fisica 3 fs3130 p1 1 sem 2012 gab (2)

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Centro Universitário da FEI Engenharia A 1° 
FS3130 Física 3 Diurno P1 80 min 26/03/2012 2° 
Número: N° Seq: Turma(teoria): 3° 
Nome: Gabarito A 4° 
Assinatura: Total 5o 
Instruções: Entre as quatro primeiras questões, resolva três de sua escolha. Marque com a questão descartada. A 
última questão é obrigatória. Todas as respostas devem ser justificadas e as passagens necessárias para o 
entendimento da solução devem estar presentes. Haverá penalização de 0,2 pontos por unidade incorreta ou 
ausente. 
 
1. Quatro cargas puntiformes positivas encontram-se fixas nos vértices de um quadrado de lado 2a como 
mostra a figura abaixo. O ponto A se encontra sobre um eixo perpendicular ao plano de cargas, a uma 
distância z da origem do sistema de eixos. Nesse ponto, existe um dipolo elétrico, de momento de dipolo 
 ⃗, que pode girar livremente em qualquer direção do espaço. Pedem-se: 
a) mostrar que o campo elétrico produzido pelas cargas no ponto A da figura é dado por ⃗⃗ ̂ 
 
 
; (1 
pto) 
b) O torque (vetor) produzido pelas cargas sobre o dipolo. (0,5 pto) 
c) O trabalho realizado pelo campo elétrico para girar o dipolo até sua posição de equilíbrio estável. (1 pto) 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 √ √ 
 
 
 
 
√ √ 
 
 
 
 
 
[√ √ ]
 
 
√ √ 
 
 
 
 
[ √ ]
 
 
 
 
 
 
[ ]
 
 
 
 
√ 
 
√ 
[[
 
√ 
]
 
 ]
 
 
 ⃗⃗⃗ ̂ 
 
 
 
 
b) ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ [ √ ̂ ̂ ̂] ̂ 
 
 ⃗ √ 
⏞ 
 
 ( ̂ ̂)⏞ 
 ̂
 ⏞ 
 
 ̂ ̂ ⏞ 
 ̂
 ⃗⃗ [ ̂ ̂] 
 
 
Dados: 𝑎 5 𝑚 𝑧 
 
√ 
 𝑚 
𝑞 √ 𝐶 
 
 𝜋𝜀 
 
𝑁𝑚 
𝐶 
 
 
�⃗� [ √ 𝑖 ̂ 𝑗 ̂ �̂�] 𝑚𝐶 
 
Formulário: 𝜏 �⃗� �⃗⃗� 𝑈 �⃗� �⃗⃗� 
 
 𝑊 ∆𝑈 �⃗⃗� 
 
 𝜋𝜀 
𝑞
𝑟 
�̂� 
 
𝛼 
𝑬𝒒 
𝒓 
c) ⃗ | ⃗| ̂ | ⃗| √ √ | ⃗| 
 
 ⃗ ̂ ∆ ⃗
 ⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ [ ⃗
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ] [ ⃗ ⃗] ⃗⃗ 
 
 [ ̂ √ ̂ ̂ ̂ ] ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na figura, tem-se uma superfície fechada S formada pela face externa de quatro cubos adjacentes, de 
arestas a. Essa aresta é também a distância entre uma esfera, carregada com carga total Qo, e uma reta 
eletrizada com densidade linear de carga . A mesma distância a também existe entre o fio e um plano 
infinito, carregado com densidade superficial de cargas o. Todas as cargas estão uniformemente 
distribuídas. Pedem-se: 
a) O fluxo do campo elétrico através da superfície fechada S; (1 pto) 
b) indique na figura abaixo as faces da superfície fechada S nas quais o fluxo do campo elétrico possui 
intensidade mínima; (0,5 pto) 
c) O campo elétrico (vetor) nos pontos P1 e P2 indicados na figura. (1 pto) 
 
 
Formulário: ∮ ⃗⃗ ̂ 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 ̂ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 ̂ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O fluxo elétrico é mínimo nas faces superior e inferior da superfície fechada. Nessas faces há fluxo elétrico 
somente da esfera carregada. O fio e o plano carregados não produzem fluxo elétrico nessas faces, pois os 
respectivos campos elétricos não atravessam essas faces. 
 
c) ⃗⃗ [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] ̂ ⃗⃗ [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] ̂ 
 
 
 ⃗⃗ [
 
 
 
 55 
 
 
 
 
] ̂ ⃗⃗⃗ ̂ 
 
 ⃗⃗ [
 
 
 
 55 
 
 
 
 
] ̂ ⃗⃗⃗ ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝑧 Dados: 𝑄 7 7 
 𝐶 
 
𝜆 55 
 
𝐶
𝑚 
 
 
 𝜎 5 
 
𝐶
𝑚 
 
 
𝑎 𝑚 𝜀 5 
 
𝐶 
𝑁𝑚 
 
 
 
Face superior 
Face inferior 
�⃗⃗⃗�𝑷𝟐 
�⃗⃗⃗�𝑷𝟏 
3. Uma espira retangular é percorrida por uma corrente elétrica e está imersa em uma região com campo 
magnético uniforme de intensidade . Para a posição ilustrada, pedem-se: 
a) as forças magnéticas ⃗ , ⃗ que atuam respectivamente nos lados e da espira. (0,5 pto) 
b) o momento de dipolo magnético ⃗ da espira; (0,5 pto) 
c) o torque magnético ⃗ que atua sobre a espira e a sua energia potencial magnética ; (1 pto) 
d) indique na figura um eixo em torno do qual a espira poderia girar devido a ação do torque magnético ⃗; (0,5 pto) 
Formulário: ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ̂ 
 
 
 
 
 
a) ⃗ ⃗⃗ ̂ ⃗⃗ ̂ ⃗ ̂ ̂ ⃗⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ ̂ ̂ ⃗⃗ ̂ 
 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗⃗ ̂ ̂ 
 
 
b) [ ] 5 5 ⃗ 5 ⏞ 
 
 ̂ 5 ⏞ 
 
 ̂ 
 
 
 ⃗⃗⃗ ̂ ̂ 
 
 
c) ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ̂ )̂ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ 
 
 ( ̂ )̂ ̂ 
 
 
 
d) A espira poderia girar em torno de um eixo paralelo ao lado BC, visto que a direção torque magnético é paralela a 
esse lado da espira, conforme mostrado na figura acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐵 𝑇 
Dados: 
 
𝐼 𝐴 
 
 
 
𝛼 
𝛼 
𝜇 
 
�⃗⃗� 
𝜏 
𝑥 
𝛼 
𝑧 
 
 
 
𝐶 ≡ 𝐷 
𝐵 ≡ 𝐴 
𝜏 
Eixo de rotação 
 
4. Três cargas puntiformes, , e se movem com velocidades , e relativamente a um plano de 
referência. Para o instante em as posições das cargas definem um triangulo equilátero de lado , conforme 
mostrado na figura abaixo, pedem-se: 
a) o campo magnético (vetor) no ponto ; (1 pto) 
b) a força magnética (vetor) que atua na carga ; ( 1,5 pto) 
 
 
 
 
a) ⃗⃗ 
 
 
[
 
 
 
 
 ̂ ̂⏞
 
 
 
 
 
⏞ 
 
 
 [ ̂ ̂ ̂ ]
⏞ 
 ( 
 ) ̂
 
 
 
 
 
 [ ̂ ̂ ̂ ]
⏞ 
 ( 
 ) ̂
 
 
 
√ 
]
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
[
 ( 
 )
 
 
 
 ( 
 )
 
 
] ̂ ⃗⃗ 
 [
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] ̂ 
 
 
 ⃗⃗⃗ 
 ̂ 
 
 
b) ⃗⃗ 
 
 
[
 ̂ [ ̂ ̂]
⏞ 
 ( 
 ) ̂̂ ̂ ⏞ 
 
 
 
] ⃗⃗ 
 
 
[
 
 
 
] ̂ 
 
 ⃗⃗ 
 [
 
√ 
 
 
] ̂ ⃗⃗ 7 ⏞ 
 
 ̂ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
 
 ⃗ 
[ 
 ̂ 
 ̂] ̂ ⃗ 
 ̂ 
 ̂ 
 
 ⃗ 
 7 ⏞ 
 
 ̂ 7 ⏞ 
 
 ̂ 
 
 
 ⃗ 7 
 ̂ 7 ̂ 
 
 ⃗⃗⃗ 
 ̂ ̂ 
 
 
𝜇 𝜋 
 
𝑇𝑚
𝐴
 
Dados: 𝑞 𝑞 𝑞 
 𝐶 
 
𝑣 𝑣 𝑣 
 𝑚 𝑠 
 
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝑨 𝐿 𝑚 
 
 
Formulário: �⃗⃗� 
𝜇 
 𝜋
𝑞�⃗⃗� �̂�
𝑟 
 �⃗� 𝑞�⃗� �⃗⃗� 
 
 
 
𝐿 
𝐿
 
 
𝐿
 
√ 
�⃗⃗⃗�𝒒𝟑 
5. Um amperímetro e um voltímetro possuem resistências internas e respectivamente. Foram efetuadas 
medições de tensão e de corrente em um resistor de resistência utilizando-se as montagens do amperímetro 
externo e do amperímetro interno, obtendo-se os valores indicados na tabela abaixo. Sabe-se que a relação 
 
 
 é 
igual a 10 e que . Pedem-se: 
 
a) desenhar o posicionamento do voltímetro e amperímetro relativamente ao resistor no circuito elétrico quando 
realizadas as montagens do amperímetro externo e amperímetro interno. (0,5 pto) 
b) as resistências e ; (0,5 pto) 
c) as resistências , e ; (1,5 ptos) 
 
Amperímetro Externo Amperímetro Interno 
 
40,0 7 
 
Formulário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 75 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 75 
 75 
 5 75 
 
 
 5 75 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 5 5 5 
5 √5 5 5 
 
 5 
 5 5 
 5 √ 5 5 5 
 
 
 
Impondo a condição as respostas são , e . 
 
 
 
 
A 
V 
𝑅𝑉 
𝑅𝐴 𝑅 
Amperímetro Externo 
 
 
A 
V 
𝑅𝑉 
𝑅𝐴 𝑅 
Amperímetro Interno 
Centro Universitário da FEI Engenharia B 1° 
FS3130 Física 3 Diurno P1 80 min 26/03/2012 2° 
Número: N° Seq: Turma(teoria): 3° 
Nome: Gabarito B 4° 
Assinatura: Total 5o 
Instruções: Entre as quatro primeiras questões, resolva três de sua escolha. Marque com a questão descartada. A 
última questão é obrigatória. Todas as respostas devem ser justificadas e as passagens necessárias para o 
entendimento da solução devem estar presentes. Haverá penalização de 0,2 pontos por unidade incorreta ou 
ausente. 
 
1. Quatro cargas puntiformes positivas encontram-se fixas nos vértices de um quadrado de lado 2a como 
mostra a figura abaixo. O ponto A se encontra sobre um eixo perpendicular ao plano de cargas, a uma 
distância z da origem do sistema de eixos. Nesse ponto, existe um dipolo elétrico, de momento de dipolo 
 ⃗, que pode girar livremente em qualquer direção do espaço. Pedem-se: 
a) mostrar que o campo elétrico produzido pelas cargas no ponto A da figura é dado por ⃗⃗ 7 ̂ 
 
 
; (1 
pto) 
b) O torque (vetor) produzido pelas cargas sobre o dipolo. (0,5 pto) 
c) O trabalho realizado pelo campo elétrico para girar o dipolo até sua posição de equilíbrio instável. (1 
pto) 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 √ √ 
 
 
 
 
√ √ 
 
 
 
 
 
[√ √ ]
 
 
√ √ 
 
 
 
 
[ √ ]
 
 
 
 
 
 
[ ]
 
 
 
 
 √ 
 
√ 
[[
 
√ 
]
 
 ]
 
 
 7 ⃗⃗⃗ ̂ 
 
 
 
 
b) ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ [ √ ̂ ̂ ̂] 7 ̂ 
 
 ⃗ √ 7 
⏞ 
 
 ( ̂ ̂)⏞ 
 ̂
 7 ⏞ 
 
 ̂ ̂ ⏞ 
 ̂
 ⃗⃗ [ ̂ ̂] 
 
 
Dados: 𝑎 5 𝑚 𝑧 
 
√ 
 𝑚 
𝑞 √ 𝐶 
 
 𝜋𝜀 
 
𝑁𝑚 
𝐶 
 
 
�⃗� [ √ 𝑖 ̂ 𝑗 ̂ �̂�] 𝑚𝐶 
 
Formulário: 𝜏 �⃗� �⃗⃗� 𝑈 �⃗� �⃗⃗� 
 
 𝑊 ∆𝑈 �⃗⃗� 
 
 𝜋𝜀 
𝑞
𝑟 
�̂� 
 
𝛼 
𝑬𝒒 
𝒓 
c) ⃗ | ⃗| ̂ | ⃗| √ √ | ⃗| 
 
 ⃗ ̂ ∆ ⃗
 ⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ [ ⃗
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ] [ ⃗ ⃗] ⃗⃗ 
 
 [ ̂ √ ̂ ̂ ̂ ] 7 ̂ 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na figura, tem-se uma superfície fechada S formada pela face externa de quatro cubos adjacentes, de 
arestas a. Essa aresta é também a distância entre uma esfera, carregada com carga total Qo, e uma reta 
eletrizada com densidade linear de carga . A mesma distância a também existe entre o fio e um plano 
infinito, carregado com densidade superficial de cargas o. Todas as cargas estão uniformemente 
distribuídas. Pedem-se: 
a) O fluxo do campo elétrico através da superfície fechada S; (1 pto) 
b) indique na figura abaixo as faces da superfície fechada S nas quais o fluxo do campo elétrico possui 
intensidade mínima; (0,5 pto) 
c) O campo elétrico (vetor) nos pontos P1 e P2 indicados na figura. (1 pto) 
 
 
Formulário: ∮ ⃗⃗ ̂ 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 ̂ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 ̂ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O fluxo elétrico é mínimo nas faces de superior e inferior da superfície fechada. Nessas faces há fluxo elétrico 
somente da esfera carregada. O fio e o plano carregados não produzem fluxo elétrico nessas faces, pois os 
respectivos campos elétricos não atravessam essas faces. 
 
c) ⃗⃗ [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] ̂ ⃗⃗ [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] ̂ 
 
 
 ⃗⃗ [
 
 
 
 55 
 
 
 
 
] ̂ ⃗⃗⃗ ̂ 
 
 ⃗⃗ [
 
 
 
 55 
 
 
 
 
] ̂ ⃗⃗⃗ ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝑧 Dados: 𝑄 7 7 
 𝐶𝜆 55 
 
𝐶
𝑚 
 
 
 𝜎 5 
 
𝐶
𝑚 
 
 
𝑎 𝑚 𝜀 5 
 
𝐶 
𝑁𝑚 
 
 
 
Face superior 
Face inferior 
�⃗⃗⃗�𝑷𝟏 
�⃗⃗⃗�𝑷𝟐 
3. Uma espira retangular é percorrida por uma corrente elétrica e está imersa em uma região com campo 
magnético uniforme de intensidade . Para a posição ilustrada, pedem-se: 
a) as forças magnéticas ⃗ , ⃗ que atuam respectivamente nos lados e da espira. (0,5 pto) 
b) o momento de dipolo magnético ⃗ da espira; (0,5 pto) 
c) o torque magnético ⃗ que atua sobre a espira e a sua energia potencial magnética ; (1 pto) 
d) indique na figura um eixo em torno do qual a espira poderia girar devido a ação do torque magnético ⃗; (0,5 pto) 
Formulário: ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ̂ 
 
 
 
 
 
a) ⃗ ⃗⃗ ̂ ⃗⃗ ̂ ⃗ ̂ ̂ ⃗⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ ̂ ̂ ⃗⃗ ̂ 
 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗⃗ ̂ ̂ 
 
 
b) [ ] 5 ⃗ ⏞ 
 
 ̂ ⏞ 
 
 ̂ 
 
 
 ⃗⃗⃗ ̂ ̂ 
 
 
c) ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ̂ )̂ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ 
 
 ( ̂ )̂ ̂ 
 
 
 
d) A espira poderia girar em torno de um eixo paralelo ao lado BC, visto que a direção torque magnético é paralela a 
esse lado da espira, conforme mostrado na figura acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐵 𝑇 
Dados: 
 
𝐼 𝐴 
 
 
 
𝛼 
𝛼 
𝜇 
 
�⃗⃗� 
𝜏 
𝑥 
𝑧 
 
 
 
𝐶 ≡ 𝐷 
𝐵 ≡ 𝐴 
𝜏 
Eixo de rotação 
4. Três cargas puntiformes, , e se movem com velocidades , e relativamente a um plano de 
referência. Para o instante em as posições das cargas definem um triangulo equilátero de lado , conforme 
mostrado na figura abaixo, pedem-se: 
a) o campo magnético (vetor) no ponto ; (1 pto) 
b) a força magnética (vetor) que atua na carga ; ( 1,5 pto) 
 
 
 
a) ⃗⃗ 
 
 
[
 
 
 
 
 ̂ ̂⏞
 
 
 
 
 
⏞ 
 
 
 [ ̂ ̂ ̂ ]
⏞ 
 ( 
 ) ̂
 
 
 
 
 
 [ ̂ ̂ ̂ ]
⏞ 
 ( 
 ) ̂
 
 
 
√ 
]
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
[
 ( 
 )
 
 
 
 ( 
 )
 
 
] ̂ ⃗⃗ 
 [
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] ̂ 
 
 
 ⃗⃗⃗ 
 ̂ 
 
 
b) ⃗⃗ 
 
 
[
 ̂ [ ̂ ̂]
⏞ 
 ( 
 ) ̂
 
 
 ̂ ̂ ⏞ 
 
 
 
] ⃗⃗ 
 
 
[
 
 
 
] ̂ 
 
 ⃗⃗ 
 [
 
√ 
 
 
] ̂ ⃗⃗ 7 ⏞ 
 
 ̂ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
 
 ⃗ 
[ 
 ̂ 
 ̂] ̂ ⃗ 
 ̂ 
 ̂ 
 
 ⃗ 
 7 ⏞ 
 
 ̂ 7 ⏞ 
 
 ̂ 
 
 
 ⃗ 
 ̂ ̂ 
 
 ⃗⃗⃗ 
 ̂ ̂ 
 
 
 
 
𝜇 𝜋 
 
𝑇𝑚
𝐴
 
Dados: 𝑞 𝑞 𝑞 
 𝐶 
 
𝑣 𝑣 𝑣 
 𝑚 𝑠 
 
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝑨 𝐿 𝑚 
 
 
Formulário: �⃗⃗� 
𝜇 
 𝜋
𝑞�⃗⃗� �̂�
𝑟 
 �⃗� 𝑞�⃗� �⃗⃗� 
 
 
 
𝐿 
𝐿
 
 
𝐿
 
√ 
�⃗⃗⃗�𝒒𝟑 
 
5. Um amperímetro e um voltímetro possuem resistências internas e respectivamente. Foram efetuadas 
medições de tensão e de corrente em um resistor de resistência utilizando-se as montagens do amperímetro 
externo e do amperímetro interno, obtendo-se os valores indicados na tabela abaixo. Sabe-se que a relação 
 
 
 é 
igual a 10 e que . Pedem-se: 
 
a) desenhar o posicionamento do voltímetro e amperímetro relativamente ao resistor no circuito elétrico quando 
realizadas as montagens do amperímetro externo e amperímetro interno. (0,5 pto) 
b) as resistências e ; (0,5 pto) 
c) as resistências , e ; (1,5 ptos) 
 
Amperímetro Externo Amperímetro Interno 
 
80,0 
 
Formulário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 75 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 75 
 75 
 5 75 
 
 
 5 75 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 5 5 5 
5 √5 5 5 
 
 5 
 5 5 
 5 √ 5 5 5 
 
 
 
Impondo a condição as respostas são , e . 
 
 
A 
V 
𝑅𝑉 
𝑅𝐴 𝑅 
Amperímetro Externo 
 
 
A 
V 
𝑅𝑉 
𝑅𝐴 𝑅 
Amperímetro Interno