Apostila MecFlu - LENEP-UENF

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LABORATÓRIO DE METEOROLOGIA 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS PARA O CURSO DE 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Autores: Profs. Dr. Valdo da Silva Marques e Dr. José Ricardo Siqueira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macaé-RJ 
 
 
 
 2
SUMÁRIO 
 Pág. 
 
APRESENTAÇÃO DO CURSO ....................................................................................................... 05 
 
 
CAPÍTULO 1 – CONCEITOS GERAIS .......................................................................................... 07 
 
 1.1 – Definição e aplicações da Mecânica dos Fluidos ............................................................... 07 
 1.2 – Conceitos fundamentais ...................................................................................................... 07 
 1.3 – Tensão de cisalhamento, lei de Newton da viscosidade ..................................................... 07 
 1.4 – Viscosidade absoluta ou dinâmica ..................................................................................... 10 
 1.5 – Simplificações práticas ....................................................................................................... 11 
 1.6 – Peso específico .................................................................................................................... 12 
 1.7 – Massa específica ................................................................................................................. 12 
 1.8 – Peso específico relativo ....................................................................................................... 13 
 1.9 – Viscosidade cinemática ....................................................................................................... 13 
 1.10 – Fluido ideal ........................................................................................................................ 14 
 1.11 – Fluido incompressível ........................................................................................................ 14 
 1.12 – Equação de estado dos gases .............................................................................................. 14 
 Exercícios ..................................................................................................................................... 16 
 
 
CAPITULO 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS ..................................................................................... 19 
 
 2.1 – Pressão ................................................................................................................................. 19 
 2.2 – Teorema de Stevin ............................................................................................................... 20 
 2.3 – Lei de Pascal ........................................................................................................................ 22 
 2.4 – Carga de pressão .................................................................................................................. 23 
 2.5 – Escalas de pressão ................................................................................................................ 25 
 2.6 – Instrumentos de medida de pressão ..................................................................................... 28 
 2.7 – Força em superfícies submersas ........................................................................................... 35 
 2.8 – Empuxo, estabilidade e equilíbrio de corpos submersos ..................................................... 49 
Exercícios ..................................................................................................................................... 60 
 
 
CAPITULO 3 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS ............................................................................... 63 
 
 3.1 – Regimes permanente e variado ............................................................................................ 63 
 3.2 – Escoamentos laminar e turbulento ....................................................................................... 65 
 3.3 – Trajetórias e linhas de corrente ............................................................................................ 66 
 3.4 – Escoamento unidimensional ou uniforme na seção ............................................................. 67 
 3.5 – Vazão e velocidade média ................................................................................................... 68 
 3.6 – Equação da continuidade para regime permanente .............................................................. 71 
 3.7 – Descrições Euleriana e Lagrangeana dos Escoamentos ....................................................... 79 
 3.8 – Equações do Movimento, de Euler, e de Navier-Stokes ...................................................... 81 
Exercícios ..................................................................................................................................... 87 
 3
CAPITULO 4 – EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE ........................ 89 
 
 4.1 – Introdução ........................................................................................................................ 89 
 4.2 – Equação de Bernoulli ....................................................................................................... 89 
 4.3 – Equação de Bernoulli na presença de uma máquina ........................................................ 94 
 4.4 – Potência da máquina e noções de rendimento .................................................................. 96 
 4.5 – Equação de Bernoulli para fluido real .............................................................................. 98 
 4.6 – Diagrama de velocidades não uniformes na seção .......................................................... 101 
 4.7 – Interpretação da perda de carga ........................................................................................ 105 
 4.8 – Equação geral de Bernoulli para regime permanente ...................................................... 106 
 4.9 – Equação de Bernoulli para diversas entradas e saídas ..................................................... 107 
Exercícios ................................................................................................................................ 111 
 
 
CAPITULO 5 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO .................................................................... 115 
 
 5.1 – Forças dinâmicas .............................................................................................................. 115 
 5.2 – Equação da quantidade de movimento ............................................................................. 115 
 5.3 – Exemplos de aplicação ..................................................................................................... 118 
 5.4 – Forças em superfícies sólidas em movimento .................................................................. 122 
 5.5 – Potência de uma turbina de ação ......................................................................................124 
 5.6 – Equação da quantidade de movimento para diversas entradas e saídas ........................... 124 
Exercícios ................................................................................................................................. 127 
 
 
CAPITULO 6 – ESCOAMENTOS EM CONDUTOS E SUAS APLICAÇÕES ......................... 131 
 
 6.1 – Introdução ........................................................................................................................ 131 
 6.2 – Classificação de condutos ................................................................................................ 131 
 6.3 – Camada limite numa placa plana ..................................................................................... 133 
 6.4 – Camada limite em condutos forçados .............................................................................. 135 
 6.5 – Rugosidade ....................................................................................................................... 136 
 6.6 – Perdas de carga distribuídas e localizadas ....................................................................... 137 
 6.7 – Escoamentos laminares .................................................................................................... 153 
 6.8 – Escoamentos turbulentos ................................................................................................. 164 
Exercícios ................................................................................................................................. 172 
 
 
CAPITULO 7 – SEMELHANÇA E TEORIA DOS MODELOS .................................................. 177 
 
 7.1 – Conceitos gerais ............................................................................................................... 177 
 7.2 – Números adimensionais típicos ........................................................................................ 178 
 7.3 – Semelhança e teoria dos modelos .................................................................................... 181 
 7.4 – Escalas de semelhança ..................................................................................................... 181 
 7.5 – Relações entre escalas ...................................................................................................... 182 
Exercícios ................................................................................................................................. 185 
 
 
 
 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
APRESENTAÇÃO DO CURSO 
 
- Professores: José Ricardo Siqueira e Valdo da Silva Marques (LAMET/UENF); salas: 415 e 411, 
respectivamente; ramais: 9775 e 9759, respectivamente, e-mails: jricardo@lenep.uenf.br 
e valdo@lenep.uenf.br, respectivamente. 
 
- Avaliação: 2 provas (P1 e P2) + listas de exercícios (média ML) 
 
- Média final: MF = (4.P1+5.P2+1.ML)/10 
 
- Ementa do curso: 
 
 CAPÍTULO 1 – CONCEITOS GERAIS 
 
 CAPITULO 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
 CAPITULO 3 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
 CAPITULO 4 – ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 
 CAPITULO 5 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
 CAPITULO 6 – ESCOAMENTOS EM CONDUTOS E SUAS APLICAÇÕES 
 
 CAPITULO 7 – SEMELHANÇA E TEORIA DOS MODELOS 
 
- Bibliografia básica: 
 
 1. Brunetti, F.: Tópicos de Mecânica dos Fluidos. Editora USP, 1974, 235p. 
 
 2. Munson, B. R.; Young, D. F.; Okiishi: Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Vols. 1 e 2. 
Editora Edgard Blucher Ltda., 1994, 412p. 
 
 3. Potter, M. C.; Wiggert, D. C. Mecânica dos Fluidos. Editora Thompson. 2004, 689p. 
 
 4. Shames, I. H.: Mecânica dos Fluidos, Vol. 1. Editora Edgard Blucher Ltda. 1973, 192p. 
 
 5. Azevedo Netto, J. M.: Manual de Hidráulica. Editora Edgard Blucher Ltda., 1977, 333p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 7
CAPÍTULO 1 
 
CONCEITOS GERAIS 
 
1.1 Definição e aplicações da Mecânica dos Fluidos 
 
�� Definição: ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos, bem como as leis que regem 
tal comportamento. 
 
�� Aplicações: engenharias em geral, para descrever: 
 
 - escoamento de fluidos em canais e condutos (engenharia de petróleo); 
 - processos de lubrificação; 
- esforços em barragens; 
- corpos flutuantes; 
- processos de ventilação, etc. 
 
1.2 Conceitos Fundamentais 
 
�� Fluido: substância que não resiste a forças tangenciais, isto é, deforma-se continuamente sob a 
ação de forças tangenciais quaisquer. Exemplos: gases e líquidos. 
 
�� Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida possuem a 
mesma velocidade dos pontos desta superfície com os quais estão em 
contato”. 
 
 
�� Diferença entre sólidos e fluidos: os sólidos deformam-se limitadamente sob a ação de forças 
tangenciais reduzidas, enquanto os fluidos deformam-se 
continuamente. 
 
1.3 Tensão de Cisalhamento – Lei de Newton da Viscosidade (LNV) 
 
��Tensão média de cisalhamento (τ): 
 
Razão entre o módulo da componente tangencial de uma força F aplicada a uma superfície e a sua 
área A sólida (figura abaixo). 
 
A
tF
�
=τ . (1.1) 
 8
 
 
 - Unidades: N/m2 (Sistema Internacional) ou kgf/m2 (Sistema MKS). 
 
 Observação: 1 kgf ≅ 10 N. 
 
 - Exemplo: escoamento de fluido no conduto da figura abaixo. 
 
 
 
�� Lei de Newton da Viscosidade (LNV): 
 
“Se duas placas sólidas limitam um fluido qualquer, ao se aplicar uma força constante na placa 
superior (única placa móvel) ter-se-á fluidos deslocando-se entre velocidades nula (na placa inferior) 
e finita (na placa superior), tornando-se constantes num determinado instante”. 
 
 - Ilustração da LNV: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
- Variáveis: 
 
 Ft: força aplicada inicialmente à placa superior; 
 Ft: força de reação do fluido contra a placa superior; 
 τ: tensão de cisalhamento gerada pelo fluido contra a placa superior; 
 ε: distância entre as placas; 
 L: comprimento das placas. 
 
- Diagnóstico do arranjo acima: 
 
Aplicação de Ft constante → fluido em movimento (aumento de v) → geração de atrito interno 
entre as camadas de fluido e contra a placa superior → balanço de forças e aceleração nula 
num dado instante → velocidade do fluido constante num dado instante. 
 
- Bases físicas da LNV: 
 
 1) Princípio da Aderência para o intervalo de velocidades na camada de fluido; 
 
 2) Geração de atrito entre as diversas camadas de fluido entre as duas placas devido a cada 
camada deslizar-se sobre a outra com uma certa velocidade relativa, produzindo tensões de 
cisalhamento e uma força interna que balanceará a força externa Ft num determinado 
instante, dada por –Ft = - τ . A. 
 
 - Conseqüência da LNV: a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente da velocidade 
entre as camadas de fluido, ou seja: 
 
dy
dv
∝τ .(1.2) 
 
 - Fluidos Newtonianos: todos aqueles que satisfazem a LNV. Exemplos: água, ar e a maioria dos 
óleos. 
 
 Observação: devido ao foco do curso ser o petróleo, serão estudados somente os fluidos 
Newtonianos nesta apostila. 
 
 
 - Ilustração gráfica da tensão de cisalhamento como função da taxa de deformação por 
cisalhamento para algumas substâncias (figura): 
 
 10
 
 
1.4 Viscosidade Absoluta ou Dinâmica (µµµµ) 
 
�� Definição 1: parâmetro físico que satisfaz a LNV, de modo que: 
 
 
dy
dv
.µτ = (constante de proporcionalidade da LNV). (1.3) 
 
�� Definição 2: propriedade dos fluidos que permite equilibrar forças tangenciais externas quando os 
fluidos estiverem em movimento. É característica de cada fluido e das suas 
condições físicas (temperatura, pressão, etc), e é originada por coesão e choques 
entre as moléculas. 
 
 
�� Unidades: smN
vA
yF
v
y /2.]].[[
]].[[
][
][].[][ −=== τµ (SI) ou smkgf /2. − (Sistema MKS). 
 
�� Ilustração gráfica da viscosidade dinâmica para alguns materiais (figura): 
 
 
Pergunta: Por quê a viscosidade dos líquidos diminui com o aumento da temperatura, enquanto a 
viscosidade dos gases aumenta? 
 
 11
 
 
�� Equações empíricas da viscosidade: 
 
 - Equação de Sutherland para os gases: 
sT
TcT
+
=
2/3
.)(µ , onde c e s são constantes empíricas, e 
T é a temperatura (K). 
 
 - Equação de Andrade para os líquidos: TbedT /.)( =µ , onde b e d são constantes empíricas, e 
T é a temperatura (K). 
 
 
 Observação: as constantes c, s, d e b podem ser obtidas conhecendo a viscosidade para dois 
valores de temperatura. 
 
1.5 Simplificação Prática 
 
Para distâncias muito pequenas entre as placas ( L<<ε ), a velocidade v varia quase linearmente 
com a altura y do fluido, de modo que pode-se fazer: 
 
ε
ov
dy
dv
= . (1.4) 
 
Logo, a LNV pode ser reescrita como: 
 
 12
ε
µµτ ov
dy
dv
== . (1.5) 
 
1.6 Peso Específico (γγγγ) 
 
�� Definição: peso do fluido por unidade de volume, isto é: 
 
V
G
=γ , (1.6) 
 
 onde G é o peso do fluido e V é o volume ocupado pelo fluido. 
 
��Unidades: N/m3 (SI) e kgf/m3 (MKS). 
 
��Valores p/ algumas substâncias (tabela abaixo): 
 
MATERIAL T (°C) γ (kgf/m3) 
Ar atmosférico 15 1,23 
Água 15,6 1000 
Óleo SAE 15,6 912 
Mercúrio 20 13600 
 
 1.7 Massa Específica (ρρρρ) 
 
�� Definição: massa de fluido contida na unidade de volume, isto é, isto é: 
 
V
m
=ρ , (1.7) 
 
 onde m é a massa do fluido e V é o volume ocupado pelo fluido. 
 
�� Unidades: kg/m3 (SI), kgf.s2 /m3 ou utm/m3 (MKS). 
 
Observação: 1 utm = 1 kgf.s2/m. 
 
�� Valores p/ algumas substâncias (tabela abaixo): 
 
MATERIAL T (°C) ρ (utm/m3) 
Ar atmosférico 15 0,123 
Água 15,6 100 
Óleo SAE 15,6 91,2 
Mercúrio 20 1360 
 
�� Relação entre a massa específica e o peso específico: 
 
 Dividindo-se o peso específico pela massa específica, ter-se-á que: 
 13
g
m
G
V
m
V
G
===
ρ
γ
, ou g.ργ = . (1.8) 
 
 1.8 Peso Específico Relativo (γγγγr) e Densidade (SG) 
 
�� Peso específico relativo: razão entre o peso específico de um fluido (γ) e o peso específico da 
água (γa). É dado por: 
 
a
r γ
γγ = . (1.9) 
 
�� Densidade: razão entre a massa específica de um fluido (ρ) e a massa específica da água (ρa). É 
dada por: 
 
a
SG
ρ
ρ
= . (1.10) 
 
 Observação: a densidade também é chamada de specific gravity (gs) ou densidade específica, e é 
numericamente igual ao peso específico relativo. 
 
 Exemplo: Se 6 m3 de óleo pesam 47 KN, calcule: (a) o peso específico do óleo, (b) a massa 
específica do óleo, e (c) a gravidade específica e o peso específico relativo do óleo. 
 
 Resolução: 
 
 (a) 3/7830
6
47000
mN
V
G
o ===γ . 
 
 (b) 3/783
10
7830
mkg
g
o
o ===
γρ . 
 
 (c) 78,0410
7830
===
a
o
sg ρ
ρ
 , e 78,0== sg
n
rγ . 
 
 1.9 Viscosidade Cinemática (νννν) 
 
��Definição: razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido. É dada por: 
 
ρ
µ
ν = . (1.11) 
 14
��Unidades: m2/s ou stoke (SI e MKS), sendo que 1 stoke = 10-4 m2/s. 
 
Observação: a denominação “cinemática” é devida à presença somente de unidades cinemáticas 
na viscosidade (comprimento e tempo). 
 
 1.10 Fluido ideal 
 
��Definição: todo fluido que possui viscosidade nula (não viscoso, invíscido). Conseqüentemente, 
tal fluido não possui atrito interno e é incapaz de equilibrar forças externas. Na 
natureza, os fluidos são reais, isto é, têm viscosidade e atrito, por menor que sejam. 
Além disto, os líquidos são bem mais viscosos que os gases. Portanto, fluido ideal é 
um fluido fictício e será empregado neste curso como uma aproximação para fluidos 
de viscosidades desprezíveis. 
 
 1.11 Fluido incompressível 
 
��Definição: todo fluido cujo volume, e conseqüentemente sua massa específica, não variam com a 
pressão (V e ρ constantes). Exemplos: líquidos, e gases com pequenas variações de 
massa específica (< 3%). 
 
 1.12 Equações de Estado dos Gases 
 
�� Gás perfeito: todo gás que satisfaz a equação de estado, dada por: 
 
RTp ρ= , (1.12) 
 
 onde p é a pressão do gás (em N/m2 no SI), ρ é a massa específica do gás (em kg/m3 no SI), R é 
a constante do gás (J/kg.K no SI) e T é a sua temperatura absoluta (em K). 
 
�� Casos especiais envolvendo gases: 
 
Como R é constante para cada tipo de gás, sabe-se que tecons
RT
p
tan=
ρ
 e ter-se-á ainda os 
seguintes processos físicos possíveis: 
 
1) Processo isotérmico → temperatura constante 
 
tecons
pp
tan
2
2
1
1
==
ρρ
 
 
2) Processo isobárico → pressão constante 
 
teconsTT tan2211 == ρρ 
 
 
 
 15
3) Processo isovolumétrico → volume constante 
 
tecons
T
p
T
p
tan
2
2
1
1
== 
 
4) Processo adiabático → não envolve trocas de calor com o meio externo. 
 
tecons
K
p
K
p
tan
2
2
1
1
==
ρρ
, 
 
 onde K é a razão entre os calores específicos do gás à pressão constante e a volume constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 1 
 
1) A massa específica de um fluido é 120 utm/m3. Determinar: (a) o peso específico e (b) o peso 
específico relativo do fluido em unidades do sistema MKS. Dado g = 10 m/s2 . 
 
R: (a) 1176 kgf/m3; (b) 1,176 
 
2) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m2/s e o seu peso específico relativo é igual a 
0,85. Determinar a viscosidade dinâmica do óleo em unidades MKS. Dado g = 10 m/s2. 
 
R: 2,38 kgf.s/m2 
 
3) A viscosidade dinâmica de um óleo é 5.10-4 kgf.s/m2 e o seu peso específico relativo é 0,82. 
Determinar a viscosidade cinemática: (a) em m2/s, (b) em Stokes. Dado g = 10 m/s2. 
 
R: (a) 6.1 .10-6 m2/s; (b) 6.1.10-2 stokes 
 
4) O peso de 3.10-3 m3 de um fluido é iguala 2,4 kgf. Se a viscosidade cinemática do fluido é de 
10-5 m2/s, determine a sua viscosidade dinâmica em unidades MKS. Dado g = 10 m/s2. 
 
R: 8.10-4 kgf.s/m2 
 
5) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 mm. A placa superior move-se com 
velocidade de 4 m/s, enquanto a placa inferior está fixa. Se o espaço entre as duas placas for 
preenchido com um óleo de viscosidade cinemática 0,1 stokes e massa específica de 85 
utm/m3, determine a tensão de cisalhamento que agirá sobre o óleo em unidades MKS. 
 
 
 
 R: 1,7 kgf/m2 
 
6) Uma placa quadrada de 1 m de lado e 2 kgf de peso desliza sobre um plano inclinado num 
ângulo de 30 graus e sem atrito, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é 
constante e igual a 2 m/s. Se a espessura da película de óleo for igual a 2 mm, determine a 
sua viscosidade dinâmica em unidades MKS. 
 
 
 R: 10-3 kgf.s/m2 
 17
7) Um eixo cilíndrico vertical de diâmetro 10 cm gira no interior de um mancal de diâmetro 
10,005 cm. A folga entre o pistão e o mancal é preenchida com óleo de viscosidade dinâmica 
10-3 kgf.s/m2. Se o mancal tem comprimento de 25 cm e o cilindro girar com uma rotação de 
1500 rpm, determine o momento resistente à rotação em unidades MKS. 
 
 
 
R: Mr = 1,23 kgf.m 
 
8) Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante de 10/pi m/s. Entre o pistão e 
o cilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática 10-3 m2/s e peso específico 
900 kgf/m3. Sendo o diâmetro do pistão é de 10 cm, seu comprimento é de 5 cm e o diâmetro 
do cilindro é de 10,2 cm, determinar o peso do pistão em unidades MKS. Dado g = 10 m/s2. 
 
 
 
R: 4,5 kgf 
 
9) São dados dois planos paralelos à distância de 0,5 cm. O espaço entre os dois é preenchido 
com um fluido de viscosidade dinâmica igual a 10-5 kgf.s/m2. Determine a força necessária 
para arrastar uma chapa de espessura 0,3 cm colocada a uma igual distância dos dois planos, 
de área 100 cm2 e movendo-se a uma velocidade de 0,15 m/s. 
 
 
 
 R: 3.10-5 kgf 
 
 
 18
10) Considere o diagrama de velocidades indicado na figura abaixo para um escoamento 
qualquer, em que a parábola tem seu vértice a 10 cm do fundo. Sabendo-se que a viscosidade 
dinâmica do fluido é de 400 centipoises, calcule o gradiente de velocidade e a tensão de 
cisalhamento nas posições: (a) y = 0, (b) y = 5 cm, e (c) y = 10 cm. 
 
 
 
 R: (a) 50 s-1 e 2 kgf/m2; (b) 25 s-1 e 1 kgf/m2; (c) 0 e 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19
CAPÍTULO 2 
 
ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
2.1 Pressão 
 
��Definição: Se nF
�
é a força normal atuando sobre uma superfície de área A e nFd
�
 é a força 
normal que atua num elemento de área dA (figura abaixo), então define-se a pressão 
no elemento dA como: 
 
 
 
 
dA
ndFp = . (2.1) 
 
 Se a pressão for uniforme na área A, ter-se-á que: 
 
médpA
nF
dA
ndFp === , (2.2) 
 
onde pméd é a pressão média sobre toda a área A. 
 
Observação: a força tangencial Ft origina a tensão de cisalhamento τ, enquanto a força normal Fn 
origina a pressão p, de modo que: 
 
dA
tdF
=τ (área dA), 
A
tF
=τ (área A), 
dA
ndFp = (área dA) e
A
Fnp = (área A). (2.3) 
 
�� Interpretação de Força x Pressão: 
 
- Exemplo: dado o arranjo abaixo, o que se pode dizer a respeito das pressões nos êmbolos 
móveis 1 e 2? 
 
 
 
 20
 
 
Resolução: As pressões em 1 e 2 são dadas, respectivamente, por: 
 
1
1
1 == A
nFp 2/ cmkgf e 2
2
2 == A
nFp 2/ cmkgf . 
 
Logo, p2 > p1p,ois a pressão é inversamente proporcional a área da superfície do êmbolo e 
ainda a força Fn concentrar-se-á sobre uma área menor no tanque 2. 
 
Observação: se o fluido for incompressível (compressível), os êmbolos 1 e 2 não se movem 
(movem-se) no arranjo acima. 
 
2.2 Teorema de Stevin 
 
��Definição: “A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto 
do peso específico do fluido pela diferença de cotas (alturas) entre os pontos”. 
 
��Demonstração: Seja o recipiente da figura abaixo cheio de um fluido qualquer e dois pontos 
genéricos M e N ligados por um cilindro imaginário constituído pelo próprio 
fluido, de seção A.e comprimento l. 
 
Variáveis: 
 
p: pressão 
z: altura 
h: diferença de cotas entre os pontos M e N (h = zM – zN) 
α: ângulo de inclinação do cilindro 
 21
 Diagrama de forças externas atuando no cilindro de fluido em repouso: 
 
 
 
sendo que: 
 
FM = pM . A é a força de pressão na superfície lateral na altura do ponto M; 
 
FN = PN . A é a força de pressão na superfície lateral na altura do ponto N; 
 
G = m.g = γ.A.l é o peso do cilindro. 
 
Aplicando a segunda lei de Newton ao longo do cilindro em repouso, ter-se-á que: 
 
0sen. =−− αGMFNF . (2.4) 
 
Substituindo as definições das forças na expressão acima, resulta: 
 
).(sen.. NzMzlMpNp −==− γαγ . (Teorema de Stevin) (2.5) 
 
Se ∆p é a diferença de pressão entre os pontos N e M ( MpNpp −=∆ ), pode-se dizer ainda 
que: 
 
hp .γ=∆ . (2.6) 
 
�� Conseqüências do Teorema de Stevin: 
 
1) Na diferença de pressão entre dois pontos, o que interessa é a diferença de cotas, pois a pressão 
dos pontos num mesmo nível é a mesma para um mesmo fluido em repouso; 
 
2) O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão, pela mesma razão do item 1. 
 
 
 
 
 
 
 22
Exemplo: Considere o recipiente com os seis pontos abaixo. 
 
 
 
Pelo Teorema de Stevin, ter-se-á que: 
 
p1 = p2 = p3 e p4 = p5 = p6 
 
 
�� Pressão em torno de um fluido em repouso: 
 
- Definição: “A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção“. 
 
 
 
- Explicação física: Se o fluido está em repouso, todos os pontos do fluido também deverão estar. Se a 
pressão fosse diferente em alguma direção, ela causaria um desequilíbrio de 
forças no referido ponto, fazendo com que este se desloca-se; portanto, 
contrariando a condição de repouso estabelecida. 
 
2.3 Lei de Pascal 
 
��Definição: “A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a 
todos os pontos do fluido”. 
 
��Exemplos: 
 
1) Tanque simples 
 
 
 
 23
2) Prensa hidráulica 
 
 
 
No arranjo acima são dadas as seguintes informações: A1 = 10 cm2, A2 = 100 cm2 e F1 = 20 kgf. 
Determine a força do fluido sobre o êmbolo 2. 
 
Resolução: 
 
No início: sistema sem aplicação da força F1 → p1 ≅ p2 ≅ 0; 
 
No fim: aplicação da força F1 e sistema novamente em repouso, com o fluido podendo ter sido 
deslocado ou não (depende de F1 e das forças de atrito). 
 
Pela Lei de Pascal, tem-se que: 
 
21 pp = ou 
2
2
1
1
A
F
A
F
= 
 
 de modo que: 
 
kgfF
A
A
F ⋅=== 20020.
10
100
1.
1
22 
 
Logo, a força F1 não somente é transmitida pelo êmbolo 1 até o êmbolo 2 ao longo do fluido, 
mas também ampliada em um fator 10 devido à força F2 ser diretamente proporcional a área do 
êmbolo 2 (F2 = p2.A2). Este é o princípio do funcionamento das prensas hidráulicas. 
 
2.4 Carga de Pressão 
 
�� Consideração inicial: 
 
 Seja o tanqueda figura abaixo cheio de fluido, e dois pontos M e N quaisquer. 
 
 24
 
 
 Aplicando o Teorema de Stevin entre os pontos M e N, ter-se-á que: 
 
).( NzMzMpNp −=− γ ou hp .γ=∆ , 
 
 onde MpNpp −=∆ e h = zM – zN. 
 
 A expressão obtida acima mostra uma relação constante entre a variação da pressão e a diferença de 
cotas para um mesmo fluido. 
 
��Definição 1: Altura ou profundidade h, que multiplicada pelo peso específico do fluido, reproduz a 
pressão num certo ponto do mesmo 
 
 Pelo Teorema de Stevin, ter-se-á que: 
 
phph =�= γ
γ
. (h > 0) (2.7) 
 
 Exemplo: Tanque cheio de fluido. 
 
 
 
 As pressões nos pontos A e B são dadas por AhAp .γ= e BhBp .γ= , respectivamente, de modo 
que as cargas de pressão em A e B resultam: 
 
γ
ApAh = (no ponto A) e γ
BpBh = (no ponto B). 
 
��Definição 2: Altura a qual pode ser elevada uma coluna de fluido por uma pressão p. 
 
 Exemplo: Tanque pressurizado de diâmetro reduzido. 
 
 25
 
 
 
 A carga de pressão é definida por: 
 
γ
ph = . (2.8) 
 
Observação: h independe do formato do recipiente e da área da seção do orifício, por conseqüência 
do Teorema de Stevin. 
 
2.5 Escalas de Pressão 
 
�� Pressão absoluta: pressão medida em relação ao vácuo ou “zero absoluto”. É sempre positiva, 
sendo nula apenas para o vácuo (nenhuma molécula existente). É a pressão total do material, 
denotada por pabs; 
 
�� Pressão efetiva: pressão medida em relação à pressão atmosférica, que é tomada como 
referência. É a mais importante em Mecânica dos Fluidos, pois os aparelhos de medida de 
pressão (manômetros) registram zero quando abertos à atmosfera, ou seja, medem a diferença 
de pressão entre os fluidos e o meio. A pressão efetiva é denotada por pef e pode ser positiva, 
nula ou negativa (depressão); 
 
�� Pressão atmosférica: pressão da atmosfera terrestre. É variável com a altura e com o tempo, 
dependendo das condições meteorológicas, e é denotada por patm. 
 
 Pelas definições acima, tem-se a seguinte relação entre as escalas de pressão abaixo: 
 
atmpabspefp −= . (2.9) 
 
�� Ilustração gráfica das escalas de pressão para 3 pontos de fluido quaisquer: 
 
 26
 
 
�� Convenções em Mecânica dos Fluidos: 
 
1) Uso da escala absoluta de pressão somente em problemas envolvendo a lei dos gases 
(p = ρ.R.T, etc.); 
 
2) Uso geral da escala efetiva, fazendo pef = p. 
 
�� Unidades de pressão: 
 
(a) Convencionais 
 
N/m2 (SI), kgf/m2 ou kgf/cm2 (MKS), Pascal (Pa), atm, dina/m2, psi (pounch square inch – 
libra por polegada quadrada), etc. 
 
(b) Indiretas (representadas por meio de cargas de pressão) 
 
De h = p/γ, a pressão é indicada pelo tamanho da coluna de fluido levantada, quando 
submetido a uma pressão p. 
 
Exemplos: 
 
1) mmHg (milímetros de Mercúrio) → a pressão de 760 mmHg é aquela que levanta uma 
coluna de Mercúrio (Hg) à altura de 760 mm. Equivalentemente, tem-se que: 
 
 
 
2/1033076,0.3/13600. mkgfmmkgfhHgp === γ 
 
 
 
 
 
 
 
 27
2) mca (metros de coluna de água) → pressão necessária para levantar uma coluna de água a 
determinada altura (em metros). Equivalentemente, tem-se que: 
 
 
 hOHp .
2
γ= 
 
 
 
 
 
3) outras unidades similares: mc óleo, mc ar, etc. 
 
�� Relações entre as unidades de pressão: 
 
 
 Como 1 kgf ≅ 10 N, 1 N = 105 dina, 1 Pa = 1 N/m2 e 1 bar = 105 Pa, tem-se que: 
 
1 atm = 10330 kgf/m2 = 103300 N/m2 = 103300 Pa = 1,033 bar = 1,033.1010 dina/m2 = 14,7 psi = 
760 mmHg = 10,33 mca. 
 
 Observação: As relações acima foram obtidas para uma atmosfera padrão. 
 
 Exemplo: Determine o valor da pressão de 340 mmHg em unidades kgf/cm2 e psi na escala efetiva, 
e em unidades kgf/m2 e atm na escala absoluta. Dado: patm = 10330 kgf/m2. 
 
 Resolução: Aplicando regra de 3 simples para a escala efetiva, ter-se-á: 
 
 1) 760 mmHg __________ 1,033 kgf/cm2 
 340 mmHg __________ p1 
 
 
 p1 = 0,461 kgf/cm2 
 
 2) 760 mmHg __________ 14,7 psi 
 340 mmHg __________ p2 
 
 
 p2 = 6,6 psi 
 
 3) 760 mmHg __________ 10330 kgf/m2 
 340 mmHg __________ pabs3 – patm 
 
 
 pabs3 = 14940 kgf/m2 
 
 4) 760 mmHg __________ 1 atm 
 340 mmHg __________ pabs4 – patm 
 
 
 pabs4 = 1,45 atm 
 
 28
2.6 Instrumentos de Medidas de Pressão 
 
1) Barômetro 
 
- Função: medir pressão atmosférica; 
 
- Procedimento: vira-se um tubo cheio de líquido (aberto em sua extremidade superior) dentro de um 
recipiente contendo o mesmo líquido; 
 
- Ilustração: 
 
 
 
 h: altura do fluido deslocado e em equilíbrio 
 
- Cálculo da pressão atmosférica: 
 
Aplicando o Teorema de Stevin entre os pontos O (superfície livre) e B (vácuo), tem-se: 
 
 hozBzBpop .).( γγ =−=− (para a escala efetiva) 
 
Como atmpabsOpop −= e atmpatmpvácuoabspvácuop −=−= . , resulta: 
 
habsOphatmpatmpabsOp .. γγ =�=+− 
 
Pelo Teorema de Stevin, sabe-se que pO = pA (fluido em repouso e a mesma cota) e ainda que 
pA = 0 (fluido submetido à pressão atmosférica no ponto A), de modo que pO = 0 e pabsO = patm. 
 
Logo, a pressão atmosférica será dada por: 
 
hatmp .γ= . (2.10) 
 
Exemplo: para um deslocamento de 760 mmHg, a pressão atmosférica equivalente é dada por 
1033013600.310.760. =−== hHgatmp γ kgf/m2. 
 
 
 
 29
2) Manômetro Metálico ou Manômetro de Bourdon 
 
- Função: medir a pressão do fluido ou diferenças de pressão entre o meio interno e o meio externo 
ao fluido; 
 
- Procedimento: conecta-se o tubo metálico do manômetro ao reservatório, de modo que o fluido 
escoa até o tubo e este se deforma quando submetido à pressão p do fluido. Tal 
deformação é registrada pelo medidor e convertida em pressão; 
 
- Ilustração: tubo metálico ligado a um reservatório contendo fluido 
 
 
 
 Observação: se a parte externa do manômetro estiver submetida à pressão atmosférica, ter-se-á a 
medição da pressão efetiva, isto é, pmanômetro = p – patm 
 
3) Coluna Piezométrica ou Piezômetro 
 
- Função: medir diretamente a carga de pressão do reservatório por meio de um tubo de vidro. 
 
- Procedimento: libera-se o tubo de vidro e mede-se a carga de pressão produzida pela pressão pA do 
reservatório (elevação da coluna do fluido). 
 
- Ilustração: tubo de vidro ligado a um reservatório, e aberto. 
 
 
 
- Cálculo da carga de pressão: 
 
 Aplicando o Teorema de Stevin entre os pontos A (reservatório) e O (superfície livre), ter-se-á: 
 
 30
 1.1).(1 hAzozopAp γγ =−=− . (escala efetiva) (2.11) 
 
 Como o fluido no ponto O está submetido a pressão atmosférica, então pO = 0 e 1.1 hAp γ= . 
 
 Exemplos: 
 
1) Para fluido água ( 3/10001 mkgf=γ ) e uma pressão de 10000 kgf/m2 no reservatório (em 
A), ter-se-á uma carga de pressão dada por: 
 
 mAph 101/1 == γ (muito alta → uso inviabilizado) 
 
2) para fluido Mercúrio ( 3/136001 mkgf=γ ) e a mesma pressão anterior no reservatório (em 
A), ter-se-á uma carga de pressão dada por: 
 
 mAph 735,01/1 == γ (uso viabilizado) 
 
-Limitações do Piezômetro: 
 
1)Cargas de pressão muito elevadas para pressões elevadas ou líquidos de baixo peso específico 
(líquidos leves); 
 
2) Inútil para os gases, pois estes escapam do reservatório sem formar a coluna h1. 
 
4) Manômetro com tubo em U 
 
- Função: medir cargas de pressão de fluidos quaisquer. 
 
- Procedimento: libera-se o tubo de vidro, de modo que o fluido de peso específico γ1 deslocar-se-á 
sobre o fluido manométrico de peso específico γM. Por sua vez, o fluido 
manométrico deslocar-se-á de uma altura h1. 
 
- Ilustração: tubo em forma de “U” ligado a um reservatório, e aberto. 
 
 
 
 
 31
 
- Cálculo da carga de pressão: 
 
Aplicando o Teorema de Stevin para a escala efetiva, ter-se-á que: 
 
1.1)21.(112 hzzpp γγ =−=− , (entre os pontos 1 e 2) ( 2.12 ) 
 
e 2.2)3.(23 hzOzOpp γγ =−=− . (entre os pontos 3 e O) (2.13 ) 
 
Fazendo (2.13) – (2.12), resulta: 
 
1.12.2123 hhppOpp γγ −=+−− . 
 
Mas pO = 0 (fluido submetido a pressão atmosférica), p2 = p3 (fluido em repouso e a uma mesma 
cota) e p1 = pA (fluido em repouso e a uma mesma cota), de modo que a equação acima torna-se: 
 
1.12.2 hhAp γγ −= . (2.14) 
 
- Vantagens do Manômetro com tubo em U: 
 
1) O uso de um fluido manométrico pesado (geralmente Mercúrio ou água) permite obter 
cargas de pressão razoáveis para leitura; 
 
2) Possibilidade de medir pressões efetivas negativas (compressão de fluidos). 
 32
5) Manômetro diferencial em U – Equação Manométrica 
 
- Função: medir pressão ou diferenças de pressão entre fluidos em reservatórios. 
 
- Ilustração: manômetro com tubo em U ligado a dois reservatórios fechados (diferencial). 
 
- Exemplos: 
 
 
 
- Equação Manométrica: expressão que permite, por meio de manômetros, determinar a pressão de 
um reservatório ou a diferença de pressão entre 2 reservatórios. 
 
 Exemplo: Seja o manômetro diferencial em U abaixo: 
 
 
Aplicando o Teorema de Stevin para a escala efetiva, ter-se-á que: 
 
 )21.()21.(12 hhAzzApp −=−=− γγ , (entre os pontos 1 e 2) (2.15) 
 
)23.()24.(42 hhMzzMpp −=−=− γγ , (entre os pontos 2 e 4) (2.16) 
 
e )34.()45.(54 hhBzzBpp −=−=− γγ . (entre os pontos 4 e 5) (2.17) 
 
Fazendo (2.15) – (2.16) – (2.17) , resulta: 
 
)34.()23.()21.(51 hhBhhMhhApp −−−−−=+− γγγ . 
 
 33
Como pA = p1, p2 = p3 e p5 = pB (fluido em repouso e a mesma cota), ter-se-á, para a expressão 
acima, que: 
 
)34.()23.()21.( hhBhhMhhAApBp −−−−−+= γγγ . (equação manométrica) (2.18) 
 
(A pressão em B é igual à pressão em A adicionada ou subtraída dos produtos do peso específico de 
cada fluido pela sua respectiva altura da coluna). 
 
Observações: 1) deve-se ter obrigatoriamente temperatura constante do fluido, e tensão superficial 
desprezível; 
 2) os efeitos da curvatura do tubo (capilaridades) se cancelam. 
 
Regra Prática: Partindo-se do lado esquerdo do manômetro, soma-se à pressão pA as pressões das 
colunas descendentes e subtrai-se as pressões das colunas ascendentes. Esta regra 
também é valida para manômetros não-diferenciais (sem saída para a atmosfera). 
 
 Exemplos de Aplicação: 
 
1) Dado o esquema na figura abaixo. Determine: (a) a leitura do manômetro metálico (pM), (b) a força 
que age sobre o topo do reservatório. 
 
 
 Resolução: 
 
(a) Escrevendo a equação manométrica para o arranjo acima, teremos: 
 
�30sen..... LaahaohoarharMpop γγγγ −+++= 
 
Como po = 0 (fluido à pressão atmosférica) e arγ << oγ e arγ << aγ , então o termo 
arhar .γ pode ser desprezado, de modo que: 
 
2/2030sen.... mkgfLaahaohoMp =+−−= �γγγ . 
 
 
 34
(b) De kgftopoAtopoptopoFtopoAtopoFtopop 200./ ==�= 
 
 
2) Na figura abaixo tem-se um tanque de gasolina subterrâneo que sofreu uma infiltração de água. 
Determine: (a) a pressão na interface gasolina-água, em Pa; (b) a pressão no fundo do tanque, em 
Pa. Dado: dgas = 0,68, 3/1000 mkgfa =γ , g = 10 m/s2. 
 
 Resolução: 
 
(a) Aplicando o Teorema de Stevin entre a interface gasolina-água e a interface gasolina-atmosfera, 
ter-se-á que: 
 
1.).( hgasizozgasopip γγ =−=− ou 
 
1.hgasopip γ+= 
 
 Como po = 0 (fluido à pressão atmosférica) e agasagasgasd γγρρ // == , então: 
 
kPamkgfhgasdaopip 342/34001.. ==+= γ 
 
 
(b) Aplicando o Teorema de Stevin entre o fundo do tanque e a interface gasolina-água, ter-se-á que: 
 
2.).( hafzizaipfp γγ =−=− ou 
 
kPamkgfhaipfp 442/44002. ==+= γ 
 
 
 
 
 
 
 
 35
3) No manômetro diferencial da figura abaixo, o fluido A é água, o fluido B é óleo, e o fluido 
manométrico é Mercúrio. Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, calcule a 
diferença de pressão entre A e B. Dados: 3/1000 mkgfa =γ , 3/800 mkgfo =γ e 
3/13600 mkgfHg =γ . 
 
 
 
Resolução: 
 
Escrevendo a equação manométrica para o arranjo acima, teremos: 
 
BphohHghaAp =−++ 3.2.1. γγγ , ou ainda: 
 
kPamkgfhohHghaBpAp 1,1322/132103.2.1. =−=+−−=− γγγ 
 
2.7 Forças em Superfícies Submersas 
 
�� Introdução: estudo das relações existentes entre as forças de pressão exercidas por fluidos e as 
forças externas que sustentam estruturas hidráulicas em contato com os fluidos; 
 
�� Aplicações Práticas: tanques de armazenamento de fluidos, navios, barragens, etc; 
 
�� Princípios Básicos: 
 
1) Se um fluido estiver em repouso, a força resultante das pressões produzida pelo fluido 
contra uma superfície horizontal submersa é normal a esta superfície (não há forças 
tangenciais); 
2) Se o fluido for incompressível, a pressão varia linearmente com a profundidade 
(conseqüência do Teorema de Stevin); 
3) Se a pressão atmosférica atua na superfície livre do fluido e na superfície inferior do tanque, 
a força resultante na superfície inferior é devida somente ao fluido; 
4) Para superfícies horizontais submersas, a distribuição de pressão é uniforme para fluido em 
repouso, seja ele líquido ou gás, e a força resultante das pressões atua no centróide da 
superfície submersa. 
 
 Centróide (C): média de todas as posições da superfície submersa, com as coordenadas dadas 
por: 
 
 36
AdAA xCx /�= e AdAA yCy /�= . (2.19) 
 
5) Para superfícies verticais ou inclinadas submersas, a pressão aumenta linearmente com a 
profundidade, e a força resultante das pressões atua no centro das pressões. 
 
Centro das Pressões (CP): ponto da superfície submersa representativo da resultante das forças 
de pressão do fluido. Situa-se próximo às regiões de maior pressão e tem coordenadas (xR, yR). 
 
 Observação: para os gases, a variação da pressão na vertical é muito pequena em virtude do 
seu peso específico ser muito reduzido (conseqüência do Teorema de Stevin). 
 
�� Cálculo das forças de pressão em superfícies planas: 
 
1) Superfície horizontal submersa 
 
Para a superfície de área A submersa da figura abaixo, ter-se-á: 
 
 
 
dApdFn .= , ou ainda que ApFn .= , pois p é constante (mesma cota). 
 
Aplicando o Teorema de Stevin entre ambas as superfícies acima, resulta: 
 
hopp .γ=− . 
 
Mas pO = 0 (fluido à pressão atmosférica), de modo que: 
 
AhnF ..γ= . (2.20) 
 
 Logo, se conhecemos a área de uma superfície horizontal submersa, sua profundidade e o 
peso específico do fluido, então podemos conhecer a força de pressão exercida pelo fluido 
sobre esta superfície. 
 
2) Superfície vertical submersa 
 
 - Caso mais geral: superfície inclinada submersa com formato arbitrário e plano.Seja a superfície plana de área A inclinada de formato arbitrário submersa da figura abaixo: 
 
 37
 
 
 Para este tipo de superfície (ampliada na ilustração à direita), ter-se-á que: 
 
dAhdApdF ... γ== ou �=�=
AA
R dAydAhF .sen... θγγ . 
 
Para uma superfície plana e um fluido em repouso a temperatura constante, sabemos que θ e γ 
são constantes, de modo que resulta: 
 
�=
A
dAyRF .sen. θγ 
 
Pela definição de centróide (C), AdAA yCy /�= e podemos reescrever a expressão acima 
como: 
 
AcyRF ..sen. θγ= ou AchRF ..γ= , (2.21) 
 
onde θsen.cych = é a profundidade do centróide da área A submersa. 
 
Portanto, se conhecemos a área de uma superfície inclinada submersa, a profundidade do seu 
centróide e o peso específico do fluido, então podemos conhecer a força de pressão exercida pelo 
fluido sobre esta superfície. 
 
 38
 
�� Ponto de aplicação da força FR: 
 
Pode ser obtido utilizando o Teorema dos Momentos. 
 
Teorema dos Momentos: “O momento da força resultante das pressões em relação à interseção O é 
igual à soma dos momentos das forças devidas à pressão”. 
 
Momento: RFrR
���
×=τ e ατ sen.. RFrR
���
= 
 
 
 
 
 
 
 
No presente caso, temos o seguinte arranjo para o eixo y: 
 
 
sendo que Rτ
�
 é o momento da força resultante RF
�
. Já a soma dos momentos de todas as forças 
de pressão produzidas por cada partícula de fluido pode ser definida pela expressão abaixo, tal que: 
 
 . 
 
Pelo Teorema dos Momentos, ter-se-á que: 
 
�=
A
ydFRFRy . 
 
Substituindo AcyRF .sen.. θγ= e dAydF .sen.. θγ= na expressão acima, resulta: 
 
Acy
A
dAy
Ry
.
.
2
�
= 
 39
Pode-se dizer então que: 
 
Acy
xI
Ry
.
= , 
 
onde �=
A
dAyxI .
2
 é o momento de inércia da área A da superfície submersa em relação ao eixo x 
(em m4). 
 
 
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner) no domínio da área, sabe-se que: 
 
2
. cyAxcIxI += , 
 
onde Ixc é o momento de inércia da área A em relação ao seu eixo de simetria e yc é a distância entre 
o eixo x e o centróide da área A. 
 
Substituindo a definição do momento de inércia na expressão de yR, resulta: 
 
cyAcy
xcI
Ry +=
.
. (2.22) 
 
 Observações: 
1) Como 
Acy
xcI
.
> 0 � cyRy > e a força FR atua sempre abaixo do centróide; 
 2) Para grandes valores de �cy cyRy ≅ e a força FR atua muito próxima do 
centróide numa região de pressões elevadas. 
 
Analogamente, ter-se-á para o eixo x que: 
 
�=
A
xdFRFRx . (Teorema dos Momentos) 
 
Substituindo as expressões de dF e FR na expressão acima, resulta: 
 
Acy
xyI
Acy
A
dAyx
Rx
..
..
=
�
= , 
 
onde Ixy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y, dado por: 
 
 40
�=
A
dAyxxyI .. . 
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos, sabe-se que: 
 
cycxAxycIxyI ..+= , 
 
onde Ixyc é o produto de inércia em relação ao sistema de coordenadas ortogonal a xy passando 
através do centróide da área A. 
 
Substituindo a definição do produto de inércia na expressão de xR, resulta: 
 
cxAcy
xycI
Rx +=
.
, (2.23) 
 
sendo (xR, yR) as coordenadas do Centro das Pressões (CP). 
 
- Momentos de Inércia para alguns tipos de superfície: 
 
1) Retangular 
 
2) Circular 
 
3) Semicircular 
 
 
 
 
A = a.b 
Ixc = b.a3/12 
Iyc = a.b3/12 
Ixyc = 0 
 
A = pi.R2 
Ixc = pi.R4/4 
Ixyc = 0 
 
A = pi.R2 /2 
Ixc = 0,1098.R4 
Ixyc = 0 
 
 41
4) Triangular 
 
 
5) Quarto de circulo 
 
 
- Exemplos de Aplicação: 
 
1) Determine a magnitude e o ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre a 
superfície submersa ilustrada na figura abaixo. Dados: a = 3 m, b = 4 m, c = 2 m, γa = 103 
kgf/m3. 
 
 
 
Resolução: 
 
Para uma superfície vertical submersa, a magnitude da força resultante das pressões é dada por: 
 
AcyAchRF .sen.... θγγ == 
 
Pelo arranjo acima, ter-se-á que: 
 
2/piθ = , 1sen =θ , 42/ =+== bccych m, 0=cx e A = a.b=12 m2. 
A = a.b/2 
Ixc = b.a3/36 
Ixyc = b.a2.(b-2.d)/72 
 
A = pi.R2 /4 
Ixc = 0,05488.R4 
Ixyc = -0,01647.R4 
 
 42
Substituindo na expressão de FR, resulta: 
 
48000=RF kgf. 
 
O ponto de aplicação da força FR é dado por: 
 
cxAcy
xycI
Rx +=
.
 = 0 (superfície no plano x = 0) e cyAcy
xcI
Ry +=
.
. 
 
Como Ixc = a.b3/12 = 16 m4, ter-se-á que: 
 
33,4≅Ry m (próximo ao centróide) 
 
2) Determine a magnitude e o ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre o reforço 
triangular instalado no aquário da figura abaixo com profundidade de 3 m. Dados: xc = 0, 
yc = 2,7 m, γa = 103 kgf/m3. 
 
 
 
Resolução: 
 
Temos a seguinte visão lateral do aquário: 
 
 
 
A magnitude da força resultante sobre esta superfície vertical submersa é dada por: 
 
 
 43
AcyAchRF .sen.... θγγ == 
 
Do arranjo acima, tem-se: 2/piθ = , 1sen =θ , 7,2== cych m, 0=cx e A= a.b/2=0,405 m2. 
 
Substituindo na expressão de FR, resulta que: 
 
1094=RF kgf 
 
O ponto de aplicação da força FR é dado por: 
 
cxAcy
xycI
Rx +=
.
 = 0 (superfície no plano x = 0), e 
 
cyAcy
xcI
Ry +=
.
. 
 
Como Ixc = b.a3/36 ≅ 0,018 m4, então temos que: 
 
72,2≅Ry m (próximo ao centróide) 
 
�� Prisma das Pressões: 
 
- Introdução: Seja a distribuição de pressão ao longo do tanque abaixo de largura b, contendo um fluido 
incompressível (arranjo a da figura abaixo): 
 
 
 
A força resultante das pressões sobre a superfície retangular submersa (arranjo b da figura 
acima), será dada por: 
 
AhAchRF .2
... γγ == ou AmedpRF .= , 
 44
onde pmed é a média das pressões entre a superfície livre e o fundo do tanque à profundidade 
h, e A = b.h é a área da superfície submersa. 
 
- Definição: volume formado no espaço “pressão-área” (não-geométrico) pela superfície plana 
submersa e pela distribuição vertical da pressão. O espaço de pressão define a altura do 
prisma e constitui a sua seção transversal, enquanto o espaço de área constitui a base do 
prisma (arranjo b da figura acima). 
 
- Volume: é dado pela expressão: 
 
V = Área da base x Altura = (a.b).(γ.h/2) ≠ Volume geométrico do prisma 
 
 Como bahAhRF ..2
..
2
. γγ == � VRF = , isto é, o volume do prisma das pressões representa 
exatamente a força resultante das pressões na superfície vertical submersa que constitui a sua base. 
 
- Propriedade: a força FR deve passar exatamente pelo centróide do volume do prisma das pressões, 
localizado no eixo vertical de simetria da superfície submersa e a uma distância de h/3 
da base do prisma (figura abaixo). 
 
 
 
 Demonstração: De cyAcy
xcI
Ry +=
.
, Ixc = b.h3/12, 2/hcy = e A = b.h, resulta: 
 
 hh
hbh
hb
Ry 3
22/).).(2/(
)12/3.(
=+= (c.q.d.) 
 
- Prisma das pressões para superfícies totalmente submersas: 
 
 Seja o arranjo (a) da figura abaixo referente a uma superfície retangular totalmente submersa. Neste 
arranjo, também tem-se um prisma de pressão formado no espaço “pressão-área”; porém, com a seção 
transversal do prisma sendo agora constituída por um trapézio ao invés de um triângulo. 
 
 45
 
 
Procedimento para obter FR: decompor o prisma das pressões em duas porções, conforme o arranjo (b) 
da figura acima, tal que: 
 
F1: força de pressão sobre a seção retangular do prisma; 
F2: forçade pressão sobre a seção triangular do prisma; 
y1: ponto de aplicação da força F1 (centróide do prisma retangular); 
y2: ponto de aplicação da força F2 (centróide do prisma triangular); 
yR: ponto de aplicação da força resultante das pressões FR; 
h1: profundidade superior da superfície totalmente submersa; 
h2: profundidade inferior da superfície totalmente submersa. 
 
Fazendo isto ter-se-á, para a força resultante, que: 
 
21 FFRF += , (2.24) 
 
onde =1F Volume do prisma das pressões retangular = 1.. hAγ , 
 =2F Volume do prisma das pressões triangular = 2/)12.(. hhA −γ . 
 
Ponto de aplicação da força resultante (yR): pode ser obtido pelo Teorema dos Momentos, tal que: 
 
 2.21.1. yFyFRyRF += 
 
Exemplo: 
 
Um tanque pressurizado contém óleo e possui uma placa de inspeção quadrada com 0,6 m de lado 
(figura abaixo). Determine a magnitude e o ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre 
esta placa, sabendo-se que a pressão no topo do tanque é de 50 kPa. 
 
 46
 
 
Resolução: 
 
Representando o sistema acima por meio de um prisma de pressão, ter-se-á o seguinte arranjo: 
 
 
 
 A força resultante sobre a placa é dada por 21 FFRF += , 
 
sendo que =1F Volume do prisma das pressões retangular = 2440)1..( =+ hspA γ kgf, 
e =2F Volume do prisma das pressões triangular = 952/)12.(. =− hhAγ kgf. 
 
Logo, 2535=RF kgf e o seu ponto de aplicação pode ser obtido pelo Teorema dos Momentos, de 
modo que: 
 
2.21.1. yFyFRyRF += 
 
Como 3,23,021 =+=y m e 4,24,022 =+=y m, resulta que 304,2=Ry m 
 
 
 
 47
�� Cálculo das forças de pressão em superfícies curvas: 
 
Seja a superfície curva BC submersa no tanque da figura abaixo, onde FR denota a força resultante 
das pressões sobre esta superfície. 
 
 
 
 Ilustrando o diagrama de forças no volume ABC (VABC), ter-se-á: 
 
 
 onde: 
 
 F1: força de pressão vertical do fluido sobre o volume ABC (age na superfície AB); 
 F2: força de pressão horizontal do fluido sobre o volume ABC (age na superfície AC); 
 G: peso do fluido contido no volume ABC, tal que ABCVG .γ= ; 
 FV: força de reação vertical do conduto sobre o volume ABC; 
 FH: força de reação horizontal do conduto sobre o volume ABC. 
 
 
 Para haver equilíbrio, é necessário que 2FHF = (equilíbrio horizontal), 
GFVF += 1 (equilíbrio vertical) e ainda que as forças interceptem-se no ponto O (forças 
concorrentes). 
 
 A magnitude da força resultante das pressões será dada por: 
 
22
VFHFRF += ou 
2)1(22 GFFRF ++= , (2.25) 
 
 e FR passará obrigatoriamente pelo ponto O. Já o ponto de aplicação de FR pode ser determinado 
utilizando o Teorema dos Momentos. 
 48
 Exemplo de aplicação: 
 
 O Conduto da figura abaixo está parcialmente submerso em água. Sabendo-se que a distância AC = R 
(raio do conduto), determine a direção, o sentido e a magnitude da força resultante das pressões sobre 
a superfície BC. Dados: 3/1000 mkgfa =γ e 1=l m (comprimento do conduto). 
 
 
 
Resolução: 
 
A direção e o sentido da força FR são ilustrados na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Já a magnitude da força FR é dada por: 
 
2)1(22
22 GFFVFHFRF ++=+= 
 
Mas 397..
2
...2 === lR
R
aACAchaF γγ kgf, 0.1 == ABAABpF (fluido à pressão 
atmosférica) e 624
4
.
2
... ===
lRaABCVaG piγγ kgf, de modo que resulta: 
 
7402)1(22 ≅++= GFFRF kgf 
 
 
 
 
 49
2.8 Empuxo, Estabilidade e Equilíbrio de Corpos Submersos 
 
�� Empuxo( E
�
): força resultante gerada por fluidos sobre corpos submersos. É resultante do gradiente 
de pressão, pois a pressão aumenta com a profundidade. 
 
 - Direção e sentido de E
�
: vertical, com sentido para cima (figura abaixo). 
 
 
 
 - Princípio de Arquimedes: “Num corpo total ou parcialmente submerso em um fluido, age uma força 
vertical de baixo para cima denominada empuxo, cuja magnitude é 
igual ao peso do volume do fluido deslocado”. 
 
 - Demonstração: Seja um corpo com formato arbitrário de volume V totalmente submerso num fluido 
de peso especifico γ, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 Envolvendo o corpo ao paralelepípedo ABCD, removendo a massa do corpo e fazendo o diagrama 
de forças apenas para o fluido contido no paralelepípedo, teremos o seguinte arranjo: 
 
 50
 
 
onde F1, F2, F3 e F4 são as forças de pressão exercidas pelo fluido sobre as superfícies planas do 
paralelepípedo, G é o peso do fluido contido no paralelepípedo, e FB é a força exercida pelo corpo 
sobre o fluido contido no paralelepípedo (forças de reação normal). 
 
Para haver equilíbrio do fluido contido no paralelepípedo, é necessário que 0=�F
�
 no fluido do 
paralelepípedo, de modo que: 
 
43 FF = (equilíbrio horizontal) e 21 FFGBF =++ (equilíbrio vertical) 
 
Isolando a força FB na equação acima, ter-se-á que: 
 
 GFFBF −−= 12 (2.26) 
 
As forças F1 e F2 são dadas por AhF .1.1 γ= e AhF .2.2 γ= , e a sua diferença é dada por: 
 
 AhhFF ).12.(12 −=− γ (2.27) 
 
 O peso do fluido no paralelepípedo pode ser expresso como: 
 
]).12.[()(. VAhhcorpoVpipedoparalaleleVdoralelepipefluidonopaVG −−=−== γγγ (2.28) 
 
Substituindo as equações (2.27) e (2.28) na equação (2.26), resulta: 
 
 VVAhhAhhGFFBF .]).12.[().12.(12 γγγ =−−−−=−−= (2.29) 
 
Mas, pela terceira lei de Newton, podemos dizer que o empuxo E é a reação à força FB, de modo que 
BFE
��
−= . Conseqüentemente, ter-se-á para o módulo do empuxo que: 
 
 VE .γ= (Princípio de Arquimedes) (2.30) 
 
onde γ é o peso específico do fluido e V é o volume de fluido deslocado pelo corpo (neste caso, o 
próprio volume do corpo). 
 
 
 51
- Casos a analisar: 
 
1) Corpo totalmente submerso: o volume de fluido deslocado será sempre igual ao volume do 
próprio corpo; 
2) Corpo parcialmente submerso: o volume de fluido deslocado será sempre menor que o volume do 
corpo. 
 
- Ponto de aplicação de E: coincide com o centróide do volume de fluido deslocado. Pode ser 
determinado pelo Teorema dos Momentos. Considerando-se o eixo 
perpendicular ao plano da figura e que passa pelo ponto D, ter-se-á que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde y1 é o centróide do paralelepípedo e y2 é o centro de gravidade do volume de fluido no 
paralelepípedo. 
 
Observação: o empuxo dos gases é muito pequeno (para volumes típicos) devido ao seu peso específico 
muito reduzido. 
 
Exemplo de aplicação: Uma bóia com diâmetro de 1,5 m pesa 850 kgf e está presa ao fundo do mar por 
meio de um cabo. Determine a força que tensiona o cabo na condição mostrada 
na figura. Dado: 1000=aγ kgf/m3. 
 
 
 Resolução: 
 
 Visualizemos o diagrama de forças da bóia (figura): 
 
 
 Pela condição de equilíbrio vertical, tem-se que: 
 
0=�F
�
, ou seja, EGT =+ e GET −= 
 
 GyFyFyBFcy .21.12.1. −−= 
 
 e 
 
 BFGyFyFycy /).21.12.1( −−= 
 (2.31) 
 52
 Como VaE .γ= , onde V é o volume da própria bóia (totalmente submersa), e G é dado, então a 
tensão será dada por: 
9353)
2
.(
3
4
.
3
.
3
4
.. =−=−=−= GDaGRaGVaTpiγpiγγ kgf. 
 
- Condições de Equilíbrio de Corpos: 
 
Considere o arranjo da figura abaixo contendo um corpo totalmente submerso num fluido. Podem 
ocorrer três situações, a saber: 
 
 
 
 1) �> GE corpo ascende até a superfície livre; 
 2) �= GE corpo em repouso (em equilíbrio) em qualquer posição; 
 3) �> GE corpo afunda. 
 
 Observação: para um corpo totalmente submerso (Vfluido deslocado = Vcorpo), ter-se-á, para 
corpofluido γγ > , que: 
 
GEcorpoVcorpoocadofluidodeslVfluido >�> .. γγ 
 
Portanto, se o corpo for mais leve (mais pesado) que o fluido ele irá flutuar (afundar), e o que 
determina o comportamento do corpo são os pesos específicos do corpo e do fluido. 
 
- Flutuador e Nomenclatura: 
 
 * Corpo flutuante ou flutuador: qualquer corpo que permanece em equilíbrio quando está parcialmente 
ou totalmente submerso num fluido. Exemplos: medidores de 
profundidade, bóias, navios, etc; 
 
* Plano de flutuação: plano horizontal da superfície livre do fluido; 
 
* Linha de flutuação: interseção do plano de flutuação com a superfície do flutuador; 
 
* Seção de flutuação: seção plana cujo contorno é a linha de flutuação; 
 
* Volume de Carena: volume de fluido deslocado pela parte submersa do flutuador; 
 
 53
* Centro de Carena (CC): ponto de aplicação do empuxo. Coincide com o centróide do volume de 
carena. 
 
 
 
�� Equilíbrio e Estabilidade de Corpos Submersos: 
 
 - Equilíbrio: G
�
 e E
�
 têm a mesma magnitude. 
 
 - Condições de Estabilidade: Aplicando uma força isolada a um corpo submerso em equilíbrio, ter-
se-á um deslocamento do corpo e poderão ocorrer três situações: 
 
1) Retorno do corpo à sua posição inicial � Equilíbrio Estável; 
2) Afastamento do corpo da sua posição inicial, a uma velocidade constante � Equilíbrio 
Instável; 
3) Permanência do corpo numa nova posição � Equilíbrio Indiferente. 
 
- Estabilidade Vertical: 
 
1) Se o corpo estiver totalmente submerso e em equilíbrio, o volume de fluido deslocado será 
sempre o mesmo e sempre existirá o equilíbrio; 
2) Se o corpo estiver parcialmente submerso e em equilíbrio, o volume deslocado aumentará se o 
corpo for deslocado para baixo (aumento de E) e diminuirá se o corpo for deslocado para cima 
(diminuição de E). Em ambos os casos, o corpo retornará à sua posição inicial e ter-se-á 
Equilíbrio Estável. 
 
�� Densímetro: instrumento utilizado para medir a densidade de líquidos com base nos princípios 
físicos do empuxo. 
 
 - Ilustração do densímetro: figura abaixo 
 
 54
 
 
- Procedimentos para efetuar medidas de densidade utilizando o densímetro: 
 
 1) Colocar o densímetro em um recipiente contendo água (figura abaixo). 
 
 
 A: área da seção 
 1000=aγ kgf/m3 
 SGa = 1 
 V: volume de água deslocado 
 G: peso do densímetro 
 E: empuxo devido à água 
 
 
 
 
Na condição acima, ter-se-á um balanço de forças na vertical e o densímeto em repouso 
(equilíbrio estático), de modo que: 
 
 VaEG .γ== (2.32) 
 
 2) Colocar o densímetro em um recipiente contendo líquido de densidade desconhecida (a ser 
determinada), e medir a variação de altura do densímetro por meio da sua haste (figura abaixo). 
 
 
 xzOHzh −= 2 
 xV : volume do líquido x deslocado 
 xVVhV −= : volume da haste entre zx e zH2O 
 G: peso do densímetro 
 E: empuxo devido ao líquido x 
 
 
 
 
 55
Na condição acima, utilizou-se um líquido x mais denso que a água, de modo que obrigatoriamente 
houve uma pequena ascensão do densímetro até uma certa posição mediante a troca de fluido, e 
posterior repouso do densímetro com balanço de forças na vertical, de modo a ter: 
 
xVxEG .γ== . 
 
 Sabendo-se que hAVhVVxVxVVhV .−=−=�−= e ter-se-á que: 
 
 )..( hAVxG −= γ (2.33) 
 
Pelas condições de equilíbrio estático observadas para ambos os fluidos, ter-se-á que EG = para a 
água e EG = para o fluido x, ou seja, o empuxo E será o mesmo para ambos os fluidos uma vez 
que o peso do densímetro G é constante. Portanto, pode-se igualar as equações (2.32) e (2.33), de 
modo a resultar: 
 
)..(. hAVxVa −= γγ 
 
 Extraindo o quociente ax γγ / da equação acima, ter-se-á que: 
 
V
hAhAV
V
a
x
xSG
.1
1
.
−
=
−
==
γ
γ
 (densidade do líquido x) (2.34) 
 
Portanto, se conhecida a área da seção do densímetro, a variação da altura da sua haste produzida 
pela mudança de fluido e o volume de um fluido desconhecido deslocado pelo densímetro, pode-se 
conhecer a densidade e o peso específico deste fluido. 
 
 Observações: 
 
1) Se h > 0 � SGx > 1 � líquido x mais denso que a água � ascensão do densímetro; 
 2) Se h < 0 � SGx < 1 � líquido x menos denso que a água � queda do densímetro; 
 3) Se h = 0 � SGx = 1 � líquido x é a própria água � densímetro não se move. 
 
�� Estabilidade de Corpos Submersos à Rotação: 
 
Seja um corpo submerso em equilíbrio (flutuador). Ao se aplicar uma força isolada sobre o corpo 
de modo a girá-lo de um pequeno ângulo em torno do seu eixo de rotação, ter-se-á vários casos a 
considerar para um corpo totalmente ou parcialmente submerso. 
 
a) Corpo Totalmente Submerso 
 
 Caso 1: Centro de Gravidade abaixo do Centro de Carena. 
 
 56
 Os vetores E
�
 e G
�
 permanecem com magnitudes constantes com a rotação inicial; porém, 
tornam-se não-colineares, gerando rotação adicional no sentido contrário ao da rotação inicial 
(figura). Resultado: retorno do corpo à sua posição inicial � Equilíbrio Estável. 
 
 
 
 Caso 2: Centro de Gravidade acima do Centro de Carena. 
 
 Os vetores E
�
 e G
�
 permanecem com magnitudes constantes com a rotação inicial; porém, 
tornam-se não-colineares, gerando rotação adicional no mesmo sentido da rotação inicial (figura). 
Resultado: afastamento do corpo da sua posição inicial � Equilíbrio Instável. 
 
 
 
 
Caso 3: Centro de Gravidade e Centro de Carena coincidentes. 
 
 Os vetores E
�
 e G
�
 permanecem com magnitudes constantes e colineares com a rotação inicial; 
portanto, não produzindo rotação adicional (figura). Resultado: corpo gira somente até um certo 
ponto � Equilíbrio Indiferente. Este caso ocorre em corpos homogêneos (com mesma 
distribuição de massa e peso). 
 
 
 
 57
Observação: as posições do centro de carena e do centro de gravidade não variam com a rotação, e 
os resultados apresentados acima independem do sentido da rotação inicial do corpo. 
 
b) Corpo Parcialmente Submerso 
 
 Caso 1: Centro de Gravidade abaixo do Centro de Carena. 
 
 O vetor G
�
 permanece com magnitude constante, enquanto a magnitude do vetor E
�
 varia com a 
rotação inicial, pois há variação do volume de carena e da posição do Centro de Carena com a 
rotação inicial. Os vetores E
�
 e G
�
 tornam-se não-colineares, gerando rotação adicional no sentido 
contrário ao da rotação inicial (figura). Resultado: retorno do corpo à sua posição inicial � 
Equilíbrio Estável. 
 
 
 
 
Caso 2: Centro de Gravidade acima do Centro de Carena. 
 
 Neste caso, três situações são possíveis e dependem da localização do metacentro (interseção do 
eixo de simetria do corpo com a direção do empuxo; é denotado por M), a saber: 
 
1) Metacentroacima do Centro de Gravidade 
 
 O vetor G
�
 permanece com magnitude constante, enquanto a magnitude do vetor E
�
 varia com a 
rotação inicial, pois há variação do volume de carena com a rotação inicial. Os vetores E
�
 e G
�
 
tornam-se não-colineares, gerando rotação adicional no sentido contrário ao da rotação inicial 
(figura). Resultado: retorno do corpo à sua posição inicial � Equilíbrio Estável. 
 
 
 58
 
 
 
2) Metacentro abaixo do Centro de Gravidade 
 
 O vetor G
�
 permanece com magnitude constante, enquanto a magnitude do vetor E
�
 varia com a 
rotação inicial, pois há variação do volume de carena com a rotação inicial. Os vetores E
�
 e G
�
 
tornam-se não-colineares, gerando rotação adicional no mesmo sentido da rotação inicial (figura). 
Resultado: afastamento do corpo da sua posição inicial � Equilíbrio Instável. 
 
 
 
 3) Metacentro e Centro de Gravidade Coincidentes 
 
 O vetor G
�
 permanece com magnitude constante, enquanto a magnitude do vetor E
�
 varia com a 
rotação inicial, pois há variação do volume de carena com a rotação inicial. Entretanto, os 
vetores E
�
 e G
�
 permanecem colineares com a rotação inicial; portanto, não produzindo rotação 
adicional (figura). Resultado: corpo gira somente até um certo ponto � Equilíbrio Indiferente. 
 59
 
 
Regra geral: “Quanto mais acima estiver o Metacentro em relação ao Centro de Gravidade de um corpo 
parcialmente submerso, maior será o conjugado que contraria a rotação inicialmente 
aplicada a ele, e conseqüentemente mais estável será o equilíbrio”. 
 
Portanto, a determinação da distância do Metacentro ao Centro de Gravidade (altura metacêntrica) torna-
se importante para investigar o nível de estabilidade de corpos parcialmente submersos. Tal distância é 
dada por: 
 
l
V
yI
r −= , (2.35) 
 
onde Iy é o momento de inércia da área da seção de flutuação em relação ao eixo y no instante inicial, V é 
o volume total do corpo, e l é a distância entre o Centro de Gravidade e o Centro de Carena (a dedução da 
altura metacêntrica pode ser vista em detalhes na apostila de Brunetti). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 2 
 
1) Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 kN/m2 (a) em termos da altura da coluna 
de água de massa específica de 1000 kg/m3, e (b) em termos da altura da coluna de Mercúrio com 
massa específica de 13600 kg/m3, utilizando a expressão p = ρgh. 
 
R: (a) 51 m; (b) 3,75 m 
 
2) A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 10° C e 
profundidade máxima do lago de 40 m. Se a pressão barométrica local for igual a 598 mmHg, 
determine a pressão absoluta na região de maior profundidade do lago (em Pa). Considere a massa 
específica da água igual a 1000 kg/m3. 
 
R: 471,4 kPa 
 
3) Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2 kgf/cm2. Determine a 
pressão absoluta em: (a) kgf/cm2, (b) Pa, (c) mca e (d) mmHg. Considere a pressão atmosférica igual a 
1 kgf/cm2 e a massa específica do Mercúrio igual a 13600 kg/m3. 
 
R: (a) 3 kgf/cm2; (b) 300 kPa; (c) 30 mca; (d) 2200 mmHg 
 
4) Um óleo de massa específica 800 kg/m3 é inserido num tanque que já estava preenchido com água até 
uma altura de 7 ft. Sabendo-se que a altura total do tanque é de 10 ft e que o tanque está 
completamente preenchido, determine a pressão no fundo do tanque (em Pa). Suponha desprezível a 
pressão do ar sobre o sistema. Considere a massa específica da água igual a 1000 kg/m3. 
 
R: 28 kPa 
 
5) Considerando-se a água do mar como um fluido incompressível de peso específico igual a 1025 
kgf/m3 e a superfície livre do mar como referência, calcular a diferença de pressão entre os pontos 
situados entre as profundidades z1 = -2 m e z2 = -28 m (em Pa). 
 
R: 266,5 kPa 
 
6) Utiliza-se um manômetro tipo “U” para medir uma pressão manométrica de um fluido com massa 
específica igual a 1000 kg/m3. O manômetro utiliza como fluido manométrico o Mercúrio, cuja massa 
específica é de 13600 kg/m3. Determinar a pressão relativa em A (em kPa) para (a) h1 = 0,4m e h2 = 0,9 
m, e (b) h1 = 0,4 m e h2 = -0,1 m. 
 
 
R: (a) 118 kPa, (b) -17,6 kPa 
 61
7) Determinar (a) a força resultante FR, (b) o ponto de aplicação yR , e (c) a dimensão b do muro da 
barragem triangular ilustrada na figura abaixo, sendo que o fluido possui um peso específico γ, o muro 
possui um peso específico γM, e a barragem possui altura h e largura c. 
 
 
 
R: (a) FR = (γ.h2.c)/2; (b) yR = (2/3)h; (c) b = h.(γ/γM)1/2 
 
8) Uma comporta retangular de largura 1,2 m está localizada na superfície lateral inclinada de um 
tanque contendo água. A comporta apresenta articulação O montada ao longo da superfície superior 
da mesma, que é mantida na posição mostrada pela força P. Sabendo-se que o atrito e o peso da 
comporta são desprezíveis, determine o módulo de P (em kgf). 
 
 
R: 4060 kgf 
 
9) Uma comporta retangular de largura igual a 3 m está localizada na parede de um tanque que contém 
água. Deseja-se que a comporta abra automaticamente quando a superfície livre da água no tanque 
atingir 10 m acima da borda superior da comporta. Pede-se: (a) determinar o módulo da força com que 
a água atua na comporta na iminência da abertura da porta (em kgf), e (b) determinar o valor da 
distância d para que isto ocorra, conforme o arranjo ilustrado na figura abaixo. 
 
R: (a) 141000 kgf; (b) 2,11 m 
 62
10) Um corpo pesa 80 kgf no ar e, quando totalmente submerso na água, tem um peso aparente (peso do 
corpo menos o empuxo) de 50 kgf. Determine: (a) o volume do corpo, e (b) o peso específico do 
corpo. Dado: γH20 = 1000 kgf/m3. 
 
R: (a) 0,03 m3; (b) 2667 kgf/m3 
 
11) Um cilindro de peso específico igual a 500 kgf/m3 flutua num líquido, conforme mostra a Figura 1. 
Sob a ação de uma força F = 1000 kgf, o cilindro permanecerá na posição indicada na Figura 2. 
Determine os pesos específicos dos líquidos A e B. Dado: área da base do cilindro = 1 m2. 
 
 
 
R: γA = 1500 kgf/m3 e γB = 2500 kgf/m3. 
 
12) Um cubo de peso específico γC flutua num líquido de peso específico γl. Determine os valores do 
quociente γC/γl para os quais o cubo flutue com as arestas na vertical. 
 
 
 
 R: 21,00 <<
l
C
γ
γ
; 179,0 <<
l
C
γ
γ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63
CAPÍTULO 3 
 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
3.1 Regimes Permanente e Variado 
 
�� Regime Permanente: 
 
Aquele em que as propriedades físicas do fluido não variam com o tempo, em cada ponto do 
fluido. Podem variar de um ponto para outro, mas jamais com o tempo. 
 
Exemplo: escoamento de fluido num tanque com manutenção de nível (figura abaixo). 
 
 
 m1: massa de água que cruza a seção (1) e entra no tanque 
 m2: massa de água que cruza a seção (2) e sai do tanque 
 
Para a manutenção do nível do tanque acima (profundidade constante), a configuração do 
sistema terá que ser conservada ao longo do tempo, e ter-se-á ainda que: 
 
21 mm = , 
 
01111 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
t
p
t
m
tt
v ρ
 (no ponto 1), 
 
02222 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
t
p
t
m
tt
v ρ
 (no ponto 2), e (3.1) 
 
0=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
t
ap
t
am
t
a
t
av ρ
 (no ponto a). 
 
 Apesar da conservação de massa, pode-se ter avvv ≠≠ 21 , appp ≠≠ 21 , 
aρρρ ≠≠ 21 , etc., devido às diferentes