FFTM_Aula_Fluidos_Propriedades (1)

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Introdução
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Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Fenômenos de Transportes - FFTM – Mecânica dos Fluidos
Aula -Viscosidade e Densidade e Pressão – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Desenvolver nos estudantes a habilidade de aplicar as leis da fluidodinâmica nas diversas outras disciplinas presentes
nos semestres subsequentes e, principalmente, no exercício profissional.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Conceito de Fluido. Lei de Newton da viscosidade; Fluidos Newtonianos.
Propriedades dos fluidos: Viscosidade, densidade, peso específico. Número de Reynolds; Regimes de escoamentos. Regimes Variados e
Permanente; escoamento uniforme e não uniforme na seção de escoamento; Escoamento Laminar e Escoamento Turbulento; trajetória, tubos e
linha de corrente;
Pressão absoluta, manométrica e pressão atmosférica. Experiência de Torricelli e Princípio de Pascal. Pressão hidrostática e Teorema de
Stevin. Lei do Empuxo (Princípio de Arquimedes).
Conceito de vazão em volume, massa e peso;
Equação da conservação da massa (Equação da Continuidade). Equação da energia (equação de Bernoulli) sem a presença de máquinas e
sem perda de carga: Conceito de perda de carga;
Equação da Energia com perda de carga e sem máquina;
Máquinas de fluxo: Bombas e Turbinas. Rendimento de bombas e turbinas. Equação real da energia (Equação de Bernoulli na presença de
máquinas e perda de carga). Equação geral da perda de carga. Experimento de Nicuradse e Diagrama de Mody-Rouse.
• Bibliografia
Randall D. Knight-Physics for Scientists and Engineers_ A Strategic Approach (With Modern Physics)-Pearson Education (2012)
Yunus Çengel, John M. Cimbala - Fluid Mechanics Fundamentals and Applications-McGraw-Hill College (2017)
Russell C. Hibbeler - Fluid Mechanics-Prentice Hall (2014)
❑ Whatsup: 19 99741 3503
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Bibliografia Básica
1. FOX, R. W.; MACDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC, 2006.
2. BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
3. BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª Ed., LTC, 2012.
4. CANEDO, E. L. Fenômenos de Transporte. 1ª Ed, LTC, 2010.
5. MUNSON, B.R.; YOUNG, D.F., OKIISHI,T.H. Uma introdução concisa à Mecânica dos Fluidos. Edgard Blucher
Ltda, 2005.
Bibliografia complementar:
1. Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física. 2a. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, V. 1-2, 2000
2. Halliday, D.; Resnick, R. Fundamentos da Física, Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, v.1-2, 1991.
3. Tipler, P. A. Física, 2a, Ed. Guanabara dois, V1, 1985.
4. Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2005.
5. Hibeller.
6. Notas de aula. http://www.claudio.sartori.nom.br/ (www.claudio.sartori.nom.br/fftm.html)
http://www.claudio.sartori.nom.br/
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Fluido e Lei de Newton da viscosidade
Um fluido é uma substância que assume o volume do recipiente que o contém. O fluido, uma vez escoando, deforma
continuamente quando submetido a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. Tanto os
gases quanto os líquidos são classificados como fluidos. Um fluido complexo é um fluido cujas propriedades de transporte só
podem ser determinadas a partir do conhecimento detalhado da sua estrutura microscópica
Um fluido newtoniano é um fluido em que cada componente da velocidade é proporcional ao gradiente de velocidade na
direcção normal a essa componente. A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica .
Tensão de Cisalhamento e Pressão absoluta
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑛 + 𝐹𝑡
Figura 1 – Componentes 
da força atuando no fluido.
Uma força de cisalhamento é a componente tangencial de uma dada força que age sobre a superfície e, dividida pela área da
superfície, dá origem à tensão de cisalhamento média 𝜏 (“tau”) sobre a área quando a área tende a um ponto. A força normal
atuando na área dá origem à pressão absoluta p.
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• Tensão de cisalhamento: 𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
• Pressão absoluta: 𝑝 =
𝐹𝑛
𝐴
1 𝑃𝑎 =
𝑁
𝑚2
• Unidade (SI): Pascal: 
𝐹𝑛
𝐹𝑡
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Padrões de escoamento de fluidos
Regimes ou movimentos variado e permanente.
Regime permanente: é aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo. As
propriedades podem variar de ponto para ponto, desde que não haja variação com o tempo.
Regime variado: é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou em regiões de pontos, variam com o passar
do tempo.
• Linhas de corrente (“streamlines”): são curva formadas por pontos que passam os vetores velocidade das partículas de 
fluido, tangentes à ela.
dy v
V u i v j
dx u
=  =  + 
➢ Tubos de corrente (“streamtubes”): superfície formada por um agrupamento de linhas de corrente, que não se cruzam e são
interiores ao tubo.
➢ Trajetória ("path lines”): lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos.
Grande reservatório: nível permanece constante, regime considerado permanente. Num ponto da superfície de um grande
reservatório (interface líquido-atmosfera), a velocidade será nula (vP = 0) e a pressão manométrica nula (pP = 0).
Tipos de escoamento:
➢ Escoamento laminar: partículas do fluido viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas concêntricas, em
trajetórias bem definidas, entre as quais não há troca de massas de partículas.
➢ Escoamento Turbulento: ocorre quando há flutuações das velocidades das partículas de fluido, apresentando componentes
transversais da velocidade.
tFv
y A
  

=   =

Figura 1 – Escoamento de um fluido viscoso. A área da placa é A e a taxa de variação da velocidade com a distância vertical é
dv
dy
, ou gradiente de velocidade.
❑ Viscosidade dinâmica  (“eta”) ou 𝝁 (“mi”): Razão entre a tensão de cisalhamento  (“tau”) e o gradiente de velocidades nas 
camadas do fluido (relação da velocidade da camada de fluido e sua espessura y): 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
v
y

 =


❖ Unidade (SI) da viscosidade dinâmica  ou 𝝁 : 
𝑁.𝑠
𝑚2
y
𝑂𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑒: 𝑃𝑜 = 0.1 𝑁. 𝑠/𝑚²
❑ Viscosidade dinâmica ou absoluta  (“eta”) ou “mi” :
Fluido: Propriedades.
Densidade  “rô”e peso específico  “gama”.
❖ Densidade: 𝜌 =
𝑚
𝑉
❖ Unidade SI:
𝑘𝑔
𝑚3
; 1
𝑔
𝑐𝑚3
= 103
𝑘𝑔
𝑚3
✓ Densidade relativa de uma substância S:
𝜌𝑅 =
𝜌𝑠
𝜌𝐻2𝑂
𝜌𝐻2𝑂 = 1
𝑔
𝑐𝑚3
= 103
𝑘𝑔
𝑚3
= 1000
𝑘𝑔
𝑚3
❖ Peso específico: 𝛾 =
𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑉
❖ Unidade SI:
𝑁
𝑚3
✓ Peso específico relativo de uma substância S:
𝛾𝑅 =
𝛾𝑠
𝛾𝐻2𝑂
𝛾 =
𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑉
= 𝛾 =
𝑚 ⋅ 𝑔
𝑉
⇔ 𝛾 = 𝜌 ⋅ 𝑔 ⇔ 𝑔 = 10
𝑚
𝑠2
•Densidade de algumas substâncias:
Material
Densidade
(g/cm3)
Líquidos
Água at 4 0C 1.0000
Água a 20 0C 0.998
Gasolina 0.70
Mercúrio 13.6
Material
Densidade
(g/cm3)
Sólidos
Alumínio 2.7
Cobre 8.3 - 9.0
Ouro 19.3
Ferro 7.8
Lead 11.3
Platina 21.4
Urânio 18.7
Gelo at 0 0C 0.92
Material
Densidade
(gm/cm3)
Gases a STP
Ar 0.001293
Dióxido de Carbono 0.001977
Monóxido de Carbono 0.00125
Hydrogênio 0.00009
Nitrogênio 0.001251
𝛾 = 𝜌 ⋅ 𝑔𝜌 =
𝑚
𝑉 𝛾 =
𝑚 ⋅ 𝑔
𝑉
𝛾𝐻2𝑂 = 10
4 𝑁
𝑚3
= 1000x10 = 10000
1
𝑔
𝑐𝑚3
= 103
𝑘𝑔
𝑚3
1
𝑔
𝑐𝑚3
= 1
10−3𝑘𝑔
10−2𝑚 3
=
10−3𝑘𝑔
10−2⋅3𝑚3
=
10−3
10−6
𝑘𝑔
𝑚3
= 10−3−−6
𝑘𝑔
𝑚3
= 10−3+6
𝑘𝑔
𝑚3
= 103
𝑘𝑔
𝑚3
1
𝑔
𝑐𝑚3
= 1000
𝑘𝑔
𝑚3
❑ Observações:
dv
dy

 = 
v
dv
F A
dy
=  
2
N s
m

1 1
2 2
1 1 10 1 10
g kg
cm s m s
din s N s
Po
cm m
− −
 
 
= = = =
• Viscosidade absoluta ou dinâmica  = .
Definimos como viscosidade absoluta ou dinâmica  (eta)ou  (mi) a razão entre a tensão de cisalhamento  e a taxa de
variação da velocidade com a distância vertical medida entre as duas placas indicadas.
• Unidade: SI: • Sistema [CGS] - Poise:
• Viscosidade cinemática 
Definimos como viscosidade cinemática  (“nu”) como sendo a razão
ente a viscosidade dinâmica e a densidade do corpo  (rô).
Figura - Dependência da viscosidade com a
temperatura para algumas substâncias.



=
2m
s
2 2
41 1 10
cm m
St
s s
−= =
•Unidade: [SI]: 
▪ Sistema [CGS] - Stoke: St
t
t
F
F A
A
 =  =  y
Número de Reynolds
D: diâmetro da tubulação;
: velocidade média da seção;
 : densidade do fluido;
 : viscosidade dinâmica do fluido;
: viscosidade cinemática do fluido;
R
v D
N


 
= 
D



=
▪ Observação: O número de Reynolds é adimensional.
O número de Reynolds é importante na classificação do escoamento de um fluido numa dada tubulação. 
R
v D
N


 =
v

v
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA (SI);
1971 – 14a conferência geral de pesos e medidas – Sistema Internacional de unidades (SI).
Quantidade
Fundamentais
Nome da 
unidade
Símbolo
Comprimento metro m
Massa kilograma kg
Tempo segundo s
Prefixos para o sistema SI:
Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbolo
1024 yotta Y 10-24 yocto y
1021 zetta Z 10-21 zepto z
1018 exa  10-18 Atto a
1015 peta P 10-15 femto f
1012 tera T 10-12 Pico p
109 giga G 10-9 Nano n
106 mega M 10-6 micro 
103 kilo k 10-3 Milli m
102 hecto h 10-2 centi c
101 deka da 10-1 Deci d
➢ Prefixos mais usados:
Fator Prefix Símbolo
106 mega M
103 kilo k
10-2 centi c
10-3 Milli m
10-6 micro 
10-9 Nano n
❑ Alguns fatores de conversão:
Massa Comprimento Volume
1 kg = 1000 g = 6.02.1023 u 1m=100 cm=39.4 in=3.28 ft 1 m3 = 1000 l =35.3 ft3 = 264 gal
1 slug = 14.6 kg 1mi =1.61 km = 5280 ft Tempo
1 u = 1.66.10-27 kg 1 in = 2.54 cm 1d = 86400s
Densidade 1nm=10-9 m = 10 ሶ𝐴 1year= d=3,16.107s
1 kg/m3 = 10-3 g/cm3 1 light-year=9,46.1015m Medida Angular
1 g/cm3 = 103 kg/m3 1rad=57,30=0,159rev
rad=1800=1/2 rev4
1365
Velocidade Pressão Energia
1m/s=3.27ft/s=2.24mi/h 1 Pa = 1 N/m2 1J=107erg=0.239cal=0.738ft-lb
1km/h=0.278m/s 1 Pa = 1 dyne/cm2 1 kWh = 3.6.106 J
1km/h=0.621mi/h 1 Pa = 1.45.10-4 lb/in2
1 psi = 6894.76 Pa
1 cal = 4.19J
Força 1 atm =1.013.105 Pa 1eV = 1.60.10-19J
1N =105 dyne 1 atm =14.7 lb/pol2 Potência
1lbf = 4.45 N 1 atm → 76 cm Hg
= 760 mm Hg
1 hp =745.7W=550 ft.lb/s
1 hp = 1.0138 cv
1 cv = 1 ps
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Pressão absoluta.
Figura 1 – Componentes da força atuando no fluido.
• Pressão absoluta: 
𝑝 =
𝐹𝑛
𝐴
1𝑃𝑎 =
𝑁
𝑚2
• Unidade (SI): Pascal: 
𝑝 =
𝑊
𝐴
⇔ 𝑝 =
𝑊
𝐴
⇔ 𝑝 =
𝑚 ⋅ 𝑔
𝐴
⇔ 𝑝 =
𝜌 ⋅ 𝑉 ⋅ 𝑔
𝐴
⇔ 𝑝 =
𝜌 ⋅ 𝐴 ⋅ ℎ ⋅ 𝑔
𝐴
𝜌 =
𝑚
𝑉
⇔ 𝑚 = 𝜌 ⋅ 𝑉
𝑉 = 𝐴 ⋅ ℎ
𝑝 = 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝐴
ℎ 𝑉
𝑊: Peso
❑ Pressão numa superfície de área A devido à um corpo de peso 𝑊: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
⇔𝑚 = 𝜌 ⋅ 𝑉
𝜌: densidade do fluido; h: espessura da camada de fluido acima da área A.
❑ Pressão numa superfície de área A devido à um corpo de peso 𝑊: 
no caso do corpo ser um certo volume de água, denominamos de pressão hidrostática. 
❑ Experimento de Torricelli.
❑ Pressão atmosférica
▪ O Barômetro
𝑝 = 𝜌 ⋅ ℎ ⋅ 𝑔
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 13.6 ⋅ 10
3 ⋅ 9.81 ⋅ 0.76
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 101396 𝑃𝑎
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1.01396 ⋅ 10
5𝑃𝑎
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1 𝑎𝑡𝑚
▪ Determinação da pressão atmosférica no nível do mar.
𝜌𝐻𝑔 = 13.6 ⋅ 10
3
𝑘𝑔
𝑚3
0
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝0 = 𝑝𝐵
1 𝑎𝑡𝑚 = 1.01396 ⋅ 105𝑃𝑎
❑ Pressão atmosférica:
Embora o ar seja extremamente leve, não é desprovido de peso. O peso que exerce sobre nós a totalidade da atmosfera
denomina-se pressão atmosférica. Cada pessoa suporta em média sobre os ombros o peso de cerca de 1 tonelada de ar, que,
porém não sente, já que o ar é um gás e a força da pressão exerce-se em todas as direções. O peso normal do ar ao nível do
mar é de 1Kg/cm2. Porém, a pressão atmosférica desce com a altitude. A 3000 m, é de cerca de 0.7 kg/cm2.
A 8848 m, a altitude do monte Everest, a pressão é de apenas 0.3 Kg/cm2. O barômetro é o instrumento usado para medir a
pressão atmosférica.
Quando o ar quente se eleva cria, por baixo dele, uma zona de baixa pressão. Baixas pressões normalmente significam
tempo ruim.
Baixas Pressões
À medida que o ar, ao subir, arrefece, o seu vapor de água transforma-se em
nuvens, que podem produzir chuva, neve ou tempestades. Simultaneamente, ao nível
do solo, há ar que se desloca para substituir o ar quente em elevação, o que dá origem a
ventos.
As massas de ar deslocam-se sempre de um centro de alta pressão para um de baixa
pressão, gerando o vento. Mas neste caminho são desviadas (para a direita no
hemisfério Norte) por causa da rotação terrestre.
Se nos pusermos de costas para o vento (no hemisfério Norte), o centro de baixa
pressão encontra-se sempre à nossa esquerda. Esta regra foi descoberta pelo físico
Buys-Ballot, em 1800.
Altas Pressões
Quando o ar é relativamente frio, desce lentamente e comprime o ar que está por baixo, causando uma maior pressão. Embora esta
seja causada pelo ar frio, provoca um tempo quente e soalheiro. Isto acontece porque o ar, ao descer, impede a formação de
nuvens, originando um céu limpo.
dp g dz= −  
p V n R T p R T =    =  
p
R T
 =

0( )T z T z= − 
( )0
p g
dp dz
R T z

= −
 − 
( )0
dp g
dz
p R T z
= −
 − 
00atm
p z
p
dp g dz
p R T z
= − 
−  
Onde  é a densidade do ar. Segundo o modelo do gás ideal, podemos considerar:
•Na troposfera:: de 0 < z < 10 km – z: altitude
Onde:  = 0,0065 K/m; T0 = 288 K
Assim:
Variação da pressão atmosférica com a altitude:
A pressão atmosférica, ao ser acrescida de um valor dz, é diminuída de:
0
0
ln ln
atm
T zp g
p R T


   − 
=    
   
0
0
( )
g
R
atm
T z
p z p
T
  − 
 =  
 
❑ Na estratosfera:
Na estratosfera, entre 11 e 20 km, a temperatura é constante e aproximadamente s = -56.5°C. Ts = 273 + s
R = 287 J/(kg.K) (constante dos gases ideais) ; Ts: Temperatura na interface troposfera-estratosfera. Ts = 216.5 K.
0s
p z
sp
dp g
dz
p R T
= − 
 
( )
( )
s
s
g
z z
R T
sp z p e
−  −

= 
Resumindo, podemos escrever:
( )
( )
0
0
; se 10
; se 10
s
s
g
R
atm
g
z z
R T
s
T z
p z km
Tp z
p e z km
 
−  −


 −    
=  

  
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1.01396 ⋅ 10
5𝑃𝑎
z(m) T(K) P(kPa) (kg/m3) v(m/s)
0 288,2 101,3 1,225 340
500 284,8 95,43 1,167 338
1000 281,7 89,85 1,112 336
2000 275,2 79,48 1,007 333
4000 262,2 61,64 0,8194 325
6000 249,2 47,21 0,6602 316
8000 236,2 35,65 0,5258 308
10000 Ts=223,3 26,49 0,4136 300
12000 216,7 19,40 0,3119 295
14000 216,7 14,17 0,2278 295
16000 216,7 10,35 0,1665 295
18000 216,7 7,563 0,1213 295
20000 216,7 5,528 0,0889 295
30000 226,5 1,196 0,0184 302
4000 250,4 0,287 4,00.10-3 317
5000 270,7 0,0798 1,03.10-3 330
60000 255,8 0,0225 3,06.10-4 321
70000 219,7 0,00551 8,75.10-5 297
80000 180,7 0,00103 2,00.10-5 269
Tabela – Valores das grandezas físicas do ar com a altitude z. Figura - Variação da temperatura nas diversas camadas atmosféricas.
( ) 0 0 10T z T z z km= −    
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1.01396 ⋅ 10
5𝑃𝑎
❑ Pressão atmosférica e formações de furacões, tufões (HN) e ciclones (HS)
▪ Furacões ou hurricane (atlântico e hemisfério norte HN) e tufões – (pacífico, índico e 
hemisfério norte (HN) – sentido de rotação anti-horário.
▪ Ciclones – hemisfério sul (HS) – atlântico e pacífico – sentido de rotação horário.
▪ O efeito Coriolis: efeito causado pela rotação da Terra.
• Temperatura do oceano da ordem de 26 °C. 
/
𝑣𝐸
𝑣𝑡𝑟
𝑣𝐸 = 𝜔 ⋅ 𝑅𝐸
𝑣𝑇 = 𝜔 ⋅ 𝑅𝑡𝑟
▪ O efeito Coriolis
❑ Princípio de Pascal
1 2
1 2
F F
A A
=1 2
p p=
❑ Princípio de Pascal e prensa hidráulica
O acréscimo de pressão produzido em um fluido em equilíbrio se transmite integralmentea todos os pontos do fluido.
1 2 1 1 2 2W W F d F d=   = 
d1 e d2 são as distâncias verticais percorridas pelos pistões 1 e 2,
respectivamente.
A1 e A2 são as áreas dos pistões 1 e 2, respectivamente.
𝜙1𝑒 𝜙2 são os diâmetros dos pistões 1 e 2, respectivamente.
𝑟1𝑒 𝑟2são os raios dos pistões 1 e 2, respectivamente.
2 2
1 1 1 1 2
2 2
2 2 2 2 1
F A r d
F A r d


= = = =
𝐴1 = 𝜋 ⋅ 𝑟1
2
𝐴2 = 𝜋 ⋅ 𝑟2
2
𝑟1 =
𝜙1
2 𝑟2 =
𝜙2
2
𝐴1 = 𝜋 ⋅
𝜙1
2
4
𝐴2 = 𝜋 ⋅
𝜙2
2
4
2
2 1 2 1 2 1
1
A
F F A A F F
A
=    
❑ Pressão hidrostática e Teorema de Stevin
𝑝 = 𝜌 ⋅ ℎ ⋅ 𝑔
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧
𝑝 = 𝑝0 + 𝜸 ⋅ 𝑧
( )0 0i s i sp p p p g h p g h  = − = +   − +  
( )i s i sp g h h p g h h h h  =   −   =     = −
E
p g h
A
 = =  
E g h A=   
E V g=  
fE m g= 
• Lei do Empuxo ou Princípio de Arquimedes: Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso em um
fluido, sofrerá uma força de empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido que objeto desloca.
FE = Wfluido = 𝑚𝑓 ⋅ 𝑔 ⟺ 𝐸 = fluido . Vdeslocado . g
ℎ𝑠
ℎ𝑖
O valor do empuxo, que atua em um corpo mergulhado em um líquido, é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.
A força de empuxo, FE , aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A força deve-se à diferença de pressão exercida
na parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para um objeto flutuante, a parte que fica acima da superfície está sob a pressão
atmosférica, enquanto que a parte que está abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em contato com uma
certa profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a profundidade. Para um objeto completamente submerso, a parte de cima
do objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma pressão maior porque está mais fundo no
fluido. Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. Esta
força tem que ser igual ao peso da massa de água ( fluido . Vdeslocado) deslocada, já que se o objeto não ocupasse aquele espaço esta
seria a força aplicada ao fluido dentro daquele volume (Vdeslocado) a fim de que o fluido estivesse em estado de equilíbrio.
Na figura abaixo indicamos como calcular a massa real de um corpo (mr) e a massa aparente do corpo (ma), usando uma
balança.
rN P m g= =
Quando o corpo de massa mr estiver totalmente imerso:
r fP E T m g m g T= +   =  +
2 2r H O C r H O C
m g g V T T m g g V  =   +  =  −  
r r
C C
C C
m m
V
V


=  =
2
2
H Or
r H O r r
C C
m T
T m g g m m
g


 
=  −    = − 
Chamando a massa aparente ma=T/g, teremos:
2 2H O H O
a r r r r a
C C
m m m m m m m
 
 
= −    = − = 
2
2
H O r
r C H O
C
m
m m
m

 

=   = 

2
r
C H O
m
m
 = 

r am m m = −
2
r
C H O
r a
m
m m
 = 
−
2 3
1H O
g
cm
 =
• Princípio de Arquimedes ou Lei do Empuxo: Aplicações: Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso
em um fluido, sofrerá uma força de empuxo igual ao peso do fluido que objeto desloca.
Δ𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1
𝐸 = Δ𝑝 ⋅ 𝐴
⇔ Δ𝑝 =
𝐸
𝐴
𝐸 = 𝑝2 − 𝑝1 ⋅ 𝐴
𝐸 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ2 − 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ1 ⋅ 𝐴
𝐸 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ2 − ℎ1 ⋅ 𝐴
𝐸 = 𝛾𝑙 ⋅ Δℎ ⋅ 𝐴
𝛾𝑙 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔
Δℎ = ℎ2 − ℎ1
𝑉𝑓 = Δℎ ⋅ 𝐴𝐸 = 𝛾𝑙 ⋅ 𝑉𝑓
𝐸 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑉𝑓
𝜌𝑓 =
𝑚𝑓
𝑉𝑓
⇔𝑚𝑓 = 𝜌𝑓 ⋅ 𝑉𝑓
𝐸 = 𝑚𝑓 ⋅ 𝑔
𝐸 = 𝑃𝑓
𝑃𝑓 = 𝑚𝑓 ⋅ 𝑔
2
r
C H O
m
m
 = 
 r am m m = −
2
r
C H O
r a
m
m m
 = 
−
: massa real, medida fora da água;rm
: massa aparente, medida com o corpo totalmente imerso na água.a
C f
m
V V=
Densímetro: É um instrumento usado para medir a densidade de um líquido segundo o princípio do empuxo.
Quando colocado em água pura, a gravidade específica é marcada para indicar 1.
Figura - Um Densímetro. (A) Flutuando na água êle marca 1, a densidade da água pura. (B) O densímetro sobe mais na solução de ácido da bateria
inteiramente carregada. O densímetro desloca um menor volume de líquido e flutua mais alto. À medida que a bateria vai-se descarregando, a quantidade de ácido
no líquido vai diminuindo e, portanto, também sua densidade.
Densímetros especiais usados para medir densidade de álcool e de leite são chamados alcoômetros e lactômetros.
Sendo W o peso do hidrômetro e V0 o volume submerso abaixo da linha 1
W E=
0aW V= 
( )0xW V A h=  − 
( )0 0a xV V A h  =  − 
0
00
x
a
V
V A h


=
− 
Em um líquido desconhecido, de peso específico x, o balanço das forças seria:
Aqui, A é a seção transversal da haste.
Podemos então:
❖ Manômetros
Um manômetro é um instrumento utilizado para medir pressão.
Um tipo de manómetro já com séculos de existência é o de coluna líquida. Este manômetro pode ser simplesmente um tubo em
forma de U, no qual se coloca uma dada quantidade de líquido (não convém estar muito cheio para não transbordar facilmente).
Neste método a pressão a medir é aplicada a uma das aberturas do U, enquanto que uma pressão de referência é aplicada à
segunda abertura. A diferença entre as pressões é proporcional à diferença do nível do líquido, em que a constante de
proporcionalidade é o peso volúmico do fluído.
Os manômetros de coluna líquida podem ser em forma de U, ou alternativamente podem ter uma única coluna. Para se forçar
o líquido a percorrer uma maior distância utilizam-se colunas com inclinação (uma vez que a pressão obriga a subir, o que exige
um maior deslocamento no caso de a coluna estar inclinada), sendo necessário conhecer o ângulo relativamente à horizontal com
precisão.
Os manômetros de coluna de líquido são aparelhos básicos destinados a medir pressão ou vácuo e servem também como padrões primários,
isto é, são utilizados como padrão para calibração de outros aparelhos. De construção simples, consequentemente apresentam baixo custo, além
de apresentarem vantagens, tais como: não requerem manutenção, calibragem especial e permitem medições com grande precisão. Atualmente,
tais instrumentos podem ser encontrados em diferentes tipos de aplicação industrial que passamos a descrever:
•Verificação de vazamento: as colunas manométricas servem para a verificação e controle de vazamentos através de queda de pressão em testes
de câmaras de pressão em peças, teste de purificador de ar etc.;
•Determinação de velocidade de fluxo de ar: as colunas manométricas servem para determinar o fluxo de ar em tubulações através da medição da
pressão diferencial em testes de aparelhos de movimentação de ar, testes de carburadores, testes de coletores de poeira e também servem para
medir o nível de interface de líquidos, quando estes estão armazenados sob outro líquido por questão de segurança ou outras razões quaisquer;
•Medição de nível de líquidos armazenados: as colunas manométricas também podem ser utilizadas para medir nível de líquidos armazenados em
tanques através do registro da pressão exercida sobre uma coluna de líquido, baseando-se no princípio do balanceamento hidrostático.
Medidores de pressão.
❑ Piezômetro
O dispositivo mais simples para medidas de
pressão é o tubo piezométrico ou piezômetro,
que consiste em inserir um tubo transparente na
canalização ou recipiente onde se quer medir a
pressão, como ilustrado na Figura. O líquido
subirá no tubo a uma altura h, correspondente à
pressão interna.
❑ Tubo em U
Outro dispositivo é o tubo em U, como na Figura 30, aplicado para medir pressões muito
pequenas ou demasiadamente grandes para os piezômetros. Esse manômetro, já com
séculos de existência, pode ser simplesmente um tubo em forma de U, no qual se coloca
uma quantidade de líquido (não convém estar muito cheio para não transbordar
facilmente). Neste método a pressão a medir é aplicada a uma das aberturas do U,
enquanto que uma pressão de referência é aplicada à segunda abertura. A diferença
entre as pressões é proporcional à diferença do nível do líquido, em que a constante de
proporcionalidade é o pesovolúmico do fluído. Pode-se encontrar a diferença de
pressão medindo a altura dos desníveis quando acoplado esse manômetro a dois
diferentes pontos da tubulação
Se o tubo estiver aberto, podemos calcular a relação entre as pressões em B e A, utilizando o que denominamos equação
manométrica:
𝑝𝐴 = 𝑝𝐴
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾´. ℎ
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 + 𝛾. ℎ
Como: 𝑝𝐵 = 𝑝𝐶
𝑝𝐷 = 𝑝𝐴 + 𝛾´. ℎ − 𝛾. 𝑧
( )1 1 2 1 2A BP P P g a h P g a g h  =  +   + = +   +  
1 1 1 2 1 2A BP P P g a g h P g a g h   =  +   +   = +   +  
( )1 2 2 1P P g h − = −  
1 2P P
❖ Manômetro de Bourdon: Consiste num tubo de latão achatado, fechado numa extremidade e dobrado em forma circular. A
extremidade fechada é ligada por engrenagem e pinhão a um ponteiro que se desloca sobre uma escala. A abertura é ligada a
um aparelho cuja pressão externa quer se medir. Quando se exerce uma pressão no interior do tubo achatado, ele se desenrola
ligeiramente, como o faria uma mangueira de borracha enrolada, quando se abre a torneira d‘água. O movimento resultante da
extremidade fechada do tubo é transmitido ao ponteiro.
❑ Pressão Manométrica 
ou pressão de Gauge.
Sendo a região externa ao manômetro metálico de Bourdon sujeita à pressão P2 e a região interna sujeita à pressão P1, o
manômetro indicará:
1 2manômetroP P P= −
𝑝𝑚 = 𝑝𝑎𝑏𝑠 − 𝑝0 𝑝0 : Pressão atmosférica 𝑝𝑎𝑏𝑠 : Pressão absoluta
Manômetros de Bourdon são os instrumentos de medição da pressão mecânica mais utilizados. Seu elemento de medição é
muitas vezes referido como um tubo de Bourdon: O engenheiro francês Eugène Bourdon utilizou esse princípio no século XIX.
O conceito é baseado em uma mola elástica e um tubo curvado em forma de C com uma seção transversal oval.
❖ Medidores de pressão no corpo humano:
▪ Pressão intraocular: Os fluidos do
globo ocular, os humores aquoso e
vítreo que transmitem a luz à retina
(parte fotossensível do olho), estão sob
pressão e mantêm o globo numa forma
e dimensão aproximadamente fixas. As
dimensões do olho são críticas para se
ter uma boa visão. Uma variação de 0.1
mm no seu diâmetro pode produzir um
efeito significativo no desempenho da
visão. A pressão em olhos normais
varia de 13 a 28 mmHg, sendo a média
de 15 mmHg
O humor aquoso, fluido contido na parte frontal do olho, é essencialmente água. O olho reduz continuamente o
humor aquoso, cerca de 5 ml por dia, e existe um sistema de drenagem que permite a saída do excesso. No entanto,
se ocorresse um bloqueio nesse sistema de drenagem, a pressão ocular aumentaria comprimindo a artéria retiniana e
isso poderia restringir a circulação sanguínea na retina, provocando a visão tunelada ou até mesmo a cegueira. A
essa situação se dá o nome de glaucoma, e a pressão intra-ocular pode aumentar até 70 mmHg, embora em
circunstâncias normais se eleve até 30 ou 45 mmHg.
A pressão intra-ocular era estimada pelos médicos pressionando o olho com os dedos e sentindo a reação
produzida pelo mesmo. Hoje em dia isso é feito pelo tonômetro, que mede pressão ocular determinando a deflexão
da córnea sob a ação de uma força conhecida.
▪ Pressão sanguínea: A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de
mercúrio com uma das extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena bomba de
borracha, como indica a Figura (A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível aproximadamente igual ao
do coração, a fim de assegurar que as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do ar contido na
bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue através das artérias do braço seja bloqueado
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para
detectar a volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar contido na bolsa se igualar à
pressão sistólica, isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue que está à pressão sistólica
consegue fluir (os sons ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são
chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna de mercúrio é lida e corresponde à pressão manométrica
sistólica. À medida que o ar é eliminado, a intensidade do som ouvido através do estetoscópio aumenta. A pressão
correspondente ao último som audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando o sangue a baixa
pressão consegue fluir pela artéria não oclusa.
𝑝 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝 = 13.6 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 0.015 ⟺ 𝑝 = 2040𝑃𝑎
IDADE EM ANOS PRESSÃO ARTERIAL EM mmhg
4 85/60
6 95/62
10 100/65
12 108/67
16 118/75
Adulto 120/80
Idoso 140-160/90-100
𝑝 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝑝 = 13.6 ⋅ 10
3 ⋅ 10 ⋅ 0.015 ⟺ 𝑝 = 2040𝑃𝑎
𝑝 = 13.6 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 0.12 ⟺ 𝑝 = 16.32 𝑘𝑃𝑎
❑ Baixa pressão
➢ Bombas de Vácuo 𝑝0 = 1𝑎𝑡𝑚 = 1.013 ⋅ 10
5𝑃𝑎 − 760 𝑚𝑚 𝐻𝑔
•Componentes:
C: Cilindro excêntrico.
F: Mola.
H: Abertura da parte superior.
G: Válvula.
A: Tubo que liga o recipiente a ser exaurido R à bomba de vácuo.
B: Espaço onde passa o ar.
D: Palheta deslizante.
❑ Aplicações: Lâmpadas elétricas, tubos de imagem de TV, tubos de osciloscópios,
células fotoelétricas, tubos de raios X, etc.
❑ Bombas Rotatórias com Vedação a Óleo 𝑝 = 10−1𝑃𝑎
❑ Bomba Difusora e Bombas Moleculares:
Uma bomba difusora é constituída por um invólucro cilíndrico dentro do qual
existem uns vaporizadores para o líquido da bomba e sobre este uma chaminé que
conduz o vapor aos vários andares de ejetores. As moléculas do vapor do fluido ao
saírem dos ejetores arrastam as moléculas do gás existente dentro da bomba para
baixo e de encontro às paredes da bomba. Como estas são arrefecidas, por circulação
de água ou ar, dá-se a condensação do fluido que volta ao vaporizador. O gás arrastado
é comprimido na parte inferior de onde é retirado pela bomba rotatória associada à
bomba de difusão.
O vácuo atingido por estas bombas é determinado pela tensão de vapor do
fluido da bomba. Os fluidos utilizados em bombas de difusão são: mercúrio (Hg) ou
óleos especiais de muito baixa tensão de vapor. Quando se usa o mercúrio é necessário
colocar uma armadilha criogênica ("trap") de nitrogênio líquido entre a bomba e o
volume a bombear para condensar o vapor de Hg, visto que a tensão de vapor de
mercúrio à temperatura ambiente (20oC) é de aproximadamente 10-3 mbar.
Na associação: bomba de pré-vácuo (rotatória) e bomba de difusão, esta
última nunca deve ser ligada sem que se estabeleça antes um vácuo primário de 10-1
mbar, caso contrário, o óleo ou mercúrio oxidam-se devido ao aquecimento na
presença do ar.
•Medidores de vácuo
•Pirani
Este tipo de medidor é formado por um tubo metálico ou de vidro, e um
filamento aquecido instalado no centro tubo. Mede-se a variação da resistência
deste filamento que está a temperatura de 120oC. A remoção do calor do
filamento faz-se por meio dos átomos e moléculas que colidem com o filamento.
estes recebem energia térmica do filamento e perdem-na em choques com a
parede de tubo que está a temperatura mais baixa. A perda de calor pelo filamento
é função do número de moléculas presentes, e portanto, da pressão.
Em geral, o filamento faz parte de uma ponte de resistência e avariação da
resistência é medida pelo desequilíbrio da ponte.
Medidores Pirani medem pressões até 10-3 a 10-4 mbar.
❑ Medidores de baixa pressão
❑ Alta pressão
▪ Zona abissal ou pelágica ℎ = 10 𝑚 ⇔ 𝑝 = 𝜌𝑎 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ ⇔ 𝑝 = 10
3 ⋅ 10 ⋅ 10 ⇔ 𝑝 = 105𝑃𝑎 = 1𝑎𝑡𝑚
20 𝑎𝑡𝑚
4000 𝑚
▪ Submarinos
▪ Peixes abissais
https://brainly.com.br/tarefa/5287015
• Embolia: passagem do N2 para estado gasoso no sangue.
https://brainly.com.br/tarefa/5287015
▪ Fossa das marianas : 11000 m – 1874 – mapeamento feito pelo Navio inglês Challenger
❑ Algumas unidades de pressão ❑ Pressões e relações. Unidades de pressão
1psi = 1 lb/in2
1lb = 4.4482 N
1 in = 2.54 cm
Exercícios Propostos: Viscosidade e transporte
1. Representa-se as placas planas e paralelas.A placa superior é móvel e entre elas tem-se óleo de 2 mm de espessura com
viscosidade absoluta de  =  = 9.8 cP. A placa superior move-se com velocidade de 2 m/s. Determine a tensão de cisalhamento
 em kgf/m² e a força em kgf que impulsiona a placa de área A = 3 m².
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 = 9.8 𝑐𝑃 = 9.8 ⋅ 10−2 ⋅ 10−1 = 9.8. 10−3
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
⇔ 𝜇 = 𝜂 = 9.8. 10−3
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
2 − 0
2 ⋅ 10−3
= 1000 = 103 ⟺
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 1000 = 103
𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 = 9.8 ⋅ 10−3 ⋅ 103
𝜏 = 9.8
𝑁
𝑚2
⟺ 𝜏 =1
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
1𝑐 = 10−2
1𝑃𝑜 = 10−1
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
1 𝑘𝑔𝑓 = 9.8 𝑁 ≅ 10 𝑁
𝜏 =
𝐹
𝐴
⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴⟺ 𝐹 = 1 ⋅ 3 ⟺ 𝐹 = 3 kgf
v = 0
v = 2 m/s
dy = 2 mm
𝜏 =
𝐹
𝐴
⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴
𝐹 = 1
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
⋅ 3 𝑚2
𝐹 = 3 𝑘𝑔𝑓
𝜏 =1
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
∆𝑣
∆𝑦
=
𝑣 − 0
𝑑𝑦
Observação:
y
y = 0
𝑑𝑣
𝑑𝑦
Derivada da velocidade das camadas de fluido em relação à espessura y
1 𝑚𝑚 = 10−3𝑚
2. Representa-se as placas planas e paralelas. A placa superior é móvel e a outra é fixa. A espessura entre elas é y = 0.5 cm e
existe um fluido com viscosidade absoluta de  =  = 0.008 Pa.s . Há uma tensão de cisalhamento de 0.08 kgf/m². Determinar a
velocidade com que a placa se movimenta sabendo que o perfil de velocidade é linear.
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 = 0.008
𝑁⋅𝑠
𝑚2
⟺ 𝜏 = 0.08
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
⟺ 𝜏 = 0.08 ⋅ 10 ⟺ 𝜏 = 0.8
𝑁
𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝜏
𝜇
⇔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝜏
𝜇
=
0.8
0.008
= 102
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑣 − 0
0.5 ⋅ 10−2
= 102 ⟺
𝑣 = 0.5 ⋅ 10−2 ⋅ 102
𝑣 = 0.5
𝑚
𝑠
1𝑘𝑔𝑓 = 9.8 𝑁 ≅ 10 𝑁
v ?
v =0
1𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 =
𝑁
𝑚2
⋅ 𝑠
𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⟺
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝜏
𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
∆𝑣
∆𝑦
=
𝑣 − 0
𝑑𝑦
3. Um êmbolo de massa 5 kg move-se devido à ação da gravidade, como mostrado, no interior de um cilindro. O diâmetro do
êmbolo é de 300 mm e o espaço entre o êmbolo e o cilindro é preenchido com um óleo de espessura 0.2 m, de viscosidade
absoluta 0.8 N.s/m². Sabendo que o perfil de velocidades é linear, determine a velocidade de descida do êmbolo. g = 10 m/s²
✓ Solução:
𝜏 =
𝐹𝑣
𝐴
⇔𝐹𝑣 = A ⋅ 𝜏
𝐹𝑣 = 𝑃 = 𝑚 ⋅ 𝑔 = A ⋅ 𝜏
𝐹𝑣 = 𝑃 = 𝑚 ⋅ 𝑔 = A ⋅ 𝜏
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐴 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿
𝐷 = 2 ⋅ 𝑅
𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿
𝑚 ⋅ 𝑔 = A ⋅ 𝜏 ⇔ 𝑚 ⋅ 𝑔 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑣−0
𝑒
⇔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑣
𝑒
𝑚 ⋅ 𝑔 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜇 ⋅
𝑣
𝑒
⟺ 𝑣 =
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑒
𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜇
𝑣 =
5 ⋅ 10 ⋅ 0.2 ⋅ 10−3
𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8
𝑣 =
0.01
0.30159
⇔ 𝑣 = 0.0332
𝑚
𝑠
⇔ 𝑣 = 3.32
𝑐𝑚
𝑠
4. Determinar o torque resistente e a tensão de cisalhamento originada pelo lubrificante em contato com o eixo representado a
seguir, com rotação de 2800 rpm. Dados: viscosidade absoluta do óleo 0.25 ⋅ 10−2𝑃𝑎 ⋅ 𝑠.
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝑀
𝑅
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑀
Τ𝐷 2
= 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
𝜔 = 2𝜋 ⋅
2800
60
⇔ 𝜔 = 293.215
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
⇔ 𝑣 = 293.218 ⋅
0.3
2
⇔ 𝑣 = 43.982
𝑚
𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 0.32 ⋅ 0.1 ⋅
43.982
0.06 ⋅ 10−3
⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝑀 = 25.0975𝑁.𝑚
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝜏 =
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝜏 =
43.982
0.06 ⋅ 10−3
⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝜏 = 1832.58
𝑁
𝑚2
Exercícios: Viscosidade e transporte
1. Para um escoamento sobre uma placa, a variação vertical de velocidade v com a distância y na direção normal à placa é dada
por v(y) = ay - by², onde a e b são constantes. Obtenha uma relação para a tensão de cisalhamento na parede (y = 0) em termos de
a, b e  (viscosidade dinâmica ).
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
𝑎 ⋅ 𝑦 + 𝑏 ⋅ 𝑦2 ⇔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 𝑦
𝑦 = 0 ⇔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 0 = 𝑎
𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 = 𝜇 ⋅ 𝑎
2. Uma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 m/s. As duas
placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm, e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidade de 0.9
N.s/m². A placa fina tem comprimento de 2 m e uma largura de 0.5 m. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas
estacionárias (h1 = h2 = 2 cm), qual é a força, em newtons (N) requerida para manter o movimento?
✓ Solução: 𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
⇔ 𝐴 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⇔ 𝐴 = 2 ⋅ 0.5 = 1𝑚²
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
5 − 0
0.02 − 0
+
5 − 0
0.02 − 0
= 500𝑠−1
𝐹
𝐴
= 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝐹 = 𝐴 ⋅ 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝐹 = 1 ⋅ 0.9 ⋅ 500
𝐹 = 450𝑁
3. Um fio passará por um processo de revestimento com verniz isolante. O processo consiste em puxá-lo por uma matriz circular
com diâmetro de 1 mm e comprimento de 50 mm. Sabendo-se que o diâmetro do fio é de 0.9 mm, e que, a velocidade com que é
puxado, de forma centralizada na matriz, é de 50 m/s, determine a força, em newtons (N), necessária para puxar o fio através dela
em um verniz de viscosidade dinâmica = 20 m Pa.s.
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
⇔ 𝐴 = 2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐿 ⇔ 𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿
𝐴 = 𝜋 ⋅ 0.9 ⋅ 50 ⇔ 𝐴 = 1.4137𝑚𝑚2
𝐴 = 1.413710−6𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
50 − 0
Τ𝐷 2 − 0
+
50
0.45 ⋅ 10−3
= 1.11 ⋅ 105𝑠−1
𝐹
𝐴
= 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝐹 = 𝐴 ⋅ 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 1.413710−6 ⋅ 20 ⋅ 1.11 ⋅ 105
𝐹 = 3.1412𝑁
4. Água ( = 1.003 m Pa.s e  = 1000 kg/m³) escoa em um conduto de 5 cm de diâmetro, com velocidade de 0.04 m/s. Sabendo
que o número de Reynolds é utilizado para determinar o regime de escoamento de um fluido, portanto, é correto afirmar que o seu
valor, para situação descrita e, consequentemente, o regime de escoamento do fluido são respectivamente:
✓ Solução:
𝑁𝑅 =
𝜌 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐷
𝜇
⇔ 𝑁𝑅 =
1000 ⋅ 0.04 ⋅ 0.05
1.003 ⋅ 10−3
𝑁𝑅 = 1994
𝑁𝑅 < 2000 ⇔ escoamento laminar
5. Acetona escoa por um conduto com 2 cm de diâmetro, em regime de escoamento laminar (considerar Reynolds igual a 2000).
Sabendo que a massa específica e viscosidade cinemática da acetona, valem respectivamente ρ = 790 kg/m3 e μ = 0.326 mPa.s,
determine a velocidade de escoamento (em m/s) para que as condições acima sejam mantidas.
✓ Solução:
𝜇 = 0.326𝑚 ⋅ 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 0.326 ⋅ 10−3𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
𝑁𝑅 =
𝜌 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐷
𝜇
⇔ 𝜈 =
𝜇
𝜌
⇔ 𝑁𝑅=
𝑣 ⋅ 𝐷
𝜈
𝑣 =
𝜇 ⋅ 𝑁𝑅
𝜌 ⋅ 𝐷
𝑣 =
0.326 ⋅ 10−3 ⋅ 2000
790 ⋅ 0.02
𝑣 = 0.041
𝑚
𝑠
6. regime de escoamento permanente (ou estacionário) de um
fluido é caracterizado por:
(a) haver mudança de localização do fluido com tempo.
(b) propriedades do fluido, em cada ponto do espaço,
permanecerem constantes com o tempo.
(c) massa específica do fluido ser uniforme e constante
com o tempo.
(d) propriedades do fluido, em cada ponto do espaço,
variarem com o tempo.
(e) movimento altamente desordenado do fluido e a
velocidade variar tridimensionalmente.
7. Uma placa quadrada, de 1 m de lado e 50 N de peso, desliza por um plano inclinado de 30 graus sobre uma película de óleo. A
velocidade da placa é de 1 m/s e a espessura da película de óleo é 2.0 mm. A viscosidade dinâmica do óleo (Pa.s) vale:
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
⇔ 𝜏 =
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 30°
𝑙2
𝜏 =
50 ⋅ sin 30°
12
𝜏 = 25
𝑁
𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
1 − 0
0.002 − 0
= 500𝑠−1
𝜇 =
𝐹
𝐴
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝜇 =
25
500
⇔ 𝜇 = 0.05
𝜇 = 0.05
𝑁⋅𝑠
𝑚2
⇔ 𝜇 = 0.05𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 Observação: 𝟏𝑷𝒂 = 𝟏
𝑵
𝒎²
8. Ache a tensão de cisalhamento que atuará no óleo de viscosidade dinâmica 𝜇 = 8.3 ⋅ 10−3
𝑁⋅𝑠
𝑚2
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
9. A placa superior é móvel e entre elas tem -se óleo de 2 mm de espessura com viscosidade absoluta de 9.8 cP. A placa superior
move-se com velocidade de 2 m/s com perfil de velocidade linear. Determine a tensão de cisalhamento em kgf/m² e a força em kgf
que impulsiona a placa de área 3 m².
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
2 − 0
0.002 − 0
= 1000𝑠−1
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜂 ⟺ 𝜏 =
2 − 0
2 ⋅ 10−3
9.8 ⋅ 10−3
𝜏 = 9.8
𝑁
𝑚2
⇔ 𝜏 =0.98
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
𝜏 =
𝐹
𝐴
⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴 ⇔ 𝐹 = 0.98 ⋅ 3
𝑭 = 𝟐. 𝟗𝟒 𝒌𝒈𝒇
10. A placa superior é móvel e entre elas tem -se um fluido de 0.5 cm de espessura com viscosidade absoluta de  =  = 0.008
Pa.s, que sofre tensão de cisalhamento de 0.08 kgf/m². Qual é a velocidade com que a placa superior se movimenta (no SI),
sabendo que o perfil de velocidade é linear?
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑣
0.005
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜂 ⟺ 0.08 ⋅ 10 =
𝑣
0.005
0.08
𝑣 = 0.005
𝑚
𝑠
11. Um êmbolo de massa 5 kg move-se devido à ação da gravidade no interior do cilindro. O diâmetro é de 300 mm e o espaço 
entre o êmbolo e o cilindro é preenchido com óleo de espessura 0.2 mm, de viscosidade absoluta 0.8 N.s/m². Sabendo que o perfil 
de velocidade é linear, determine a velocidade de descida do êmbolo (g = 10m/s²).
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐹 = 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐹 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑚 ⋅ 𝑔
𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
5 ⋅ 10
𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8
𝑣
𝑒
= 165.79
𝑣 = 165.79 ⋅ 0.0002
𝑣 = 0.0331
𝑚
𝑠
12. Determinar o torque resistente M e a tensão de cisalhamento  originado pelo lubrificante em contato com o eixo
representado, com rotação de 2800 rpm.
Dados: viscosidade absoluta do óleo:
 = 0.25 ⋅ 10−2𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
g = 10m/s².
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝑀
𝑅
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑀
Τ𝐷 2
= 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
𝜔 = 2𝜋 ⋅
2800
60
⇔ 𝜔 = 293.215
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
⇔ 𝑣 = 293.218 ⋅
0.3
2
⇔ 𝑣 = 43.982
𝑚
𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 0.32 ⋅ 0.1 ⋅
43.982
0.06 ⋅ 10−3
⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝑀 = 25.0975𝑁.𝑚
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝜏 =
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝜏 =
43.982
0.06 ⋅ 10−3
⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝜏 = 1832.58
𝑁
𝑚2
13. Uma placa retangular de dimensões 1.0 m por 0.8 m e massa de 4.0 kg desliza sobre um plano inclinado com velocidade
constante de 1 m/s. Entre a placa e o plano inclinado existe uma película de óleo de 1 mm de espessura. Determine a viscosidade
absoluta do óleo e a força de cisalhamento.
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝜃
𝐹 = 4 ⋅ 10 ⋅ sin 20°
𝐹 = 13.67 𝑁
𝜏 =
𝐹
𝐴
𝜏 =
13.67
1 ⋅ 0.8
𝜏 = 17.088 𝑁.𝑚
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜇 = 𝜂 =
17.088
1
1 ⋅ 10−3
𝜇 = 𝜂 = 1.71 ⋅ 10−2
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
𝜇 = 𝜂 = 0.0171
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
14. Uma placa quadrada de lado 0.8 m, desce com velocidade constante entre os planos indicados. O óleo utilizado entre as
placas possui viscosidade absoluta de 0.01 Pa.s. Determine a velocidade de cada placa de massa 2 kg sabendo que a espessura do
filme do óleo é de 3 mm.
✓ Solução:
𝐹 = 2 ⋅ 𝐴 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 45°
𝐹 = 2 ⋅ 0.8² ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 0.01 = 2 ⋅ 10 ⋅
2
2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 1104.85
𝑣 = 1104.85 ⋅ 𝑒
𝑣 = 1104.85 ⋅ 0.003
𝑣 = 3.31
𝑚
𝑠
15. O eixo a seguir rotaciona dentro de uma luva com frequência de 1300 rpm. Entre a luva e o eixo existe uma camada de óleo
com viscosidade cinemática  = 0.003 m²/s e massa específica de 850 kg/m³. Nessas condições, determine o torque M gerado,
sabendo que o diâmetro da luva é de 70.2 mm.
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜈 =
𝜂
𝜌
⇔ 𝜂 = 𝜌 ⋅ 𝜈
𝜂 = 850 ⋅ 0.003 ⇔ 𝜂 = 2.55 𝑃𝑎. 𝑠
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀
𝑅
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑀
Τ𝐷 2
= 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
𝜔 = 2𝜋 ⋅
1300
60
⇔ 𝜔 = 136.136
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
⇔ 𝑣 = 136.136 ⋅
0.070
2
⇔ 𝑣 = 4.765
𝑚
𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 0.0702 ⋅ 0.5 ⋅
4.765
0.1 ⋅ 10−3
⋅ 2.55
𝑀 = 467.61𝑁.𝑚
Exercícios: Densidade e Peso específico
1. A Lua possui massa de 7.35 . 1022 kg e raio igual a 1740 km. Qual é sua densidade média?
𝜌𝐿 =
𝑚𝐿
𝑉𝐿
𝑚𝐿 = 7.35 ⋅ 10
22𝑘𝑔
𝑉𝐿 =
4
3
𝜋 ⋅ 𝑅𝐿
3
𝑅𝐿 = 1740𝑘𝑚 ⇔ 𝑅𝐿 = 1.74 ⋅ 10
3𝑘𝑚 ⇔ 𝑅𝐿 =1.74⋅ 10
3 ⋅ 103𝑚 ⇔ 𝑅𝐿 = 1.74 ⋅ 10
6𝑚
𝑉𝐿 =
4
3
𝜋 ⋅ 1.74 ⋅ 106 3
𝑉𝐿 = 2.2067 ⋅ 10
19𝑚3
𝜌𝐿 =
𝑚𝐿
𝑉𝐿
𝜌𝐿 =
7.35 ⋅ 1022
2.2067 ⋅ 1019
𝜌𝐿 = 3330.7
𝑘𝑔
𝑚3
𝜌𝐿 = 3.3307
𝑔
𝑐𝑚3
1
𝑘𝑔
𝑚3
=
1000𝑔
102𝑐𝑚 3
=
103
106
𝑔
𝑐𝑚3
= 10−3
𝑔
𝑐𝑚3
1
𝑘𝑔
𝑚3
= 10−3
𝑔
𝑐𝑚3
2. Calcule a densidade média da Terra, sabendo que seu volume igual a, aproximadamente, 1.083 ⋅ 1021𝑚3 e sua massa é
5.973 ⋅ 1024𝑘𝑔.
𝜌𝑇 = 5515
𝑘𝑔
𝑚3
𝜌𝑇 =
𝑚𝑇
𝑉𝑇
𝜌𝑇 =
5.973 ⋅ 1024
1.083 ⋅ 1021
𝜌𝑇 = 5.515
𝑔
𝑐𝑚3
https://www.wolframalpha.com/input/?i=5.973+10%5E24%2F1.083+10%5E21
https://www.wolframalpha.com/input/?i=5.973+10%5E24%2F1.083+10%5E21
A Lua é oca?
Há suposições de que o interior da Lua pode ser oco; estas teorias começaram a ser levantadas antes da primeira visita dos astronautas ao
satélite. Em 1962, o Dr. Gordon MacDonald (cientista da Nasa) reviu informações sobre a densidade da Terra e comparou com a densidade
da Lua (muito inferior), concluindo que a diferença seria justificada se a Lua fosse oca, uma vez que sua densidade não era compatível com
a de uma esfera homogênea. Também compartilhou essa ideia o Dr. Harold Clayton Urey, (Nobel de Química de 1934); ele sugeriu que a
Lua contém uma cavidade. Opinião semelhante tem o Dr. Sean C. Salomon, do MIT, que declarou: “...a Lua pode ser oca.” Carl Sagan
também disse: “Um satélite natural não pode ser um objeto oco. Se isso é verdade e a Lua for realmente oca significa que existe alguma
coisa muito estranha sobre o nosso satélite”.
Informações sobres pousos dos módulos lunares da Apollo XII e da Apolo XIII assinalam que houve pequenos abalos sísmicos durante os
pousos. A Apollo XII teria provocado uma reverberação semelhante ao barulho de um sino e que durou cerca de uma hora. O fenômeno teria
se repetido com a Apollo XIII, com uma reverberação que durou três horas e vinte minutos.
Extraído de: Mecânica dos Fluidos: um curso introdutório
Adriana Aparecida Ambrósio de Souza, Claudio Sérgio Sartori, Irval Cardoso de Faria, Rodrigo Gontijo de Alvarenga, Rubens Pantano
Filho, Sidney Domingos e Tarcio Pellisoni Manfrim.
𝜌𝑇 = 5.515
𝑔
𝑐𝑚3
𝜌𝐿 = 3.3307
𝑔
𝑐𝑚3
❑ Programa Celestia
3. Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0.0158 kg e com dimensões 5,0 x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz
que o metal é ouro. Para verificar se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido?
Você foi enganado?
𝜌𝐴𝑢 = 19.3
𝑔
𝑐𝑚3
𝜌𝐹𝑒 = 7.8
𝑔
𝑐𝑚3
𝑉 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
▪ Dados:
𝑚 = 0.0158 ⋅ 1000 = 15.8 𝑔
𝑉 = 0.5 ⋅ 1.5 ⋅ 3
𝑉 = 2.25 𝑐𝑚3
𝜌 =
𝑚
𝑉
𝜌 =
15.8
2.25
𝜌 = 7
𝑔
𝑐𝑚³
4. Um sequestrador exige como resgate um cubo de platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta?
𝜌𝑃𝑡 = 21.45
𝑔
𝑐𝑚3
▪ Dados:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Periodic+Table
𝜌 =
𝑚
𝑉
a
a
a
𝑉 = 𝑎3
𝜌𝑃𝑡 =
𝑚
𝑎3
⟺ 𝜌𝑃𝑡 ⋅ 𝑎
3 = 𝑚
𝑎 =
3 𝑚
𝜌𝑃𝑡
𝑎 =
3 40000
21.45
𝑎 = 12.3 𝑐𝑚
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Root%5B40000%2F21.45%2C3%5D
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Periodic+Table
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Root%5B40000%2F21.45%2C3%5D
5. Um barril contém uma camada de óleo de 0.120 m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0.250 m. A
densidade do óleo é igual a 600 kg/m3 (a) Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água? (b) Qual é a pressão
manométrica no fundo do barril?
𝜌𝑜 = 600
𝑘𝑔
𝑚3
𝜌𝑎 = 1000
𝑘𝑔
𝑚3 ℎ𝑎 = 0.25 𝑚
ℎ𝑜 = 0.120 𝑚
i: interface óleo - água
f: fundo do Barril
(a) 𝑝𝑖 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝑜 ⟺ 𝑝𝑖 = 600 ⋅ 10 ⋅ 0.12 ⟺ 𝑝𝑖 = 720 𝑃𝑎
(b) 𝑝𝑓 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝑜 + 𝜌𝑎 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝑎 ⟺ 𝑝𝑓 = 600 ⋅ 10 ⋅ 0.12 + 1000 ⋅ 10 ⋅ 0.25 ⟺ 𝑝𝑓 = 720 + 2500 ⟺ 𝑝𝑓 = 3220 𝑃𝑎
6. Um veículo esportivo vazio pesa 16.5 kN.
Cada pneu possui umapressão manométrica igual a 205 kPa.
(a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis de
modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do existente no interior do pneu.)
(b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão manométrica do pneu, quando o peso total dos passageiros e da carga
for igual a 9,1 kN?
0abs mp p p= +
5
0 101.3 1.013 10p kPa Pa= = 
Força Peso: W = m.g
g = 10 m/s²
1 k N = 103 N
❑ Dados: pressão atmosférica:
(a) Cada pneu exerce uma força sobre o solo aproximadamente igual a ¼ do
peso total do carro W. Essa força causará uma pressão absoluta sobre o solo
igual a: (Sendo A a área de contato de um pneu com o solo).
𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎 =
Τ𝑊 4
𝐴
⟺ 𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎 =
𝑊
4 ⋅ 𝐴
⟺ 𝐴 =
𝑊
4 ⋅ 𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎
𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎 = 𝑝𝑚 + 𝑝0 ⟺ 𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎 = 205 + 101.3 ⟺ 𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎 = 306.3 kPa
𝐴𝑇 = 4 ⋅ 𝐴 ⟺ 𝐴𝑇 = 4 ⋅
𝑊
4 ⋅ 𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎
⟺ 𝐴𝑇 =
𝑊
𝑝1𝑅𝑜𝑑𝑎
⟺ 𝐴𝑇 =
16.5 𝑘𝑁
306.3 𝑘𝑃𝑎
⟺ 𝐴𝑇 = 0.0538 𝑚
2 = 538 𝑐𝑚²
A
Pressão atmosférica
(b) ⟺ 𝐴𝑇 =
(16.5+9.1) 𝐾𝑁
306.3 𝑘𝑃𝑎
⟺ 𝐴𝑇 = 0.08358 𝑚
2 = 835.8 𝑐𝑚²
𝑝0 = 101.3 kPa
1 𝑚2 = 104𝑐𝑚²
7. Determine a pressão atmosférica em um local onde a leitura barométrica é de 740 mmHg e a aceleração gravitacional é g =
9.805 m/s2. Suponha que a temperatura do mercúrio seja 10 °C, na qual sua densidade é 13570 kg/m3.
R.: 98.5 kPa
𝑝0 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝐻𝑔
𝑝0 = 13570 ⋅ 9.805 ⋅ 0.74
𝑝0 = 98459. 849𝑃𝑎
𝑝0 = 98.5 𝑘𝑃𝑎
8. As infusões intravenosas geralmente são causadas pela gravidade, pendurando o frasco de líquido a uma altura suficiente para 
neutralizar a pressão sanguínea na veia e forçar o fluido para dentro do corpo. Quanto mais alto o frasco for levantado, maior será 
a vazão do fluido. 
(a) Se for observado que o fluido e a pressão sanguínea se equilibram quando a garrafa está 1.2 m acima do nível do braço, 
determine a pressão manométrica do sangue. 
(b) Se a pressão manométrica do fluido no nível do braço precisar ser de 20 kPa para uma vazão suficiente, determine a que altura 
a garrafa deve ser colocada. Considere a densidade do fluido em 1020 kg/m3.
R.: (a) 12 kPa; (b) 2 m
𝑝𝑚 = 𝜌𝑠 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝑐(a)
𝑝𝑚 = 1020 ⋅ 9.81 ⋅ 1.2
𝑝𝑚 = 12007.44 𝑃𝑎
𝑝𝑚 = 12 𝑘𝑃𝑎
(b) 𝑝𝑚 = 𝜌𝑠 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
20000 = 1020 ⋅ 9.81 ⋅ ℎ
ℎ =
20000
1020 ⋅ 9.81
ℎ = 1.99 𝑚
9. Um manômetro é usado para medir a pressão de um gás em um tanque. O fluido usado tem uma gravidade específica de 0.85 e a 
altura da coluna do manômetro é de 55 cm, conforme mostrado na Figura. Se a pressão atmosférica local for de 96 kPa, determine 
a pressão absoluta dentro do tanque. R.: 100.6 kPa
Linha isóbaraa b 𝑝𝑎 = 𝑝𝑏
𝑃 = 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝑝0
𝑃 = 𝛾 ⋅ ℎ + 𝑝0 ⟺ 𝛾 = 𝜌 ⋅ 𝑔
𝑃 = 𝛾 ⋅ ℎ + 𝑝0
𝛾𝑅 =
𝛾
𝛾𝑎
⟺ 𝛾 = 𝛾𝑅 ⋅ 𝛾𝑎
𝛾𝑎 = 10
4
𝑁
𝑚3
𝛾𝑅 =
𝛾
𝛾𝑎
⟺ 𝛾 = 𝛾𝑅 ⋅ 𝛾𝑎
𝛾𝑅 = 0.85
⟺ 𝛾 = 0.85 ⋅ 104
𝛾 = 8.5 ⋅ 103
𝑁
𝑚3
𝑃 = 8.5 ⋅ 103 ⋅ 0.55 + 96000
𝑝0 = 96 kPa = 96000 Pa
𝑃 = 100675 𝑃𝑎 𝑃 = 100.675 𝑘𝑃𝑎
𝛾 = 𝜌 ⋅ 𝑔
10. Mostre que, com o manômetro acoplado na tubulação indicada:
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2 − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵
𝑝𝐴 = 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝1
𝑝𝐵 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝2
𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝1 = 𝜌2⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝2
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2⋅ 𝑔 ⋅ ℎ − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2 − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝜌2: densidade do líquido manométrico
𝜌1: densidade do fluido que está escoando
Linha isóbara (horizontal).
𝑝𝐴 = 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝1
𝑝𝐵 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝2
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵
11. Dois líquidos A e B, possuem massa específica ρA = 0.80 g/cm³ e ρB = 1.6 g/cm³. Estes fluidos são imiscíveis e estão em
equilíbrio em um tubo em U, conforme ilustrado abaixo. O desnível h entre as superfícies livres dos dois fluidos vale (em cm):
Dados: d = 40 cm
R.: 20
1 2
𝑝1 = 𝑝2
𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − ℎ
𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = −𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝜌𝐴 − 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = −𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
ℎ =
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑
𝜌𝐵 ⋅ 𝑔
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
ℎ =
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴
𝜌𝐵
𝑑
ℎ =
1.6 − 0.8
1.6
40
ℎ =
0.8
1.6
40
ℎ =
1
2
40
ℎ = 20 𝑐𝑚𝑑 − ℎ
12. Dois líquidos A e B, possuem massa específica ρA = 0.90 g/cm³ e ρB = 1.4 g/cm³. Estes fluidos são imissíveis e estão em 
equilíbrio em um tubo em U, conforme ilustrado abaixo. O desnível h entre as superfícies livres dos dois fluidos vale (em cm):
Dados: d = 35 cm
R.: 12.5
𝑝1 = 𝑝2
1 2
𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − ℎ
ℎ =
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴
𝜌𝐵
𝑑
ℎ =
1.4 − 0.9
1.4
35
ℎ =
0.5
1.4
35
ℎ = 12.5 𝑐𝑚
𝑑 − ℎ
13. Qual a pressão (em kgf/m²) de um óleo a uma profundidade de 17 m e peso específico 850 kgf/m³? R.:14450
𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝛾𝑜 = 850
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
⟺ 𝛾𝑜 = 8500
𝑁
𝑚3
1 𝑘𝑔𝑓 = 10 𝑁 ⟺ 1𝑁 = 0.1 𝑘𝑔𝑓
𝑔 = 10
𝑚
𝑠2
𝛾𝑜 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⟺ 𝜌𝑜 =
𝛾𝑜
𝑔
𝜌𝑜 =
8500
10
⟺ 𝜌𝑜 = 850
𝑘𝑔
𝑚3
𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝 = 850 ⋅ 10 ⋅ 17
𝑝 = 144500
𝑁
𝑚2
𝑝 = 14450
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
𝑝 = 𝛾𝑜 ⋅ ℎ
𝑝 = 850 ⋅ 17
𝑝 = 14450
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
14. Em um reservatório é armazenado um líquido. Para determinar o peso específico do líquido e consequentemente o tipo de
produto armazenado, um funcionário mede a diferença de pressão entre dois pontos, constatando um diferencial de 0.388 kgf/cm².
A distância entre os dois pontos analisados é de 6 metros. Qual o peso específico deste produto em (kgf/m³)?
R.: 647
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
Δ𝑝 = 𝛾0 ⋅ Δℎ
Δ𝑝 = 0.388
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚²
Δ𝑝 = 0.388
10 𝑁
1 ⋅ 10−4𝑚2
Δ𝑝 = 3.88 ⋅ 104
𝑁
𝑚2
Δ𝑝 = 3.88 ⋅ 104 = 𝜌𝑜⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
𝜌𝑜 =
3.88 ⋅ 104
𝑔 ⋅ Δℎ
𝜌𝑜 =
3.88 ⋅ 104
10 ⋅ 6
𝜌𝑜 = 646.7
𝑘𝑔
𝑚3
𝛾0 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔
𝛾0 = 646.7 ⋅ 10
𝛾0 = 6467
𝑁
𝑚3
1 𝑘𝑔𝑓 = 10 𝑁 ⟺ 1 𝑁 = 0.1 𝑘𝑔𝑓
𝛾0 = 6467
0.1 𝑘𝑔𝑓
𝑚3
𝛾0 = 646.7
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
1 𝑐𝑚2 = 1 ⋅ 10−4𝑚2
15. É representado um tubo em U, com dois fluidos imiscíveis de massa específica ρ1 e ρ2. O sistema está em equilíbrio.
Qual a relação entre as densidades?
R.:
1
2 1
2
h
h
 =
𝑎 𝑏
𝑝𝑎 = 𝑝𝑏
𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ1 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ2
𝜌2 =
𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ1
𝑔 ⋅ ℎ2
16. Um reservatório aberto tem 8 m de profundidade e está cheio de óleo (800 kg/m³). Considerando a gravidade local igual a 
10 m/s², quanto vale a pressão hidrostática a 2.5 m de profundidade (em Pa)? R.: 20000
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
Δ𝑝 = 800 ⋅ 10 ⋅ 2.5
Δ𝑝 = 20000 𝑃𝑎
17. Um reservatório aberto tem 8 m de profundidade e está cheio de óleo (800 kg/m³). Considerando a gravidade local igual a
10 m/s² e a PATM = 1.0.10
5 Pa, qual a pressão total no fundo do reservatório (em Pa)? R.:164000
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
𝑝 = 1 ⋅ 105 + 800 ⋅ 10 ⋅ 8
𝑝 = 164000 𝑃𝑎
18. Um reservatório aberto tem 8 m de profundidade e está cheio de óleo (800 kg/m³). Considerando a gravidade local igual a
10 m/s², quanto valerá a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, dentro do reservatório, separados por 65 cm vale (em
Pa)? R.: 5200
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
Δ𝑝 = 800 ⋅ 10 ⋅ 0.65
Δ𝑝 = 5200 𝑃𝑎
19. Dois liquidos não miscíveis 1 e 2 estão colocados em vasos comunicantes. Sendo ρ2 = 2.5 g/cm
3, h1 = 9.0 cm e h2 = 5.0
cm , determine a massa específica do líquido 1 (ρ1). Considere o sistema em equilíbrio. R.: 1.39
1
2 1
2
h
h
 =
2
1 2
1
h
h
 =
𝜌1 =
5
9
2.5
𝜌1 = 1.39
𝑔
𝑐𝑚3
20. Em um reservatório é armazenado um líquido. Para determinar a densidade do líquido e consequentemente o tipo de
produto armazenado, um funcionário mede a diferença de pressão entre dois pontos, constatando um diferencial de 0.425 kgf/cm².
A distância entre os dois pontos analisados é de 4 metros. Determine o peso específico deste produto (kgf/m³). R.:1062.5
Δ𝑝 = 𝛾 ⋅ Δℎ ⟺ 𝛾 =
Δ𝑝
Δℎ
𝛾 =
0.425
400
𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚3
1𝑚3 = 106𝑐𝑚3
1𝑐𝑚3 = 10−6𝑚3
𝛾 = 1.0625⋅ 10−3
𝑘𝑔𝑓
10−6𝑚3
𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3−−6
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3+6
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
𝛾 = 1.0625 ⋅ 103
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
𝛾 = 1062.5
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
21 .Um medidor e um manômetro são acoplados a um tanque de gás para medir sua pressão. Se a leitura no medidor de pressão for
65 kPa, determine a distância entre os dois níveis de fluido do manômetro se o fluido for (a) mercúrio (Hg =13.600 kg/m
3) ou (b)
água (a = 1000 kg/m
3)
22. Considere um tubo em U cujos braços estão abertos para a atmosfera. Agora a água é despejada no tubo em U de um braço e 
óleo leve (o = 790 kg/m
3) do outro. Um braço contém água de 70 cm de altura, enquanto o outro braço contém ambos os fluidos 
com uma proporção de altura óleo / água de 6. Determine a altura de cada fluido naquele braço. 
23. Água doce e água do mar fluindo em tubulações horizontais paralelas são conectadas entre si por um manômetro de tubo duplo 
em U, conforme mostrado. Determine a diferença de pressão entre as duas tubulações. Considere a densidade da água do mar 
naquele local como  = 1035 kg/m3. A coluna de ar pode ser ignorada na análise? 
24. A pressão em um gasoduto de gás natural é medida pelo manômetro mostrado com um dos braços aberto para a atmosfera
onde a pressão atmosférica local é de 14.2 psia. Determine a pressão absoluta na tubulação.
25. O sistema ilustrado a seguir mantém-se em repouso na horizontal. Desprezando-se o atrito, determine o valor de P4 no SI
de unidades. Dados:
A1 = 25cm
2, A2 = 5cm
2, A3= 50cm
2, A4 = 30cm
2, P1 = 20 N/cm
2 Patm = 0, F= 2500N,
Kmola = 170 N/cm, mola distendida de 3 cm.
R.: 233000
26. O sistema ilustrado a seguir mantém-se em repouso na horizontal. Desprezando-se o atrito, determine o valor de P4 no SI
de unidades. Dados:
A1 = 25cm
2, A2 = 5cm
2, A3= 50cm
2, A4 = 30cm
2, P1 = 20 N/cm
2 Patm = 0, F = 2500 N,
Kmola = 170 N/cm, mola distendida de 3 cm.
R.: 233000
𝐹𝑝 = 𝐹 − 𝐹𝑒
𝐹𝑒
𝐹𝑃
𝐹𝑝 = 2500 − 170 ⋅
0.03
0.01
𝐹𝑒 = 𝑘 ⋅ 𝑥
𝐹𝑝 = 2500 − 170 ⋅ 3
𝐹𝑝 = 1990 𝑁
𝑝1 =
𝐹1
𝐴1
⇔ 𝐹1 = 𝑝1 ⋅ 𝐴1
𝑝4 =
𝐹4
𝐴4
⇔ 𝑝4 =
699
0.003
⇔ 𝑝4 = 233000 Pa
𝑝3 =
𝐹𝑃
𝐴3
⇔ 𝑝3 =
1990
50 ⋅ 10−4
𝑝3 = 398000 𝑃𝑎
⇔ 𝐹1 = 20 ⋅ 25 ⇔ 𝐹1 =500 N
𝐹1𝑝3 = 𝑝3 ⋅ 𝐴1
𝐹1𝑝3 = 398000 ⋅ 0.0025 ⇔ 𝐹1𝑝3 =995 N
𝐹1
𝐹1𝑝3
𝐹𝑅1𝑝3 = 𝐹1𝑝3 −𝐹1 =500-995
𝐹𝑅1𝑝3 = −495 N
𝐹4 = 𝑝3 ⋅ 𝐴4 + 𝐹𝑅1𝑝3 ⇔ 𝐹4 = 398000 ⋅ 0.003 − 495
𝐹4 =699 N
Ƹ𝑖
𝐹𝑅1𝑝3
27. O sistema ilustrado a seguir mantém-se em repouso na horizontal. Desprezando o atrito, determine o valor de P4 em kPa.
Dados: A1 = 30cm
2, A2 = 5cm
2, A3= 50cm
2, A4 = 30cm
2
P1 = 20 N/cm
2 , Patm = 0, F= 2600N, 
Kmola = 180 N/cm (mola distendida de 2 cm)
Exercícios: Viscosidade
1. Para um escoamento sobre uma placa, a variação vertical de velocidade v com a distância y na direção normal à placa é dada
por v(y) = a y + b y², onde a e b são constantes. Obtenha uma relação para a tensão de cisalhamento  na parede (y = 0) em termos
de a, b e  (viscosidade dinâmica ).
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
𝑎 ⋅ 𝑦 + 𝑏 ⋅ 𝑦2 ⇔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 𝑦
𝑦 = 0 ⇔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 0 = 𝑎
𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 = 𝜇 ⋅ 𝑎
2. Uma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 m/s. As duas
placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm, e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidade de 0.9
N.s/m². A placa fina tem comprimento de 2 m e uma largura de 0.5 m. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas
estacionárias (h1 = h2 = 2 cm), qual é a força, em newtons (N) requerida para manter o movimento?
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⟺ 𝜏 = 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
⇔ 𝐴 = 𝑏 ⋅ ℎ = 2 ⋅ 0.5 = 1 𝑚²
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
5 − 0
0.02 − 0
+
5 − 0
0.02 − 0
= 500 𝑠−1
𝐹
𝐴
= 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝐹 = 𝐴 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝐹 = (2 ⋅ 0.5) ⋅ 0.9 ⋅ 500
𝐹 = 450𝑁
3. Um fio passará por um processo de revestimento com verniz isolante. O processo consiste em puxá-lo por uma matriz circular
com diâmetro de 1 mm e comprimento de 50 mm. Sabendo-se que o diâmetro do fio é de 0.9 mm, e
que, a velocidade com que é puxado, de forma centralizada na matriz, é de 50 m/s, determine a força, em newtons (N), necessária
para puxar o fio através dela em um verniz de viscosidade dinâmica = 20 m Pa.s.
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
⇔ 𝐴 = 2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐿 ⇔ 𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿
𝐴 = 𝜋 ⋅ 0.9 ⋅ 50 ⇔ 𝐴 = 1.4137𝑚𝑚2
𝐴 = 1.413710−6𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
50 − 0
Τ𝐷 2 − 0
+
50
0.45 ⋅ 10−3
= 1.11 ⋅ 105𝑠−1
𝐹
𝐴
= 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝐹 = 𝐴 ⋅ 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 1.413710−6 ⋅ 20 ⋅ 1.11 ⋅ 105
𝐹 = 3.1412𝑁
✓ Solução:
4. Água ( = 1.003 m Pa.s e  = 1000 kg/m³) escoa em um conduto de 5 cm de diâmetro, com velocidade de 0.04 m/s. Sabendo 
que o número de Reynolds é utilizado para determinar o regime de escoamento de um fluido, portanto, é correto afirmar que o seu 
valor, para situação descrita e, consequentemente, o regime de escoamento do fluido são respectivamente:
✓ Solução:
𝑁𝑅 =
𝜌 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐷
𝜇
⇔ 𝑁𝑅 =
1000 ⋅ 0.04 ⋅ 0.05
1.003 ⋅ 10−3
𝑁𝑅 = 1994
𝑁𝑅 < 2000 ⇔ escoamento laminar
✓ Solução:
5. Acetona escoa por um conduto com 2 cm de diâmetro, em regime de escoamento laminar (considerar Reynolds igual a 2000).
Sabendo que a massa específica e viscosidade cinemática da acetona, valem respectivamente ρ = 790 kg/m3 e μ = 0.326 mPa.s,
determine a velocidade de escoamento (em m/s) para que as condições acima sejam mantidas.
𝜇 = 0.326𝑚 ⋅ 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 0.326 ⋅ 10−3𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
𝑁𝑅 =
𝜌 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐷
𝜇
⇔ 𝜈 =
𝜇
𝜌
⇔ 𝑁𝑅=
𝑣 ⋅ 𝐷
𝜈
𝑣 =
𝜇 ⋅ 𝑁𝑅
𝜌 ⋅ 𝐷
𝑣 =
0.326 ⋅ 10−3 ⋅ 2000
790 ⋅ 0.02
𝑣 = 0.041
𝑚
𝑠
6. regime de escoamento permanente (ou estacionário) de um fluido é caracterizado por:
(a) haver mudança de localização do fluido com tempo.
(b) propriedades do fluido, em cada ponto do espaço, permanecerem constantes com o tempo.
(c) massa específica do fluido ser uniforme e constante com o tempo.
(d) propriedades do fluido, em cada ponto do espaço, variarem com o tempo.
(e) movimento altamente desordenado do fluido e a velocidade variar tridimensionalmente
7. Uma placa quadrada, de 1 m de lado e 50 N de peso, desliza por um plano inclinado de 30 graus sobre uma película de óleo. A
velocidade da placa é de 1 m/s e a espessura da película de óleo é 2.0 mm. A viscosidade dinâmica do óleo (Pa.s) vale:
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
⇔ 𝜏 =
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 30°
𝑙2
𝜏 =
50⋅sin 30°
12
 𝜏 = 25 𝑁
𝑚2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
1 − 0
0.002 − 0
= 500 𝑠−1
𝜇 =
𝐹
𝐴
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⇔ 𝜇 =
25
500
⇔ 𝜇 = 0.05
𝜇 = 0.05
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
⇔ 𝜇 = 0.05𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 ;
Observação: 𝟏𝑷𝒂 = 𝟏
𝑵
𝒎²
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
𝜃
𝑃
8. Ache a tensão de cisalhamento que atuará no óleo de viscosidade dinâmica 𝜇 = 8.3 ⋅ 10−3
𝑁⋅𝑠
𝑚2
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏 = 𝜇 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
9. A placa superior é móvel e entre elas tem -se óleo de 2 mm de espessura com viscosidade absoluta de 9.8 cP. A placa superior
move-se com velocidade de 2 m/s com perfil de velocidade linear. Determine a tensão de cisalhamento em kgf/m² e a força em kgf
que impulsiona a placa de área 3 m².
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
2 − 0
0.002 − 0
= 1000𝑠−1
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜂 ⟺ 𝜏 =
2 − 0
2 ⋅ 10−3
9.8 ⋅ 10−3 = 9.8
𝑁
𝑚2
𝜏 = 9.8
𝑁
𝑚2
⇔ 𝜏 = 0.98
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
𝜏 =
𝐹
𝐴
⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴 ⇔ 𝐹 = 0.98 ⋅ 3
𝑭 = 𝟐. 𝟗𝟒 𝒌𝒈𝒇
1𝑐𝑃 = 10−2𝑃 = 10−3𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 10−3
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
1𝑁 = 0.1𝑘𝑔𝑓
10. A placa superior é móvel e entre elas tem -se um fluido de 0.5 cm de espessura com viscosidade absoluta de  =  = 0.008 
Pa.s, que sofre tensão de cisalhamento de 0.08 kgf/m². Qual é a velocidade com que a placa superior se movimenta (no SI), 
sabendo que o perfil de velocidade é linear?
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑣
0.005
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜂 ⟺ 0.08 ⋅ 10 =
𝑣
0.005
0.08
𝑣 = 0.005
𝑚
𝑠
11. Um êmbolo de massa5 kg move-se devido à ação da gravidade no interior do cilindro. 
O diâmetro é de 300 mm e o espaço entre o êmbolo e o cilindro é preenchido com óleo de espessura 0.2 mm, de viscosidade
absoluta 0.8 N.s/m². Sabendo que o perfil de velocidade é linear, determine a velocidade de descida do êmbolo (g = 10m/s²).
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐹 = 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐹 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑚 ⋅ 𝑔
𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
5 ⋅ 10
𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8
𝑣
𝑒
= 165.79
𝑣 = 165.79 ⋅ 0.0002
𝑣 = 0.0331
𝑚
𝑠
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐴𝐿 = 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿
12. Determinar o torque resistente M e a tensão de cisalhamento  originado pelo lubrificante em contato com o eixo
representado, com rotação de 2800 rpm.
Dados: viscosidade absoluta do óleo:  = 0.25 ⋅ 10−2𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 ; g = 10m/s².
✓ Solução: 𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝑀
𝑅
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑀
Τ𝐷 2
= 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
𝜔 = 2𝜋 ⋅
2800
60
⇔ 𝜔 = 293.215
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
⇔ 𝑣 = 293.218 ⋅
0.3
2
⇔ 𝑣 = 43.982
𝑚
𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 0.32 ⋅ 0.1 ⋅
43.982
0.06 ⋅ 10−3
⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝑀 = 25.0975𝑁.𝑚
𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝜏 =
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝜏 =
43.982
0.06 ⋅ 10−3
⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝜏 = 1832.58
𝑁
𝑚2
13. Uma placa retangular de dimensões 1.0 m por 0.8 m e massa de 4.0 kg desliza sobre um plano inclinado com velocidade 
constante de 1 m/s. Entre a placa e o plano inclinado existe uma película de óleo de 1 mm de espessura. Determine a viscosidade 
absoluta do óleo e a força de cisalhamento.
✓ Solução:
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝜃
𝐹 = 4 ⋅ 10 ⋅ sin 20°
𝐹 = 13.67 𝑁
𝜏 =
𝐹
𝐴
𝜏 =
13.67
1 ⋅ 0.8
𝜏 = 17.088 𝑁.𝑚
𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜇 = 𝜂 =
17.088
1
1 ⋅ 10−3
𝜇 = 𝜂 = 1.71 ⋅ 10−2
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
𝜇 = 𝜂 = 0.0171
𝑁 ⋅ 𝑠
𝑚2
14. Uma placa quadrada de lado 0.8 m, desce com velocidade constante entre os planos indicados. O óleo utilizado entre as
placas possui viscosidade absoluta de 0.01 Pa.s. Determine a velocidade de cada placa de massa 2 kg sabendo que a espessura do
filme do óleo é de 3 mm.
✓ Solução:
𝐹 = 2 ⋅ 𝐴 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 45°
𝐹 = 2 ⋅ 0.8² ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 0.01 = 2 ⋅ 10 ⋅
2
2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 1104.85
𝑣 = 1104.85 ⋅ 𝑒
𝑣 = 1104.85 ⋅ 0.003
𝑣 = 3.31
𝑚
𝑠
15. O eixo a seguir rotaciona dentro de uma luva com frequência de 1300 rpm. Entre a luva e o eixo existe uma camada de
óleo com viscosidade cinemática  = 0.003 m²/s e massa específica de 850 kg/m³. Nessas condições, determine o torque M gerado,
sabendo que o diâmetro da luva é de 70.2 mm.
✓ Solução: 𝜇 = 𝜂 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜈 =
𝜂
𝜌
⇔ 𝜂 = 𝜌 ⋅ 𝜈
𝜂 = 850 ⋅ 0.003 ⇔ 𝜂 = 2.55 𝑃𝑎. 𝑠
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀
𝑅
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑀
Τ𝐷 2
= 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑦
⋅ 𝜂
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
𝜔 = 2𝜋 ⋅
1300
60
⇔ 𝜔 = 136.136
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣 = 𝜔 ⋅
𝐷
2
⇔ 𝑣 = 136.136 ⋅
0.070
2
⇔ 𝑣 = 4.765
𝑚
𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅
𝑣
𝑒
⋅ 𝜂
𝑀 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 0.0702 ⋅ 0.5 ⋅
4.765
0.1 ⋅ 10−3
⋅ 2.55
𝑀 = 467.61𝑁.𝑚
Exercícios – Pressão e Empuxo
1. Identifique e Converta as grandezas em unidades do SI.
Valor e unidade Grandeza Valor e unidade 
(SI)
31 psi
12.3 atm
90 hp
120 cv
1 ano-luz
13.3 g/cm³
120 kW.h
2. O perfil de velocidade para uma película fina de um fluido newtoniano, que está confinado entre uma placa e uma superfície fixa 
é definida por
( ) 210 0.25v y y y=  − 
, onde y é em mm.
Determinar a tensão de cisalhamento a que o fluido exerce sobre a placa e sobre a superfície fixa. Tome  = 0.532 N.s/m2.
(R: 4.26 Pa; .32 Pa)
3. Em 1896, S. Rova Rocci desenvolveu o protótipo do esfigmomanômetro corrente, um dispositivo usado para medir a
pressão arterial.
Quando foi usado como uma manga em volta do braço superior e insuflado, a pressão de ar no interior do balonete foi ligado
a um manômetro de mercúrio. Se a leitura para o alto (ou sistólica)
pressão é de 120 mm e para o (ou diastólica) de baixa pressão é de 80 mm, determinar estas pressões em psi e pascal.
(R: 1.6.104 Pa, (3.31 psi ); 1.06.104 Pa (1.54 psi))
4. A viscosidade cinemática de um óleo é de 0.028 m2/s e o seu peso específico relativo é de 0.85.
Encontrar a viscosidade dinâmica em unidades do sistemas MKS, CGS e SI (g=10 m/s2).
5. A viscosidade dinâmica de um óleo é de 5 . 10-4 kgf.s/m2 e seu peso específico relativo é 0.82.
Encontre a viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s2 e a = 1000kgf/m
3.
6. O peso de 3 dm3 de certa substância é 23.5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s.
Se g = 10 m/s2, qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MKS e SI?
7. São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 mm.
A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa.
Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo ( = 0.1 St;  = 830 kg/m3), qual será a tensão de cisalhamento que agirá
no óleo? Resposta:  = 16,6 N/m2.
8. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma película de óleo.
A velocidade da placa é de 2m/s constante.
Qual a velocidade dinâmica do óleo se a espessura da película é de 2mm? Resposta:  = 10-2 N.s/m2.
9. O pistão da figura tem uma massa de 0.5 kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com velocidade constante.
O diâmetro do cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e entre os dois existe óleo com  = 10-4 m2/s e  = 8000 N/m3.
Com que velocidade deve subir o cilindro para qie o pistão permaneça em repouso?
(Supor diagrama linear e g = 10 m/s2). Resposta: v = 22.1 m/s.
10. Fazendo um biscate, você foi solicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8 cm de comprimento e 2,85 cm de diâmetro de
um depósito até um mecânico.
Você precisará usar um carrinho de mão? (Para responder, calcule o peso da barra.)
11. Um veículo esportivo vazio pesa 20.5 kN. Cada pneu possui uma pressão manométrica igual a 205 kPa.
(a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis de
modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do existente no interior do pneu.)
(b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão manométrica do pneu, quando o peso total dos passageiros e da carga
for igual a 12 kN?
12. Um bloco de madeira cúbico com aresta de 10,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de água e uma camada
de óleo, com sua base situada a l,50 cm abaixo da superfície livre do óleo . A densidade do óleo é igual a 790 kg/m3.
(a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco?
(b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco?
(c) Qual é a massa e a densidade do bloco?
o aE E P+ =
o o o o o oE m g E A h g=   =   
a a a a a aE m g E A h g=   =   
P m g= 
o o o a a aA h g A h g m g    +    = 
o o o a a aA h A h m   +   =
790 0.01 0.085 1000 0.01 0.015m =   +  
m
V
 =
13. Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N no ar.
(a) Qual é g o seu volume? (b) O lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão na corda
(o peso aparente do lingote na água)?
14. Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada em uma corda presa no fundo do lago.
O volume da esfera é igual a 0,650 m³ e a tensão na corda é igual a 900 N.
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera,
(b) Qual é a massa da esfera?
(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração dovolume da esfera que
fica submersa?
15. Uma amostra de minério pesa 17.50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na
água, a tensão na corda é igual a 11.20 N. Calcule o volume total e a densidade da amostra.
16. Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce.
Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela molhe
seus pés?
17. Um objeto com densidade média  flutua na superfície livre de um fluido com densidade fluido.
(a) Qual é a relação entre estas duas densidades?
(b) Levando em conta a resposta do item (a), como um navio de aço flutua na água?
(c) Em termos de  e de fluido qual é a fração do objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que fica acima da
superfície do fluido? Verifique se suas respostas fornecem os limites correios quando  → fluido e  → 0.
(d) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular (dimensões de 5,0
x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça possui massa igual a 42 g. Quando ela flutua no oceano, que fração fica acima da
superfície?
18. Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada em uma corda presa no fundo do lago.
O volume da esfera é igual a 0,650 m³ e a tensão na corda é igual a 900 N.
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera,
(b) Qual é a massa da esfera?
(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume da esfera que
fica submersa?
19. Uma barca aberta possui as dimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se que todas as partes da barca são feitas com
placas de aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode suportar em água doce sem afundar? Existe
espaço suficiente na parte interna da barca para manter esta quantidade de carvão? (A densidade do carvão é aproximadamente
iguala 1500 kg/m3.)
20. Um cubo de densidade  = 7.0 g/cm3 é colocado a 25 cm de profundidade na água, em relação à sua face superior. A
densidade da água é 1 g/cm³ e a altura do cubo vale h = 5 cm. O cubo está em Determine:
(a) As pressões manométricas na face inferior (pi) e na face superior (ps) do cubo.
(b) O empuxo sobre o cubo.
21. O bloco A da Figura 14.38 está suspenso por uma corda a uma balança de mola D e está submerso em um líquido C
contido em um recipiente cilíndrico B. A massa real do bloco é de 8.80 kg e a leitura da balança D indica seu peso aparente de 7,50
kg. O líquido C que o bloco está imerso é a água (C = 1g/cm
3). Encontre:
(a) a densidade do bloco, o empuxo e o volume do bloco.
(b) Resolva (a) para o caso da água ser trocada por óleo (C = 1g/cm
3).
r
corpo C
m
m
 = 

r
corpo C
r a
m
m m
 = 
−
8.8
1
8.8 7.5
corpo = 
−
36.77
g
corpo cm
 =
r
corpo C
r a
m
m m
 = 
−
(a) (b)
8.8
0.9
8.8 7.5
corpo = 
−
36.09
g
corpo cm
 =
12.7E m g N=   =
3 3
3
8.8
1.29 10
6.77 10
r
corpo
corpo
m
V m

−= = = 
