esta imersa paralelamente a uma corrente de água a 12,2m/s com ρ=1025 
kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s. 
(a) Espessura da C.L. no final da placa. 
(b) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa. 
(c) Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior 
(d) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (ε=0,12mm) 
 
[ 45 ] Determinar a força de arrasto de um bi-plano (avião dos irmãos Wright) com 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana. 
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,5x10-5 m2/s. 
 
[ 46 ] Considere uma placa plana de 30cm de comprimento submetida a uma velocidade de 0,3 m/s. Determinar a espessura da 
camada limite no bordo de fuga para (a) Para o ar ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e (b) Para água com ρ=1000 kg/m3 e 
ν=1,02x10-6 m2/s 
 
[ 47 ] Uma placa plana fina longa e colocada paralelamente a uma corrente de água de 6,1m/s a 200. A que distancia do bordo de 
ataque a espessura da camada limite será de 25 mm. Considere a viscosidade cinemática da água ν=1,02x10-6 m2/s 
[ 48 ] Numa tubulação de 97 mm de diâmetro escoa água com uma vazão de 18 m3/h ar a 400C. A variação de pressão num 
trecho de 30 m de comprimento e igual a 1255 Pa. Considerando tubulação lisa determinar: 
(a) Velocidade na tubulação numa distancia media entre a parede e o centro do tubo. 
(b) A distancia a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade media da tubulação. 
(c) Considerando os limites das diferentes camadas determine a espessura da subcamada laminar, da camada de transição 
e da camada turbulenta. 
Propriedades da água a 400C 
sPaxmkg .1051,6 /992 43 −== µρ 
 
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Anexos
 
Figura 1 Efeito de rugosidade no coeficiente de arrasto em esferas lisas 
 
 
 (a ) Coeficiente de sustentação do perfil (b) Coeficiente de arrastro do perfil 
 
 
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[ 1] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre a 
superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenho 
esquemático do problema com a respectiva solução. 
 
Dados: 
 
Escoamento Laminar 
 
2
6)(
R
r
s
m
ru
=
=
 
Determine: 
 
?=V 
2
R
 
 
 














−=
2
max 1)( R
r
uru 


















−=
2
max
21)(
R
R
uru 














−=
2
max 2
11)( uru 
 




−=
4
11)( maxuru 
4
3)( maxuru = 
3
4)(max ruu = 
3
46max
s
m
u = 
3
46max
s
m
u = 
s
m
u 8max = 
 
Vu 2max = 
 
2
8
s
m
V = 
s
mV 4= 
 
 
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[ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m 
de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas na 
tabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial. 
Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s 
 
Posição Radial Velocidade )(ru (m/s) Tensão de cisalhamento )(rτ (N/m2) 
r=0 2,48 0 
r=4,0mm 2,29 5 
r=10mm 0,0 12,5 
 
Dados: 
 
mL
s
mV
CT
mmD
20
0,2
20
20
=
=
°=
=
 
 
sPax
m
kg
mm
.1002,1
³
1000
02,0
3−
=
=
=
µ
ρ
ε
 
Determinar: 
 
?)(
?)(
=
=
r
ru
τ
 
 
µ
ρ DV
=Re 
31002,1
02,0.0,2.
³
1000
Re
−
=
x
m
s
m
m
kg
 
TURBULENTO⇒= 39216Re 
2
9,0Re
74,5
7,3
log25,0
−
















+= Df
ε
 
2
9,039216
74,5
7,3
20
02,0
log25,0
−




















+=f 
2
9,039216
74,5
7,3
20
02,0
log25,0
−




















+=f 
( )[ ] 20004214,000027,0log25,0 −+=f 
025,0=f 
 
96,1Relog85,1 −=n 
54,6=n 
 
( )( )121
2 2
max ++
=
nn
n
u
V
 
( )
( )( )154,6.2154,6
54,6.2 2
max ++
=
u
V
 
Vu 241,1max = 
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s
m
u 48,2max = 
n
R
r
uru
1
max 1)( 





−= 
54,6
1
10
148,2)( 




−=
r
s
m
ru 
 
r = 0 
54,6
1
10
0148,2)( 





−=
s
m
ru 
48,2)( =ru 
 
r = 4 mm 
54,6
1
10
4148,2)( 





−=
s
m
ru 
s
m
ru 29,2)( = 
 
r = 10 mm 
54,6
1
10
10148,2)( 





−=
s
m
ru 
0)( =ru 
 
2
.
4
2Vf ρτω = 
( )
2
2
.1000
4
025,0
2
3
s
m
m
kg
=ωτ 
25,12
m
N
=ωτ 
 
R
r
r max)( ττ = 
 
r = 0 
0)( =rτ 
 
r = 4 mm 
mm
mm
m
Nr
10
45,12)( 2=τ 
25)(
m
Nr =τ 
 
r = 10 mm 
25,12)(
m
Nr =τ 
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[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida com 
alguma instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 a 
Universidade Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de 
300 mm de diâmetro e velocidade V=18 m/s e glicerina a 200C. 
Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m2) (c) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura da 
subcamada viscosa (mm). 
Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s 
 
Dados: 
 
Tubo liso 
 
s
mV
mmD
18
300
=
=
 
 
 
³
1260
.5,1
)(20
m
kg
sPa
glicerinaCT
=
=
°=
ρ
µ 
Determinar: 
 
?
?
?
?
*
=
=
=
=
y
u
f
ωτ
 
 
Na sub-camada viscosa y+ = 5; 
 
µ
ρ DV
=Re 
sPa
m
s
m
m
kg
.5,1
3,018
³
1260
Re = 
4536Re = 
 
4
1
Re
316,0
=f 
4
1
4536
316,0
=f 
0385,0=f 
2
.
4
2Vf ρτω = 
2
18
.
³
1260
4
0385,0
2






=
s
m
m
kg
ωτ 
²/7,1964 mN≅ωτ 
2
1
*






= ρ
τωu 
s
mu 25,1* ≅ 
 
 
ν
*yuy =+ 
 
*u
yy ν
+
= 
ρ
µ
*u
yy
+
= 
³
126025,1
5..5,1
m
kg
s
m
sPay = 
mmy 76,4= 
 
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[ 4 ] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido 
pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; Triplicará 
Quadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16 
 
Dados: 
 
Escoamento laminar 
 
CTEL
CTEQ
DD
=
=
=
2
 
 
Determinar: 
 
?=Lh 
Resposta: 
 
A perda de carga aumentará por um 
fator de 16. 
 
Re
64
=f 
 
ν
DV
=Re 
νpi ..
.4Re 2D
QD
= 
νpi ..
.4Re
D
Q
= 
 
AVQ .= 
2
.
.4
D
QV
pi
= 
 
gD
VLfhL
.2.
.
2
= 
 
gD
VL
gD
VL
.22
.
Re
64
.2.
.
Re
64 22
= 
Re
2
Re
22 VV
= 
( )
Re
2
4
.2
Re
.
.4
2
2
2
2 









=






D
Q
D
Q
pipi
 
 
 








=






νpi
νpi
.2.
.4
16.2
..
.4
1
D
Q
D
Q 
161= 
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[ 5 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de 
2,0m/s. Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa 
Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s 
 
Dados: 
 
mL
mb
smU
0,1
0,3
/0,2
=
=
=
°°
 
 
 
 
3
25
/23,1
/1046,1
mkg
smx
=
=
−
ρ
ν
 
Determinar: 
 
?)(
?)(
?)(
?
*
=
=
=
=
x
x
x
FD
θ
δ
δ
 
 
ν
LU
L
°°
=Re 
s
m
x
m
s
m
L 2
51046,1
0,12
Re
−
= 
LAMINARxxL ⇒<=
55 10510369,1Re 
 
L
DC Re
328,1
= 
510369,1
328,1
x
CD = 
00358,0=DC 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
00358,0).0,3.0,1.(22
³
23,1
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 0529,0= 
 
 
 
x
x
Lx
Re
5)(
=
=δ
 
510369,1
1.5)(
x
mLx ==δ 
mmLx 51,13)( ==δ 
 
89,2
)()(* xLx δδ == 
89,2
51,13)(* mmLx ==δ 
mmLx 67,4)(* ==δ 
 
)(
7
1)( xLx δθ == 
mmLx 51,13
7
1)( ==θ 
mmLx 93,1)( ==θ 
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[ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidade 
constante igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos: 
 
(i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga. 
(ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição. 
 
Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equações 
apropriadas. água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s 
 
Dados: 
 
mL
mb
s
mU
0,1
0,2
5,1
=
=
=
°°
 
 
 
 
³
1000
105,1
2
6
m
kg
s
m
x
=
=
−
ρ
ν
 
Determinar: 
 
?(%)
?
?
)(
)(
=
=
=
Erro
F
F
iiD
iD
 
 
ν
LU
L
°°
=Re 
s
m
x
m
s
m
L ²105,1
0,15,1
Re
6−
= 
56 105101Re xxL >= 
 
OBS: Considerando 0,1%L para escoamento com laminar anterior 
 
ν
c
c
xU
°°
=Re 
s
m
x
x
s
m
x
c
2
6
5
105,1
5,1
105
−
= 
mxc 5,0= 
⇒>= L
L
xc %1,0%50%100. TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR 
 
i) 
5
1
Re
074,0
L
DC = 
( ) 516101
074,0
x
CD = 
004669,0=DC 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
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004669,0).0,2.0,1.(25,1
³
1000
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 21= 
 
ii) 
LL
DC Re
1700
Re
074,0
5
1 −= 
( ) 6516 101
1700
101
074,0
xx
CD −= 
002969,0=DC 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
002969,0).0,2.0,1.(25,1
³
1000
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 36,13= 
 
%38,36%100.
21
36,1321
=




 −
=
N
NNERRO 
 
[ 7 ] O perfilde velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por: 
 
 







−=
∞
3
2
1
2
3
δδ
yyUu onde a espessura da camada limite é 
∞
=
U
vx
x 64,4)(δ 
 
Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma: 
x
f
A
c
Re
= 
Onde A é uma constante do resultado numérico 
L
D
B
c
Re
= 
onde B é uma constante do resultado numérico 
 








−=
∞
3
2
1
2
3
δδ
yyUu 
 
°°
=
U
x
x
νδ 64,4)( 
 
0
2
),(2
=°°
∂
∂
=
y
f y
yxu
U
C ν 
 








−=
°°
°°
2
2
1
2
32
δδ
ν yU
U
C f 
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







−=
°°
21
2
32
δδ
ν y
U
C f 








−=
°°
201
2
32
δδ
ν
U
C f 
δ
ν
°°
=
U
C f
3
 
x
U
U
C f ν
ν
°°
°°
=
64,4
13
 
xU
UC f
ν
ν
2
2
64,4
13
°°
°°
= 
xU
C f
°°
=
ν646,0 
2
1
Re
646,0
x
fC = 
 
∫=
L
fD dxxCL
C
0
)(1 
∫ 





=
°°
L
D dx
xUL
C
0
646,01 ν 
∫ 





=
°°
L
D dx
xUL
C
0
646,01 ν 
∫
−
°°
=
L
D dxxLU
C
0
2
11646,0 ν 
2
1
1646,0
2
1
x
LU
CD
°°
=
ν
 
L
D xLU
C
0
2
12646,0
°°
=
ν
 
2
12646,0 L
LU
CD
°°
=
ν
 
2646,0.2 LU
LCD
°°
=
ν
 
LU
CD
°°
=
ν646,0.2 
L
DC Re
292,1
= 
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[8] Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailer 
instalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de 
diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicional 
necessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanque 
estiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejam 
voltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo. 
Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3. 
 
 
 
Dados: 
 
h
kmU
mD
mL
95
5,0
0,2
=
=
=
°°
 
 
 
 
s
m
h
kmU
m
kg
39,26
3600
1000
.95
³
035,1
==
=
°°
ρ
 
Determinar: 
 
?
?
=
=
B
A
W
W
&
&
 
 
 
4=
D
L
 
 
9,0=DC 
 
 
5≅
D
L
 
 
8,0=DC 
Tab. 11.1 e Tab.11.2 livro Cengel e 
Cimbala. 
 
(a) DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
 
9,0.
4
39,26035,1
2
1 22
3 











=
D
s
m
m
kgFD
pi
 
( ) 9,0.
4
5,039,26035,1
2
1 22
3 













=
m
s
m
m
kgFD
pi
 
NFD 7,63= 
 
 
VFW D .=& 
s
mNW 39,26.7,63=& 
kWW 68,1=& 
 
 
(b) DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
( ) 8,0..39,26035,1
2
1 2
3 DLs
m
m
kgFD 





= 
( ) 8,0.5,0.239,26035,1
2
1 2
3 mms
m
m
kgFD 





= 
NFD 32,288= 
 
VFW D .=& 
s
mNW 39,26.32,288=& kWW 61,7≅& 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 23 
[9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimento 
e 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e a 
estrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais. 
Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombar 
lateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15 
kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente. 
Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entre 
rodas é de 1,8m. 
 
Dados: 
 
mb
mL
mD
kgm
2
2
8
5000
=
=
=
=
 
 
Distância entre assoalho e estrada 
md 8,0= ; 
Distância entre rodas mr 8,1= 
315,1
m
kg
=ρ 
 
Determinar: 
 
?=
°°
U 
 
 
25,0
8
2
==
D
L
 
 
2,2=DC (Tab.11.2) 
 
0=∑M 
 
 
 
 
 
sFM AF .= 
0
2.
=−
rWsFA 
s
rWFA
1
.
2.
= 
8,1
1
.
2
8,181,9.5000 2. 





=
s
mkgFA 
NFA 24525. = 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
D
A
CA
FU
..
.2
ρ
=
°°
 
( ) 2,2.2.8.15,1
24525.2
3 mmm
kg
NU =
°°
 
s
mU 81,34=
°°
 
h
kmU 3,125=
°°
 
 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 24 
[10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente de 
sustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800 
kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com 
ρ=1,205 kg/m3. (b) Potência necessária para manter uma velocidade de 
cruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeiro 
de 0,035. 
 
 
Dados: 
 
kgm
C
mA
L
2800
45,0
²30
=
=
=
 
 035,0
34,83300
³
205,1
=
≅=
=
DC
s
m
h
kmV
m
kgρ
 
Determinar: 
 
?
?
=
=
∞
W
U
&
 
 
(a) LL CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
WFL = 
L
L
CA
FU
..
.2
ρ
=
°°
 
45,0².30.205,1
²
81,9.2800.2
3 m
m
kg
s
mkg
U






=
°°
 
s
mU 11,58=
°°
 
h
kmU 2,209=
°°
 
 
(b) DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
035,0².30
²
34,83
²
205,1
2
1 2
m
s
m
s
mFD 





= 
NFD 23,4393= 
 
VFW D.=& 
²
34,83.23,4393
s
mNW =& 
kWW 1,366=& 
 
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[11] Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m2 e 
forma um ângulo de α=300 com a horizontal. A tensão na 
linha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a 
direção do vento. Identifique a força de sustentação e 
arrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h, 
determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação. 
Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cada 
força (sustentação e arrasto) adotar a área projetada como 
sendo a área de referência. Considere massa especifica do 
ar igual a 1,2 kg/m3. 
 
 
Dados: 
 
°=
=
=
30
²8,0
1
α
mA
NWp
 
 
³
2,1
1036
45
30
m
kgs
m
h
kmU
NFR
=
==
°=
=
∞
ρ
β
 
Determinar: 
 
?
?
=
=
L
D
C
C
 
 
Obs.: Área projetada. 
 
0=+−=∑ DRX FFF X 
 
βcos
.RR FF X = 
βsenFF RRy .= 
 
.XRD
FF = 
°= 45cos30NFD 
NFD 21,21= 
 
0=−+−=∑ WFFF LRY Y 
 
WFF
YRL
+= 
NsenNFL 145.30 +°= 
NFL 21,22= 
 
αsenAA
XP .
= 
°= 30²8,0
.
senmA
XP
 
²4,0 mA
XP
= 
 
αcos
.
AA
yP
= 
°= 30cos²8,0
.
mA
yP
 
²693,0 mA
yP
= 
 
DPD CAUF X .2
1 2
°°
= ρ 
FL
FD
=30N =w
y
x
FL
FD
=30N =w
y
x
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 26 
XP
D
D
AU
FC
2
2
1
°°
=
ρ
 
²4,010
³
2,1
2
1
21,21
2
m
s
m
m
kg
NCD






= 
884,0=DC 
 
LPL CAUF Y .2
1 2
°°
= ρ 
YP
L
L
AU
FC
2
2
1
°°
=
ρ
 
²693,010
³
2,1
2
1
21,22
2
m
s
m
m
kg
NCL






= 
53,0=LC 
 
[12] Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kg 
descendo em uma estrada com uma inclinação de 120 sem pedalar nem 
brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2 e um coeficiente de 
arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4 
m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando 
a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine a 
velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a 
massa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3. 
 
 
Dados: 
 
°=
=
=
12
15
80
α
kgm
kgm
b
c
 
 
³
25,1
9,0
²4,0
1,1
²45,0
m
kg
C
mA
C
mA
C
V
D
C
D
V
=
=
=
=
=
ρ
 
Determinar: 
 
?
?
=
=
∞
∞
c
v
U
U
 
 
 
gmW CC .= 
²
81,9.80
s
mkgWC = 
NWC 785= 
 
gmW bb .= 
²
81,9.15
s
mkgWb = 
NWb 15,147= 
 
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°= 12
.
senWF TD 
°= 1215,932
.
senNFD 
°= 1215,932
.
senNFD 
NFD 8,193= 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
 
VDV
D
CA
FU
..
.2
ρ
=
°°
 
1,1².45,0.
²
25,1
8,193.2
m
m
kg
NU =
°°
 
s
mU 25=
°°
 
h
kmU 90=
°°
 
 
cDc
D
CA
FU
..
.2
ρ
=
°°
 
9,0².4,0.
²
25,1
8,193.2
m
m
kg
NU =
°°
 
s
mU 3,29=
°°
 
h
kmU 65,105=
°°
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 28 
 
[13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm da 
parede apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, densidade d=0,827. Use essa 
informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizando 
como auxilio o perfil de velocidades de Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas na 
solução de Blasius: 
)(´ ηf
U
u
= e 
2/1






=
x
Uy
ν
η 
 
 
 
Dados: 
 
s
mU
atmP
CT
d
mmh
20
1
20
827,0
16
=
=
°=
=
=
∞
 
 
my
s
m
x
m
kg
002,0
²1051,1
³
205,1
5
=
=
=
−ν
ρ
 
Determinar: 
 
?=x 
 
 
água
fluidod
ρ
ρ
= 
daguaoleo .ρρ = 
827,0.
³
1000
m
kg
oleo =ρ 
³
827
m
kg
oleo =ρ 
 
hgPm ..ρ= 
m
s
m
m
kgPm 016,0.
²
81,9.
³
827= 
PaPm 81,129= 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 29 
2
.
2
1 VPv ρ= 
mv PP = 
2
.
³
205,1
2
181,129 V
m
kgPa = 
³
205,1
81,129.2
m
kg
PaV = 
s
mV 68,14= 
 
Na tabela com 5,2734,0
20
68,14
≅⇒==
∞
η
U
V
 
2/1






=
x
Uy
ν
η 
x
U
y ν
η
=





2
 
ν
η 2






=
y
U
x 
s
m
x
m
s
m
x
²1051,1
002,0
5,2
20
5
2
−





= 
mx 85,0= 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 30 
 
[14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensada 
e coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h. 
(a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com o 
fluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ? 
(b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se a 
camada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrasto 
sobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com o 
caso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m e 
b=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs. 
ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s. 
 
 
 
Dados: 
 
mb
mL
s
m
h
kmV
0,2
5,2
56,1556
=
=
==
 
 
CT
s
m
x
m
kg
°=
=
=
−
20
²1051,1
³
2,1
5ν
ρ
 
Determinar: 
 
?)(
?)(
?)(
=
=
=
TURBF
LAMF
x
D
D
δ
 
 
 
 
ν
LU
L
°°
=Re 
s
m
x
m
s
m
L ²1051,1
5,256,15
Re
5−
= 
61058,2Re xL = 
 
ν
c
c
xU
°°
=Re 
s
m
x
x
s
m
x
c
2
5
5
1051,1
56,15
105
−
= 
mxc 485,0= 
 
Obs.: 20% da placa possui camada limite laminar. 
 
(a)








−=
LL
xx
Re
10256
Re
381,0)(
5
1δ 
( ) 





−= 6
5
16 1058,2
10256
1058,2
381,05,2)(
xx
mxδ 
mmx 40)( =δ 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 31 
(b) 
2
1
Re
328,1
L
DC = 
( ) 2161058,2
328,1
x
CD = 
0008,0=DC 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
( ) 0008,0.5,2.0,2.256,15
³
2,1
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 16,1= 
 
 
(c) 
LL
DC Re
1700
Re
074,0
5
1 −= 
( ) 6516 1058,2
1700
1058,2
074,0
xx
CD −= 
0032,0=DC 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
( ) 0032,0.5,2.0,2.256,15³
2,1
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 6,4= 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 32 
 
[15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui uma 
seção de teste de 30 cm de diâmetro e comprimento de 30 cm. A 
velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnel 
varia de 1,0 m/s a 8,0 m/s. O projeto será otimizado para uma 
velocidade de 4,0 m/s através da seção de teste. Para o caso de 
escoamento aproximadamente uniforme a 4,0 m/s na entrada da 
seção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste. 
(b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em que 
percentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar para 
tornar o escoamento mais uniforme na seção de teste. 
Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL. 
 
 
 
 
Dados: 
 
cmL
cmD
s
mV
30
30
0,4
=
=
=
 
 
s
m
x
m
kg
²1051,1
³
2,1
5−
=
=
ν
ρ 
Determinar: 
 
?%
?
=∆
=
V
V fim
 
 
 
 
ν
LU
L
°°
=Re 
s
m
x
m
s
m
L ²1051,1
3,0,4
Re
5−
= 
LAMINARxL ⇒≅
4108Re 
 
fimfiminicioinicio AVAV = 
 
L
x
x
Re
73,1)(* =δ 
4108
3,0.73,1)(*
x
m
x =δ 
mxx 31083,1)(* −=δ 
 
 
(a) fimfiminicioinicio AVAV = 
fim
inicio
iniciofim A
AVV = 
*)(
²
δpi
pi
−
=
R
RVV iniciofim 
( )
)1083,115,0(
²15,00,4 3mxm
m
s
mV fim
−
−
= 
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos 
 
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 33 
s
mV fim 1,4= 
 
(b) %5,2%100.
0,4
0,41,4
=
−
s
m
s
m
s
m
 
 
(c) Se o raio fosse projetado de a aumentar com )(* xδ ao longo do comprimento da seção de teste, o efeito de 
deslocamento da camada limite seria eliminado, e a velocidade do ar na seção de teste permaneceria 
razoavelmente constante. 
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot 
introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as 
expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a 
partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a 
velocidade média da tubulação. 
 Laminar 














−=
2
max 1)( R
rUru 
Turbulento (n=7) 
n
R
rUru
/1
max 1)( 





−= 
 
 
ESCOAMENTO LAMINAR 
 














−=
2
max 1)( R
rUru , SABE-SE QUE uru =)( E QUE uU .2max = , ENTÃO: 
 














−=
2
1.2
R
r
uu 
2
1
2
1






−=
R
r
 
R
r
=





−
2
1
2
11 
707,0=
R
r
 
 
E QUE rRy −= 
 
R
rR
R
y −
= 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 34 
R
r
R
y
−= 1 
293,0=
R
y
 
 
ESCOAMENTO TURBULENTO 
 
7n1)(
/1
max =⇒





−=
n
R
rUru 
( )( )1.21
2 2
max ++
=
nn
n
U
u
 
( )( )17.217
7.2 2
max ++
=
U
u
 
8166,0
max
=
U
u
 
uU .224,1max = 
 
PARA uru =)( E SABENDO QUE PARA ESCOAMENTO TURBULENTO uU .8166,0max = 
 
n
R
r
uu
1
1224,1 





−= 
 
ENTÃO: 
 
R
r
R
y
−= 1 
 
n
R
y
uu
1
224,1 





= 
7
1
224,11 





=
R
y
 
R
y
=





7
224,1
1
 
2429,0=
R
y
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 35 
[ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre do 
fluido é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força de 
arrasto na placa devido a esta alteração da velocidade. 
ν
LU
L
°°
=1Re 
 
ν
LU
L
°°
=
2Re 2 
11 Re2Re LL = 
 
 
L
DC Re
328,1
= 
 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
 
21 DD FF = 
 
( ) ( ) 222121 .2
1
.
2
1
DD CAUCAU °°°° = ρρ 
( ) ( )
LL
AUAU
Re.2
328,1
.2
2
1
Re
328,1
.
2
1 22
°°°°
= ρρ 
LL
AUAU
Re.2
328,1
.4
2
1
Re
328,1
.
2
1 22
∞°°
= ρρ 
2
41 = 
 
12 2
4
DD FF = 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 36 
 
[ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidade 
media igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidades 
exponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número 
de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: 96,1log(Re)85,1 −=n 
 
Determine: 
(a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um 
manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial. 
(b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso. 
 
Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10-3 Pa.s 
 
 
Dados: 
 
mmr
mmD
s
mV
5
20
0,2
=
=
=
 
 
sPax
m
kg
.1002,1
³
1000
3−
=
=
µ
ρ 
Determinar: 
 
?
?
?
=
=
=
w
VP
V
τ
 
 
 
 
 
(a) 
ρ
µ
ν = 
s
mX ²1002,1 6−=ν 
 
ν
LU
L
°°
=Re 
s
m
x
m
s
m
L
²1002,1
02,00,2
Re
6−
= 
TURBULENTOL ⇒= 7,39215Re 
 
96,1log(Re)85,1 −=n 
96,1)7,39215log(85,1 −=n 
54,6=n 
 
( )( )1.21
2 2
max ++
=
nn
n
U
u
 
( )
( )( )154,6.2154,6
54,62 2
max ++
=
U
u
 
806,0
max
=
U
u
 
uU 24,1max = 
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s
mU 0,2.24,1max = 
s
mU 48,2max = 
 
n
R
rUru
/1
max 1)( 





−= 
54,6/1
10
5148,2)( 





−=
mm
mm
s
m
ru 
s
m
ru 23,2)( = 
 
2
.
2
1uPv ρ= 
2
23,2.
³
1000
2
1






=
s
m
m
kgPv 
PaPv 45,2486= 
 
(b) Tubo liso 
 
4
1
Re
316,0
=f 
( ) 417,39215
316,0
=f 
02246,0=f 
 
2
.
4
2Vf ρτω = 
2
0,2
.
³
1000
4
02246,0
2






=
s
m
m
kg
ωτ 
²
23,11
m
N
=ωτ 
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[ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura move-
se a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar as 
equações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a 
posição de transição (x critico) é menor que 10% do comprimento total. 
No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamento 
turbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine: 
 
(a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa. 
 
(b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm. 
 
Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s. 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 
mb
cmL
s
m
h
kmV
4
50
2,1451
=
=
≅=
 
 
mm
s
m
x
m
kg
3,0
²1002,1
³
1000
6
∈=
=
=
−ν
ρ
 
Determinar: 
 
?
?
=
=
Drug
Dlisa
F
F
 
 
 
 
ν
LU
L
°°
=Re 
s
m
x
m
s
m
L
²1002,1
5,02,14
Re
6−
= 
TURBULENTOxL ⇒=
61096,6Re 
 
ν
C
C
xU
°°
=Re 
s
m
x
x
s
m
x
C
²1002,1
2,14
105
6
5
−
= 
mxc 0354,0= 
 
TURBULENTO
m
m
⇒<= %10%7%100.
5,0
0354,0
 
 
5
1
Re
074,0
=DC 
( ) 5161096,6
074,0
x
CD = 
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00316,0=DC 
 
(a) DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
( ) 00316,0.4.5,0.22,14
³
1000
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 36,1274= 
 
5,2
log62,189,1
−






∈
+=
LCD 
5,2
0003,0
5,0log62,189,1
−






+=
m
mCD 
00742,0=DC 
 
(b) DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
( ) 00742,0.4.5,0.22,14
³
1000
2
1 2
mm
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 34,2992= 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 40 
 
[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quando 
imersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura. 
 
Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de aço 
com massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidade 
U=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda. 
 
Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2/s. 
 
 
 
Dados: 
 
mmD
s
mV
30
40
=
=
 
 
s
m
x
m
kg
m
kg
esfera
²1051,1
³
204,1
³
7860
5−
=
=
=
ν
ρ
ρ
 
Determinar: 
 
?=θ
 
 
 
 
DRXX FFF ==∑ 
 
WFF RYY ==∑ 
 
WsenFR =θ 
θsen
WFR = 
 
 
³
3
4 Resfera pi=∀ 
( )³015,0
3
4
mesfera pi=∀ 
³10414,1 5mxesfera
−
=∀ 
 
gW esferaesfera ..ρ∀= 
²
81,9.
³
7860³.10414,1 5
s
m
m
kg
mxWesfera
−
= 
NWesfera 1,1= 
 
ν
LU
L
∞
=Re 
s
m
x
m
s
m
L
²1051,1
03,040
Re
5−
= 
2,79470Re =L 
W
FDFRX
FRY FR
W
FDFRX
FRY
W
FDFRX
FRY FR
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 41 
4108Re xL ≅ 
 
Na Fig.1, gráfico para esfera lisa 5,0=DC 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
( ) 5,0015,0.40
³
204,1
2
1 2
2
m
s
m
m
kgFD pi





= 
NFD 34,0= 
 
NFR 34,0cos =θ 
N
sen
W 34,0cos =θ
θ
 
N
W
tg
34,0
=θ 
 
N
N
tg
34,0
1,1
=θ 
°= 82,72θ 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 42 
 
[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à 
velocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a área 
superficial das asas é igual a 16,5 m2, determine: 
 
a) O coeficiente de sustentação nestas condições. 
b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05 
determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força de 
arrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a). 
c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrasto 
do avião é igual a 0,05 
 
 
 
Dados: 
 
²5,16
700
78,52190
mA
kgm
s
m
h
kmV
=
=
≅=
 
 
³
2,1
05,0
m
kg
CD
=
=
ρ
 
Determinar: 
 
?
?
?
=
=∆
=
W
F
CL
&
 
 
 
(a) LL CAUFW .2
1 2
°°
== ρ 
LCAU
s
mkg .
2
1
²
81,9.700 2
°°
= ρ 
LCm
s
m
m
kgN ².5,1678,52
³
2,1
2
16867
2






= 
249,0=LC 
 
(b) DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
05,0².5,1678,52
³
2,1
2
1 2
m
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 9,1378= 
 
N
N
F
F
D
L
9,1378
6867
= 
98,4=
D
L
F
F
 vezes maior que a LF 
 
(c) VFW D .=& 
s
mNW 78,52.9,1378=& 
kWW 8,72=& 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 43 
[22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado com 
combustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225 
km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é igual 
a 100 kg. Utilize ar padrão. 
 
Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quando 
carregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesma 
configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps). 
 
 
 
Dados: 
 
tm
kgm
s
m
h
kmV
boeing
passageiro
290
100
5,62225
=
=
≅=
 
 
NxW
s
mkgW
gmW
sPassageiro
boeing
610845,2
²
81,9.1000.290
.
100
=
=
=
=
 
Determinar: 
 
?=
∞
U
 
 
 
 
gmW passagspassageiro ..= 
²
81,9.100
s
mkgW spassageiro = 
NW spassageiro 981= 
NxWT
610846,2= 
LL CAUFW .2
1 2
°°
== ρ 
LCA
s
m
m
kgNx .5,62
³
2,1
2
110846,22
6






= 
²3,1214. mCA L = 
 
372WWW TTOTAL += 
²
81,9.100.37210846,2 6
s
mkgNXWTOTAL += 
NxWTOTAL
610211,3= 
 
cL
L
CA
FU
..
.2
ρ
=
°°
 
²3,1214.
³
2,1
10211,3.2 6
m
m
kg
NxU =
°°
 
h
km
s
mU 2394,66 ≅=
°°
 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 44 
[23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y e 
apresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine: 
a) A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50 
b) O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica. 
 
 
Dados: 
 
²10
56,55200
mA
s
m
h
kmV
=
≅=
 
³
2,1
5,12
m
kg
=
°=
ρ
θ
 
Determinar: 
 
?
?
?
=
=
=
D
L
F
F
θ 
 
 
(a) Para o ângulo de ataque 12,5° 
25,1=LC 
1,0=DC 
 
LL CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
25,1².1056,55
³
2,1
2
1 2
m
s
m
m
kgFL 





= 
NFL 85,23151= 
 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
1,0².1056,55
³
2,1
2
1 2
m
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 15,1852= 
 
(b) O gráfico indica o ângulo de °= 25θ para manter a mesma força de sustentação. 
375,0=DC 
 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
375,0².1056,55
³
2,1
2
1 2
m
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 56,6945= 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 45 
[ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimento 
determine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão de 
cisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m). 
água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s 
 
Dados: 
 
mb
mL
s
mV
0,1
5,1
0,8
=
=
=
 
s
m
x
m
kg
mx
²1002,1
³
998
75,0
6−
=
=
=
ν
ρ 
Determinar: 
 
?
?
?)(*
?)(
=
=
=
=
D
W
F
x
x
τ
δ
δ
 
 
bLA .= 
mmA 0,1.5,1= 
²5,1 mA = 
 
ν
Lxc
c =Re 
∞
=
U
x cc
Re.ν
 
s
m
x
s
m
x
xc
0,8
105.²1002,1 56−
= 
mxc 064,0= 
 
⇒>== %1,0%25,4%100.
5,1
064,0
m
m
L
xc
 TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR 
 
ν
xU
X
∞
=Re 
s
m
x
m
s
m
X
²1002,1
75,08
Re
6−
= 
61088,5Re xX = 
 
(a) ( ) xxx
x
Re
10256
Re
381,0)(
5
1 −=
δ
 
( ) 6516 1088,5
10256
1088,5
381,0
75,0
)(
xxm
x
−=
δ
 
mmx 34,11)( =δ 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 46 
8
)()(* xx δδ = 
8
34,11)(* mmx =δ 
mmx 42,1)(* =δ 
 
(b) 
 
( ) 51Re
0594,0)(
x
f xC = 
5
1
6
1088,5
0594,0)(






=
x
xC f 
00263,0)( =xC f 
 
)(
2
1 2
xCU fW °°= ρτ 
00263,00,8
³
998
2
1 2






=
s
m
m
kg
Wτ 
PaW 84≅τ 
 
(c) 
ν
LU
L
∞
=Re 
s
m
x
m
s
m
L ²1002,1
5,10,8
Re
6−
= 
71017,1Re xL = 
 
( ) LLDC Re
1700
Relog
455,0
58,2 −= 
( ) 758,27 1017,1
1700
1017,1log
455,0
xx
CD −= 
002784,0=DC 
 
DD CAUF .2
1 2
°°
= ρ 
002784,0².5,10,8
³
998
2
1 2
m
s
m
m
kgFD 





= 
NFD 4,133= 
 
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 47 
[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por um 
elemento flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica uma 
tensão de cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule: 
 
(d) A velocidade de corrente livre (m/s) 
(e) A espessura da camada limite (mm) no ponto 
onde se encontra o elemento. 
(f) A velocidade em (m/s) a 5mm acima do 
elemento. 
 
Ar 200C: 
Massa especifica 1,204 Kg/m3 
Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s 
 
 
Dados: 
 
³
204,1
2
1,2
m
kg
mx
PaW
=
=
=
ρ
τ
 
s
m
x
mmy
²1051,1
5
5−
=
=
ν
 
Obs.: Escoamento turbulento 
Determinar: 
 
?)(
?
?)(
=
=
=
∞
xu
U
xδ
 
 
(a)
0=∂
∂
=
y
W y
u
uτ 
 
)(
2
1 2
xCU fW °°= ρτ 
( ) 51Re
0594,0)(
x
f xC = 
 
2,0
2 .0594,0
2
1 −
∞
°° 





=
ν
ρτ xUUW 
2,0
5
2
²1051,1
0,2.0594,0
³
204,1
2
11,2
−
−
∞
°°










=
s
m
x
mUU
m
kgPa 
8,1
2,0
³
00338,01,2
°°






= U
s
m
m
kgPa 
8,1
8,1
00338,0
1,2






=
°°
s
mU 






=
°°
s
mU 63,35 
 
(b)
ν
xU
x
∞
=Re 
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos 
 
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 48 
s
m
x
m
s
m
x ²1051,1
263,35
Re
5−
= 
61072,4Re xx = 
 
( ) 51Re
381,0)(
x
x
x
=
δ
 
( ) 5161072,4
381,0
2
)(
xm
x
=
δ
 
mmx 25,35)( =δ 
 
(c) 
7
1
)( 




=
∞
x
y
U
u
δ 
 
7
1
25,35
0,563,35 





=
mm
mm
s
m
u 
s
m
u 0,27≅ 
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos 
 
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 49 
[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal: 





=
∞
δ
pi y
sen
U
u
2
 
 
Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão: )(2 x
U
w δ
piµ
τ ∞= 
 
 (b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por: 
x
x Re
8,4
=
δ
 
 
determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade