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CAPÍTULO 1 Os instrumentos de desenho na prancheta e no papel Um material de desenho de boa qualidade poderá durar e manter-se preciso por anos, às vezes uma vida inteira. Material básico de desenho para um curso de Desenho Técnico: lapiseiras 0,3 e 0,7 (sugestão: colocar a unidade - 0,3 e 0,7 mm), com grafite HB: os melhores grafites (que quebram menos) são da marca Pentel; compasso de 100 a 150 mm; esquadros lisos, de acrílico, de 30º e 45º, sem graduação, com o lado da hipotenusa maior do que 30 cm; escalímetro (régua graduada de perfil triangular) número 1; borracha plástica para desenho ou lapiseira-porta-borracha; 100 folhas de papel sulfite (comum) tamanho A4; fita adesiva transparente ou invisível (opaca). NÃO USE FITA CREPE. Aprendendo a usar os esquadros (veja animação no CD-ROM) A correta utilização dos esquadros supõe sempre um apoio para o traçado, seja sobre uma régua "T", uma régua paralela ou sobre outro esquadro. A utilização de um esquadro sobre o outro requer uma certa prática que, uma vez dominada, irá permitir traçados de perpendiculares, paralelas, ângulos de 45º, 30º, 60º, 90º e seus complementares com precisão e rapidez. Usando os seus esquadros em conjunto para traçar: prenda as 4 pontas da folha de papel na prancheta com fita adesiva; posicione e fixe um dos esquadros por fora da folha, encostando e pressionando suave (sugestão: colocar vírgula antes do mas) mas firmemente contra a borda do papel; apoie o outro esquadro sobre o primeiro e trabalhe deslizando um sobre o outro como mostrado na animação “O uso dos esquadros e os traçados de precisão” no CD-ROM. todo e qualquer traçado (com raras exceções) deve seguir os dois passos anteriores. Esse procedimento ajuda a garantir maior precisão e rapidez de traçado do que a utilização dos esquadros soltos. E lembre-se: o escalímetro é usado para medir, e não traçar. Fig. 1 - Veja no CD (item Animações) a animação “O uso dos esquadros e os traçados de precisão” que contém a imagem acima Ângulo de 45º Ângulo de 30º Ângulo de 90º Ângulo de 60º Ângulo de 90º Ângulo de 45º Fig. 1 - Escalímetro número 1 2 CAPÍTULO 2 Princípios do desenho técnico ( CD-ROM, “Aula 1” ) A base do desenho técnico é um método de representação por projeções que tem origem na Geometria Descritiva, criada por Gaspar Monge, séc. XVIII. Essas projeções são desenhos que descrevem os objetos de uma forma precisa e inequívoca e que, acrescidos de anotações de dimensão, posição, material, etc., são os documentos-base para uma vasta gama de atividades humanas como arquitetura, engenharias, desenho industrial, etc. Entenda as projeções Entre os significados do verbo projetar, interessam os seguintes: pro.je.tar vtd 3 Lançar, fazer cair ou incidir sobre: Os faróis projetam longe os raios luminosos. Projeta a Lua no lago o seu clarão. vtd 4 Fazer aparecer sobre uma superfície ou um anteparo: Projetar um filme, uma fotografia etc. vpr 5 Delinear-se, incidir, prolongar-se: "A sombra do campanário projetava-se sobre a praça.” vtd 6 > Geom Figurar ou representar por meio de projeções: Projetar um ponto. Projetar uma linha sobre um plano. Michaelis - Moderno Dicionário da Língua Portuguesa http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra=projetar) Em desenho, projetar significa representar graficamente – sobre um plano, uma tela, um anteparo ou papel - uma figura ou um objeto real ou concebido, situado no espaço tridimensional. Uma projeção pode ser obtida das seguintes formas: por projeção de uma "sombra" sobre um plano de projeção além do objeto (fig. 2); por registro sobre um plano de projeção transparente que está entre o observador e o objeto (fig.3). Fig. 2 - no primeiro caso, o plano de projeção funciona como uma tela que recebe a "sombra" ou a imagem por meio de "raios" que passam pelo objeto Fig. 3 - no segundo caso, o plano de projeção funciona como um suporte transparente onde é desenhada ou registrada a imagem do objeto tal como é vista pelo observador 3 Projeções Cônicas Quando a fonte de luz que projeta a imagem do objeto está a uma distância finita (Fig.2) o caminho dos raios luminosos é divergente formando um cone a partir da fonte até plano de projeção. Essa divergência dá origem ao nome projeção cônica. No caso da Fig. 2, em que o plano do quadro está além do objeto, o tamanho da imagem projetada depende da posição do objeto entre a fonte de luz (ponto focal) e o plano: quanto mais próximo o objeto estiver da fonte, maior a imagem sobre o plano de projeção; quanto mais próximo o objeto do plano de projeção, menor a imagem. Da mesma forma, se o observador encontra-se a uma distância finita, os raios de luz refletidos do objeto convergem para o olho, formando, no seu caminho, uma imagem sobre o plano do quadro (fig. 3 e 4 / 4a) e o tamanho da imagem depende da posição do plano entre o observador e o objeto. Pode-se dizer que é uma imagem formada por transparência do plano do quadro. Essa forma de obter a imagem com raios não paralelos é chamada projeção cônica e produz as imagens perspectivas mais realistas que se pode obter. No entanto, essas imagens não são adequadas para o desenho técnico porque contém deformações e variam em tamanho dependendo da relação de distância entre os constituintes da cena, o que dificulta a precisão e a colocação de medidas (cotagem ou colocação de cotas, isto é, medidas). Fig. 4 – Plano do quadro próximo do observador Em ambos os casos - por projeção ou por transparência - o tamanho da imagem depende da posição relativa entre o plano de projeção (do quadro) em relação ao observador (ou fonte de luz para projeção) e o objeto. Na Fig. 4, note que o plano do quadro mais próximo do observador resulta numa imagem menor do que aquela formada com o plano do quadro mais próximo do objeto como na Fig. 4a . Fig. 4a - Plano do quadro afastado do observador e próximo do objeto. 4 Projeções ortográficas (também chamadas ortogonais) Se o observador estiver no infinito (Fig. 5), os raios de luz refletida que atingem seu olho serão paralelos entre si. Colocando o plano de projeção entre o observador e o objeto, pode-se obter imagens cuja forma e tamanho independem da distância do objeto em relação ao plano de projeções. Se o plano de projeções for colocado ortogonalmente (perpendicular em todas as direções) aos raios refletidos do objeto, as imagens resultantes serão chamadas projeções ortogonais ou projeções ortográficas. Nessas projeções, as dimensões e proporções da imagem são as mesmas do objeto real e não variam com a relação de distâncias entre plano de projeção, objeto, observador ou fonte de luz. Esta técnica de projeção é chamada cilíndrico-ortogonal e é a mais usada em desenho técnico. O sistema Mongeano de projeções e a Geometria Descritiva Gaspar Monge criou um sistema de representação que utiliza dois planos de projeção perpendiculares entre si (um plano vertical e um horizontal) e projeções ortogonais dos objetos sobre esses planos. Fig. 7 – projeção vertical ou vista de frente Os quatro quadrantes definidos pela interseção desses planos no mundo tridimensional são chamados diedros. Os objetos a ser representados podem estar situados no espaço de qualquer um desses diedros, mas o observador (ou a fonte dos raios de projeção) está aquém do plano vertical (nos quadrantes do 1º e 4º diedros) para as vistas de frente e acima do plano horizontal (nos quadrantes do 1º e 2º diedros) para as vistas de cima. Observe nas Figs. 7 e 8 que as imagensdo objeto sobre os planos vertical e horizontal (vistas ortográficas de frente e de cima) no 1º diedro são resultado de projeção sobre eles. No 2º diedro (Fig. 9) a vista de frente é formada por transparência sobre o plano vertical e a vista de cima é formada por projeção do objeto sobre o plano horizontal. Fig.5 - observador no infinito Fig.8 – projeção horizontal ou vista de cima Veja a animação 3D interativa das imagens abaixo no CD-ROM Fig.6 – fonte de projeção no infinito 5 Fig. 9 e Fig. 10 – posição do objeto e suas projeções horizontal (vista de cima) e vertical (vista de frente) no 1º e 2º diedros. No 2º diedro (Fig. 10), a vista de frente é formada por transparência sobre o plano vertical e a vista de cima é formada por projeção do objeto sobre o plano horizontal. Fig. 11 e Fig. 12 – posição do objeto e suas projeções horizontal (vista de cima) e vertical (vista de frente) em cada um dos quatro diedros. No 3º diedro (Fig.11), ambas as vistas são formadas por transparência sobre os planos de projeção. No 4º diedro (Fig. 12), a vista de frente é formada por projeção sobre o plano vertical e a vista de cima é formada por transparência sobre o plano horizontal de projeções. Obtidas as vistas, Gaspar Monge entendeu que seria necessário planificar o sistema de projeções para que fosse possível mostrar ordenadamente em um só plano - o do papel - as diferentes faces de um mesmo sólido. Essa planificação – cujo resultado se chama épura - foi feita articulando os planos na sua linha de interseção e fazendo o rebatimento de um plano sobre o outro. Veja no CD-ROM estas e outras imagens dos rebatimentos de planos da Geometria Mongeana em animações 3D ( item Animações> Aula 1 ) Veja no CD-ROM ( item Animações> Aula 1 ) como é executada e o resultado da articulação dos planos de projeção em cada diedro 6 Fig. 13 – posição do objeto nos diedros e rebatimento das suas projeções na planificação do sistema mongeano. Note que no 2º e no 4º diedros ambas as projeções (vistas ortográficas de frente e de cima) coincidem e confundem-se em função do rebatimento de um plano sobre o outro. Essa coincidência de imagens faz com que não se use colocar o objeto no 2º ou no 4º diedros. No sistema Mongeano, a distância resultante entre os desenhos das duas projeções (vistas de frente e de cima) depende do afastamento do objeto no espaço em relação ao plano vertical de projeções e da cota (altura) do objeto no espaço em relação ao plano horizontal de projeções (Fig. 14). No Brasil, a Norma Brasileira NBR – 10067 recomenda que o objeto seja colocado no 1º diedro. Fig.14 – Elementos do sistema Mongeano. Objeto no 1º diedro. Fig. 15 – Épura: desenho resultante das duas projeções do sistema Mongeano: projeção vertical ou vista de frente e projeção horizontal ou vista superior. 7 Um objeto colocado no 1º diedro é projetado de tal forma que, em épura, após o rebatimento do plano, a vista de frente (ou “frontal”) fica representada acima da Linha de Terra e a vista superior ("de cima" ou "de topo") abaixo da Linha de Terra (Fig. 15). Para diferenciar as arestas que estão voltadas para a fonte de luz (arestas visíveis) daquelas que estão escondidas pelas faces do objeto (arestas invisíveis), usa-se desenhar as invisíveis com linhas tracejadas. Vistas ortográficas ou ortogonais Com o desenvolvimento dos métodos de representação, foram adicionados mais planos de projeção auxiliares no sistema básico da Geometria Descritiva. A adição de um plano vertical, perpendicular aos dois planos básicos de projeção, forma um triedro, espaço delimitado pelos três planos. Fig. 16 – um plano auxiliar, perpendicular aos dois planos básicos de projeção, forma um triedro. Colocado à direita do objeto no 1º diedro, esse plano recebe a projeção da face esquerda do objeto, ou seja, a sua vista lateral esquerda. Portanto: no 1º diedro, a vista lateral esquerda é projetada em um plano de projeção à direita do objeto e a vista de cima é projetada no plano horizontal que fica abaixo do objeto. Girando 180º em torno do eixo vertical o modelo 3D interativo da fig. 16 contido no CD-ROM, pode-se simular a colocação do objeto no 3º diedro e obter, por transparência, três das suas vistas ortográficas. Se o objeto for considerado no 3º diedro, a imagem que está no plano horizontal será a vista inferior, e a vista lateral esquerda estará situada no plano de projeção à esquerda do objeto 8 Igualmente, as vistas não podem ser desenhadas em qualquer lugar, independentes umas das outras. Pela planificação do cubo, elas devem obedecer, obrigatoriamente, as posições descritas na Norma Brasileira NBR - 10067, pág. 2 - disponível no CD-ROM (veja fig. 19 abaixo). Fig. 17 - Para entender a formação de todas as vistas ortográficas - frontal, laterais, superior, inferior e posterior - veja a figura ao lado: pode-se dizer que o objeto (uma pirâmide de arame) está no centro de um cubo formado por 6 planos de projeção. Veja no CD-ROM este modelo animado. Se a pirâmide da Fig. 17 estiver no 1º diedro, as vistas serão obtidas por projeção das suas faces nas paredes internas do cubo, considerando que ela (pirâmide) está situada entre a fonte de projeção e os planos de projeção (faces do cubo). Se a pirâmide estiver no 3º diedro, considera-se que as faces do cubo são planos transparentes e que estão entre o observador e o objeto. As vistas serão obtidas por transparência sobre elas (as faces do cubo), ou seja, serão desenhos daquilo que um observador vê, estando situado no infinito. Fig. 18 - Pela própria construção do sistema de projeção, existe uma rígida relação de forma, posicionamento e dimensões entre as vistas ortográficas de um mesmo objeto e entre o objeto no espaço e suas projeções (vistas ortográficas). Se o objeto muda de posição no espaço, todas as vistas, conseqüentemente (sugestão: sem trema pela nova gramática 2009), mudarão a forma e dimensões. Pelo que se pode ver na Fig. 18, no desenho em papel, a vista de cima, por exemplo, é, necessariamente, alinhada na vertical com a vista frontal, de forma que a sua largura é obrigatoriamente a mesma. Da mesma forma, as vistas laterais são necessariamente alinhadas na horizontal com a vista frontal, de forma que as alturas de todos os vértices são as mesmas, e assim por diante. A NBR - 10067 recomenda que os objetos sejam colocados no 1º diedro e mostra como é feita a planificação dos planos de projeção. Devido a essa planificação, as vistas têm uma posição definida no papel ou seja, segundo o desenho abaixo: 9 Fig. 19 - NBR - 10067 • “A" é a vista frontal do objeto; • "B" é a vista superior; • "C" é a vista lateral esquerda; • "D" é a vista lateral direita; • "E" é a vista inferior; • "F" é a vista posterior. Fig.20 - Veja na Aula 1 (item Aulas & Animações do CD-ROM) este modelo 3D interativo e animado que mostra a planificação do cubo que envolve um objeto 10 As vistas são desenhadas umas em relação às outras por um processo claro e preciso de transferência de pontos por meio de linhas auxiliares de construção como nos desenhos abaixo (Fig. 21 e 22) As linhas de construção devem ser finas, claramente diferenciadas das linhas que representam as arestas dos objetos, as quais devem ser mais marcadas. Fig. 21– Exemplo de desenho de vistas de um objeto Desenho: Gabriel Queiróz Silva Fig. 22– Exemplode desenho de vistas de um objeto O processo de desenho das vistas ortográficas será abordado em detalhe no Capítulo 4 e no passo-a-passo visualização_do_objeto.pps presente no CD-ROM 11 CAPÍTULO 3 O que são perspectivas Perspectivas são desenhos ou imagens que procuram representar, em duas dimensões, os objetos na sua tridimensionalidade, como nós os vemos. Assim como as vistas ortográficas, uma perspectiva é o resultado de uma projeção - cônica ou paralela -, na qual se posiciona o objeto de forma que a imagem final se aproxime da realidade, normalmente buscando a maior riqueza de detalhes possível. Fig. 23 - A seqüência de imagens acima (veja animação na aula de perspectivas do CD-ROM) resulta uma perspectiva pela rotação do objeto em torno dos eixos coordenados, a partir da vista de frente. A primeira rotação é feita em torno do eixo X e a segunda, em torno do eixo Y. Note que as arestas paralelas do objeto real continuam paralelas na perspectiva porque foi utilizada a projeção cilíndrica que tem os raios de projeção paralelos entre si. As perspectivas podem, então, ser formadas pela mudança de posição do objeto em relação ao observador ou pela mudança de posição do observador em relação ao objeto. Elas podem ser cônicas ou paralelas (também chamadas cilíndricas). A perspectiva cônica (resultado de projeções cônicas) produz a imagem mais real que podemos ter, com um, dois ou três pontos de fuga1, ou seja, os pontos para onde as retas que contém as arestas convergem. É dessa forma que nós enxergamos. As perspectivas artísticas geralmente são perspectivas cônicas. Perspectiva cônica com um ponto de fuga 1 Ponto de fuga são pontos virtuais no espaço para onde as linhas ou arestas de largura, altura e profundidade dos objetos parecem convergir. Fig. 25 – A perspectiva cilíndrica ou paralela resulta de uma projeção que tem os raios refletidos paralelos entre si (convergência no infinito. Nesta perspectiva, considera-se que o observador - e o ponto de fuga - encontram-se no infinito. Fig. 24 – A perspectiva cônica resulta de uma projeção cônica, na qual há uma convergência dos raios refletidos para um ponto chamado de fuga (nesta figura, o ponto de fuga é o olho do observador que se encontra a uma distância finita do objeto). Para saber mais sobre projeções cônicas e paralelas, veja o Capítulo 2 e as animações e modelos 3D na Aula 1 do CD-ROM 12 Perspectivas cônicas com dois e três pontos de fuga – nestas perspectivas, as linhas de fuga convergem para pontos de fugas pré-estabelecidos no desenho. Na perspectiva com dois pontos de fuga, são as linhas de profundidade que vão para esses pontos, enquanto as alturas se mantém verticais. Na perspectiva com três pontos de fuga, as linhas de altura também convergem para um ponto de fuga que fica abaixo ou acima do desenho, para pontos de vista (olho do observador) acima ou abaixo do objeto, respectivamente. Fig. 27 e Fig. 28 – Imagens das animações que mostram, no CD-ROM, como são desenhadas as perspectivas artísticas com dois e três pontos de fuga, respectivamente. Embora as perspectivas artísticas – produzidas por projeções cônicas - resultem em desenhos realísticos, mais aproximados daquilo que o olho humano vê, não servem para o Desenho Técnico porque contém deformações perspectivas que dificultam o registro e transmissão das medidas e proporções exatas de um objeto. Dependendo do ponto de vista (posição e proximidade do olho do observador em relação ao objeto), essas deformações são mais ou menos aparentes. Fig. 29 – Nas perspectivas artísticas – neste caso, com três pontos de fuga – quanto mais próximo estiver o olho do observador, maior será a deformação perspectiva. A figura mostra o mesmo objeto visto de diferentes distâncias: muito próximo (imagem esquerda), próximo e média distância (imagem direita). As projeções cilíndricas – ou paralelas – usadas em Desenho Técnico produzem perspectivas que são facilmente desenhadas e mantém uma relação precisa nas medidas de altura, largura e profundidade. Fig. 30 – As perspectivas Cavaleira e Isométrica usadas em Desenho Técnico resultam de projeções paralelas que não contém deformações nas relações de largura, altura e profundidade. A rigor pode-se dizer que seus Pontos de Fuga estão no infinito. Fig. 26 - Na perspectiva desenhada com um ponto de fuga, as linhas de profundidade convergem (fogem) para um ponto que representa a posição do olho do observador nos eixos X e Y. Veja uma animação de como desenhar esta perspectiva no CD-ROM. Pode-se dizer que a perspectiva Cavaleira é uma perspectiva com um ponto de fuga localizado no infinito. Da mesma forma, a perspectiva Isométrica é desenhada como uma perspectiva com três pontos de fuga também localizados no infinito. 13 Tipos de perspectivas As perspectivas podem ser produto de projeções cônicas ou cilíndricas (também chamadas paralelas). Projeção cônica Usadas para desenhos artísticos ou ilustrativos. Observador ou fonte de projeção a uma distância finita. Arestas dos eixos de largura, altura e profundidade convergentes, entre si, para pontos de fuga que se situam a uma distância finita. Dependendo da projeção, podem ter um, dois ou três pontos de fuga (veja as animações no CD) Quanto mais próximos estiverem observador ou centro de projeção, mais próximos se situam os pontos de fuga e, portanto, maior a deformação perspectiva. Projeção cilíndrica ou paralela Observador ou fonte de projeção no infinito Oblíqua Projeção oblíqua em relação ao plano do quadro Cavaleira Eixo das larguras horizontal; eixo das alturas vertical; eixo da profundidade a 30º, 45º ou 60º com a horizontal. Neste livro usamos uma inclinação de 45º com a horizontal. Geralmente é desenhada a partir de uma das vistas ortográficas do objeto. Arestas dos eixos de largura, altura e profundidade paralelas entre si. Linhas de profundidade a 30º, 45º ou 60º com a horizontal (ponto de fuga no infinito). As medidas de profundidade sofrem uma redução, cujo valor depende da inclinação das linhas de profundidade: são desenhadas com 1/3, 50% (sugestão: colocar 1/2) ou 2/3 da medida real, respectivamente, para as inclinações de 30º, 45º e 60º, na escala escolhida. As larguras e alturas permanecem em verdadeira grandeza, ou seja, são desenhadas com as medidas reais, na escala escolhida. X Y Z 14 Projeção cilíndrica ou paralela Observador ou fonte de projeção no infinito Axonométrica (medida ao longo dos eixos) ortogonal. Projeção ortogonal em relação ao plano do quadro Isométrica Os eixos X, Y e Z mantém uma distância angular de 120º entre si, o que equivale a que, como o eixo das alturas (Y) é vertical, os outros dois fazem 30º com a horizontal. Veja animação no CD ou no site Arestas dos eixos de largura, altura e profundidade paralelos entre si. Pontos de fuga no infinito. As larguras, alturas e profundidades são desenhadas com as medidas reais (na escala escolhida) nas direções dos eixos. Dimétrica O eixo Y é vertical e dois dos eixosmantém distâncias angulares iguais. Trimétrica O eixo Y é vertical e nenhum dos eixos mantém distâncias angulares iguais. As projeções cônicas produzem as perspectivas mais aproximadas daquilo que o olho humano vê (com 1, 2 ou 3 pontos de fuga) e são utilizadas geralmente no desenho artístico ou ilustrativo. As projeções cilíndricas – ou paralelas – produzem perspectivas que são facilmente desenhadas e mantém uma relação precisa nas medidas de altura, largura e profundidade (Fig. 31). Perspectiva Cavaleira Perspectiva Isométrica Três perspectivas artísticas com três pontos de fuga Fig. 31 – As duas perspectivas mais usadas em Desenho Técnico (Cavaleira e Isométrica) e três imagens perspectivas com três pontos de fuga. 120º 120º 30º 30º 15 Fig. 32 - A perspectiva Isométrica (medidas iguais sobre os eixos) é desenhada sobre um sistema de eixos que mantém, no papel, uma distância de 120º entre si. Esses eixos podem ser desenhados de diferentes formas, desde que mantenham a inclinação. Fig. 33 – Em qualquer dos tipos de perspectiva, a origem do sistema de eixos pode estar em qualquer lugar mas, preferencialmente, em um dos vértices do objeto. A construção de uma perspectiva Isométrica é feita pelo lançamento das medidas exatas de largura, altura e profundidade sobre o sistema de eixos XYZ ou linhas paralelas a eles. A construção de uma perspectiva Cavaleira parte de uma das vistas ortográficas do objeto (normalmente a vista de frente). As medidas de profundidade são lançadas com um fator de redução, a 30º, 45º ou 60º com a horizontal, em linhas paralelas entre si. Este livro adota a inclinação de 45º, com redução de 50% da medida real de profundidade. Fig.34 – Algumas origens do sistema de eixos na perspectiva isométrica 16 Vista ortográfica Projeção oblíqua Perspectiva Cavaleira sem redução na profundidade (não Perspectiva Cavaleira com profundidade reduzida em 1/3 Perspectiva Cavaleira com profundidade reduzida em 50% Vista ortográfica Projeção oblíqua Perspectiva Cavaleira sem redução na profundidade Perspectiva Cavaleira com profundidade reduzida em 1/3 Perspectiva Cavaleira com profundidade reduzida em 50% Fig.36 – Perspectivas Cavaleiras e suas reduções Fig.37– Perspectivas Cavaleiras e suas reduções Fig.35 – A perspectiva Cavaleira é desenhada sobre um sistema de eixos que tem, no papel, o eixo de profundidade (eixo Z) inclinado a 30º, 45º ou 60º com a horizontal. Esses eixos podem ser desenhados de diferentes formas, desde que mantenham a inclinação do eixo Z. Este livro adota a inclinação de 45º, com redução de 50% da medida de profundidade 17 Fig. 38 – Diferentes aplicações das perspectivas técnicas Perspectiva isométrica Fonte: NASA Perspectiva Axonométrica Fonte: NASA Perspectiva cavaleira Fonte: http://www.guiadomarceneiro.com Veja os passo-a-passos Desenhando uma perspectiva isométrica e Como desenhar uma perspectiva cavaleira no item Apoio Didático no CD-ROM Fig. 39 – Épura: desenho resultante das duas projeções do sistema Mongeano: projeção vertical ou vista de frente e projeção horizontal ou vista superior. O processo de desenho das vistas ortográfi cas será abordado em detalhe no Capítulo 4 e no passo-a- passo visualiz ação_do _objeto. pps presente no CD- ROM Fig.40 - Veja em Aulas & Animações do CD – Aula 1 - este modelo 3D interativo e animado que mostra esta planificação do cubo que envolve um objeto Igualment e, as vistas não podem ser desenhada s em qualquer lugar, independe ntes umas das outras. Pela planificaçã o do cubo, elas devem obedecer, obrigatoria mente, as posições descritas na Norma Brasileira NBR - 10067, pág. 2 - disponível no CD (veja fig. 19 abaixo). Portanto : no 1º diedro, a vista lateral esquerd a é projetad a em um plano de projeção à direita do objeto e a vista de cima é projetad a no plano horizont al que fica abaixo do objeto. Girando 180º em torno do eixo vertical o modelo 3D da fig. 16 contido no CD, pode-se simular a colocação do objeto no 3º diedro e obter, por transparênci a, três das suas vistas ortográficas . Se o objeto for considerado no 3º diedro, a imagem que está no plano horizontal será a vista inferior, e a vista lateral esquerda estará situada no plano de projeção à esquerda do objeto Fig.41 – Elementos do sistema Mongeano. Objeto no 1º diedro. No Brasil, a Norma Brasileira NBR – 10067 recomenda que o objeto seja colocado no 1º diedro. Veja no CD ou no site ( item Animações > Aula 1 ) como é executada e o resultado da articulação dos planos de projeção em cada diedro Fig. 4a - Plano do quadro afastado do observador e próximo do objeto. Veja no site ou CD estas e outras imagens dos rebatim entos de planos da Geomet ria Mongea na em animaçõ es 3D ( item Animaç ões> Aula 1 ) Fig.42 – projeção horizontal ou vista de cima Veja a animaçã o 3D das imagens abaixo no site ou CD Fig.43 - observador no infinito Fig.44 – fonte de projeção no infinito Fig.45 - Veja no CD (item Animações) a animação “O uso dos esquadros e os traçados de precisão” que contém a imagem acima E lembre- se: o escalímetro é usado para medir, e não traçar. Fig. 46 – a vista superior já rotacionada em torno da aresta AB (ou eixo Y) foi deslocada para longe dos desenhos originais para evitar a confusão de traçados. Para encontrar a nova vista de frente rotacionada, basta puxar e cruzar linhas de chamada de todos os vértices de duas vistas – neste caso, a frontal e a superior. 18 CAPÍTULO 4 A prática do desenho técnico A prática do desenho técnico envolve uma série de técnicas, regras e processos de desenho que, neste livro terão a seguinte seqüência (sugestão: sem trema segundo a nova gramática 2009), mescladas com técnicas e processos em computador: • desenho de uma perspectiva exata pela plotagem das coordenadas dos vértices de um objeto sobre um sistema de eixos cartesianos desenhado no papel; • desenho manual, com instrumentos, das vistas ortográficas do objeto representado pela perspectiva; • desenho manual de uma perspectiva do objeto a partir de suas vistas ortográficas; • processos auxiliares da visualização e de seu desenvolvimento: cortes; • plotagem das mesmas coordenadas em um sistema CAD, o que resulta um modelo 3D; • introdução à visualização do modelo 3D em suas várias vistas ortográficas e possibilidades perspectivas em computador; • introdução à modelagem 3D Essa sequência de aprendizado serve de introdução aos processos do desenho técnico e ao entendimento das bases dos sistemas gráficos 2D e 3D em computador. Desenho de uma perspectiva, conhecendo as coordenadas dos vértices de um objeto Este é um importante exercício introdutório ao desenho técnico e à visualização. Neste processo, a imagem perspectiva obtida pela plotagem no papelé idêntica à imagem obtida do modelo 3D em um CAD com os mesmos parâmetros de projeção. Veja o desenho e a plotagem de um paralelepípedo e do mesmo objeto em CAD no Capítulo 7 Execute o arquivo coordenadas.pps no CD para ver um passo-a-passo do processo de desenho de uma perspectiva a partir das coordenadas dos vértices de um objeto – a figura acima mostra a primeira página da apresentação. Fig.47 – Tela inicial do passo-a-passo coordenadas.pps presente no CD-ROM 19 Como lançar as coordenadas de um ponto O arquivo coordenadas.pps no CD exibe um passo-a-passo do processo de desenho de uma perspectiva por lançamento - ou plotagem - de coordenadas sobre um sistema de eixos cartesianos desenhado no papel. Fig. 50 – Tela do passo-a-passo coordenadas.pps contido no CD-ROM, que detalha o processo de desenho de uma perspectiva exata por lançamento ou plotagem de coordenadas de um poliedro sobre um sistema de eixos cartesianos desenhado no papel. Fig.48 - É importante lembrar que o desenho dos eixos desta figura é uma simplificação do triedro formado pelos planos definidos pelos eixos X, Y e Z (planos XY, YZ e XZ). Fig.49 - Com a grade, vê-se mais claramente o triedro e o ponto A (2; 3; 0) pertencendo ao plano XY. A yz e A xz são as projeções do ponto A nos planos YZ e XZ, respectivamente. 20 A prática do lançamento de coordenadas em um sistema cartesiano no papel Dadas as coordenadas de vértices e definição de faces abaixo, desenhar uma perspectiva ISOMÉTRICA exata do objeto. O eixo Y recebe as alturas e o eixo Z positivo fica para a frente e para a esquerda. VÉRTICES A (0;0;0) D (0;8;0) G (6;8;2) J (4;0;3) M (4;0;5) P (4;3;5) S (2;2;6) B (6;0;0) E (0;6;2) H (0;8;2) K (4;5;3) N (6;0;5) Q (0;0;6) T (0;2;6) C (6;8;0) F (6;6;2) I (2;0;3) L (2;5;3) O (6;3;5) R (2;0;6) FACES ABCD, EFGH, IJKL, MNOP, QRST ABNMJIRQ, DCGH BCGFON, ADHETQ, ILSR, JKPM Fig. 52 - Experimente ligar agora os vértices de acordo com a tabela de faces abaixo para ver o objeto resultante. FACES ABCD, EFGH, IJKL, MNOP, QRST, ABNMJIRQ, DCGH, BCGFON, ADHETQ, ILSR, JKPM ATENÇÃO: Note que os pontos M, I, P e L parecem pertencer a uma mesma aresta, uma vez que resultam sobre a mesma linha vertical. Essa é uma ilusão visual provocada pela posição do observador: As arestas MP e IL estão em posições diferentes no espaço - como pode-se (sugestão: o como atrai o se, se pode) ver pelas coordenadas dos vértices – mas sobrepõem-se visualmente, uma na frente da outra, no desenho. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T A (0;0;0) B (6;0;0) C (6;8;0) D (0;8;0) E (0;6;2) F (6;6;2) G (6;8;2) H (0;8;2) I (2;0;3) J (4;0;3) K (4;5;3) L (2;5;3) M (4;0;5) N (6;0;5) O (6;3;5) P (4;3;5) Q (0;0;6) R (2;0;6) S (2;2;6) T (0;2;6) Fig.51 - Plotando os pontos sobre os eixos desenhados no papel, obtêm-se (sugestão: não se acentua conforme a nova gramática 2009) a posição dos vértices do objeto. Unindo os vértices de acordo com a tabela de arestas ou faces, obtêm-se (sugestão: não se acentua conforme a nova gramática 2009) uma visão perspectiva de um modelo “aramado” do objeto (Fig. 44 e 45) 21 O próximo passo é verificar a visibilidade do objeto, ou seja, determinar quais arestas são visíveis, quais são ocultas, ou ditas invisíveis. Caso seja necessário mostrar as arestas ou trechos de arestas invisíveis usa-se representá-las com linhas tracejadas (Fig. 46 e 47). Fig.53 - Unindo os vértices de acordo com a tabela de arestas ou faces, obtêm-se (sugestão: não se acentua conforme a nova gramática 2009) uma visão perspectiva de um modelo “aramado” do objeto. Fig.54 - O próximo passo é verificar a visibilidade do objeto, ou seja, determinar quais arestas são visíveis, quais são ocultas, ou ditas invisíveis. As arestas invisíveis são representadas com linhas tracejadas Fig.55 – Verificada a visibilidade, o objeto pode ser mostrado com suas linhas invisíveis ou como um sólido, como na figura 48. Fig.56 – Objeto representado como sólido, sem os eixos e as arestas invisíveis tracejadas. 22 Exercício de plotagem Dadas as coordenadas de vértices e arestas abaixo, desenhar uma perspectiva ISOMÉTRICA exata do objeto. O eixo Y recebe as alturas e o eixo Z positivo fica para a frente e para a esquerda. VÉRTICES A (0; 0; 0) G (8; 0; 6) M (8; 3; 2) S (4; 2; 6) B (8; 0; 0) H (0; 0; 6) N (6; 3; 2) T (2; 2; 6) C (8; 0; 2) I (2; 2; 0) O (6; 3; 4) U (2; 4; 6) D (6; 0; 2) J (4; 2; 0) P (8; 3; 4) V (0; 4; 6) E (6; 0; 4) K (6; 3; 0) Q (8; 3; 6) W (0; 7; 0) F (8; 0; 4) L (8; 3; 0) R (6; 3; 6) X (2; 7; 0) ARESTAS AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OP, PQ, QR, RS, ST, TU, UV, VW, WX, XI XU, IT, JS, KN, OR WA, LB, MC, ND, OE, PF, QG, VH Exemplo de descrição de um sólido A figura abaixo mostra um poliedro descrito por meio de coordenadas de alguns de seus vértices e por medidas mostradas em um sistema de grade de referência. Fig.57 – Resultado da plotagem Fig.58 – Exemplos de coordenadas dos vértices de um sólido. O sólido pode ser descrito pelo conjunto de coordenadas de todos os seus vértices e desenhado em perspectiva pela plotagem em um sistema cartesiano no papel. (0; 6; 0) (2; ... ; ... ) (4; ... ; 6) (6; 0; 6) (0; 0; 6) X Z Y Veja na página 28 a proposta de um exercício com este objeto 23 O desenho e a interpretação das vistas ortográficas As vistas ortográficas são representações que mostram o objeto como é visto de frente, de lado, de cima, etc. em projeção cilíndrica, e ortogonal aos planos de projeção, de acordo com a teoria das projeções da Geometria Descritiva discutida no Capítulo 2. Essas vistas são desenhadas usando as regras do desenho técnico – conforme a norma da ABNT - que resultam da planificação de um cubo cujas faces recebem as projeções do objeto (Fig. 52 e animações do CD-ROM). Fig.60 – A norma técnica da ABNT recomenda que se utilize o primeiro diedro para projeção. Desta forma, as vistas resultam da planificação de um cubo cujas faces recebem as projeções do objeto. Fig.59 – Perspectiva isométrica do objeto a ser representado pelas vistas ortográficas. Fig.61 – pela própria construção do sistema e planificação do cubo no processo de projeção, as vistas resultam, obrigatoriamente, eqüidistantes (sugestão: sem trema segundo a nova gramática 2009) umas das outras, na forma de uma cruz deitada, com a vista de frente ao centro. A disposição das vistas na figura corresponde ao objeto colocado no 1º diedro. 24 O processo de desenho das vistas ortográficas A maior parte dos desenhos de objetos e peças exige apenas três ou quatro vistas para que o objeto possa ser completa e corretamente descrito. Para obter as vistas da forma correta, nas posições corretas, usa-se um processo de localização e transferência da posição dos vértices de uma vista para outra como nas Fig. 56a e 56b. Em alguns casos, pode-se desenhar cada uma das vistas completaspara depois passar para a outra. Em outros casos (veja o exercício adiante e os passo-a-passos de desenho de vistas do CD), é necessário trabalhar em todas as vistas simultaneamente para conseguir completar o desenho. Fig. 64a e 56b – As três vistas, de frente, lateral esquerda e superior foram desenhadas usando técnicas equivalentes de localização e transferência dos vértices, com emprego de linhas de transferência a 45º. No caso da Fig. 56b, as linhas a 45º podem ser substituídas por arcos de circunferência com centro no ponto O. Nestes desenhos ilustrativos não foram desenhadas as janelas e porta nas vistas onde elas são invisíveis, ou seja, onde deveriam aparecer como linhas tracejadas. Nos desenhos de vistas “reais”, as arestas invisíveis devem aparecer como linhas tracejadas. Fig.62 - É importante notar que os objetos são posicionados no sistema triédrico ou no cubo preferencialmente de forma que suas faces fiquem paralelas aos planos de projeção. Este posicionamento visa que as faces sejam projetadas em verdadeira grandeza, ou seja, sem alterações nas suas medidas em função de inclinações. Na imagem à direita, o objeto foi colocado inclinado em relação ao plano vertical de projeções. Note-se que, na vista de frente, as faces inclinadas mostram-se reduzidas em relação ao seu tamanho real (verdadeira grandeza da imagem à esquerda). Fig.63 25 Fig. 65 – Primeiro slide (sugestão: colocar em itálico, pois a palavra é de origem inglesa) do passo-a-passo sobre desenho de vistas no CD. Fig. 66 - As posições de vértices podem ser encontradas relacionando o objeto com um paralelepípedo envolvente. Desenhando as vistas ortográficas Alguns dos exercícios mais interessantes de desenho técnico básico podem ser formulados descrevendo a formação de um objeto por cortes com e em planos inclinados. Não se trata aqui de exercícios de cortes (veja o Capítulo 5), mas do entendimento de como um objeto foi gerado, da criação de arestas pela interseção de planos ou da definição de faces em rampas apenas pela sua inclinação. Este tipo de problema e objetos é dos que mais demandam conhecimento e entendimento do processo de desenho das vistas. 26 • A primeira operação foi um corte feito a 45º com a vertical, ao longo e até a metade do comprimento da aresta KK (ponto I), o que determinou a aresta EH (não importa saber a altura dos vértices E e H, eles são produto do corte e são encontrados por meio do desenho). Um corte vertical entre I e H, define o ponto O, cria a aresta IH e a primeira face inclinada IHEK (Fig. 60), e completa a operação de definição do primeiro volume a ser retirado (Fig. 59) • a segunda operação foi um corte por um plano inclinado que contém a aresta IO e passou pelo ponto G (na metade da aresta KD). O plano de corte é perpendicular ao plano de projeção YZ e produziu uma aresta GF, paralela a IO e a DC (Fig. 60). Essa operação resultou no sólido da Fig. 61 ; • a terceira operação foi um corte inclinado entre os vértices I, J e H (Fig. 61) que retirou uma pirâmide que tinha o vértice O como seu ápice (Fig. 61 e 62). Atenção: a grade é horizontal e, portanto, só contém as medidas da base, 4 x 8 cm. A sequência de operações a seguir deu origem a um objeto, partindo de um bloco paralelepípedo de 4 x 5 x 8 cm (largura x altura x profundidade). Leia a descrição, e veja o enunciado do exercício ao pé da página. Exercício criado com base em sólido do livro Manual Básico de Desenho Técnico, 2ª ed. Speck & Peixoto, Editora da UFSC, 2001. 45º K K E H I K I D G F I G F C O O O H H H J J I vista frontal EXERCÍCIO Tendo por base a descrição de operações acima, desenhe as vistas de frente, lateral esquerda e superior do objeto final. Fig.67 Fig.68 Fig.69 Fig.70 E 27 Fig. 71 – começando pela vista de frente: com os dados fornecidos, pode-se traçar apenas o contorno do objeto Fig. 72 – também não é possível completar a vista superior, somente com os dados fornecidos Fig. 73 – a partir das vistas frontal e superior, pode-se traçar a vista lateral esquerda completa Fig. 74 – a partir do desenho completo da vista lateral esquerda, pode-se trazer as posições dos vértices ausentes para as outras vistas. Fig. 75 - Resultado: as três vistas vistas ortográficas Acompanhe o desenvolvimento do desenho 28 A interpretação das vistas ortográficas: desenhando perspectivas Mais do que o desenho, a interpretação das vistas ortográficas para o desenho de perspectivas é uma atividade que exige uma série de conhecimentos e habilidades: • conhecimento e entendimento do processo de desenho de vistas; • entendimento do processo de projeções ortográficas; • conhecimento e habilidade na técnica de desenho das perspectivas; • conhecimento das normas do desenho técnico; • capacidade de abstração e; • capacidade de visualização. Não há uma forma correta (sugestão: retirar o itálico) de ler e interpretar as vistas ortográficas. Cada indivíduo tem um processo de raciocínio e visualização diferente, mas a demanda da capacidade de abstração e visualização é grande. Uma das formas menos abstratas de auxílio à interpretação das vistas ortográficas é por meio do desenho – em perspectiva - de cada uma das vistas nas faces de um paralelepípedo que envolve o objeto a ser visualizado (Fig. 68). Exemplo: Fig. 76 - dadas as vistas de um objeto, desenhar uma perspectiva isométrica, sem as arestas invisíveis. Com essa montagem inicial do objeto, pode-se verificar, por exclusão, algumas características da sua estrutura geométrica: • quais - entre as figuras geométricas que representam as faces – pertencem aos planos das faces dos paralelepípedos, ou seja, são faces externas do objeto final; • quais das figuras geométricas representam faces recuadas; • quais representam faces inclinadas; • qual a posição real dessas faces recuadas e inclinadas; • onde cada par de faces se encontra para formar vértices e arestas. 29 Para deixar mais clara a leitura, ao longo dos anos ficou provado que é preciso lembrar alguns aspectos fundamentais e aparentemente óbvios do desenho técnico e da geometria: • para efeito dessa leitura, em desenho técnico básico, as vistas e perspectivas mostram os objetos somente através de linhas que representam suas arestas; • por consequência, toda linha presente nas vistas e perspectivas – com exceção das linhas de construção ou indicativas de corte, simetria, etc. - é a representação de uma aresta. Onde há uma linha no desenho, há uma aresta no objeto; • uma aresta só existe na interseção de dois planos, ou, nos sólidos, no encontro de duas faces adjacentes e não coplanares; • no término de uma face sempre há outra face e, consequentemente, uma aresta; • nos sólidos, um vértice existe no encontro de três ou mais arestas; • como consequência, todo encontro de três ou mais arestas forma um vértice; • em desenho técnico, trabalhamos com objetos reais, sólidos; não existem aqui faces sem espessura, que terminam em arestas sem uma outra face em continuação. Toda aresta é produto do encontro de duas faces e, portanto, implica uma face em continuação. 30 Exercícios: 1. Dada a perspectiva abaixo, desenhe as vistas de frente, superior e as duas laterais, considerando a FRENTE 1 do objeto, e encontradas as medidas dos vértices faltantes, uma perspectiva Cavaleira . (os módulos maiores da grade valem 1 cm). 2. Como continuaçãodo exercício, desenhe uma perspectiva Isométrica e outro conjunto de vistas, agora considerando a FRENTE 2. Fig. 77 – vistas ortográficas Fig. 78 – vistas desenhadas nas faces de um paralelepípedo envolvente do objeto Fig. 79 – perspectiva isométrica Veja em Aulas & animações no CD um passo-a-passo para a visualização da montagem da Fig. 62 e conseqüente desenho da perspectiva da Fig. 63. (0; 6; 0) (2; ---; ---) (4; ---; 6) (6; 0; 6) (0; 0; 6) X Z Y FRENTE 2 FRENTE 1 Atenção: todas as medidas e vértices faltantes são encontrados pela transferência de pontos no processo de desenho. NADA DEVE SER CALCULADO 31 CAPÍTULO 5 Cortes e representações de cortes Fig. 80 – vistas de uma vagoneta, com a inclusão de um corte (AA) que mostra a estrutura dos eixos, assentos, etc. (http://www2.arts.ubc.ca/TheatreDesign/crslib/drft_1/pencil/wag1a.htm) Cortes são os nomes genéricos usados para vistas ortográficas de objetos dos quais é retirada uma parte em função de um corte (secção (sugestão: pela nova gramática 2009, deve-se tirar o “c”) ou seção) por um plano. Uma planta-baixa, por exemplo, é o resultado do corte de uma edificação por um plano horizontal. Fig.81 – Corte de uma edificação por um plano horizontal, o que resulta na chamada planta-baixa 32 Os cortes são, portanto, operações geométricas normalmente utilizadas para mostrar aspectos internos ou características estruturais ou de composição não visíveis do objeto de estudo, como, por exemplo: • perfil de relevo, características ou composição das camadas geológicas de um terreno; • mecanismos, estruturas ou montagem de dispositivos, instrumentos, máquinas, motores, etc.; • estruturas de edificações; • características geométricas de objetos; • formação ou estrutura vegetal ou biológica; estrutura óssea; • etc. Fig. 84 – Seções do corpo humano em uma tomografia computadorizada. Cada uma das quatro imagens à esquerda corresponde a uma fatia horizontal, na altura marcada pela linha horizontal na radiografia. Fig.82 – corte perspectivado de um módulo espacial. Fonte: NASA Fig.83 - Corte de um terreno em profundidade, mostrando o percurso do abastecimento subterrâneo de água. Fonte: SmartDraw. Pode-se fazer analogia dos contornos fechados dessas fatias com as curvas de nível de uma elevação ou depressão em topografia. As linhas que definem os níveis também são cortes em diferentes alturas produzidos por planos horizontais. Fonte das imagens: Clínica Villas Boas, Brasília. 33 O cortes são normalmente executados com a utilização de planos verticais ou horizontais que seccionam (sugestão: pela nova gramática 2009, deve-se tirar o “c”) os objetos no seu todo ou em parte. Cortes parciais que mostram parte do objeto ou peça cortada e parte inteira chamam-se meios-cortes (veja animações e um passo-a-passo no CD) Fig. 85 – esta imagem de um sistema gerador fictício mostra determinados componentes cortados, outros não. Fig. 86 – meio-corte de uma tubulação. Fonte: http://www.ider.herts.ac.uk/school/courseware/graphics/engineering_drawing/types_of_sectioning.html Retirada(s) a(s) parte(s) que não interessa(m) mostrar, o resultado do corte é um desenho que contém uma ou mais faces planas chamadas seções de corte. Fig. 87 – imagens de algumas das animações e modelos 3D relativos a cortes no CD 34 Determinação dos cortes Para os exercícios deste livro e do CD utilizamos apenas sólidos simples cuja seção de corte costuma ser uma única face plana. Essa face é definida pelas arestas resultantes do corte (interseção do plano de corte com as faces originais do objeto) que, por sua vez, são definidas por vértices nas suas extremidades. Fig. 88 – objeto a ser cortado por um plano de corte vetical. Fig. 89 – no item Aulas e animações do CD, veja um passo-a-passo do processo de corte nas vistas e na perspectiva, simultaneamente. Fig. 90 – Resultado do corte em perspectiva. ATENÇÃO Em desenho técnico costuma-se fazer a distinção entre os desenhos que são chamados genericamente CORTES e os desenhos chamados SEÇÃO DE CORTE. Um CORTE é uma vista ortográfica de frente para a nova face chamada “Seção de corte”, incluindo as partes do objeto que se encontram adiante do plano de corte. A SEÇÃO DE CORTE é um desenho da mesma vista ortográfica de frente para a nova face, SEM incluir o restante do objeto, ou seja, mostra-se somente a(s) face(s) resultante(s) do corte. (desenho de um corte e de uma seção de corte do mesmo objeto) Cortes em edificações O corte de uma edificação por um plano horizontal na altura de 1,50 m tem um nome próprio: planta- baixa. Cortes da edificação por planos verticais (normalmente paralelos a uma parede), são chamados simplesmente de CORTE. Os cortes mais comuns nas edificações são os transversais (na direção da largura ou menor medida) e longitudinais (na direção do comprimento, ou maior medida). Fig. 91 – um corte de uma edificação por um plano horizontal na altura de 1,50 m leva o nome de planta-baixa. No caso desta imagem, o plano passando mais acima produziu uma planta-alta, menos usada do que a planta-baixa. Fig. 92a e 84b – planos verticais produzem cortes chamados tranversais (sugestão: faltou o “s”) (na largura) e longitudinais (ao longo do comprimento) de uma edificação. A determinação da face resultante (seção de corte) é, portanto, essencialmente, a determinação desses vértices que são os pontos de interseção do plano de corte com as arestas originais do objeto. 35 CAPÍTULO 6 Rotação Rotação é um método derivado da Geometria Descritiva que serve para encontrar vistas ortográficas auxiliares não padronizadas, além das seis vistas clássicas do Desenho Técnico. Fig. 93 - As imagens acima fazem parte de uma animação presente no CD-ROM (item Aulas & Animações > Perspectivas) que mostra a transformação de uma vista ortográfica de frente em uma perspectiva por meio da rotação do objeto - primeiro para a frente, em torno do eixo X e, a seguir, no sentido horário, em torno do eixo Y. Note que as arestas paralelas dos cubinhos continuam paralelas entre si nas três etapas da rotação porque foi utilizada a projeção cilíndrica que tem os raios de projeção paralelos entre si. Neste livro, o método da Geometria Descritiva foi adaptado e simplificada para uma melhor visualização do processo de rotação de um objeto em torno de um ponto ou uma aresta qualquer, tendo por base um dos eixos coordenados. O exercício da rotação Veja o objeto sólido representado pela perspectiva e pelas vistas abaixo. A seta e as vistas deixam claro o ponto de vista na frente do poliedro, e considera-se que o eixo Y é coincidente com a aresta AB. Fig. 94 - Veja um passo-a-passo com este objeto no item Aulas & Animações do CD-ROM Se o objeto girar – ou for rotacionado – 30º no sentido horário em torno da aresta AB (Fig. 87): a sua vista superior sofrerá um giro equivalente, na horizontal, sem mudar de forma, proporções ou dimensões. A Fig. 87 mostra, em negrito, a vista superior rotacionada horizontalmente em torno da aresta AB – ou eixo Y; V.F. A=B A A B B A Y 36 as vistas de frente e lateral sofrerão uma mudança de forma, proporções e medidas nas dimensões horizontaise inclinadas, mas não nas alturas. Para facilitar o entendimento, a Fig. 88 mostra, em negrito, a vista superior rotacionada, (sem mudança de forma, proporções ou dimensões ) e a vista de frente resultante da rotação. No método da Geometria Descritiva, os traçados da rotação são executados sobre os desenhos originais, como nas figuras 87 e 88. Para poliedros mais complexos, se os desenhos não forem executadas (sugestão: executados) com espessuras bem diferenciadas como nas figuras acima, essa prática resulta em um amontoado de linhas que pode confundir o leitor ou mesmo o desenhista. A adaptação deste livro procura simplificar e limpar o método, deslocando a vista rotacionada que não se irá alterar – neste caso, a vista superior – para longe das vistas originais (Fig. 89). As Fig. 89 e 90 mostram que, para encontrar a nova vista frontal (rotacionada) como neste caso, basta traçar e cruzar linhas de chamada vindas a partir de todos os vértices de duas vistas – neste caso, frontal e superior rotacionada -, como no método de transferência de pontos. Fig. 96 - Em negrito, a vista superior rotacionada e a vista de frente resultante da rotação. Fig. 95 - Em negrito, a vista superior rotacionada horizontalmente em torno da aresta AB, sem nenhuma mudança de forma, proporções ou dimensões. Fig. 97 – a vista superior já rotacionada em torno da aresta AB (ou eixo Y) foi deslocada para longe dos desenhos originais para evitar a confusão de traçados. Para encontrar a nova vista de frente rotacionada, basta puxar e cruzar linhas de chamada de todos os vértices de duas vistas – neste caso, a frontal e a superior. Fig. 98 – traçando linhas a partir de todos os vértices das duas vistas – frontal e superior – encontram-se os vértices e o traçado da vista frontal resultante da rotação. Este método equivale a uma mudança do ponto de vista principal (frente do objeto). 37 Fig. 99 – esta figura mostra como ficaria a vista de frente de um objeto sólido rotacionado e desenhado sobre as vistas originais e a mesma vista deslocada juntamente com sua vista superior. Na prática O sólido representado pela perspectiva abaixo é derivado de um cubo de 6 cm de aresta. De um dos seus cantos inferiores foi extraído um outro cubo de 3 cm de aresta e, a seguir, foi executado um recorte que produziu a face inclinada a 60º com a horizontal. Para as três opções de frente indicadas pelas setas 1, 2 e 3, responda os itens a seguir. a) Para a posição 1 de frente, em torno de qual eixo o objeto deverá ser rotacionado para a obtenção da verdadeira grandeza da face inclinada? b) Nesse caso, que nova(s) vista(s) poderá(ão) mostrar a face em VG? c) Qual o ângulo de rotação necessário (ou quais os ângulos, caso haja mais de uma solução)? d) Das vistas originais, qual deverá sofrer a rotação para depois obter a vista resultante do item b) ? e) Em uma mesma folha, desenhe as vistas originais do objeto (sem rotação) e a(s) nova(s) vista(s) rotacionada(s), conforme o item b). f) Responda os itens a) a e) para as posições de frente 2 e 3. frente 1 frente 2 ângulo de 60º frente 3 base para a frente 3 38 CAPÍTULO 7 Para entender escalas e escalímetros Escala é a relação da dimensão linear de um objeto ou elemento representada no desenho para a dimensão real deste objeto ou elemento. (NBR 8196, 2.1) A escala é sempre uma proporção entre o tamanho real de um objeto e o de seu desenho (representação), e uma das formas de indicá-la é como uma fração... A notação mais comum para as escalas é na forma 1:50 o que, na linguagem corrente, é lido como “um para cinqüenta (sugestão: tirar o trema, conforme nova gramática 2009)” (outras escalas: 1:2 - um para dois; 1:20 - um para vinte; 1:1000 - um para mil; 1:12500 - um para doze mil e quinhentos; etc.). Escalas que diminuem, no desenho, o tamanho do objeto ou elemento representado, são ditas "escalas de redução". São exemplos de escalas de redução: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:100, 1:1000. Note que um mesmo objeto representado nas escalas 1:2 e 1:20 terá como resultado desenhos de dimensões completamente diferentes: na escala 1:2 o desenho terá metade do tamanho do objeto, e na escala 1:20, o desenho terá um vigésimo de seu tamanho real. O desenho em 1:2 será, portanto, menor do que o objeto real, mas muito maior que o desenho na escala 1:20. Os desenhos maiores, como na escala 1:2, permitem mostrar mais detalhes do que os menores, como aquele na escala 1:20. As escalas são utilizadas para desenhar os objetos ou elementos com suas medidas reduzidas ou aumentadas no papel. Quanto menor o denominador da fração, maior o desenho. Quanto maior o desenho, maior o nível de detalhamento possível e usual. A escala 1:1 é chamada "escala natural", com a qual o objeto ou elemento é desenhado do tamanho real. As escalas "de ampliação" - como 2:1, 5:1, 10:1, etc. – dão como resultado desenhos que têm (sugestão: não se acentua segundo a nova gramática 2009) as dimensões maiores do que as do objeto real. Essas escalas de ampliação aplicam-se ao desenho de peças de pequenas dimensões, nas quais o nível de detalhamento precisa ser grande. Observação importante: pode parecer óbvio, mas é necessário chamar a atenção para que o desenho pode mudar de escala, aumentar, diminuir, mas a cota (medida do objeto anotada no desenho) não se altera, é sempre a medida real do objeto representado. 39 Entendendo os escalímetros Na prática do desenho, as escalas são linhas graduadas – gravadas em uma régua - que indicam a relação entre distâncias ou medidas marcadas em um desenho e suas correspondentes distâncias ou medidas reais. As réguas onde são marcadas as escalas geralmente são chamadas escalímetros; são os instrumentos que servem para medir ou marcar medidas em um desenho utilizando uma das suas escalas. Os escalímetros permitem passar as medidas de uma escala para outra sem a necessidade de qualquer cálculo matemático. Basta utilizar uma ou outra das suas graduações (escalas). As escalas mais utilizadas para desenhos de arquitetura no Brasil são de redução e geralmente vêm gravadas no escalímetro com os números 20, 25, 50, 75, 100 e 125. Esses números significam que as medidas reais são reduzidas 20, 25, 50, 75, 100 e 125 vezes, respectivamente. Indica-se as escalas utilizadas com as notações 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, etc. O que as escalas representam Uma unidade, na graduação das escalas do escalímetro usado, representa uma dimensão real de 100 centímetros (um metro) Na escala 1:75, uma unidade na graduação do escalímetro representa 100 centímetros reais; um valor de 1,7 unidades representa 170 centímetros (1,70 metros) reais. Da mesma forma, na escala 1:25 uma unidade representa 100 centímetros reais. Portanto, o valor de 1,7 unidades nessa escala representa os mesmos 1,70 metros na realidade. Fig. 101 - exemplo: tanto na escala de 1:100 quanto na escala de 1:50, um valor de 2,3 unidades na escala graduada representa 230 centímetros (ou 2,3 metros) reais, embora as dimensões no escalímetro não sejam as mesmas. Como se vê, os escalímetros permitem passar as medidas de uma escala para outra sem a necessidade de qualquer cálculo matemático, basta girar a régua para utilizar qualquer das suas graduações (escalas). Fig. 100 - o escalímetro triangular é uma régua de perfil triangular que possui gravadas seis diferentes escalas nos seus lados e que permite passar de uma escala para outra apenas com um giro da régua. Os escalímetros permitem passar as medidas de uma escala para outra sem a necessidadede qualquer cálculo matemático. No caso dos escalímetros de perfil triangular, basta girar a régua para utilizar uma ou outra das suas graduações (escalas). Ou seja, para mudar o tamanho do desenho de um mesmo objeto ou elemento dentro das escalas disponíveis no escalímetro, não é necessário qualquer cálculo matemático de proporcionalidade, regra de três ou qualquer outro. 40 Em resumo: • unidades iguais gravadas nas escalas do escalímetro, 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100 e 1:125 representam as mesmas dimensões reais, ou seja, essas escalas são equivalentes nos números que mostram, embora as dimensões na régua sejam diferentes. • uma unidade, na graduação de qualquer escala, representa uma dimensão real de 100 centímetros (um metro). • o desenho pode mudar de escala, aumentar, diminuir, mas a cota (medida do objeto anotada no desenho) não se altera, é sempre a medida real do objeto representado. 41 ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidades) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (em centímetros) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (centímetros) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 1:20 1 5 100 20 vezes 1:25 1 4 100 25 vezes 1:50 1 2 100 50 vezes 1:75 1 1,33333 100 75 vezes 1:100 1 1 100 100 vezes 1:125 1 0,8 100 125 vezes A tabela abaixo mostra, para cada escala, quanto representa um centímetro de desenho no papel. Escala 1:1 um centímetro no desenho representa um centímetro real. É a chamada Escala Natural 1:2 um centímetro no desenho representa dois centímetros reais. É uma escala que reduz pela metade as medidas reais 1:5 um centímetro no desenho representa cinco centímetros reais. É uma escala que reduz cinco vezes as medidas reais 1:10 um centímetro no desenho representa dez centímetros reais 1:20 um centímetro no desenho representa vinte centímetros reais 1:25 um centímetro no desenho representa vinte e cinco centímetros reais 1:50 um centímetro no desenho representa cinqüenta centímetros reais 1:75 um centímetro no desenho representa setenta e cinco centímetros reais 1:100 um centímetro no desenho representa cem centímetros reais 1:125 um centímetro no desenho representa cento e vinte e cinco centímetros reais Fig. 103 - a aresta da base deste objeto desenhado na escala 1:5 mede, no objeto real, 30 centímetros (na escala 1:5, cada unidade do escalímetro vale 10 centímetros reais). Fig. 102 no mesmo desenho a aresta medida com uma régua comum (escala 1:1) tem 6 centímetros de comprimento. Essa medida não representa a medida real da aresta por não estar na escala original do desenho. No entanto, a medida de 6 cm da aresta no desenho comprova que na escala 1:5 cada centímetro desenhado vale 5 centímetros na realidade. As réguas comuns usam a Escala Natural (escala 1:1), ou seja, cada unidade na régua vale um centímetro na realidade. As réguas comuns usam a Escala Natural (escala 1:1), ou seja, cada unidade na régua vale um centímetro na realidade. Veja no CD-ROM exercícios a respeito de escalas e cotagem 42 Descobrindo a escala e dimensões de um desenho Muitos dos folhetos de propaganda de venda de apartamentos mostram uma planta-baixa decorada de forma a impressionar o possível comprador com as possibilidades e espaços do imóvel. O leigo, no entanto, raramente se dá conta das verdadeiras dimensões e do espaço disponível, a não ser quando ocupa efetivamente nesse espaço. Como agravante, muitos desses desenhos enganam o leitor desonesta e propositalmente: desenham a planta baixa em uma escala e o mobiliário em uma escala diferente, mais reduzida. Freqüentemente (sugestão: tirar o trema, conforme nova gramática 2009) acontece de uma sala de jantar, por exemplo, mostrar dois ambiente, folgados com uma mesa com oito cadeiras, quando, na verdade, não permite dois ambientes e mal dá para uma mesa pequena de quatro cadeiras. Fig. 104 – Desenho de folheto de propaganda. Fonte: Antares Engenharia, Brasília. A Fig. 89 acima servirá de base para a descoberta da escala e das dimensões do imóvel. Para isso, parte-se da premissa que algumas medidas que fazem parte da planta-baixa original - vãos de portas, profundidade de balcão de pia e de vasos sanitários - costumam ser desenhados na escala correta. Medindo a planta-baixa, procure a escala mais aproximada para que os seguintes valores sejam verdadeiros: • profundidade de balcão de pia: 55 a 60 cm • profundidade de vaso: 60 cm • vão da porta de entrada: 80 a 90 cm • vão de portas dos quartos: 80 cm • vão de portas de banheiro: 70 a 80 cm Fig. 105 – checando os valores de profundidade dos vasos sanitários, dos balcões das pias e dos vãos das portas, descobre-se que a escala mais aproximada para esta planta-baixa é a de 1:75 43 Descoberta a escala da planta, pode-se verificar e avaliar as reais dimensões do que foi desenhado. O primeiro passo é verificar se os móveis estão desenhados na mesma escala. Para isso, é preciso ter uma idéia clara das dimensões reais médias do mobiliário - qual a profundidade de um sofá, as dimensões de uma televisão, de uma cadeira e de uma mesa para quatro pessoas, fogão, geladeira, cama de casal, cama de solteiro, guarda-roupa, etc. Aperfeiçoe sua capacidade de avaliação das dimensões com alguns exercícios simples: ▪ calibre seu passo - faça várias vezes um percurso de dez dos seus passos normais, marcando o ponto inicial e final do percurso. Dividindo por dez a média da distância percorrida, você saberá o tamanho do seu passo. Essa passada serve para medir distâncias quando não há um instrumento de medição à mão; ▪ meça seu palmo - a medida do seu palmo bem aberto também serve como instrumento de medida de precisão aceitável em muitas situações; ▪ meça seu mobiliário caseiro – meça a largura, altura e profundidade e avalie o conforto dos vários tipos de móveis de uma casa: mesas, cadeiras, poltronas, sofás, camas, guarda-roupas, etc. ▪ meça os espaços caseiros – também é útil saber as dimensões e avaliar o conforto dos espaços caseiros, circulação entre camas, na frente de armários e guarda-roupas, para a abertura de portas, ao redor de mesas para afastamento de cadeiras, circulação na cozinha, etc. Fig. 106 - as profundidades das pias da cozinha e banheiro nesta planta-baixa correspondem aproximadamente à escala 1:75. Fig. 107 - Pela medida na escala da planta-baixa (1:75), a varanda do apartamento tem 90 cm de profundidade. É um bom exercício de dimensionamento avaliar, na realidade, quanto espaço isso significa. É uma varanda ampla ou apertada? É realmente viável colocar nessa varanda a mesa com duas cadeiras que está desenhada na planta decorada? Se é viável, será uma mesa utilizável, grande o suficiente para fazer uma refeição, por exemplo? Quantas pessoas cabem, confortavelmente, nessa varanda? Nesta planta-baixa, verifica-se que os móveis estão desenhados na escala correta. No entanto, vale como exercício avaliar os espaços livres existentes entre as camas de solteiro, o tamanho do guarda-roupas considerando que são duas pessoas, as dimensões da televisão no quarto de casal, o espaço livre de circulação e trabalho na cozinha, a abertura da porta da geladeira e as dimensões da mesa de jantar. Exercício: desenhe na escala de 1:50 a planta-baixa da Fig. 89 44 Como as escalas são feitas A graduação das escalas é feita tendo por base o resultado das relações matemáticas de cada uma. Para exemplificar, as unidades da escala de 1:75 resultam da divisão de 1 metro (100 centímetros) por 75, ou seja, 100/75=1,333333 centímetros. Essaescala, portanto, tem graduações unitárias a cada 1,333333 centímetros. Da mesma forma, a escala de 1:25 tem graduações unitárias a cada 4 cm (100/25=4), e assim por diante para todas as escalas. ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 1:20 0,2 1 20 20 vezes 1:25 0,25 1 25 25 vezes 1:50 0,5 1 50 50 vezes 1:75 0,75 1 75 75 vezes 1:100 1 1 100 100 vezes 1:125 1,25 1 125 125 vezes ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO Escalas de ampliação usadas para detalhamento de peças minúsculas 10:1 1 10 vezes 5:1 1 5 vezes 2:1 1 2 vezes Escala natural 1:1 1 1 1 NENHUMA - ESCALA NATURAL ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO Escalas de redução usadas para pequenos objetos e detalhamento 1:2 1 5 10 2 vezes 1:2,5 1 4 10 2,5 vezes 1:5 1 2 10 5 vezes 1:7,5 1 1,33333 10 7,5 vezes 1:10 1 1 10 10 vezes Fig. 108 - a escala de 1:25 tem graduações unitárias marcadas a cada 4 centímetros. 45 ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO Escalas de redução usadas para desenhos de objetos em escala arquitetônica e similares 1:20 1 5 100 20 vezes 1:25 1 4 100 25 vezes 1:50 1 2 100 50 vezes 1:75 1 1,33333 100 75 vezes 1:100 1 1 100 100 vezes 1:125 1 0,8 100 125 vezes ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO Escalas de redução usadas para desenhos de objetos e áreas em escala urbana e similares 1:200 1 5 1000 200 vezes 1:250 1 4 1000 250 vezes 1:500 1 2 1000 500 vezes 1:750 1 1,33333 1000 750 vezes 1:1000 1 1 1000 1000 vezes 1:1250 1 0,8 1000 1250 vezes ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO Escalas de redução usadas para desenhos de áreas urbanas e regionais – plantas urbanas, mapas, etc. 1:2000 1 5 10000 2000 vezes 1:2500 1 4 10000 2500 vezes 1:5000 1 2 10000 5000 vezes 1:7500 1 1,33333 10000 7500 vezes 1:10000 1 1 10000 10000 vezes 46 Escalas gráficas Fig. 109 - escala numérica e gráfica Para dar uma idéia (sugestão: não é acentuado segundo a nova gramática 2009) das distâncias nos seus mapas, o Guia 4 Rodas do Brasil usa um misto de escala gráfica e numérica. Neste caso, cada centímetro da escala gráfica do mapa vale 93 metros na realidade, ou seja, 9.300 centímetros. A escala do mapa seria, portanto, de 1:9300 se na impressão do Guia o desenho da escala gráfica medisse 1 centímetro realmente. Esta é a escala numérica. Exatamente porque muitas vezes nas impressões os mapas precisam ser reduzidos ou aumentados em relação às suas escalas reais, usa-se imprimir escalas gráficas com eles para serem usadas como unidade de medida. Essas escalas são reduzidas ou aumentadas juntamente com o mapa e por isso mantém as relações de distâncias correspondentes. As medidas das escalas gráficas podem, portanto, ser tomadas como referência confiável para calcular aproximadamente as dimensões ou as distâncias nos mapas. Usando-se a escala gráfica do mapa de Mariana pode-se descobrir, por exemplo, que a rua Br. de Camargo (veja dentro do círculo) tem aproximadamente 465 m de comprimento (5 vezes a medida da escala gráfica). ESCALA MEDIDA NO ESCALÍMETRO (unidade) MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL (cm) DIMENSÃO REAL REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO Escalas de redução usadas para desenhos de áreas urbanas e regionais – mapas, etc. 1:20000 1 5 100000 20000 vezes 1:25000 1 4 100000 25000 vezes 1:50000 1 2 100000 50000 vezes 1:75000 1 1,33333 100000 75000 vezes 1:100000 1 1 100000 100000 vezes 1:125000 1 0,8 100000 125000 vezes etc. Escala gráfica 47 Escala gráfica Fig. 110 - escala numérica e gráfica No Guia 4 Rodas, cada centímetro da escala gráfica do mapa da ilha de Fernando de Noronha vale 2 kilômetros na realidade, ou seja, 200.000 centímetros. A escala numérica do mapa original é, portanto, de 1:200.000. O comprimento da ilha de Fernando de Noronha no mapa é de aproximadamente 13 vezes o comprimento da escala gráfica. Segundo a escala gráfica ou numérica do Guia, portanto, o seu comprimento real é de aproximadamente 26 km. Fig. 111– o mapa da América do Sul foi impresso na escala 1:27 500 000 em um Atlas geográfico com página de dimensões 27x36,5 cm. Fig. 112 – Épura: desenho resultante das duas projeções do sistema Mongeano: projeção vertical ou vista de frente e projeção horizontal ou vista superior. 48 Fig. 114a e 98b – a imagem mostra lado-a-lado o traço da lapiseira escaneado na resolução da tela e um traço feito com o ponteiro do mouse no programa Paint. A imagem escaneada tem as bordas do traço serrilhadas (baixa resolução) mas (sugestão: colocar a vírgula antes de mas) há uma gradação de cinza para suavizar o traçado. O traçado no Paint não tem suavização e mostra claramente os pixels da tela. O traço é preto porque o pixel está apagado. Fig. 113– rastro de uma lapiseira sobre o papel CAPÍTULO 8 Não é do escopo deste livro ensinar AutoCAD ou qualquer outro programa comercial, além da introdução a um editor de linguagem VRML chamado Hiperion e a um modelador 3D muito simples chamado CosmoWorlds, ambos com versão temporária incluídos no CD-ROM. Pretende-se, isto sim, introduzir as bases da computação gráfica 3D, CADs e modeladores 3D, mostrando como os métodos e técnicas da Geometria Descritiva e do Desenho Técnico – projeções, vistas ortográficas, perspectivas, etc. – estão presentes e são o fundamento operacional dos mais modernos e avançados programas da área. Conhecendo as bases operacionais comuns a todos os programas, pode-se ter uma visão mais clara da área e desmistificar as ferramentas de desenho e modelagem. Com ferramentas simples, este livro percorre o terreno da construção e visualização de sólidos 3D com tecnologia de Realidade Virtual. Desenhos, imagens e modelos 3D; editores de imagens, CADs e modeladores 3D. O equivalente, em computador, ao traço feito pelo lápis em um pedaço de papel é o traço em qualquer programa editor de desenhos do tipo “Paint” do Windows. No papel, a lapiseira deixa um rastro de grafite (Fig. 97) que é tanto mais irregular quanto mais rugoso for o papel e mais macio o grafite. Na tela do computador, o equivalente à irregularidade do papel é a grade de pixels que forma a imagem (pixel é menor área da tela à qual é possível atribuir uma cor, ou seja, iluminar ou não com determinada cor). Nos monitores analógicos, essa grade tem tipicamente uma “rugosidade” – chamada resolução - de 72 desses pixels por polegada (usa-se a notação 72 dpi, ou dots per inch - pontos por polegada). O traço de lapiseira, escaneado na mesma resolução da tela do computador, 72 dpi, apresenta as bordas serrilhadas, com pixels
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