PRTICAS DE LABORATRIO - Mecânica dos Fluidos

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PRÁTICAS DE LABORATÓRIO MECÂNICA DOS FLUIDOS
Book · June 2020
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Dawson Izola
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PRÁTICAS DE LABORATÓRIO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Desenvolvimento de Materiais Didáticos – CEMAD 
 
 
 
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omissão não intencional, estamos à disposição para solucioná-la. 
 
 
 
 
Araras – SP 
2020
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁTICAS DE LABORATÓRIO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
1ª edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dawson Tadeu Izola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© 2020 Fundação Hermínio Ometto – FHO 
Todos os Direitos Reservados 
 
 
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FICHA CATALOGRÁFICA 
Elaborada pela Biblioteca “DUSE RÜEGGER OMETTO” 
- UNIARARAS – 
 
 
I99 
 
 
Izola, Dawson Tadeu. 
 Práticas de laboratório: mecânica dos fluidos. / Dawson Tadeu Izola. – 
1. ed. – Araras, SP: Fundação Hermínio Ometto-FHO/CEMAD, 2020. 
 59p. il. 
 
 ISBN: 978-65-87624-00-6 
 
 1. Práticas de laboratório. 2. Mecânica dos fluidos – Estudo e ensino. 
I. Fundação Hermínio Ometto – FHO. II. Centro de Desenvolvimento de 
Materiais Didáticos – CEMAD. III. Título. 
 
CDD 620.106 
 
 
 
 
Fundação Hermínio Ometto – FHO 
Av. Dr. Maximiliano Baruto – 500 
Jardim Universitário – 13607-339 – Araras – SP 
 
Confúcio 551 a.C. – 479 a.C.
 
Fonte: Estudo Prático (2017). 
 
 
 
 
 
 
 
Contaram-me, e eu esqueci. 
Vi e entendi. 
Fiz e aprendi. 
 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO ............................................................................................................... 8 
 
CAPÍTULO 1 - Determinação da perda de carga em tubulações com acidentes e perda 
da carga distribuída ......................................................................................................... 9 
1.1 Fundamentação Teórica ........................................................................................... 10 
1.2 Classificação de Regime de Escoamento .................................................................. 15 
1.3 Equação de Bernoulli com Perda de Carga .............................................................. 18 
1.4 Perda de Carga – ΔH ................................................................................................. 19 
1.5 Perda de Carga Distribuída ....................................................................................... 21 
1.5.1 Perda de Carga no Escoamento Laminar .............................................................. 22 
1.5.2 Perda de Carga no Escoamento Turbulento .......................................................... 22 
1.6 Perda de Carga Localizada ........................................................................................ 25 
1.7 Determinação das Perdas de Carga Localizadas ...................................................... 25 
1.8 Descrição do Equipamento e Objetivos do Experimento ......................................... 27 
1.9 Procedimento Experimental ..................................................................................... 29 
1.10 Operação e Funcionamento do Equipamento ....................................................... 29 
1.11 Equações Auxiliares ................................................................................................ 31 
 
CAPÍTULO 2 – Procedimento experimental: Determinação da massa específica de 
três líquidos ................................................................................................................... 33 
2.1 Procedimento Experimental ..................................................................................... 33 
 
CAPÍTULO 3 – Procedimento experimental: Determinação da viscosidade de fluidos – 
método Stokes e viscosímetro Copo Ford .................................................................... 36 
3.1 Fundamentação Teórica ........................................................................................... 36 
3.2 Viscosidade pelo Método de Stokes ........................................................................ 37 
3.3 Procedimento Experimental ..................................................................................... 40 
3.4 Viscosímetro Copo Ford ........................................................................................... 44 
3.5 Procedimento Experimental ..................................................................................... 45 
3.6 Resultados ................................................................................................................ 45CAPÍTULO 4 – Cinemática dos fluidos: definição de vazão volumétrica ...................... 46 
4.1 Vazão Volumétrica ................................................................................................... 46 
4.2 Procedimento Experimental ..................................................................................... 46 
4.3 Relação entre Área e Velocidade ............................................................................. 46 
 
 
CAPÍTULO 5 – Experimento: associação de bombas centrífugas ................................. 48 
5.1 Descrição do Equipamento ...................................................................................... 48 
5.2 Procedimento Experimental ..................................................................................... 50 
5.2.1 Curva de uma bomba (exemplo B1) ...................................................................... 50 
5.2.2 Curva de duas bombas em série (B1 e B2 ou B3 e B4) .......................................... 51 
5.2.3 Curva de duas bombas em paralelo ...................................................................... 51 
5.2.4 Curva de quatro bombas em associação combinada ............................................ 52 
5.3 Tratamento dos Dados Experimentais ..................................................................... 53 
 
REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 54 
ANEXO ............................................................................................................................ 57 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
Este livro foi elaborado como ferramenta auxiliar para as práticas de laboratório 
da FHO. É bom salientar que, embora contenha alguma fundamentação teórica, não 
substitui o livro didático, que deve ser consultado pelo aluno para a elaboração dos 
relatórios dos experimentos. 
A prática em laboratório é de fundamental importância para o aprendizado. 
Quando se observa o fenômeno na prática, facilita-se a consolidação da informação. 
Grande parte das sinapses é formada por memória visual. Assim, quando se tem a teoria 
de determinado assunto e depois essa abordagem é apresentada experimentalmente, 
facilita-se a formação do aprendizado. 
As medidas realizadas nos experimentos confirmam a teoria. Intimamente 
temos a consciência de uma aplicação da teoria. O chamado: Isso serve! Tem aplicação! 
Tem utilidade! Nem toda ciência é possível de ser comprovada em laboratório, mas a 
Mecânica dos Fluidos tem esse privilégio. Os principais modelos saíram de 
experimentos; são aplicados e usados largamente nas engenharias. 
Os principais equipamentos utilizados pelos grandes cientistas da Mecânica dos 
Fluidos podem ser construídos e utilizados pelos alunos. 
O Centro Universitário Hermínio Ometto de Araras, a nossa FHO, possui os 
principais equipamentos de Mecânica dos Fluidos. Temos um laboratório experimental 
do mesmo nível de grandes centros de pesquisas do Brasil e do mundo. Portanto, 
aproveitem essa oportunidade de aprendizado. Façam esses experimentos com 
dedicação e esmero. 
 
Prof. Dr. Dawson Tadeu Izola 
Engenharias – FHO 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
O objetivo da aula é determinar a perda de carga. 
 
Figura 1.1 Experimento didático de perda de carga. 
 
 
 
Figura 1.2 Equipamentos auxiliares. 
 
 
 
10 
1.1 Fundamentação Teórica 
Leonhard Euler, em 1750, aplicou a Segunda Lei de 
Newton ao movimento de partículas fluidas, e 
obteve: 
1
0
P Z V V
g V
ρ S S S t
   
+ + + =
   
 
 
A equação (1) é a forma geral da equação de Euler, válida para escoamento ao 
longo de uma linha de corrente e sem atrito (ideal), em derivadas parciais. 
1
0
P Z V V
g V
ρ S S S t
   
+ + + =
   
 (1) 
 
Se o escoamento for permanecente: 0
V
t

=

 (Velocidade não varia no tempo) 
 
Assim, a equação (1) resulta em: 
1
0
P Z V
g V
ρ S S S
  
+ + =
  
 (2) 
 
A equação (2) é a equação de Euler quando a velocidade não varia no tempo. 
Essa abordagem é aplicada em escoamentos ao longo de uma linha de corrente e para 
escoamentos invíscidos. 
 
 
 
1 P
ρ S



 
é a variação da pressão ao longo de 
uma linha de corrente. 
Z
g
S



 
é a variação das relações entre a 
direção da trajetória e o eixo Z. 
V
V
S



 
é a variação da velocidade ao longo da 
linha corrente. 
V
t



 
é a variação da velocidade ao longo do 
tempo. 
 
Leonhard Euler (1707-1783), 
matemático e físico suíço. 
Fonte: Kunstmuseum Basel (s/d). 
Artista: Jakob Emanuel 
Handmann (1753). 
Crédito: Rudolf Bischoff-Merian 
(1849). 
https://pt.wikipedia.org/wiki/1707
https://pt.wikipedia.org/wiki/1783
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Su%C3%AD%C3%A7a
11 
Figura 1.3 Linhas de corrente em um escoamento laminar. 
 
 
Substituindo por derivadas totais: 1 dP 0
dS
dZ dV
g V
ρ dS dS
+ + = (3) 
 
Se o escoamento for incompressível (ρ = cte) ➔ Integrando a equação (3), tem-se: 
2
.
2
P V
g Z cte
ρ
+ + = (4) 
 
A equação (4) é uma simplificação da equação (1) de Euler, válida para o 
escoamento IDEAL (Newtoniano). 
A equação de Bernoulli é um caso particular da equação da energia aplicada ao 
escoamento, em que se adotam as seguintes hipóteses: 
 Escoamento em regime permanente. 
 Escoamento incompressível. 
 Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, aquele em que a 
viscosidade é considerada nula ou aquele que não apresenta dissipação de 
energia ao longo do escoamento. 
 Escoamento apresentando distribuição uniforme das propriedades nas 
seções. 
12 
 Escoamento sem a presença de máquina hidráulica, ou seja, sem a presença 
de um dispositivo que forneça ou retire energia do fluido. 
 Escoamento sem troca de calor. 
2
.
2
P V
g Z cte
ρ
+ + = (4) 
A equação (4) é conhecida como equação de Bernoulli, obtida a partir da 
Integração da equação de Euler. 
Multiplicando a equação (4) por ρ (densidade): 
2
2
ρV
γZ P cte+ + = 
Essa abordagem é mais utilizada em escoamento de gases em que não há 
variação de altura e nem variação no peso específico, ou seja, Z=0. 
Dividindo a equação (4) por g: 
2
2
V P
Z cte
g γ
+ + = (5) 
 
Em que: 
Z ➔ Energia de posição. 
2
2
V
g
 ➔ Energia cinética. 
P
γ
 ➔ Energia de pressão. 
Na equação (5), de energia por unidade de peso, todos os termos estão 
expressos em função de carga (ou linha), que é a altura da coluna de líquido. Essa é a 
representação gráfica da equação de Bernoulli. As alturas denominadas Z foram 
classificadas conforme as nomenclaturas a seguir, citadas no livro publicado por Daniel 
Bernoulli, Hydrodynamica, em 1738. 
 
Z = Linha altimétrica. 
P
Z
γ
+ = Linha piezométrica. 
13 
2
2
P V
Z
γ g
+ + = Linha de energia. 
 
A equação (5), da energia por unidade de peso, é mais utilizada para abordagens 
de escoamentos de fluidos na presença de superfícies livres, em um leito fluidizado, por 
exemplo. 
 
Figura 1.4 Exemplo de energia em pontos do sistema de um êmbolo com água. 
 
 
Tabela 1.1 Classificação da energia nos pontos. 
 Cinética Potencial Pressão 
Ponto 2 / 2ρV γz ρ 
1 Pequena Zero Grande 
2 Grande Pequena Zero 
3 Zero Grande Zero 
Fonte: adaptada de Comolet e Bonnin (1964). 
 
Aplicando a equação (5) em dois pontos de um escoamento, tem-se a 
equação de Bernoulli. 
 
 
14 
Figura 1.5 Dois pontos arbitrários em um duto com fluido. 
 
 
2 2
1 21 21 2
2 2
v vP P
Z Z
γ g γ g
+ + = + + (6) 
ou 
2 2
1 21 21 2
2 2
v vP P
Z Z cte
γ g γ g
+ + − + + = 
 
As variáveis da equação, descritas por 
Bernoulli, em 1738, são: 
 
P = Pressão (Pa). 
v1 e v2 = Velocidades (m/s). 
g = Aceleração da gravidade = 9,8 m/s2. 
ρ = Densidade (kg/m3). 
ɣ = Peso específico = ρ.g. 
∆Z = Variação de altura (m). 
 
A equação (6), de Daniel Bernoulli,foi 
apresentada no seu livro Hydrodynamica, em 1738. 
 
 
 
Livro Hydrodynamica, de 
Daniel Bernoulli. 
Fonte: Wikimedia Commons (s/d). 
15 
1.2 Classificação de Regime de Escoamento 
Reynolds, no seu trabalho sobre transição do regime 
de escoamentos, publicado originalmente em 1883, 
estabeleceu a relação entre as forças viscosas e a 
velocidade de um fluido. 
 
Figura 1.6 Experimento de Reynolds. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Reynolds (1883). 
 
As variáveis definidas por Reynolds, no seu trabalho de 
1883, são: 
Re = Número de Reynolds. 
v = Velocidade média do fluido. 
d = Longitude característica do escoamento ou 
diâmetro para o escoamento em tubos. 
υ = Viscosidade cinemática do fluido. 
µ = Viscosidade dinâmica do fluido. 
ρ = Massa específica. 
Re
ρvD
μ
= (7) 
Re
vd
υ
= (8) 
 
Re
 iscosidade
forças de inércia ρvd vd
forças de v μ υ
= = = 
 
Daniel Bernoulli (1700-1782), 
matemático suíço. 
Fonte: Wikimedia Commons (s/d). 
Artista: Johann Jacob Hayd 
(1704-1767). 
 
Osborne Reynolds 
(1842-1912), físico britânico. 
Fonte: Wikimedia Commons (s/d). 
Artista: John Collier (1904). 
Coleção: Universidade de 
Manchester. 
16 
Reynolds é um número adimensional: 
 
υ
pvd vd
Re
μ
= = 
 
³ 
 
² ²
kg m
m
m sRe
m s
kg
s m
 
=

 (Viscosidade Dinâmica) 
 
 
²
m
m
sRe
m
s

= (Viscosidade Cinética) 
Viscosidade dinâmica (µ) (N × s/m²) 
Viscosidade cinemática (υ ) (m²/s) 
 
 
Figura 1.7 Comportamento do filete de tinta, de acordo com a classificação do escoamento. 
 
 
 
 
 
17 
Figura 1.8 Escoamento Laminar Re < 2000. 
 
 
 
Figura 1.9 Escoamento turbulento Re > 4000. 
 
 
Re < 2000 – Laminar; Re > 2000 < 4000 – Transição; Re > 4000 – Turbulento. 
 
Figura 1.10 Viscosidade cinemática (ν) (m2/s). 
 
Fonte: Fox e McDonald (1992). 
18 
 
Figura 1.11 Viscosidade dinâmica (μ) (N.s/m2). 
 
Fonte: Fox e McDonald (1992). 
 
1.3 Equação de Bernoulli com Perda de Carga 
A equação de Bernoulli aplicada entre dois pontos é o balanço de energia entre 
os pontos analisados. Quando se subtrai um termo da equação de Bernoulli de outro 
termo, temos uma constante, relacionada à perda de energia entre os pontos 
analisados. Essa perda de energia é diretamente proporcional às perdas viscosas e 
rugosas (viscosidade do fluido e rugosidade do conduto de fluido) (IZOLA, 2013). 
2 2
1 21 21 2
2 2
v vP P
Z Z Ht
γ g γ g
+ + − + + = (9) 
 
A equação (9) é chamada de equação de Bernoulli com perda de carga, sendo 
Ht a representação da soma das perdas viscosas e por rugosidade. A perda de carga 
19 
também é relacionada à carga ou altura manométrica. Assim, se o fluido em análise é a 
água, a perda de carga H é dada em metros ou mca (metros de coluna de água), que 
pode também se relacionar à perda de pressão entre os pontos analisados, convertendo 
mca em pressão, através da densidade do fluido e da gravidade (MACIEL; IZOLA, 2007). 
 
1.4 Perda de Carga – ΔH 
Como Henry Darcy apresentou em seu trabalho de 1857, a perda de carga é 
uma função complexa de diversos elementos, tais como: 
• Rugosidade do duto. 
• Viscosidade e densidade do fluido. 
• Velocidade do escoamento. 
• Grau de turbulência do movimento. 
• Comprimento percorrido. 
 
Dois pesquisadores desenvolveram as 
expressões para a perda de carga por meio de 
trabalhos experimentais. As curvas perda de carga 
foram traçadas e corrigidas ao longo de vários anos 
(BISWAS; 1970). 
A equação de Darcy-Weisbach, que representa 
a perda de carga em escoamentos internos, tem uma 
longa história de desenvolvimento. O nome da 
equação é uma homenagem a dois engenheiros 
hidráulicos do século 19, embora outros pesquisadores 
tenham contribuído para o aperfeiçoamento desse 
modelo. Julies Weisbach propôs, em 1845, a equação 
que se usa atualmente (BROWN, 2002). 
 
2L
Δh f
D 2
v
g
= (10) 
 
 
Julius Ludwig Weisbach 
(1806-1871), matemático e 
engenheiro alemão. 
Fonte: Biswas (1970). 
20 
Sendo: 
• Δh= perda de carga ao longo do comprimento do tubo. 
• f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional). 
• L = comprimento do tubo. 
• D = diâmetro do tubo. 
• v = velocidade do fluido no tubo. 
• g = gravidade (9,81 m/s2). 
 
De acordo com Brown (2002), Weisbach não 
conseguiu dados precisos para a variação do fator de 
atrito f com a rugosidade relativa do duto e com a 
velocidade do escoamento. Além disso, apresenta um 
resgate do modelo que hoje denominamos de equação 
de Darcy-Weisbach. Por volta de 1770, Antoine Chézy 
(1718-1798) publicou uma equação para escoamento 
em canais abertos, que podia ser reduzida à mesma fórmula. O trabalho de Chézy ficou 
perdido até 1800, quando seu aluno, Prony, publicou um relato, descrevendo-o. Prony 
desenvolveu sua própria equação, mas sabe-se que Weisbach conhecia os trabalhos de 
Chézy. 
Darcy era aluno de Prony e publicou, em 1857, as novas relações para os 
coeficientes de Prony, fundamentado nos resultados dos seus experimentos. Esses 
dados resultaram na equação (11): 
 
hl = L/D * [(c + d/D2)V + (d + e/D)V2] (11) 
 
Em que c, d e e são coeficientes empíricos para um dado tipo de tubo. 
Darcy, dessa forma, introduziu o conceito de coeficiente de atrito escalonado 
por diâmetro, o que atualmente denomina-se de rugosidade relativa, quando aplicado 
ao Diagrama do Moody. É tradicional denominar f de “fator f de Darcy”, ainda que Darcy 
nunca tenha proposto isso naquela equação. 
Os dois conceitos foram abordados por Fanning, em 1880. Fanning utilizou o 
raio hidráulico, em vez de D, na equação do atrito, e assim os valores do “f de Fanning” 
são apenas 1/4 dos valores do “f de Darcy”. A equação de Darcy-Weisbach somente 
 
Henry Philibert Gaspard 
Darcy (1803-1858), 
engenheiro francês. 
Fonte: Biswas (1970). 
21 
passou a ser aplicada após o desenvolvimento do diagrama de Moody (MOODY, 1944). 
Esse diagrama foi elaborado por meio dos dados experimentais de Poiseuille, Reynolds, 
Blasius, Kármaán, Prandtl, Colebrook, White, Rouse e Nikuradse. Rouse (1946) deu 
sentido ao desenvolvimento do fator f, mas ele não fez referência a Moody. 
 
1.5 Perda de Carga Distribuída 
Ocorrem em trechos retilíneos dos condutos, 
considerando: 
• Regime permanente e fluido incompressível. 
• Condutos cilíndricos. 
• Rugosidade uniforme e trecho considerado sem 
máquinas. 
• Essa perda é considerável se tivermos trechos 
relativamente compridos dos condutos. 
A fórmula de Darcy-Weissbach permite 
calcular a perda de carga ao longo de um determinado 
comprimento da tubulação, quando é conhecido o 
parâmetro f, denominado “coeficiente de atrito” ou 
coeficiente de Darcy, conforme visto no tópico 
anterior. 
O coeficiente de atrito f pode ser obtido por meio da rugosidade relativa: 
relação entre a rugosidade absoluta e o diâmetro do tubo (ε/D). 
ε = Rugosidade absoluta do duto. 
D= Diâmetro do duto. 
Utiliza-se a classificação do escoamento por meio do número de Reynolds para 
se obter o coeficiente de atrito f. 
Número de Reynolds – Re: 
.
Re
v D
υ
= (8) 
 
A equação (8) foi obtida originalmente nos estudos realizados por Reynolds, em 
1883. 
https://bae.okstate.edu/faculty-sites/Darcy/DarcyWeisbach/MoodyDiagram.htm
22 
 
1.5.1 Perda de Carga no Escoamento Laminar 
Com a equação (12), pode-se determinar o fator de atrito f para escoamentos 
com número de Reynolds até 2.000. 
 
64
Re
f = (12) 
 
1.5.2 Perda de Carga no Escoamento Turbulento 
No escoamento turbulento, a dissipação de energia é causada pela rugosidade 
e pela viscosidade. Assim, para números de Reynolds maiores que Re > 4000, utiliza-se 
a equação de Darcy. 
Determinação do coeficiente de atrito f: 
 
2
0,9
0,25
5,74
log
3,7 Re
f
ε D
=
  
+  
  
 
(13) 
 
Em que: 
f = Fator de atrito de Darcy. 
D = Diâmetro da tubulação. 
ε/D = Relação entre a rugosidade do tubo e o diâmetro. 
Re = Número deReynolds. 
Pode-se obter o fator de atrito f resolvendo a equação (13) ou pelo diagrama de 
Moody. A incerteza é inferior a 15%. Basta comparar os valores obtidos pela equação e 
pelo diagrama de Moody, que se obtém a dispersão de aproximadamente 15%. 
 
 
 
 
 
23 
Figura 1.13 Diagrama de Moody-Rouse. 
 
Fonte: Fox e McDonald (1992). 
 
No diagrama de Moody, no eixo Y, à direita, tem-se a relação ε/D. No eixo X, o 
número de Reynolds, e no eixo Y, à esquerda, tem-se o fator de atrito f. Observe que a 
coincidência é em função de parábolas (FOX; MCDONALD, 1992). 
O valor de ε é a rugosidade absoluta apresentada na Tabela 1.2, segundo o 
material do tubo. Esse valor é obtido experimentalmente com rugosímetros de 
superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Tabela 1.2 Rugosidade em tubos para diversos materiais. 
Material do tubo 
Rugosidade – ε 
(mm) 
Vidro 0,0001 
Cobre e alumínio 0,001 – 0,002 
Tubos de PVC 0,0015 – 0,007 
Resina epóxi 0,005 
Aço inoxidável 0,015 
Aço carbono 0,045 – 0,090 
Aço liso calandrado 0,015 
Aço soldado com emenda 0,046 
Aço galvanizado liso 0,15 
Aço com ferrugem 0,15 – 4 
Ferro fundido liso 0,25 – 0,8 
Ferro fundido desgastado 0,8 – 1,5 
Ferro fundido com corrosão 1,5 – 2,5 
Cimento liso 0,3 
Concreto comum 0,3 – 1 
Concreto grosso 0,3 – 5 
Madeira aplainada 0,18 – 0,9 
Concreto sem acabamento 1 a 3 
Cimento amianto 0,025 
Madeira comum 5 
Concreto liso 0,2 a 0,3 
 
 
 
25 
1.6 Perda de Carga Localizada 
A perda de carga localizada ocorre em 
dutos, o que se classifica como acidentes: válvulas, 
curvas, conexões com variação de diâmetros, 
entradas e saídas dos dutos. 
Os acidentes provocam queda de pressão 
quando o escoamento passa através deles. A 
queda de pressão está relacionada à perda de 
velocidade ou à mudança no regime do 
escoamento. As conexões necessárias para a 
montagem de um circuito de fluido e também o 
direcionamento do escoamento ocasionam mudança da velocidade, o que pode causar 
mudança do regime, perda de pressão e, consequentemente, perda de energia. 
 
1.7 Determinação das Perdas de Carga Localizadas 
As perdas de carga localizadas podem ser expressas em termos de energia 
cinética (V²/2g) do escoamento. Assim, a expressão geral é: 
 
2
Δ
2
V
h k
g
= (14) 
 
k = coeficiente de perda de carga localizada. 
 
O valor de k pode ser obtido experimentalmente. Os valores de k, na maioria 
das conexões e válvulas, são fornecidos pelo fabricante. Um experimento básico de 
laboratório pode determinar a perda de carga localizada em uma válvula. Na Figura 
1.15, tem-se uma montagem experimental com dois manômetros e uma válvula. A 
diferença de pressão entre os manômetros 1 e 2 é a perda de carga na válvula (KAMAL, 
1979). 
 
 
 
26 
 
Figura 1.15 Determinação da perda de carga localizada em uma válvula. 
 
 
Tabela 1.3 Coeficiente de perda de carga k em acessórios. 
 
Fonte: Macintyre (1997). 
 
 
 
 
 
27 
Tabela 1.4 Coeficiente de perda de carga k em válvulas. 
 
Fonte: Macintyre (1997). 
 
A equação de Bernoulli pode, então, ser expressa com as perdas de carga 
distribuída e localizada (MACIEL; IZOLA, 2007). 
 
2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2
P ν P ν ν L ν
z z k f
γ g γ g g D g
 
+ + − + + = + 
 
 (15) 
 
1.8 Descrição do Equipamento e Objetivos do Experimento 
O equipamento para ensaio de perda de carga do Laboratório de Operações 
Unitárias, da FHO, foi fornecido pela UFSCar (Universidade Federal de São Carlos). Junto 
com esse equipamento veio um manual de operação do conjunto didático 
experimental: dimensionamento de um sistema de tubulações (MANUAL DE 
OPERAÇÃO, 2015b). Na sequência, têm-se as informações contidas no relatório que 
acompanha o equipamento. O conjunto experimental, ilustrado pela Figura 1.16, 
consiste de um reservatório de 100 litros, de uma bomba centrífuga (1/2 HP), de um 
sistema de tubulações de PVC com diferentes diâmetros (3/4 Pol., 1 Pol. e ½ Pol.) e 
acidentes, incluindo válvulas gaveta, globo e esfera e de um manômetro e um 
vacuômetro, ambos de Bourdon (na figura, aparecem em segundo plano, com o visor 
para o fundo). 
 
 
 
 
 
28 
Tabela 1.5 Equipamentos na tubulação. 
VG: válvula gaveta 
VGL: válvula globo 
VE: válvula esfera 
Bordo de entrada (3/4 Pol.) 
T → saída lateral (3/4 Pol.) 
Cotovelo 90o – raio longo (3/4 Pol.) 
Cotovelo padrão – 90o (3/4 Pol.) 
T → passagem direta (3/4 Pol.) 
Alargamento 3/4 Pol. → 1 Pol. 
Cotovelo 45o (1 Pol.) 
Redução 1 Pol. → 3/4 Pol. 
Redução 3/4 Pol. → 1/2 Pol. 
Cotovelo 45o (1/2 Pol.) 
Alargamento 1/2 Pol. → 3/4 Pol. 
Cotovelo 45o (3/4 Pol.) 
Saída de tubulação – Água (3/4 Pol.) 
Fonte: Manual de Operação (2015b). 
 
A tubulação do sistema tem diferentes diâmetros. A seguir, tem-se a relação 
entre os diâmetros externos e os diâmetros internos. Note que para os cálculos serão 
utilizados os diâmetros internos: 
 
Figura 1.16 Vista frontal do conjunto didático experimental. 
Di (1/2 Pol.) = 0,0158 m - Di (1 Pol.) = 0,0202 m- Di (3/4 Pol.) = 0,0260 m 
 
Fonte: Manual de Operação (2015b). 
29 
1.9 Procedimento Experimental 
Com o uso do béquer e da balança, determine a densidade da água. 
Meça a temperatura da água e encontre nas Figuras 1.10 ou 1.11 desse relatório 
a viscosidade da água. 
 
Tabela 1.6 Dados experimentais. 
Densidade da água 
Temperatura da água 
Viscosidade da água 
 
 
1.10 Operação e Funcionamento do Equipamento 
1. Encha o reservatório com água “limpa” até, aproximadamente, 50 mm do seu 
nível máximo. 
2. Abra totalmente todas as válvulas gaveta (VG) e a válvula globo (VGL), girando-as 
no sentido anti-horário; e a válvula esfera VE1, posicionando-a paralelamente à 
tubulação. 
3. Anote as pressões dos manômetros da Figura 1.16 com o equipamento desligado. 
Note que o primeiro manômetro PS não parte do zero. Isso se deve à pressão em 
função da coluna de água do reservatório. Portanto, as pressões anotadas no 
manômetro de PS devem ser subtraídas desse valor (tara do manômetro). 
4. Ligue o equipamento, posicionando o seletor em liga (L). 
5. Feche totalmente as válvulas VG1, VG2 e VG5. Com o restante das válvulas 
abertas, aplique a equação de Bernoulli com as pressões dos manômetros. Obtenha 
a velocidade e a vazão volumétrica em função do diâmetro de onde os manômetros 
estão instalados. 
6. A válvula VGL controla a quantidade de fluido que descarrega no reservatório. 
Anote na Tabela 1.8 os valores das pressões indicadas nos manômetros. Determine 
a velocidade e a vazão volumétrica para as seguintes condições da válvula VGL: 
válvula VGL totalmente aberta; válvula VGL metade aberta; válvula VGL ⅔ aberta; 
válvula VGL ¾ aberta. 
7. Para a obtenção da perda de carga total e localizada, deve-se, inicialmente, abrir 
todas as válvulas gaveta (VG) e fechar a válvula globo (VGL). O conjunto experimental 
30 
em questão permite, a partir da manipulação das válvulas gaveta (VG), definir vários 
sistemas distintos, cada qual com diferentes “perdas de carga distribuídas e 
localizadas” e, portanto, com diferentes curvas. Com relação ao caminho do 
escoamento, mantendo-se as válvulas VG5 e VG6 sempre abertas, define-se quatro 
sistemas, como segue: 
8. Sistema 1: VG1 e VG3 → Abertas e VG2 e VG4 → Fechadas. 
9. Sistema 2: VG1 e VG4 → Abertas e VG2 e VG3 → Fechadas. 
10. Sistema 3: VG2 e VG3 → Abertas e VG1 e VG4 → Fechadas. 
11. Sistema 4: VG2 e VG4 → Abertas e VG1 e VG3 → Fechadas. 
12. Para cada um dos sistemas, deve-se medir o comprimento da tubulação por onde 
o fluido vai escoar (caminho do escoamento), de acordo com as válvulas abertas e 
fechadas. Meça o diâmetro de cada tubo. Conte todos os acidentes, as curvas, “Ts”, 
válvulas e utilize a Tabela 1.7 para determinar os comprimentos característicos Le de 
cada acidente. Some todos os comprimentos para estabelecer a perda de carga 
distribuída. 
13. Calcule o número de Reynolds em cadatubo com diâmetro diferente. Cada 
diâmetro diferente apresentará perda de carga distribuída diferente. Utilize o 
paquímetro para medir o diâmetro externo. Antes da Figura 1.15, tem-se uma 
relação entre o diâmetro externo e o diâmetro interno. 
14. Encontre a rugosidade absoluta do circuito na Tabela 1.2. Determine a relação 
ɛ/D para cada seguimento analisado. 
15. Determine o fator de atrito f para os diferentes diâmetros e diferentes números 
de Reynolds, utilizando a equação de Darcy ou o diagrama de Moody. 
16. Determine o valor de k para cada acidente, de cada sistema. Utilize as Tabelas 
1.3 e 1.4. 
17. Determine a perda de carga 
localizada e a perda de carga 
distribuída para cada sistema. A 
perda de carga localizada é a soma de 
todas as perdas de carga de cada 
acidente do sistema. A perda de 
carga distribuída é a soma de todos os comprimentos do sistema, incluindo Le. 
18. Preencha a Tabela 1.9 com os resultados de perda de carga. 
31 
1.11 Equações Auxiliares 
A equação (16) é obtida com a equação de Bernoulli (6), sendo conhecida como 
a equação do tubo de Pitot. Esse modelo foi obtido originalmente por Henry Darcy, no 
seu trabalho sobre tubo de Pitot. 
 
2PD
v
ρ
=  (16) 
 
Em que: 
v = Velocidade do escoamento. 
PD = Pressão dinâmica (P1 – P2). 
ρ = Densidade do fluido. 
A vazão pode ser relacionada diretamente com a velocidade, como veremos 
mais adiante neste trabalho. 
 
.vQ v A= (17) 
 
Em que: 
Qv = Vazão volumétrica. 
A = Área de secção transversal do tubo. 
 
 
Tabela 1.7 Comprimento característico dos componentes. 
Peça Le 
Entrada reentrante 1,0 
T 1,7 
Curva 90o 0,3 
Válvula 0,2 
Saída e entrada 0,9 
 
 
32 
Tabela 1.8 Dados de velocidade e vazão. 
Válvula 
 
Manômetro PS 
(Pascal) 
Manômetro PD 
(Pascal) 
Velocidade 
(m/s) 
Vazão m3/s 
Válvula VGL 
Totalmente 
aberta 
 
Válvula VGL 
Metade 
aberta 
 
Válvula VGL 
⅔ Aberta 
 
Válvula VGL 
¾ Aberta 
 
 
 
 
Tabela 1.9 Resultados de perda de carga. 
Sistema 
Perda de Carga 
Distribuída 
Perda de Carga 
Localizada 
Perda de Carga 
TOTAL 
Sistema 1 
Sistema 2 
Sistema 3 
Sistema 4 
 
 
33 
 
 
 
O objetivo da aula é determinar a massa específica de três líquidos diferentes: 
água, glicerina e detergente. 
Será utilizado um recipiente graduado (um pequeno béquer) e uma balança 
digital. 
O procedimento ocorre por intermédio da relação entre o volume e a massa do 
material; esse conceito foi estabelecido por ARQUIMEDES (287 a.C.-212 a.C.). 
 
Figura 2.1 Material utilizado para o ensaio: béquer graduado e balança. Produtos para o 
ensaio: água, detergente e glicerina. 
 
 
2.1 Procedimento Experimental 
1. Meça a massa do pequeno béquer vazio. A medida resultante é a massa de 
referência ou tara. 
2. Com o pequeno béquer graduado, preencha o recipiente com um dos líquidos 
da experiência. Por conta da escala, preencha com o líquido até um valor inteiro 
na escala do béquer. 
3. Meça a massa do béquer com a massa do líquido. Depois, subtraia a massa do 
béquer (vazio) da massa total. 
4. Com o volume de líquido e a massa do líquido, utilize a equação (1) e determine 
a massa específica. 
m
ρ
V
= (1) 
 
34 
5. Repita o procedimento cinco vezes para cada líquido e, utilizando as equações 
2, 3 e 4, preencha as Tabelas 2.1, 2.2 e 2.3 para cada um dos três líquidos. 
 
Medida
M
N

= (2) 
D = ∣ Média – Medida ∣ (3) 
Desvio
D
N

= (4) 
 
 
Tabela 2.1 Desvio padrão – líquido 1. 
N Medida 
Média 
M 
Desvio 
D 
Desvio Médio 
D 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Massa específica do líquido 1 = _______________±__________ kg/m3 
 
Tabela 2.2 Desvio padrão – líquido 2. 
N Medida 
Média 
M 
Desvio 
D 
Desvio Médio 
D 
1 
2 
3 
4 
5 
Massa específica do líquido 2 = _______________±__________ kg/m3 
 
35 
Tabela 2.3 Desvio padrão – líquido 3. 
N Medida 
Média 
M 
Desvio 
D 
Desvio Médio 
D 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Massa específica do líquido 3 = _______________±__________ kg/m3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
3.1 Fundamentação Teórica 
A viscosidade é a deformação ou a taxa de 
deformação que uma substância de um fluido 
apresenta quando está sujeita a uma tensão normal ou 
tangencial. Assim, a resistência que um fluido impõe 
ao movimento está diretamente relacionada à 
viscosidade. 
A viscosidade pode ser classificada em viscosa 
ou elástica. Os modelos matemáticos lineares 
relacionam a deformação do fluido à tensão aplicada. 
O modelo matemático foi desenvolvido originalmente 
por Sir Isaac Newton (1642-1727); Robert Hooke 
(1643-1703) concebeu um modelo que relaciona a taxa 
de deformação e a tensão aplicada: 
 
.τ μ= (Taxa de deformação) Fluido Newtoniano (1) 
.τ G= (deformação) Sólidos Hookeano (2) 
 
Na primeira equação,  é a viscosidade dinâmica (unidade [Pa.s] ou [kg/s/m]). 
Na segunda equação, G é a constante de Lamé (G. Lamé 1852) (unidade [Pa]). A 
diferença entre os modelos expressa o comportamento entre sólidos e líquidos. O fluido 
deforma continuamente quando sujeito a uma tensão tangencial ou normal 
(escoamento). O sólido, por sua vez, deforma até um limite de acordo com cada 
material; esse limite, nos sólidos, está relacionado à tensão de cisalhamento do material 
(deformação). Assim, a tensão nos fluidos é proporcional à taxa de deformação. 
 
 
 
 
 
Robert Hook 
(1635-1703), cientista inglês. 
Fonte: Wikimedia Commons 
(2004). 
Artista: Rita Greer (2004). 
37 
3.2 Viscosidade pelo Método de Stokes 
 
O viscosímetro de Stokes funciona por 
intermédio da determinação da velocidade de queda 
livre de uma microesfera de aço por meio do fluido que 
se deseja determinar a viscosidade. Na Figura 3.1, tem-
se a ilustração do experimento. 
No viscosímetro de Stokes, a uma distância 
equivalente a 50 diâmetros da esfera, ela atinge a 
velocidade terminal, isto é, dV/dt é nulo; isso significa 
que a esfera está em equilíbrio. Assim, tem-se um 
equilíbrio entre a força de arrasto mais a força de 
empuxo contrária ao movimento da esfera e a força 
peso. 
 
 
 
 Figura 3.1 Forças atuantes na esfera e visualização das linhas de corrente. 
 
 
 
George Gabriel Stokes 
(1819-1903), 
matemático e físico irlandês. 
Fonte: Wikimedia Commons. 
Artista: Fradelle & Young (1917). 
https://pt.wikipedia.org/wiki/1819
https://pt.wikipedia.org/wiki/1903
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Irlanda
38 
A força de arrasto pode ser expressa em termos do coeficiente de arrasto, CD 
(WHITE, 1991): 
2 2
3 24
Re
2 4
D
Df
πμDV
C
ρ V πD
= 

, 
(3) 
em que ReD
ρ D V
μ
 
= . 
 
 
Ficando o balanço de forças para o escoamento permanente, dado pela equação (4): 
( )
2 3
21
2 4 6
D f s f
πD πD
C ρ V ρ ρ g
 
  = − 
 
 (4) 
 
A solução analítica foi obtida por Stokes, em 1851. Há condições restritas para 
a solução, como, por exemplo, a ausência de inércia e para número de Reynolds menor 
do que 1. 
 
Figura 3.2 Coeficiente de arrasto para esfera. 
 
Fonte: White (1991). 
 
39 
De acordo com o modelo de Stokes, tem-se que para determinar a viscosidade 
do fluido necessita-se do diâmetro da esfera, da massa específica do fluido, da 
velocidade média da queda no fluido, da temperatura do fluido e do diâmetro da 
proveta onde o fluido se encontra. 
O objetivo da aula, portanto, é determinar a viscosidade de três líquidos 
diferentes, usando o experimento descrito por Stokes. 
Materiais e produtos utilizados no experimento: 
 
Figura 3.3 Produtos e instrumentos utilizados no experimento. 
 
40 
3.3 Procedimento Experimental 
1. Determine a densidade dos três fluidos. 
2. Faça duas marcas na proveta usando a fita crepe, considerando uma distância 
linear exata. Porexemplo, 200,0 mm ou 250,0 mm. 
3. Anote a temperatura ambiente e anote a temperatura do fluido com o 
termômetro de vareta. 
4. Meça o diâmetro da proveta com o paquímetro. 
5. Encha a proveta com o fluido a ser analisado, por exemplo, o detergente. 
6. Meça o diâmetro da esfera com o paquímetro e a sua massa. Determine a 
massa específica da esfera. 
7. Abandone a esfera na boca da proveta, marcando o tempo assim que a esfera 
passar na primeira marca. 
8. Um segundo operador deve marcar o tempo. 
9. Pare o cronômetro quando a esfera passar na segunda marca. 
10. Determine a velocidade média da esfera no fluido, usando a distância 
percorrida e o tempo cronometrado. 
11. Repita o procedimento cinco vezes. 
12. Faça a média e o desvio padrão com o desvio médio. Estabeleça as medidas 
confiáveis. 
13. Realize os cálculos, utilizando as equações 1, 2, 3 e 4. Preencha as tabelas. 
Adote: g = 9,81 m/s2. 
14. Utilize o verso das folhas para os cálculos auxiliares. 
15. Se a principal interação do corpo com o fluido for o atrito interno, dizemos 
que o escoamento é laminar e será descrito pela Lei de Stokes: em que  é a 
viscosidade do fluido, r é o raio do objeto e v é sua velocidade: 
6 . .S π r vF =− (5) 
 
A força Fs é a resultante ➔ força peso menos a força de empuxo. 
ΣMedida
M
N
= (6) 
| |D Média Medida= − (7) 
41 
Desvio
D
N

= (8) 
 
Tabela 3.1 Dados para o fluido 1. 
 1 2 3 4 5 
Diâmetro da proveta (m) X X X X 
Massa da esfera (kg) 
Raio da esfera (m) 
Temperatura ambiente (oC) X X X X 
Temperatura do fluido (oC) X X X X 
Massa específica do fluido (kg/m3) X X X X 
Massa específica da esfera (kg/m3) 
Tempo (s) 
Distância (m) X X X X 
Velocidade média (m/s) 
Força peso da esfera (N) 
 
Tabela 3.2 Desvio padrão – fluido 1. 
N Medida Média �̅� Desvio D Desvio Médio �̅� 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
Viscosidade 1 = _______________±__________ N.s/m2 
 
 
42 
Tabela 3.3 Dados para o fluido 2. 
 1 2 3 4 5 
Diâmetro da proveta (m) X X X X 
Massa da esfera (kg) 
Raio da esfera (m) 
Temperatura ambiente (oC) X X X X 
Temperatura do fluido (oC) X X X X 
Massa específica do fluido (kg/m3) X X X X 
Massa específica da esfera (kg/m3) 
Tempo (s) 
Distância (m) X X X X 
Velocidade média (m/s) 
Força peso da esfera (N) 
 
 
 
Tabela 3.4 Desvio padrão – fluido 2. 
N Medida Média �̅� Desvio D Desvio Médio �̅� 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Viscosidade 2 = _______________±__________ N.s/m2 
 
 
 
 
43 
Tabela 3.5 Dados para o fluido 3. 
 1 2 3 4 5 
Diâmetro da proveta (m) X X X X 
Massa da esfera (kg) 
Raio da esfera (m) 
Temperatura ambiente (oC) X X X X 
Temperatura do fluido (oC) X X X X 
Massa específica do fluido (kg/m3) X X X X 
Massa específica da esfera (kg/m3) 
Tempo (s) 
Distância (m) X X X X 
Velocidade média (m/s) 
Força peso da esfera (N) 
 
 
Tabela 3.6 Desvio padrão – líquido 3. 
N Medida Média �̅� Desvio D Desvio Médio �̅� 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Viscosidade 3 = _______________±__________ N.s/m2 
 
 
 
 
44 
3.4 Viscosímetro Copo Ford 
 
O copo Ford relaciona a viscosidade de um fluido com 
o tempo que ele gasta para escoar através de um 
orifício. 
O funcionamento do copo Ford é embasado no 
modelo desenvolvido por Poiseuille. Pela própria 
característica do fluido viscoso, o escoamento no copo 
Ford pode ser considerado como Escoamento 
Permanente, o que possibilita a utilização das 
equações de Poiseuille, podendo inclusive desprezar 
perdas de carga por atrito ou viscosidade. As perdas 
consideradas estão relacionadas ao orifício. 
O perfil de escoamento totalmente desenvolvido 
deve-se apenas à aceleração, em que as velocidades nas 
bordas são próximas de zero e a maior velocidade ocorre 
no centro do escoamento. A diferença de pressão do 
escoamento no orifício é (ρgh), sendo h a altura do 
fluido. Portanto, a variação da pressão estará 
relacionada apenas com a altura hidrostática, como 
descreveu Stevin nos seus trabalhos de variação de 
pressão em fluidos. 
 
ΔP ρgh= (9) 
 
Se Δp é a perda de pressão de um escoamento de Poiseuille, obtém-se a 
equação (10), desenvolvida no modelo de Poiseuille: 
 
4
128
Q L
ρgh μ
πD

 (10) 
 
Com simplificações e técnicas de integração, obtém-se a equação (11), 
relacionada à viscosidade. 
 
Jean-Léonard-Marie Poiseuille 
(1797-1869), físico francês. 
Fonte: Wikimedia Commons (2010). 
45 
( )0ln f
t
ν
C h h


 (11) 
 
Nessa equação, h0 é a altura inicial e hf é a altura final do fluido no copo, ou seja, 
a diferença de altura é a própria capacidade do copo Ford. O fabricante do copo Ford, 
fornece dados de constantes definidas experimentalmente, que são as variáveis A e B 
da equação (12). 
Δν A t B=  + (12) 
 
A equação (12) é a relação entre o tempo de esvaziamento total do copo Ford 
e a viscosidade cinemática do fluido. As constantes A e B variam com diferentes orifícios 
de cada copo Ford. 
 
3.5 Procedimento Experimental 
Meça o tempo de esvaziamento total do fluido com o cronômetro, repetindo 
cinco vezes cada medida. 
Meça a temperatura do fluido a ser analisado. 
Determine a massa específica do fluido. 
 
3.6 Resultados 
Calcule o valor médio dos tempos de esvaziamento total do copo. Estabeleça a 
média e o desvio padrão das cinco medidas. 
Determine as viscosidades cinemáticas. 
Determine as viscosidades dinâmicas. 
Estabeleça o intervalo de confiança de cada viscosidade por intermédio do 
desvio padrão. 
 
46 
 
 
 
 
A cinemática dos fluidos estuda os fluidos em movimento. 
 
4.1 Vazão Volumétrica 
A vazão volumétrica é a relação entre o volume de fluido que escoa em um 
determinado tempo. A unidade mais utilizada é o volume pelo tempo, ou seja, o metro 
cúbico por segundo (m3/s). 
Um cálculo elementar de vazão volumétrica é medida pelo volume por tempo 
de escoamento. QV é a vazão volumétrica, V é o volume do fluido e t é o tempo para o 
fluido escoar. 
𝑄𝑉 =
𝑉
𝑡
 (1) 
 
4.2 Procedimento Experimental 
Um exemplo básico para se determinar a vazão 
volumétrica consiste em utilizar-se de um balde graduado e 
deixá-lo encher em uma torneira. Com o tempo gasto e o 
volume anotado, determina-se a vazão volumétrica. 
 
4.3 Relação entre Área e Velocidade 
Outra forma para se determinar a vazão volumétrica 
é por meio da área da secção transversal de um duto e a 
velocidade do fluido neste duto. 
O volume do fluido que escoa no duto é dado pelo 
produto do comprimento e da área de secção do duto. 
 
𝑉 = 𝑑. 𝐴 (2) 
 
47 
Usando a equação (2), substituindo o Volume na equação de vazão volumétrica, 
tem-se: 
𝑄𝑣 =
𝑑. 𝐴
𝑡
 (3) 
Sabe-se que a relação d/t, comprimento sobre tempo, é a velocidade do fluido. 
Portanto, a vazão volumétrica também pode ser escrita da seguinte maneira: 
𝑄𝑣 = 𝑣. 𝐴 (4) 
 
Em que QV é a vazão volumétrica, v é a velocidade do fluido e A é a área da 
secção do tubo. 
 
 
48 
 
 
 
O experimento de associação de bombas foi 
adquirido pela FHO junto à UFSCar. Todo o 
procedimento e os dados do equipamento foram 
retirados do manual que acompanha o experimento 
(MANUAL DE OPERAÇÃO, 2015a). 
O objetivo do experimento é a determinação 
experimental dos diversos pontos de operação de 
associações de bombas centrífugas iguais em série, 
em paralelo e combinadas. 
 
5.1 Descrição do Equipamento 
O equipamento consiste em um reservatório, um 
conjunto de quatro bombas, um rotâmetro, dois 
transdutores de pressão e um painel frontal. 
As bombas estão associadas em série, duas a duas: um conjunto das bombas B1 
e B2, à direita de quem está de frente para o painel, e um conjunto de bombas B3 e B4, 
à esquerda. As bombas B1, B2, B3 e B4 podem ser associadas em série, em paralelo e 
em série– paralelo, resultando as seguintes opções: 
a) Bombas B1 ou B3 operando sozinhas. 
b) Bombas B1 e B3 operando em paralelo. 
c) Bombas B1 e B2 (ou B3 e B4) operando em série. 
d) Todas as bombas operando em série – paralelo. 
 
Em cada ramo, uma válvula esfera (V1, V2, V3 e V4) é responsável pela operação 
(ou não) em série ou paralelo. Esses dois ramos podem operar em paralelo quando as 
respectivas bombas estiverem ligadas. Nos dois tipos de associação, as vazões de cada 
ramo são reguladas por meio da válvula globo1 (V5) colocadas após o rotâmetro 
encarregado de indicar o valor. Opcionalmente, quando se atuar apenas com uma 
 
1 Não confundir com válvulas esfera. 
49 
bomba ou duas em série, será possível manipular a vazão através da abertura dessa 
válvula globo, mantendo-se as outras válvulas esfera (pertencentes ao outro ramo) 
fechadas. Dois transdutores de pressão (manovacuômetro – 1 a 5 bar) transformarão 
os sinais analógicos colhidos nas tomadas de pressão (localizadas na sucção e na 
descarga de cada bomba) em sinais elétricos, que serão enviados para o indicador no 
painel de LEDs. No painel onde estão os indicadores existem oito válvulas que acionam 
os indicadores e uma chave geral para se ligar os LEDs, além de quatro chaves para cada 
bomba (B1, B2, B3 e B4). Atrás do painel existe um disjuntor, que funciona como chave 
geral do sistema. A Figura 5.2 mostra os detalhes do painel: 
 
 Figura 5.2 Esquema do Painel (a) e da disposição das bombas (b). 
 
 
50 
 
Fonte: Manual de Operação (2015a). 
 
Para se fazer uma leitura, apenas uma chave de cada grupo deve estar 
aberta. 
 
5.2 Procedimento Experimental 
 
5.2.1 Curva de uma bomba (exemplo B1) 
a) Ligue todas as bombas. 
b) Abra todas as válvulas do painel para drenagem do ar, fechando-as em seguida. 
c) Atuando nas válvulas esfera, deixe operante apenas um dos ramos. 
d) Atue na válvula esfera conjugada para que as bombas não fiquem em série (se a 
manopla da válvula esfera aponta na direção do tubo, então ela está aberta). 
e) Atuando na válvula globo (após o rotâmetro), fixe uma vazão. 
f) Faça a leitura no rotâmetro e anote a vazão. 
g) Abra no painel as válvulas de leitura correspondentes à bomba B1 (a bomba B1 
foi escolhida como exemplo, mas poderia ser B3). 
h) Abra a válvula P1 para fazer a leitura da pressão de sucção no indicador. Anote 
o valor e feche a P1. 
i) Abra a válvula P2 para fazer a leitura da pressão de descarga no indicador. Anote 
o valor e feche a P2. Anote os valores. 
51 
j) Do valor da pressão na descarga subtraia o valor da pressão na sucção (esse 
valor, posteriormente dividido pelo produto [ .ρ g ], será a AMT da bomba). 
k) Com um termômetro, meça a temperatura da água (essa temperatura permitirá 
tomar a densidade da água; se o experimento demorar, ela variará por efeito 
Joule). 
l) Volte ao item e) e repita a sequência para, pelo menos, cinco pontos (entre eles, 
os das vazões nula e máxima). 
 
5.2.2 Curva de duas bombas em série (B1 e B2 ou B3 e B4) 
a) Ligue todas as bombas. 
b) Abra todas as válvulas do painel para a drenagem do ar, fechando-as em 
seguida. 
c) Feche um dos ramos e deixe o outro aberto, como já foi descrito. 
d) Atue nas válvulas esfera para que as bombas fiquem em série (as bombas B1 e B2, 
por exemplo). 
e) Atuando na válvula globo, fixe uma vazão. 
f) Faça a leitura no rotâmetro. Anote a vazão. 
g) Abra no painel as válvulas de leitura correspondentes à sucção e descarga de B1. 
h) Faça a leitura da pressão de sucção no indicador com a P1 aberta. Anote o valor 
e feche a P1. 
i) Faça a leitura da pressão de descarga no indicador com a P4 aberta. Anote o 
valor e feche a P4. 
j) Subtraia do valor da pressão na descarga o valor da pressão na sucção (as 
bombas B1 e B2, por exemplo). 
k) Com um termômetro, meça a temperatura da água (também conhecida por 
Curva da Tubulação). 
l) Volte ao item e) e repita a sequência para, pelo menos, cinco pontos (é bom 
lembrar que a atuação em uma válvula, abrindo-a ou fechando-a, muda o 
“sistema”). 
Observe que neste procedimento estão sendo implicitamente incluídas as 
perdas de carga entre as bombas B1 e B3 ou B2 e B4. 
 
5.2.3 Curva de duas bombas em paralelo 
a) Ligue todas as bombas. 
52 
b) Abra todas as válvulas do painel para drenagem do ar, fechando-as em seguida. 
c) Abra os dois ramos. 
d) Atue nas válvulas esfera para que as bombas B1 e B3 fiquem em paralelo e que B2 
e B4 não fiquem em série com elas. 
e) Atuando na válvula globo (V5), acerte a vazão. 
f) Verifique no painel se as diferenças de pressão entre a leitura de sucção (P1 e 
P5) para ambas as bombas. Note que ambas terão que ser iguais. Anote o valor 
e feche P1 e P5. 
g) Anote as vazões. 
h) Faça a leitura da pressão de descarga com P2 e P6 abertas (devem ser iguais). 
Anote os valores e feche P2 e P6. 
i) Do valor da pressão na descarga subtraia o valor da pressão na sucção (as 
bombas B1 e B2, por exemplo). 
j) Com um termômetro, meça a temperatura da água (também conhecida por 
Curva da Tubulação). 
k) Volte ao item e) e repita a sequência para, pelo menos, cinco pontos (é bom 
lembrar que a atuação em uma válvula, abrindo-a ou fechando-a, muda o 
“sistema”). 
 
5.2.4 Curva de quatro bombas em associação combinada 
a) Ligue todas as bombas. 
b) Abra todas as válvulas do painel para drenagem do ar, fechando-as em seguida. 
c) Abra os dois ramos. 
d) Atue nas válvulas esfera para que as bombas B1 com B2 e B3 com B4 fiquem em 
série. Consequentemente, será feita a associação em paralelo. 
e) Inicie a regulagem da vazão pela válvula V5. É importante que, no início, essa 
válvula V5 esteja parcialmente aberta. 
f) Abra V5 até a vazão máxima. 
g) Varie a vazão com o fechamento de V5 e anote as vazões. 
h) Faça a leitura da pressão de sucção da bomba B1 e B3 com P1 e P5 abertas. 
Anote o valor e feche P1 e P5 (devem dar os mesmos valores). 
i) Faça a leitura da descarga das bombas B2 e B4 com P4 e P8 abertas. Anote os 
valores e feche P4 e P8. Faça a diferença entre os valores da P de sucção e 
descarga. 
53 
j) Com o termômetro, meça a temperatura da água (também conhecida por Curva 
da Tubulação). 
k) Volte ao item g) e repita a sequência para, pelo menos, cinco pontos (é bom 
lembrar que a atuação em uma válvula, abrindo-a ou fechando-a, muda o 
“sistema”). 
 
5.3 Tratamento dos Dados Experimentais 
Construa os quatro gráficos, identificando os pontos 2’, 3’ e 4’, da Figura 1 (do 
anexo), e tentando ver as curvas do sistema por meio dos pontos 1, 2, 3 e 4. 
 
 
54 
REFERÊNCIAS 
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55 
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56 
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2000. 
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em: 10 set. 2019. 
WIKIPEDIA COMMONS. Retrato de Robert Hooke. Artista: Rita Greer (2004). 1 
Ilustração, largura/altura: 1359 x 1620, 555 Kb, formato JPEG. Disponível em: 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:13_Portrait_of_Robert_Hooke.JPG. Acesso 
em: 21 nov. 2019. 
YIH, C. S. Fluid mechanics. Ann Arbor: West River Press, 1979. 622 p. 
 
57 
 
 
Manual de Operação (2015a) 
Fundamentos 
A Curva do Sistema2 consiste no gráfico da Altura Manométrica Total (AMT), em 
função da vazão volumétrica Q de líquido. Esse gráfico é uma parábola ascendente 
interceptando o eixo das ordenadas (Q = 0) em ΔP/Δ + Δv2/(2g)+ Δz, em que ΔP é a diferença 
de pressão, Δv2 é a diferença dos quadrados das velocidades e Δz é a diferença de altura entre 
as extremidades da bomba. Usualmente, os dois últimos termos, referentes às diferenças de 
energia cinética e de energia potencial, são desconsiderados. O encontro dessa curva com a 
Curva da Bomba é o chamado Ponto de Operação. 
É comum associar bombas centrífugas para aumentar sua faixa de atuação, seja em 
termos de vazão, seja em termos da energia fornecida ao líquido. A curva da associação em 
série é obtida de forma que, para uma mesma vazão, AMTs de cada bomba sejam 
individualmente somadas. Para a curva da associação em paralelo, para uma mesma AMT, 
somam-se as vazões de cada bomba individualmente. Para a associação combinada (série – 
paralelo), constrói-se a curva da associação em série e a partir dela se faz a associação em 
paralelo. O aluno deve perceber dois aspectos: 
a) Na associação em série, a curva real passa abaixo da proposta teoricamente e se 
afasta dessa à medida que a vazão aumenta. Isso se deve ao fato de que existe uma perda de 
carga entre as bombas e essa aumenta com o expoente da vazão. 
b) Ao contrário do que muitos engenheiros pensam, associar bombas iguais não 
“dobra” a vazão ou a AMT. O ponto de operação depende da curva do sistema, que é uma 
parábola, e, portanto, nunca fornecerá o dobro de quaisquer das duas grandezas (Q e AMT). 
A Figura 2 mostra os diversos pontos de operação de cada tipo de associação. 
 
 
 
 
 
 
 
2 Também conhecida por Curva da Tubulação. 
58 
Figura 1 Associação de bombas centrífugas. 
 
Fonte: Manual de Operação (2015a). 
 
Para uma dada configuração do sistema3, o ponto 1 é o ponto de operação de uma 
única bomba; o ponto 2 corresponde a duas bombas associadas em série; o ponto 3 
corresponde à associação em paralelo; e o ponto 4 é a associação combinada das quatro 
bombas em série e paralelo, duas a duas, respectivamente. Em termos de projeto de 
processos, o engenheiro deve notar, no caso descrito na Figura 2, que a associação em 
paralelo aumenta muito pouco a vazão do sistema, sendo portanto uma má escolha. O 
ponto 2' representa o ponto de operação de cada bomba associada em série; o ponto 
3' representa o ponto de operação de cada bomba associada em paralelo; e o ponto 4' 
representa o ponto de operação de cada bomba associada em série – paralelo. É 
importante observar que esses pontos não estão sobre a curva do sistema. 
As válvulas talvez sejam os elementos mais importantes de um sistema de 
bombeamento. A Figura 2 mostra o efeito do fechamento de uma válvula nos quatro 
pontos de operação: essa “movimentação” deve ser entendida pelo engenheiro no 
momento do projeto; diminuir vazão é uma coisa simples, aumentar não; se o projetista 
prevê a possibilidade de aumento de vazão no futuro é bom sugerir uma válvula 
parcialmente fechada no sistema. 
 
 
 
3 É bom lembrar que a atuação em uma válvula, abrindo-a ou fechando-a, muda o “sistema”. 
59 
Figura 2 Efeito do fechamentode válvulas na curva do sistema. 
 
 
Fonte: Manual de Operação (2015a). 
 
60 
 
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