CAP7 Serway

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CAPÍTULO 7 
Energia Potencial 
EXERCÍCIOS: 
Sala: 2; 5; 8; 17; 18; 22; 25; 30; 36. 
Casa: 3; 4; 7; 9; 11; 16; 19; 21; 26;28; 29; 35. 
ymgΔ=
7.1 Energia Potencial de um Sistema 
Na figura, um livro é elevado ao longo da altura Δy 
por uma força externa F : 
Para onde foi esse trabalho? 
Trabalho é realizado pela força 
F sobre o sistema (Livro + 
Terra): 
Resposta: 
Ficou armazenado na forma de energia potencial gravitacio-
nal do sistema (livro + Terra): 
mgyUg ≡ gabF UUUW Δ=−=
e pode ser recuperada na forma de energia cinética quando se 
deixa o livro cair livremente. 
abF mgymgyW −=
F

rFWF

Δ⋅= yFΔ=
2 
ymgΔ=
J=
ymgWU Fg Δ==Δ
(só depende de Δy) 
Unidades: 
A energia potencial gravitacional depende 
apenas da altura vertical do corpo. Não 
depende da posição horizontal do corpo. 
Demonstração: 
Se a força, F, desloca o corpo ao longo de Δr, com compo-
nente horizontal (Δx) e vertical (Δy), o trabalho de F contra a 
gravidade é: 
ou seja, a variação na energia potencial é: 
Enigma rápido 7.1: 
A energia potencial gravitacional de um sistema 
pode ser negativa? 
][][ WU = ][K= joule=
rFWF

Δ⋅= ]ˆ)(ˆ)[()ˆ( jyixjmg Δ+Δ⋅=
7.2 O sistema Isolado 
Na figura, o livro é deixado cair ao longo da altura 
Δy, somente sob ação da gravidade: 
Trabalho realizado pela gra-
vidade sobre o livro: 
rgmWg

Δ⋅=
Por outro lado, é esse trabalho 
que aumenta a energia ciné-
tica do livro: 
KWg Δ=
jyjmg ˆ)()ˆ( Δ⋅−=
ymgΔ−=
gg UW Δ−=
Então, obtemos: 
gUK Δ−=Δ 0=Δ+Δ gUKou 
0)()( =−+− ifif UUKK
iiff UKUK +=+ou 
3 
Definindo a “energia mecânica” do sistema: 
gmec UKE +=
Obtemos: 
0=Δ+Δ gUK
iiff UKUK +=+fmecimec EE ,, =
0=Δ mecE
ou, mais explicitamente: 
iiff mgymvmgymv +=+
22
2
1
2
1
(princípio de conservação da 
energia mecânica) 
Enigma rápido 7.2: 
Três bolas idênticas são arremessadas do topo de 
um prédio com a mesma rapidez inicial, como 
mostrado na figura abaixo. Desprezando a resistên-
cia do ar, ordene a rapidez das bolas quando elas 
chegam ao solo. 
4 
7.3 Forças Conservativas e não 
Conservativas 
É qualquer força entre membros de um sistema 
que não causa transformação de energia mecâ-
nica em energia térmica. 
Forças conservativas (definição 01): 
Exemplos: 
Ø  Não conservativas: força de atrito. 
Ø  Conservativas: força gravitacional, elástica, 
elétrica, etc. 
abW−=
Obs: isso torna possível a definição da função 
energia potencial, com apenas um valor em cada 
ponto: 
(para qualquer cominho de a até b) 
abab UUU −=Δ
Forças conservativas (definição 02): 
O trabalho feito por uma força conservativa não 
depende da trajetória seguida pelos membros do 
sistema, depende apenas das configurações 
inicial e final do sistema. 
5 
UWaba Δ−=
Conseqüência: 
Quando um membro do sistema move-se numa 
trajetória fechada, o trabalho feito por uma 
força conservativa é nulo. 
aa UU −= 0=
(para qualquer cominho fechado) 
(força conservativa) 
2
2
1 kx=
Energia Potencial elástica de uma mola: 
2
2
1 kxWU apps =≡
Vimos: 
(energia potencial 
elática na mola) 
sapp WW −=
6 
0=
intEΔ−=
Conservação da energia para o sistema isolado: 
2
2
1 kxUs =
0=sU
0=iK
2
2
1 mvK f =
1) Na ausência de atrito: 
2) Na presença de atrito: 
fmecimec EE ,, = 22
2
1
2
1 mvkx =fs KU =
teconsEEUK sist tanint ==++
ou 
ou 
UKEmec Δ+Δ=Δ xfkΔ−=
sistEEUK Δ=Δ+Δ+Δ int
Enigma rápido 7.3: 
Um bloco de massa m é lançado sobre uma 
superfície horizontal com uma rapidez, v. Ele 
escorrega até ser parado pelo atrito. Agora, a 
superfície é inclinada de 30o e o bloco é lançado 
superfície acima, com a mesma rapidez inicial, v, e 
ele sobe até parar novamente. Nas duas situações, 
após o bloco atingir o repouso, como se comparam 
as reduções na energia mecânica do sistema Terra
+bloco? 
a)  São iguais; 
b)  ΔEincl > ΔEhoriz; 
c)  ΔEincl < ΔEhoriz; 
d)  Não é possível determinar. 
7 
UΔ−=
UΔ=
Para a situação mostrada na figura, vimos que: 
7.4 Forças Conservativas e Energia 
Potencial 
F

Uma força conservativa sempre permite a defini-
ção de uma função energia potencial. 
(trabalho da força 
aplicada) 
(trabalho da força 
gravitacional) 
Característica central das forças conservativas: 
abapp UUW −=
appg WW −=
i
x
x
UdxxFxU
f
i
+−= ∫ )()(
∫−=
f
i
x
x
x dxxF )(
)( o eixo x a curva eárea entre−=
Assim, quando a função força é dada, a função 
energia potencial é obtida de: 
(ΔU na direção x) xx WU −=Δ
Somente ΔU é que é fisicamente significante. Assim, 
o valor de Ui é considerado nulo em algum ponto 
de referência conveniente: 
0)( ≡= ii xUU
Observação: 
(para obter U a 
partir da força) 
Ø  Cálculo da energia potencial, sendo dada a 
força conservativa 
8 
∫−=
f
i
x
x
x dxxF )(
kxFx −=
A energia potencial armazenada na mola é: 
)( o eixo x a curva eárea entre−=
)
2
1
2
1( 22 fi kxkx −−=
22
2
1
2
1
if kxkxU −=Δ
ou: 
Fazendo: 
0=ix
UU f =
0≡iU
xx f =
obtemos: 
2
2
1 kxU = (energia potencial elástica) 
WU −=Δ
Exemplo: 
Cálculo da energia potencial do sistema massa-
mola, sujeito à força elástica : 
em 
em 
dU−=
kx−=
Ø  Cálculo da força, sendo dada a função energia 
potencial 
Trabalho da força conservativa para um desloca-
mento infinitesimal, dx: 
Exemplo: 
Cálculo da força elástica de uma mola, sendo dada a 
função energia potencial elástica da mola: 
dx
dUFx −=
(para calcular F(x), sendo dada U(x)) 
2
2
1 kxUs =
dx
dUF ss −= )2
1( 2kx
dx
d
−=
dxFdW x ⋅=
9 
ü Teste 01: Deseja-se que uma partícula se mova ao 
longo do eixo x, de x = 0 até x1, enquanto uma força 
conservativa atua sobre a partícula ao longo do 
mesmo eixo x. A figura mostra três situações nas 
quais a componente x dessa força varia com x. A 
força possui a mesma intensidade máxima F1 em 
todas as três situações. Classifique as situações de 
acordo com a variação da energia potencial 
associada durante o movimento da partícula, com a 
mais positiva primeiro. 
ü Teste 02: A figura mostra quatro situações — uma 
delas na qual um bloco inicialmente em repouso é 
solto e outras três nas quais se permite que o bloco 
desça deslizando em rampas sem atrito; 
a)  Classifique as situações de acordo com a energia 
cinética do bloco no ponto B, em ordem 
decrescente; 
b)  Classifique-as de acordo com a velocidade 
escalar do bloco no ponto B, também em ordem 
decrescente. 
10 
7.5 O Sistema não Isolado em 
Estado Estacionário 
Definição: 
Um sistema não isolado está em estado 
estacionário quando os mecanismos que 
transferem energia para o sistema equilibram os 
mecanismos que retiram energia do sistema. 
Representação pictográfica: 
(sistema em estado 
estacionário) 
sistema 
entraHΣ 0=ΔE
saiHΣ
0=Σ+Σ=Δ saientra HHE
( )saientra HH Σ−=Σ
(vizinhança) 
ou 
Exemplo: 
Uma casa está, normalmente, em estado quase-
estacionário: 
0≅Σ+Σ=Δ saientra HHE
saientra HH Σ−≅Σ
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Enigma rápido 7.4: 
Modele seu corpo como um sistema não isolado em 
estado estacionário. Que tipos de transferência de 
energia ocorrem? 
(Trabalho) 
(calor) 
(Transferência 
de matéria) 
(ondas 
mecânicas) 
(Radiação 
eletromagnética) 
Solução: 
(sistema) 
7.6 Energia Potencial Para Forças 
Gravitacionais e Elétricas 
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7.7 Diagramas de Energia e 
Estabilidade do Equilíbrio 
Equilíbrio estável: 
kx−=
dx
dUF ss −=
Ocorre nos pontos de mínimo da função energia 
potencial: 
Qualquer movimento para fora de x = 0, faz apa-
recer uma força restauradora,que traz o bloco de 
volta a sua posição original. 
Equilíbrio instável: 
dx
dUF −=
Ocorre nos pontos de máximo da função energia 
potencial: 
Qualquer movimento para fora de x = 0, faz apa-
recer uma força repulsiva, que tende a afastar 
mais ainda o bloco de x = 0. 
0>
dx
dU
0<
dx
dU
0>x0<x
(Coef. Ang. positivo) (Coef. Ang. negativo) 
)0( <x
)0( >x
0<F
0>F
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EXERCÍCIOS: 
Sala: 2; 5; 8; 17; 18; 22; 25; 30; 36. 
Casa: 3; 4; 7; 9; 11; 16; 19; 21; 26; 29; 35. 
2. Uma criança de 400 N está em um balanço ligado 
a cordas com 2,00 m de comprimento. Encontre a 
energia potencial gravitacional do sistema criança-
Terra em relação à posição mais baixa da criança 
quando (a) as cordas estão horizontais, (b) as cordas 
fazem um ângulo de 30,0° com a vertical, e (c) a 
criança está no ponto mais baixo do arco circular. 
[R: 800J; 107J; 0J] 
5. Uma conta furada desliza sem atrito por um fio 
que dá uma volta circular vertical (figura). A conta é 
solta de uma altura h = 3,5R (a) Qual é a velocidade 
escalar no ponto A? (b) Qual é o valor da força 
normal sobre ela no ponto A se sua massa é de 5,00 
g? [R: (3gR)1/2; 0,098N (para baixo)] 
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8. Suponha que uma trapezista de massa m, segure a 
barra do trapézio e salte de uma plataforma elevada, 
começando do repouso com as cordas a um ângulo 
θi, em relação à vertical. Suponha que o tamanho da 
trapezista seja pequeno comparado com o 
comprimento l, que ela não faça o trapézio oscilar 
mais alto, e que a resistência do ar seja desprezível. 
(a)  Mostre que quando as cordas fazem um ângulo 
θ com a vertical, a trapezista tem de exercer 
uma força de magnitude mg(3cosθ -2cosθi) para 
ficar pendurada; 
(b)  Determine o ângulo θi; para o qual a força 
necessária para a trapezista ficar pendurada na 
parte mais baixa da oscilação seja de duas vezes 
o peso dela [R: θi = 60º]. 
15 
17. Um corpo de massa m parte do repouso e desce 
escorregando por um plano sem atrito inclinado 
com um ângulo θ. Após deslizar por uma distância 
d, ele entra em contato com a extremidade de uma 
mola não comprimida nem esticada de massa 
desprezível, como mostrado na figura. O corpo 
desliza por uma distância adicional x até que atinja 
momentaneamente o repouso pela compressão da 
mola (de constante elástica k). Encontre a separação 
inicial d entre o corpo e a extremidade da mola. [R: 
kx2/(2mgsenθ) – x] 
18. Um corpo de 120 g está ligado à extremidade 
inferior de uma mola não esticada nem comprimida. 
A mola está dependurada verticalmente e tem uma 
constante elástica de 40,0 N/m. O corpo é solto; 
(a) Qual é sua velocidade escalar máxima? [(mg2/
k)1/2 = 0,537J] 
 
(b) Qual é a distância que ele cai até chegar 
momentaneamente ao repouso? 
 [2mg/k = 0,0588 m] 
16 
22. Um pára-quedista de 80,0 kg salta de um balão a 
uma altura de 1000 m e abre o pára-quedas a uma 
altura de 200 m. 
(a)  Supondo que a força retardadora total sobre o 
pára-quedista seja constante de 50,0 N com o 
pára-quedas fechado e constante de 3600 N com 
o pára-quedas aberto, qual é a velocidade esca-
lar do pára-quedista quando ele atinge o solo? 
[R: 24,5 m/s] 
(b)  Você acha que o pára-quedista vai se machucar? 
Explique; [vai, pois 24.5m/s = 88.2 km/h] 
(c)  De que altura deve o pára-quedas ser aberto 
para que a velocidade escalar final do pára-
quedista quando atinge o solo seja de 5,00 m/s? 
[R: 206 m] 
(d)  Quão realista é a suposição de que a força 
retardadora total seja constante? Explique. 
 [R: a força de atrito só é igual ao peso quando a 
velocidade fica constante. Antes de abrir o paraquedas, a 
força retardadpora é menor que o peso e aumenta ao 
longo da queda. Logo após abrir o paraquedas, a força 
retardadora é maior que o peso e diminui ao longo da 
queda] 
25. Um corpo de 1,50 kg é mantido a 1,20 m acima 
de uma mola vertical sem massa, relaxada, com 
uma constante elástica de 320 N/m. O corpo é solto 
sobre a mola. 
(a)  Quanto ele comprime a mola? [R: 0,381 m] 
(b)  Quanto ele comprime a mola se a mesma 
experiência é realizada na Lua, onde g = 1,63 
m/s2? [R: 0,143 m] 
(c)  Repita o item (a), mas dessa vez suponha que 
uma força constante de resistência do ar de 
0,700 N atue sobre a massa durante o seu 
movimento. [R: 0,371 m] 
17 
30. Uma função energia potencial para uma força 
bidimensional sobre uma partícula é da forma U = 
3x3y - 7x. Encontre a força que age sobre a partícula 
no ponto (x, y). ]ˆ3ˆ)97(:[ 32 jxiyxFR −−=

36. Uma partícula está em movimento ao longo de 
uma linha onde a energia potencial do sistema 
depende da posição r da partícula, como está 
representado na figura. No limite em que r aumenta 
sem fronteiras, U(r) aproxima-se de +1J. 
(a)  Identifique cada posição de equilíbrio para essa 
partícula. Indique se cada ponto é de equilíbrio 
estável, instável ou neutro; 
(b) A partícula estará limitada se a energia total do 
sistema estiver em qual intervalo? 
18 
Suponha agora que o sistema tenha uma energia de 
-3 J. Determine: 
(c)  o intervalo das posições onde ela pode ser 
encontrada; 
(d)  sua energia cinética máxima; 
(e)  o local onde ela tem energia cinética máxima; 
(f)  sua energia de ligação - isto é, a energia 
adicional que precisaria lhe ser fornecida para 
que ela se afastasse até r = ∞. 
Fim