3 Lista de exerc vetores

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncias e Tecnologia
Birigui-SP
3a Lista de exerc´ıcios - Vetores
Prof. Gustavo Jorge Pereira
Semestre: 1o
Ano: 2016
Nome: Prontua´rio:
1. Seja −→u = (1,−1, 3), −→v = (2, 1, 3) e −→w = (−1,−1, 4) vetores R3. Determine as coorde-
nadas (ou escaleres) dos vetores abaixo em relac¸a˜o a base canoˆnica (−→e1 ,−→e2 ,−→e3 )
(a) −→u +−→v ;
(b) −→u − 2−→v ;
(c) −→u +−→v − 3−→w .
2. Sejam −→u = (1,−1, 3), −→v = (2, 1, 3) e −→w = (−1,−1, 4) vetores de R3. Verifique se −→u
pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de −→v e −→w .
3. Sejam −→u = (1,−1, 3), −→v = (2, 1, 3) e −→w = (−1,−1, 4) vetores de R3. Escreva o vetor−→
t = (4, 0, 13) como combinac¸a˜o linear de −→u , −→v , −→w .
4. O vetor −→u = (1,−1, 3) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de −→v = (−1, 1, 0) e
−→w =
(
2, 3,
1
3
)
? Justifique.
5. Determine o valor de m de modo que −→u = (1, 2, 2) seja escrito como combinac¸a˜o linear
de −→v = (m− 1, 1,m− 2) e −→w = (m+1,m− 1, 2). Determine o valor de m para que (−→u ,−→w , −→w ) seja LD.
6. Para cada sequeˆncia de vetores abaixo determine se ela e´ LI ou LD.
(a) −→u = (0, 1, 0) −→v = (1, 0, 1);
(b) −→u = (0, 1, 1) −→v = (1, 0, 0);
(c) −→u = (1,−3, 14) −→v =
(
1
14
,
−3
14
, 1
)
;
(d) −→u = (1, 0, 0) −→w = (200, 2, 1) −→w = (300, 1, 2);
(e) −→u = (1, 2, 1) −→v = (1,−1,−7) −→w = (4, 5,−4).
7. Determine o valor de m ∈ R para que a sequeˆncia de vetores abaixo seja LD
(a) −→u = (m, 1,m) −→v = (1,m, 1);
(b) −→u = (1−m2, 1−m, 0) −→v = (m,m,m);
(c) −→u = (m, 1,m+ 1) −→w = (1, 2,m) −→w = (1, 1, 1);
(d) −→u = (m, 1,m+ 1) −→w = (0, 1,m) −→w = (0,m, 2m).
8. Seja (−→e1 , −→e2 , −→e3 ) a base canoˆnica de R3. Determine a norma de −→w , isto e´, ||−→u || para cada
vetor abaixo:
(a) −→u = −→e1 +−→e2 +−→e3 ;
1
(b) −→u = −−→e1 +−→e2 ;
(c) −→u = 3−→e1 + 4−→e3
(d) −→u = −4−→e1 + 2−→e2 −−→e3
Gabarito
1. (a) (3, 0, 6)
(b) (−3,−3,−3)
(c) (8, 4,−3)
2. Na˜o
3.
−→
t = −→u + 2−→v +−→w
4. Na˜o.
5. Na˜o existe um valor de m para que −→u = a−→v + b−→w . O valor de m para que (−→u , −→v , −→w )
seja LD e´:
6. (a) LI;
(b) LI;
(c) LD;
(d) LI;
(e) LD.
7. (a) m = 1 ou m = −1;
(b) m = 0 ou m = 1;
(c) Na˜o existe;
(d) m = 0 ou m = 2.
8. (a)
√
3
(b)
√
2
(c) 5
(d)
√
21
2