Lista-3-EDO - C2 -Baigorri - UnB

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Fundação Universidade de Brasília
Departamento de Matemática - IE
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Calculo II - Lista VIII - Transformadas de Laplace
Tabela Trnasformadas de Laplace
• a) L[eatf(t)](s) = L[f(t)](s− a), s > a.
• b) L[ua(t)f(t− a)](s) = e−a s L[f(t)](s), s > a.
• c) L[f(at)](s) = 1
a
L[f(t)]( s
a
), a > 0.
• d) L[tr](s) = Γ(r + 1)
sr+1
, r ∈ R+. Γ(r) =
∫ ∞
0
xr−1 e−x dx
• e) L[f ′′(t)](s) = s2 L[f(t)](s)− sf(0)− f ′(0).
• f) L[f ′(t)](s) = sL[f(t)](s)− f(0).
• g) L[(f ∗ g)(t)](s) = L[f(t)](s).L[g(t)](s), (f ∗ g)(t) =
∫ ∞
0
f(t− τ)g(τ) dτ.
• h) L[f(t)](s) =
∫ T
0
e−stf(t) dt
1− e−sT .
• h) L[cos(at)](s) = s
s2 + a2
, L[sin(at)](s) = a
s2 + a2
.
• i) L[cosh(at)](s) = s
s2 − a2 , L[sinh(t)](s) =
a
s2 − a2 .
• j) L[δa](s) = e−as, δa(t) =
{
0, t 6= a
∞, a = t ,
∫ ∞
−∞
δa(t) dt = 1.
• k) L[ua](s) = e
−as
s
, ua(t) =
{
0, 0 ≤ t < a
1, a ≤ t <∞.
A - Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções
• 1) f(t) = tat
• 2) f(t) = t sin(at)
• 3) f(t) = t cosh(at)
• 4) f(t) = tneat
• 5) f(t) = t2 sin(at)
• 6) f(t) = t2eat sin(bt)
• 7) f(t) = t2eat cos(bt)
• 8) f(t) = t2 sinh(at)
B - Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem
• 1) ∫∞
0
(t2 + 1)−1 dt
• 2) ∫∞
0
te−t dt
• 3) ∫∞
0
t−2et dt
• 4) ∫∞
0
e−t cos(t) dt
C - Suponha que f(t) e f
′
(t) sejam continuas para t > 0 e ambas de tipo
exponencial. Mostre que
lim
s→∞[L(f(t)](s) = 0
D - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções
• 1) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t)
• 2) f(t) = (t− 3)u2(t) + (t− 2)u3(t)
• 3) f(t) = t− u1(t)(t− 1), t ≥ 0
• 4) f(t) = 1 +∑2n+1k=1 (−1)kuk(t)
• 5) f(t) = 1 +∑∞k=1(−1)kuk(t)
• 6) f(t) =∑nk=1 ak tk
• 7) f(t) =∑nk=1 ak (t− a)k
• 8) f(t) = √t
• 9) f(t) = 13√t
• 10) f(t) = δ(t− a)
E - Se f(t+ T ) = f(t), ∀t ≥ 0 para algum T �xo a função f(t) é chamada de
periodica com periodo T em 0 ≤ t ≤ ∞. Mostre que
[L(f(t)](s) =
∫ T
0
e−stf(t) dt
1− e−sT .
F - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções f(t), 0 ≤ t ≤ ∞
• 1) f(t+ 2) = f(t), f(t) = 1− u1(t), 0 ≤ t ≤ 2
• 2) f(t+ 2) = f(t), f(t) = 1− u2(t)− 2u1(t), 0 ≤ t ≤ 2
• 3) f(t+ 1) = f(t), f(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1,
• 4) f(t+ pi) = f(t), f(t) = sin(t), 0 ≤ t ≤ pi.
G - Calcule as transformadas de Laplace L(f)(s) das seguintes funções f(t):
• i) f(t) = cosh(kt).
• ii) f(t) = sinh(kt).
• iii) f(t) = eat cos(bt).
• iv) f(t) = t cos(at).
• v) g(t) = f(t/λ), λ > 0.
• vi) f(t) = tn.
• vii) f (n)(t).
• viii) f(t) =
{
0, t < 2
(t− 2)2, t ≥ 2
• ix) f(t) =
{
0, t < 1
t2 − 2 t+ 2, t ≥ 1
• x) f(t) =

0, t < pi
t− pi, pi ≤ t < 2pi
0, t ≥ 2pi
• xi) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t)
H - Calcule a função f(t) das seguintes funções L(f)(s):
• i) L(f)(s) = 3!(s−2)4 .
• ii) L(f)(s) = e−2ss2+s−2 .
• iii) L(f)(s) = 2 (s−1)e−2ss2−2s+2 .
• iv) L(f)(s) = 2 e−2ss2−4 .
• v) L(f)(s) = (s−2) e−ss2−4s+3 .
• vi) L(f)(s) = 2n+1 n!sn+1 .
• vii) L(f)(s) = 19s2−12s+3 .
• viii) L(f)(s) = 2s+14s2+4s+5 .
• ix) L(f)(s) = e2e−4s2s−1 .
• ix) Suponha que L(f)(s) < ∞, s > a ≥ 0. Mostre que para uma
constante c > 0 a trasformada L[f(ct)](s) = 1c L(f)( sc ), s > ca.
I - Resolva as seguintes equações diferenciais
• i) y′′(t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.
• ii) y′′(t) + y(t) = 1− u1(t), y(0) = 0, y′(0) = 1.
• iii) y′′(t) + y(t) = δ(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 1.
• iv) y′′(t) + y(t) = t(1− u1(t)), y(0) = 0, y′(0) = 1.
• v) y′′(t) + y′(t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.
• vi) y′′(t) + y′(t) + y(t) = 1− u1(t), y(0) = 0, y′(0) = 1.
• vii) y′′(t) + y′(t) + y(t) = δ(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 1.
• viii) y′′(t) + y′(t) + y(t) = t(1− u1(t)), y(0) = 0, y′(0) = 1.
• ix) 2 y′′(t) + y′(t) + 2y(t) = δ(t− 5), y(0) = 0, y′(0) = 0.
• x) 2 y′′(t) + 4y(t) = δ(t− pi)− δ(t− 2pi), y(0) = 0, y(1)(0) = 0.
J - Encontre dois séries de potências que sejam soluções independentes das
seguintes equações. Determine os intervalos de convergência das soluções.
• a) y′′ − xy′ + y = 0.
• b) y′′ + x2y = 0.
• c) y′′ + 3x2y′ − xy = 0.
• d) y′′ + x3y′ + x2y = 0.
• e) y′′ + y = 0.
K - Encontre a solução φ da equação
y′′ + (x− 1)2y′ − (x− 1)y = 0
tal que φ(1) = 1, φ′(1) = 0.
L - Encontre a solução φ da equação
(1 + x2)y′′ + y = 0
tal que φ(0) = 0, φ′(0) = 1.
M - Calcule os cinco primeiros coe�cientes da solução da equação
y′′ + exy = 0
tal que φ(0) = 1, φ′(0) = 0.
N - Encontre a solução de
y′′′ − xy′ = 0
tal que φ(0) = 1, φ′(0) = 0eφ′′(0) = 0.