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www.profafguimaraes.net 1 ߠ ߠ Ͷͷι ʹ�݉ ݔ Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 06 Questão 1 O índice de refração de um material depende do comprimento de onda da onda eletromagnética que incide sobre o material. Suponha que o índice de refração de um material para a luz violeta ൫ߣ ൌ ͶͲͲͲ�Հ൯ seja igual a 1,515 e que para a luz vermelha ൫ߣ ൌ ͲͲͲ�Հ൯ seja igual a 1,505. Calcule a razão entre a velocidade de uma luz vermelha e a velocidade de uma luz violeta no interior deste material. Resolução: A razão entre as velocidades será: ݒ௩ݒ௩ ൌ ܿ ݊௩ൗܿ݊௩ൗ ൌ ݊௩݊௩ ൌ ͳǡͷͳͷͳǡͷͲͷ ؆ ͳǡͲͲ (1.1) Questão 2 Um raio luminoso para ir em linha reta de A até B atravessa um meio homogêneo e isotrópico de índice de refração igual a ݊ଵ, que preenche a metade da distância entre A e B. A outra metade da distância entre A e B é preenchida por um material homogêneo e isotrópico com índice de refração ݊ଶ ൌ ͳǡͲ. A superfície de separação entre os dois meios é plana e o raio luminoso incide ortogonalmente a esta superfície de separação. Determine o índice de refração ݊ଵ, sabendo que a distância entre A e B é de ͳͲ�݉ e que o caminho ótico de A até B vale ͳͷ�݉. Resolução: O caminho ótico entre os referidos pontos é dado por: ݈ ൌ ݊ଵ݈ଵ ݊ଶ݈ଶ�� (2.1) Em que ݈ଵ��݈ଶ são respectivamente a distância entre o ponto A até a superfície de separação entre os meios e a distância entre o ponto B até a mesma superfície de separação. Levando em consideração que a situação é simétrica, teremos: ݈ଵ ൌ ݈ଶ ൌ ͷ�݉�� (2.2) Agora, utilizando (2.1), temos: ͳͷ ൌ ሺ݊ଵ ͳǡͲሻ ή ͷ ݊ଵ ൌ ͳǡͶͲ (2.3) Questão 3 Uma estaca está a 2,0 metros do fundo de uma piscina a 0,5 metro acima da água. A luz do Sol incide a Ͷͷι. Qual é o comprimento da sombra da estaca no fundo da piscina? Resolução: Vamos considerar que o índice de refração da água para a luz em questão seja igual a 1,33. Vamos considerar, previamente, apenas a parte submersa da estaca com 2 metros de comprimento, ou seja até a superfície da água. A figura 3.1, abaixo, mostra a configuração descrita. Figura 3.1 Utilizando a lei de Snell-Descartes, teremos: ݊ݏ݁݊Ͷͷι ൌ ݊௨ݏ݁݊ߠ� ͳ ή ξʹʹ ൌ ͳǡ͵͵ ή ݏ݁݊ߠ�� ݏ݁݊ߠ ؆ Ͳǡͷ͵ʹ (3.1) De (3.1), teremos: ܿݏߠ ؆ ͲǡͺͶ (3.2) www.profafguimaraes.net 2 ߠ ߠ ߠ ߠ Ͷͷι ʹ�݉ ݔ Ͷͷι ݔݔԢ Então, utilizando os resultados de (3.1) e (3.2), a sombra da parte submersa será: ݔ ൌ ʹ ή ݐ݃ߠ� ݔ ൌ ʹ ή Ͳǡͷ͵ʹͲǡͺͶ � ݔ ൌ ͳǡʹͷ�݉ (3.3) A parte emersa projeta uma sombra dada por: Figura 3.2 ݔᇱ ൌ Ͳǡͷ ή ݐ݃Ͷͷι ൌ Ͳǡͷ�݉ (3.4) Assim, a sombra total, utilizando os resultados de (3.3) e (3.4), será: ݔ ݔᇱ ൌ ͳǡͷ�݉ (3.5) Questão 4 Provar que, quando se gira um espelho de um ângulo ߙ, o feixe refletido gira de ʹߙ. Resolução: A figura 4.1 a seguir mostra a configuração da questão. Figura 4.1 Os prolongamentos das retas normais aos espelhos em A e em B, formam o triângulo ABC. Já os prolongamentos dos raios refletidos em A e em B formam o triângulo ABD, conforme mostra a figura 4.1. Para o triângulo ABC, temos: ߠ ൌ ߠ ߙ (4.1) E para o triângulo ABD, temos: ʹߠ ൌ ʹߠ ݔ (4.2) Comparando (4.1) e (4.2), teremos: ݔ ൌ ʹߙ (4.3) Questão 5 Provar que um raio de luz, incidente sobre uma superfície de uma lâmina de vidro, de espessura t, emerge na face oposta paralelamente à direção inicial, mas deslocado lateralmente, como se vê na figura 5.1. Mostrar que, para pequenos ângulos, de incidência, ߠ, tal deslocamento é dado por: ݔ ൌ ݐߠ ή ିଵ , onde n é o índice de refração e ߠ é medido em radianos. Figura 5.1 Resolução: Na face esquerda, o ângulo de incidência vale ߠ. Pela lei de Snell-Descartes, temos: Ȉ ߙ ݔ ߙ ȈȈ A B C D ߠ ߠ ߠߠߠ ߠ ߠ ߠ ߠ ݐ ݔ www.profafguimaraes.net 3 ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߙ (5.1) Levando em consideração que o vidro está imerso no ar. Em (5.1), o ângulo ߙ é o ângulo de refração. Na face direita, o raio também forma com a normal, um ângulo ߙ. Assim sendo, aplicando novamente a lei de Snell-Descartes, o ângulo de emergência também será ߠ. Logo, os raios serão paralelos. Observando a figura 5.2, teremos: Figura 5.2 ݔ ൌ ܣܤݏ݁݊ሺߠ െ ߙሻ (5.2) Também temos: ܿݏߙ ൌ ݐܣܤ (5.3) Logo, de (5.2) e (5.3), teremos: ݔ ൌ ݐ ή ݏ݁݊ሺߠ െ ߙሻܿݏߙ (5.4) Em (5.4), temos ainda: ݔ ൌ ݐ ή ሾݏ݁݊ߠܿݏߙ െ ܿݏߠݏ݁݊ߙሿܿݏߙ �� ݔ ൌ ݐ ݏ݁݊ߠ െ ܿݏߠݏ݁݊ߙܿݏߙ ൨ (5.5) Utilizando (5.1) em (5.5), teremos: ݔ ൌ ݐ ݏ݁݊ߠ െ ܿݏߠݏ݁݊ߠ݊ܿݏߙ ൨ (5.6) Sendo ߠ pequeno e dado em radianos, teremos: ݏ݁݊ߠ ՜ ߠǡ ܿݏߠ ՜ ͳ��ܿݏߙ ՜ ͳ (5.7) Assim, utilizando (5.7) em (5.6), teremos: ݔ ൌ ݐ ߠ െ ݊ߠ൨ ݔ ൌ ݐߠሺ݊ െ ͳሻ݊ (5.8) Questão 6 Mostrar que, para um prisma delgado ሺ߮�ሻ e incidência próxima da normal ሺߠଵ�ሻ, o desvio angular é independente do ângulo de incidência, sendo igual a ሺ݊ െ ͳሻ߮ (ver figura 6.1). Figura 6.1 Resolução: Na face da esquerda temos: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠଵ (6.1) Para ߠ pequeno, podemos, a partir de (6.1), escrever: ߠ ؆ ݊ ή ߠଵ (6.2) Na face direita, ocasião que o raio de luz emerge do prisma, temos: ݊ ή ݏ݁݊ߠଶ ൌ ݏ݁݊ߠଷ (6.3) ߠ ߠ ݐ ݔ ߙ ߠ െ ߙ ܣ ܤ ߮ ߮ ߠଵ ߠଶ ߠଷ ߠ www.profafguimaraes.net 4 E também, para ߠ pequeno, teremos: ݊ ή ߠଶ ൌ ߠଷ (6.4) Para ߮, temos a relação, a partir do triângulo formado pelas retas normais e pelo raio refratado, dada por: ߮ ൌ ߠଵ ߠଶ (6.5) O ângulo de desvio será dado por: ݀ ൌ ߠ െ ߠଵ ߠଷ െ ߠଶ (6.6) Agora, utilizando as relações (6.2), (6.4) e (6.5) em (6.6), teremos: ݀ ؆ ݊ߠଵ ݊ߠଶ െ ߮�� ݀ ؆ ሺ݊ െ ͳሻ߮ (6.7) Questão 7 Um raio luminoso incide normalmente sobre a face ab do prisma de vidro ሺ݊ ൌ ͳǡͷͺሻ, como se vê na figura 7.1. (a) Supondo que o prisma esteja imerso no ar, determinar o maior valor do ângulo ߮ para o qual o raio é totalmente refletido na face ac. (b) Determinar ߮, no caso do prisma estar imerso no álcool etílico. Figura 7.1 Resolução: a) O raio incide na face ab normalmente, o que significa que ele não sofrerá desvio. Assim, podemos observar, da figura 7.2, que o ângulo de incidência na face ac será: ʹߨ െ ߮ (7.1) Figura 7.2 Agora, aplicando a lei de Snell-Descartes, teremos: ݊ ή ݏ݁݊ ቀʹߨ െ ߮ቁ ൌ ݏ݁݊ ʹߨ (7.2) Sabendo que ݏ݁݊ ቀగଶ െ ߮ቁ ൌ ܿݏ߮, teremos para (7.2): ܿݏ߮ ൌ ͳͳǡͷͺ�� ߮ ൌ ܿݏିଵͲǡ͵ ؆ ͷͲǡι (7.3) b) Utilizando o mesmo princípio, porém com o prisma imerso no álcool etílico: ܿݏ߮ ൌ ͳǡ͵ͳǡͷͺ�� ߮ ൌ ܿݏିଵͲǡͺ ؆ ͵Ͳǡι (7.4) Questão 8 Um raio luminoso incide sobre uma placa de vidro, de seção quadrada, como o da figura 8.1. Qual deve ser o índice de refração do vidro, para que haja reflexão interna total na face vertical? Figura 8.1 Ȉ ߮ ܽ Ȉܾ ܿ Ȉ ߮ ܽ Ȉܾ ܿ ߮ ʹߨ െ ߮ Ͷͷι www.profafguimaraes.net 5 Resolução: Aplicando a lei de Snell-Descartes, teremos: ݏ݁݊Ͷͷι ൌ ݊௩ ή ݏ݁݊ߠ�� ݊௩ ή ݏ݁݊ߠ ൌ ξʹʹ� (8.1) Observando a figura 8.2, podemos concluir que na face vertical, o ângulo de incidência será: ʹߨ െ ߠ (8.2) Figura 8.2 Agora aplicando novamente a lei de Snell- Descartes na face vertical, teremos: ݊௩ ή ݏ݁݊ ቀʹߨ െ ߠቁ ൌ ͳ�� ݊௩ ή ܿݏߠ ൌ ͳ (8.3) Agora, podemos utilizar a relação do seno e cosseno, dada por: ݏ݁݊ଶߠ ܿݏଶߠ ൌ ͳ (8.4) Então, utilizando (8.1), (8.3) em (8.4), teremos: ͳ݊௩ଶ ൬ͳʹ ͳ൰ ൌ ͳ ݊௩ ൌ ൬͵ʹ൰భమ ؆ ͳǡʹʹ (8.5) O índice de refração do vidro deverá assumir qualquer valor que suplantar o valor dado em (8.5). Questão9 Um raio de luz monocromática, inicialmente no ar, incide sobre um prisma de ͻͲι em P (ver figura 9.1), sendo aí refratado. Em Q, ocorre outra refração, de tal modo que o raio roça a superfície do lado direito do prisma, após emergir para o ar no ponto Q. (a) Determinar o índice de refração do prisma, em relação ao ar, para esse comprimento de onda, em termos do ângulo de incidência ߠଵ, que dá lugar à situação descrita. (b) Dar um limite superior numérico para o índice de refração do prisma. (c) Mostrar, através de um diagrama, o que ocorre se o ângulo de incidência em P é pouco maior que ߠଵ, e se é pouco menor que ߠଵ. Figura 9.1 Resolução: a) Em P, utilizando a lei de Snell-Descartes, teremos: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ݏ݁݊ߠ ݏ݁݊ߠ ൌ ݏ݁݊ߠଵ݊ (9.1) Em que ݊��ߠ são respectivamente, o índice de refração do prisma e o ângulo de refração em P. Em Q, utilizando novamente a lei de Snell- Descartes: ݏ݁݊ߠொ ൌ ͳ݊ (9.2) Aqui, ߠொ é o ângulo de incidência no ponto Q. Da figura 9.1, podemos concluir a partir do triângulo formado pelas retas normais e o raio refratado, que: ߠொ ൌ ʹߨ െ ߠ Ͷͷι ߠ ߠ ߨൗʹ െ ߠ ߠߠ ߨൗʹߨߨ ʹʹ െ ߠ ߠଵ P Q www.profafguimaraes.net 6 ݏ݁݊ߠொ ൌ ܿݏߠ (9.3) Utilizando (9.3) em (9.2), teremos: ܿݏߠ ൌ ͳ݊ (9.4) Agora utilizando a relação trigonométrica (8.4), juntamente com (9.1) e (9.4), teremos: ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ͳ݊ଶ ൌ ͳ ݊ ൌ ሾݏ݁݊ଶߠଵ ͳሿభమ (9.5) b) Levando em consideração que o valor máximo do seno é a unidade, teremos, utilizando (9.5): ݊ೣ ൌ ξʹ ؆ ͳǡͶͳ (9.6) c) ߠ ߠଵ: Figura 9.2 ߠ ൏ ߠଵ: Figura 9.3 Questão 10 Uma fonte luminosa puntiforme é colocada a uma distância ݄ abaixo da superfície de um lago, grande e profundo. (a) Mostrar que a fração ݂, da energia luminosa que escapa diretamente através da superfície do líquido, independe de ݄, sendo dada por: ݂ ൌ ଵଶെ ଵଶξ݊ଶ െ ͳ, onde ݊ é o índice de refração da água. (Nota: Desprezar a absorção pela água e pela reflexão na superfície – exceto quando esta é total.) (b) Calcular esta fração, para ݊ ൌ ͳǡ͵͵. Resolução: A figura 10.1 mostra a fonte colocada a uma distância ݄ da superfície do lago. Figura 10.1 O ângulo limite ߠ é dado por: ݏ݁݊ߠ ൌ ͳ݊ (10.1) Em que ݊ é o índice de refração da água. Assim, a fração de luminosidade que pode escapar da água se encontra limitada dentro de um cone cujo diâmetro máximo da base é dado por: ܦ௫ ൌ ʹ݄ݐ݃ߠ (10.2) ߠ ߠ ݄ ܽ ܦ௫ ߠߠߠ ݄ ܽ ߠଵ P ߠଵ ߠߠ Q ߠଵ P ߠଵ ߠߠ Q ߙ ߙ ߙߙ www.profafguimaraes.net 7 ߠ ݄ െ ܽ ܽ ݄ ܦ௫ ʹΤ ݄�ݏ݁݊ߠ Sabemos que a intensidade luminosa pode ser representada por: ܫ ൌ ܧܣ ή οݐ (10.3) Em que ܧ é a energia irradiada no intervalo de tempo οݐ e ܣ é a área da superfície formada pela frente de onda, no caso, a área de uma esfera de raio ݄. Utilizando (10.3), teremos para a energia contida somente na calota esférica que emergirá: ܧᇱ ൌ ܧͶߨ݄ଶ ή ܣ௧ (10.4) Logo, para a fração solicitada, teremos: ܧԢܧ ൌ ܣ௧Ͷߨ݄ଶ (10.5) O problema agora se resume em achar a área da calota esférica, mostrada na figura (10.1) em vermelho. A área da referida calota esférica é dada por: ܣ௧ ൌ ʹߨ݄ܽ (10.6) Por meio de uma semelhança de triângulos, poderemos determinar o valor de ܽ. Considere a figura 10.2 que mostra o perfil da situação. Figura 10.2 Utilizando então a semelhança de triângulos: ʹ݄ݏ݁݊ߠܦ௫ ൌ ݄ െ ݄ܽ (10.7) Utilizando a relação (10.2) em (10.7), teremos: ܽ ൌ ݄ ൬ͳ െ ݏ݁݊ߠݐ݃ߠ ൰ (10.8) Agora, utilizando a relação trigonométrica (8.4), juntamente com (10.1), teremos: ܿݏߠ ൌ ξ݊ଶ െ ͳ݊ (10.9) Que conduz a: ݐ݃ߠ ൌ ξ݊ଶ െ ͳ݊ଶ െ ͳ (10.10) Agora vamos utilizar (10.1), (10.6), (10.8) e (10.10) em (10.5): ܧᇱܧ ൌ ͳʹ െ ͳʹ ή ͳൗ݊ξ݊ଶ െ ͳ ݊ଶ െ ͳൗ ݂ ൌ ܧԢܧ ൌ ͳʹ െ ͳʹ݊ ή ඥ݊ଶ െ ͳ (10.11) c) Utilizando o dado numérico em (10.11), teremos: ݂ ൌ ܧԢܧ ؆ ͳΨ (10.12) Obs.: Para (10.6) ver: Spiegel M. R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas (Coleção Schaum). Ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973. Questão 11 A figura 11.1 mostra um prisma de desvio constante. Embora feito de uma única peça de vidro, equivale a dois prismas de ͵Ͳι െ Ͳι െ ͻͲι e um de Ͷͷι െ Ͷͷι െ ͻͲι. Luz branca incide na direção i. Varia-se ߠଵ girando o prisma de tal maneira que luz, de qualquer comprimento de onda desejado, é obrigada a seguir a trajetória www.profafguimaraes.net 8 mostrada, emergindo em r. Provar que, sendo ݏ݁݊ߠଵ ൌ ଵଶ݊, então ߠଵ ൌ ߠଶ e os raios i e r serão perpendiculares entre si. Figura 11.1 Resolução: O raio luminoso i incide no prisma 30-60-90 e refrata com um ângulo ߙ, que de acordo com a lei de Snell-Descartes é dado por: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ݏ݁݊ߙ (11.1) Agora observando a figura 11.1, percebe-se que o raio refratado no prisma 30-60-90, é perpendicular à superfície do prisma 45-45-90, antes da reflexão. Logo, teremos: ߙ ൌ ͵Ͳι (11.2) Logo, utilizando (11.2) em (11.1), teremos: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ʹ (11.3) Temos também: ߙ ߚ ൌ ͷι ֜ ߚ ൌ Ͷͷι (11.4) Também, da figura 11.1, podemos concluir que o ângulo ߛ ൌ Ͳι o que conduz a: ߜ ൌ ͵Ͳι (11.5) Logo: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݏ݁݊ߠଶ ൌ ݊ʹ ߠଵ ൌ ߠଶ (11.6) Questão 12 Usando o princípio de Fermat, provar que o raio refletido, o raio incidente e a normal estão num mesmo plano. Resolução: Figura 12.1 O caminho percorrido pelo raio de luz do ponto 1 até o ponto 2 é dado por: ݈ ൌ ሺ݄ଵଶ ݔଵଶሻభమ ሺ݄ଶଶ ݔଶଶሻభమ (12.1) Da figura 12.1, podemos concluir: ݀ݏ݁݊ߙଶ ൌ ݔଵݏ݁݊ߙଵ (12.2) E ݔଶ ൌ ݀ܿݏߙଶ െ ݔଵܿݏߙଵ (12.3) Assim, utilizando (12.3) em (12.1), teremos: ݈ ൌ ሺ݄ଵଶ ݔଵଶሻభమ ሾ݄ଶଶ ሺ݀ܿݏߙଶ െ ݔଵܿݏߙଵሻଶሿభమ (12.4) Pelo princípio de Fermat, temos que: ݈݀݀ݔଵ ൌ Ͳ (12.5) Assim, calculando a derivada de (12.4) e utilizando (12.5), teremos: ͵Ͳι ͵Ͳι Ͳι Ͳι Ͷͷι Ͷͷι ͻͲι ͻͲι Ͷͷι ͻͲι ߠଵ ߠଶ ݅ ݎ ͷι ߙ ͷι ߚ ߚߚ ߚ ߜ ͻͲι ͷιͷιͷιͷιͷι ߛ ܰ ͳ ʹ ݔଵ ݔଶ ݄ଵ ݔ݄ଶ ߠଵ ʹ ߠଶ ߙଵ ݔଶ ߙଶ ݀ www.profafguimaraes.net 9 ݔଵሺ݄ଵଶ ݔଵଶሻభమ ൌ ܿݏߙଵ ή ݀ܿݏߙଶ െ ݔଵܿݏߙଵሾ݄ଶଶ ሺ݀ܿݏߙଶ െ ݔଵܿݏߙଵሻଶሿభమ (12.6) Mas: ݔଵሺ݄ଵଶ ݔଵଶሻభమ ൌ ݏ݁݊ߠଵ (12.7) E ݀ܿݏߙଶ െ ݔଵܿݏߙଵሾ݄ଶଶ ሺ݀ܿݏߙଶ െ ݔଵܿݏߙଵሻଶሿభమ ൌ ݏ݁݊ߠଶ (12.8) Logo, de (12.6)-(12.8), teremos: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ܿݏߙଵ ή ݏ݁݊ߠଶ (12.9) Sabendo da validade da lei dos ângulos da reflexão, ou seja, ߠଵ ൌ ߠଶ, teremos para (12.9): ܿݏߙଵ ൌ ͳ ߙଵ ൌ ߙଶ ൌ Ͳ (12.10) O que demonstra que os raios de incidência e reflexão e a reta normal são coplanares. Por outro lado, se os referidos raios e a reta normal são coplanares, ou seja, ߙଵ ൌ ߙଶ ൌ Ͳ, teremos, de (12.9): ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݏ݁݊ߠଵ ֜ ߠଵ ൌ ߠଶ (12.11) O que também valida a lei da reflexão para os ângulos. Questão 13 A figura 13.1 mostra dois pontos A e B, unidos por um raio luminoso AvB. Mostrar que, em relação aos vizinhos, como AcB, o raio AvB representa um caminho ótico mínimo, estacionário ou máximo, conforme a distância ܽ seja, respectivamente menor, igual ou maior que a quantidade ܴ ή ሺ݊ ͳሻ ሺ݊ െ ͳሻΤ onde ܴ é o raio de curvatura da superfície esférica e, ݊, o índice de refração do meio existente à direita da superfície. Figura 13.1 Resolução: Figura 13.2 Observando a figura 13.2, teremos pela lei de Snell-Descartes: ݏ݁݊ߛ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ (13.1) Do triângulo AcO, utilizando a lei dos senos, teremos: ܣܿതതതݏ݁݊߮ ൌ ܽ ܴݏ݁݊ሺߨ െ ߛሻ (13.2) Mas ݏ݁݊ሺߨ െ ߙሻ ൌ ݏ݁݊ߛ. Logo, de (13.2), teremos: ܣܿതതതݏ݁݊߮ ൌ ܽ ܴݏ݁݊ߛ (13.3) Do triângulo BcO, utilizando a lei dos senos, teremos: A B c v a a R ߮� n A B c v aa R ߮� n ߙ ߚ ߛ ߠ vv ߮ߠߠߨ െ ߛ O www.profafguimaraes.net 10 ܤܿതതതതݏ݁݊ሺߨ െ ߮ሻ ൌ ܽ െ ܴݏ݁݊ߠ (13.4) Mas ݏ݁݊ሺߨ െ ߮ሻ ൌ ݏ݁݊߮. Logo, de (13.4), teremos: ܤܿതതതതݏ݁݊߮ ൌ ܽ െ ܴݏ݁݊ߠ (13.5) Agora utilizando (13.1), (13.3) e (13,5), teremos: ܣܿതതതܤܿതതതത ൌ ͳ݊ ή ൬ܽ ܴܽ െ ܴ൰ (13.6) Agora, mas analisar as situações que podem ocorrer com os caminhos ܣܿതതത e ܤܿതതതത, utilizando (13.6). · ܣܿതതത ܤܿതതതത: ܣܿതതതܤܿതതതത ͳ ฺ ܽ ൏ ܴሺ݊ ͳሻ݊ െ ͳ (13.7) O raio de luz percorre o caminho mais longo no meio onde sua velocidade é maior. Logo teremos um mínimo para essa condição. · ܣܿതതത ൌ ܤܿതതതത ൌ ܽ: ܣܿതതതܤܿതതതത ൌ ͳ ฺ ܽ ൌ ܴሺ݊ ͳሻ݊ െ ͳ (13.8) O raio de luz percorre a mesma distância, tanto no meio onde sua velocidade é maior quanto no meio onde sua velocidade é menor. Esse é o trajeto AvB. Logo, temos um tempo estacionário para essa condição. · ܣܿതതത ൏ ܤܿതതതത: ܣܿതതതܤܿതതതത ൏ ͳ ฺ ܽ ܴሺ݊ ͳሻ݊ െ ͳ (13.9) O raio de luz percorre o caminho mais longo no meio onde sua velocidade é menor. Logo teremos um máximo para essa condição. Questão 14 Um arco-íris é produzido pela reflexão da luz solar em gotas de água esféricas existentes no ar. A figura 14.1 indica um raio que se refrata para o interior de uma gota no ponto A, é refletido na superfície posterior da gota no ponto B e se refrata voltando para o ar no ponto C. Figura 14.1 Os ângulos de incidência e refração, ߠ��ߠ, são indicados nos pontos A e C, e os ângulos de incidência e de reflexão, ߠ��ߠ , são indicados no ponto B. (A) Mostre que ߠ ൌ ߠǡ ߠ ൌ ߠ�݁�ߠ ൌߠ. (B) Mostre que o ângulo em radianos antes de ele entrar na gota em A e depois que ele sai da gota em C (a deflexão angular total do raio) é dado por οൌ ʹߠ െ Ͷߠ ߨ. (Dica: Determine a deflexão angular que ocorre em A, em B e em C e some para encontrar ο.) (C) Use a lei de Snell para escrever ο em termos de ߠ e de n, o índice de refração da água na gota. (D) O arco-íris se forma quando o ângulo de deflexão ο é estacionário em relação a ߠ, ou seja, quando ݀ο ݀ߠΤ ൌ Ͳ. Quando essa condição for obedecida, todos os raios próximos de ߠ sairão da gota retornando na mesma direção, produzindo uma faixa brilhante no céu. Chame de ߠଵ o ângulo para o qual isso ocorre. Mostre que ܿݏଶߠଵ ൌ భయ൫మାଵ൯. (Dica: Talvez você ache conveniente usar a fórmula da derivada ݀൫ܽݎܿ�ݏ݁݊�ݑሺݔሻ൯ ݀ݔΤ ൌሺͳ െ ݑଶሻିభమሺ݀ݑ ݀ݔΤ ሻ). (E) O índice de refração da água é igual a 1,342 para a luz violeta e 1,330 para a luz vermelha. Use os resultados do itens (C) e (D) para calcular ߠଵ e ο para a luz vermelha e para a luz violeta. Quando você vê o arco-íris, qual das Ar Água ߠ ߠ ߠ ߠ ߠ ߠ A B C O ÁguaÁgua ߠߠ ߠߠߠߠߠ A C a OOOOOO www.profafguimaraes.net 11 duas cores do arco-íris primário está mais afastada do horizonte, a vermelha ou a violeta? Resolução: A) Observando a figura 14.1, podemos concluir, a partir do triângulo ABO, que é isóscele, que: ߠ ൌ ߠ (14.1) Pela lei da reflexão, temos: ߠ ൌ ߠ (14.2) O triângulo COB, também é isóscele. Logo: ߠ ൌ ߠ (14.3) Assim, de (14.1)-(14.3), teremos: ߠ ൌ ߠ (14.4) Pela lei de Snell, em A, temos: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ (14.5) Em C, pela lei de Snell, temos: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ (14.6) Então, de (14.4)-(14.6), podemos concluir: ݏ݁݊ߠ ൌ ݏ݁݊ߠ ߠ ൌ ߠ (14.7) B) Os desvios: Em A: οൌ ߠ െ ߠ (14.8) Em B: οൌ ߨ െ ߠ െ ߠ (14.9) Utilizando (14.1) e (14.2), teremos para (14.9): οൌ ߨ െ ʹߠ (14.10) Em C: οൌ ߠ െ ߠ (14.11) Utilizando (14.4) e (14.7), teremos para (14.11): οൌ ߠ െ ߠ (14.12) Para o desvio total, tomando a soma, teremos, de (14.8), (14.10) e (14.12): οൌ ʹߠ െ Ͷߠ ߨ (14.13) C) Utilizando (14.5) em (14.13), teremos: οൌ ʹߠ െ Ͷܽݎܿ�ݏ݁݊ ቆݏ݁݊ߠ݊ ቇ ߨ (14.14) D) Calculando a derivada de (14.14), teremos: ݀ο݀ߠ ൌ ʹ െ Ͷቆͳ െ ݏ݁݊ଶߠ݊ଶ ቇିభమ ή ܿݏߠ݊ (14.15) Impondo a condição ݀ο ݀ߠΤ ൌ Ͳ e chamando de ߠଵ para a referida condição, teremos: ʹ ቆͳ െ ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ቇିభమ ή ܿݏߠଵ݊ ൌ ͳ Ͷܿݏଶߠଵ ൌ ݊ଶ െ ݏ݁݊ଶߠଵ ܿݏଶߠଵ ൌ ͳ͵ ሺ݊ଶ െ ͳሻ (14.16) E) Utilizaremos agora, as expressões (14.14) e (14.16), para as cores violeta e vermelha. Seja ߠ௩ o ângulo relativo à cor violeta. Assim, teremos: ܿݏଶߠ௩ ൌ ͳ͵ ሺͳǡ͵Ͷʹଶ െ ͳሻ ؆ Ͳǡʹ www.profafguimaraes.net 12 ߠ௩ ؆ ͳǡͲʹ�ݎܽ݀ ൌ ͷͺǡͺͻι (14.17) O desvio será: ο௩ൌ ʹǡͶ͵ʹ�ݎܽ݀ ؆ ͳ͵ͻǡ͵Ͷ͵ι (14.18) De (14.18), teremos para o ângulo interno o valor aproximado de ͶͲǡι. Para a cor vermelha utilizaremos ߠ௩ . Assim, teremos: ܿݏଶߠ௩ ൌ ͳ͵ ሺͳǡ͵͵Ͳଶ െ ͳሻ ߠ௩ ؆ ͳǡͲͶͲ�ݎܽ݀ ؆ ͷͻǡͷͺͺι (14.19) O desvio será: ο௩ൌ ʹǡͶͲͲ�ݎܽ݀ ؆ ͳ͵ǡͷͳͲι (14.20) Que conduz a um ângulo interno de aproximadamente Ͷʹǡͷι. Para o arco-íris primário vemos a cor vermelha mais afastada do horizonte e a cor violeta mais próxima. Questão 15 Um arco-íris secundário se forma quando a luz incidente sofre duas reflexões no interior de uma gota de água, como indica a figura 15.1. Figura 15.1 (A) Em relação ao ângulo de incidência ߠ e ao índice de refração ݊ da gota, qual é a deflexão angular ο do raio? Ou seja, qual é o ângulo entre o raio antes de ele entrar na gota e depois que ele sai da gota? (B) Qual é o ângulo de incidência ߠଶ para o qual a derivada de ο em relação ao ângulo ߠ é igual a zero? (C) Os índices de refração para a luz vermelha e para a luz violeta são fornecidos no item (E) da questão anterior. Use os resultados dos itens (A) e (B) para calcular ߠଶ e ο para a luz vermelha e para a luz violeta. Quando você vê um arco-íris secundário, qual é a cor que está mais afastada do horizonte, a vermelha ou a violeta? Resolução: A) Previamente, vamos determinar os ângulos que são equivalentes. O triângulo AOB é isóscele, logo: ߠ ൌ ߠ (15.1) Pela lei da reflexão, temos que ߠ ൌ ߠ e ߠ ൌ ߠ . O triângulo BOC é isóscele, logo: ߠ ൌ ߠ ൌ ߠ ൌ ߠ (15.2) Assim, de (15.1) e (15.2), temos: ߠ ൌ ߠ (15.3) O triângulo COD é isóscele, logo: ߠ ൌ ߠ ൌ ߠ (15.4) Em A, utilizando a lei de Snell, teremos: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ (15.5) Em D, utilizando a lei de Snell, teremos: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ (15.6) Logo: ߠ ൌ ߠ (15.7) Para o desvio temos: Em A: οൌ ߠ െ ߠ (15.8) ߠ ߠ ߠ ߠ ߠ ߠ ߠ ߠ ܣ ܤ ܥ ܦ ܱ ߠ ߠߠ ߠߠߠܦ ܱ www.profafguimaraes.net 13 Em B: οൌ ߨ െ ʹߠ (15.9) Em C: οൌ ߨ െ ʹߠ (15.10) Em D: οൌ ߠ െ ߠ (15.11) Em (15.9) até (15.11), foram utilizados as igualdades (15.1), (15.2), (15.3), (15.4) e (15.7). Para o desvio total, somando (15.8)-(15.11), teremos: οൌ ʹߠ െ ߠ ʹߨ (15.12) Ou ainda, utilizando (15.5), teremos: οൌ ʹߠ െ ܽݎܿ�ݏ݁݊ ቆݏ݁݊ߠ݊ ቇ ʹߨ (15.13) B) Derivando a expressão (15.13) com relação a ߠ e igualando a zero, teremos: ͵ቆͳ െ ݏ݁݊ଶߠଶ݊ଶ ቇିభమ ή ܿݏߠଶ݊ ൌ ͳ ͻܿݏଶߠଶ ൌ ݊ଶ െ ݏ݁݊ଶߠଶ ܿݏଶߠଶ ൌ ͳͺ ሺ݊ଶ െ ͳሻ (15.14) C) Utilizando os dados numéricos teremos, para a cor violeta: ߠ௩ ؆ ͳǡʹͶͻ�ݎܽ݀ ൌ ͳǡͷʹι (15.15) E ο௩؆ ʹ͵͵ǡʹͷͳι (15.16) O que corresponde a um ângulo interno aproximadamente igual a ͷ͵ǡ͵ι. E para a cor vermelha, teremos: ߠ௩ ؆ ͳǡʹͷ�ݎܽ݀ ؆ ͳǡͻ͵ι (15.17) E ο௩؆ ʹ͵ͲǡͳͲͲι (15.18) O ângulo interno valendo aproximadamente ͷͲǡͳι. O arco-íris secundário se apresenta de forma invertida com relação ao arco-íris primário, ou seja, a cor violeta se encontra mais afastada do horizonte enquanto a cor vermelha se encontra mais próxima do horizonte. Questão 16 Uma fibra óptica consiste num núcleo de vidro (índicede refração ݊ଵ) circundado por uma película (índice de refração ݊ଶ ൏ ݊ଵ). Suponha um feixe de luz entrando na fibra, proveniente do ar, num ângulo ߠ com o eixo da fibra, como nos mostra a figura 16.1. (a) Mostre que o maior valor possível de ߠ para o qual o raio pode se propagar na fibra é dado por ߠ ൌ ݏ݁݊ିଵඥ݊ଵଶ െ ݊ଶଶ. (b) Suponha que os índices de refração do vidro e da película sejam 1,58 e 1,53, respectivamente, e calcule o valor deste ângulo. Figura 16.1 Resolução: Aplicando a lei de Snell, teremos: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ଵ ή ݏ݁݊ߠଵ (16.1) Em que ߠଵ é o ângulo de refração no núcleo de vidro, conforme mostra a figura 16.2. ߠ www.profafguimaraes.net 14 Figura 16.2 Observando a figura 16.2, podemos concluir que os ângulos ߠଵ��ߠଶ são complementares, logo: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ܿݏߠଶ (16.2) Na situação limite, ou seja, ߠଶ ൌ ߠ, teremos: ݏ݁݊ߠଶ ൌ ݊ଶ݊ଵ (16.3) Utilizando a relação trigonométrica (8.4), teremos: ܿݏߠଶ ൌ ሺ݊ଵଶ െ ݊ଶଶሻభమ݊ଵ (16.4) De (16.1), (16.2) e (16.4), teremos: ݏ݁݊ߠ ൌ ሺ݊ଵଶ െ ݊ଶଶሻభమ�� ߠ ൌ ܽݎܿ�ݏ݁݊ሺ݊ଵଶ െ ݊ଶଶሻభమ (16.5) b) Utilizando os dados numéricos, teremos: ߠ ؆ ʹ͵ǡʹʹι (16.6) Questão 17 Numa fibra óptica (veja a questão anterior), diferentes raios percorrem diferentes trajetórias ao longo da fibra, conduzindo a diferentes tempos de percurso. Isto causa o espalhamento do pulso luminoso ao se propagar ao longo da fibra, resultando em perda de informação. O tempo de atraso pode ser minimizado durante o planejamento da fibra. Considere um raio que percorra uma distância ܮ ao longo do eixo da fibra e outro que seja refletido, no ângulo crítico, quando ele se propaga na mesma direção do primeiro. (a) Mostre que a diferença οݐ entre os tempos de chegada é dada por οݐ ൌ ή భమ ሺ݊ଵ െ ݊ଶሻ, onde ݊ଵ é o índice de refração do núcleo de vidro e ݊ଶ é o índice de refração do revestimento da fibra. (b) Calcule οݐ para fibra da questão anterior, com ܮ ൌ ͵ͲͲ�݉. Resolução: Figura 17.1 Ao longo do eixo temos: οݐଵ ൌ ܿܮ ή ݊ଵ (17.1) Para o trajeto refletido no ângulo crítico ߠ, temos: οݐଶ ൌ ܮܿ ή ݏ݁݊ߠ ή ݊ଵ (17.2) Mas, ݏ݁݊ߠ ൌ మభ. Então, teremos para (17.2): οݐଶ ൌ ܮܿ ή ݊ଶ ή ݊ଵଶ (17.3) Agora, utilizando (17.1) e (17.3), teremos: οݐଶ െ οݐଵ ൌ ܿܮ ή ݊ଵଶ݊ଶ െ ܿܮ ή ݊ଵ οݐଶ െ οݐଵ ൌ ܿܮ ή ݊ଵ݊ଶ ሺ݊ଵ െ ݊ଶሻ (17.4) ߠ ߠଵ ߠଶ ߠଵߠଵ ߠߠଶଶߠଶଶ ߠ ܮ ߠ www.profafguimaraes.net 15 b) Utilizando os dados numéricos, teremos: οݐଶ െ οݐଵ ؆ ͷǡʹ ή ͳͲି଼�ݏ (17.5) Questão 18 Ondas sonoras geradas na Terra pela detonação de uma pequena quantidade de explosivo obedecem às mesmas Leis da Reflexão, Refração e Reflexão interna total do mesmo modo que os raios luminosos. Detectores, colocados em linha reta a partir do ponto de detonação S (veja figura 18.1), assinalam a chegada das ondas sonoras. Suponha que uma camada de solo onde a velocidade do som é ݒଵ cubra um leito de rocha firme onde a velocidade do som é ݒଶ; suponha que ݒଶ ݒଵ. As ondas chegam num detector por dois caminhos: i) uma onda superficial direta; ii) uma onda incidindo na interface solo-leito rochoso no ângulo crítico de reflexão total; esta onda se propaga ao longo da fronteira com velocidade ݒଶ, gerando ondas que retornam à superfície, deixando a interface com um ângulo igual ao de incidência. (Ondas simplesmente refletidas da interface não são consideradas.) (a) Mostre que o tempo de percurso destas ondas criticamente refletidas é dado por ݐ ൌ ଶට௩మమି௩భమ௩భ௩మ ௫௩మ, onde D é a espessura da camada superior e x a distância medida a partir do detonador S até o detector. (b) Mostre que além de uma certa distância x*, as ondas criticamente refletidas chegam antes que as ondas diretas, e que ݔכ ൌ ʹܦ ή ටଵାଵି � ǡ ݊ ൌ ௩భ௩మ. E consequentemente, determinando x*, você obterá a espessura D da camada superior. Este método é largamente empregado na determinação da conveniência de terrenos para fins de construção, quando são traçadas as zonas subterrâneas aquíferas etc., e é chamado de levantamento topográfico sísmico. Figura 18.1 Resolução: Quando ocorre a reflexão total da luz em um meio, o ângulo crítico é dado por: ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ଶ݊ଵ ൌ ܿ ݒଶൗܿ ݒଵൗ ൌ ݒଵݒଶ (18.1) Utilizaremos (18.1) para o caso do som se propagando no solo para o leito rochoso. O tempo total para o som descer, percorrer a fronteira do leito rochoso e depois retornar à superfície será: ݐ ൌ οݐଵ οݐଶ (18.2) Figura 18.2 Em que οݐଵ ൌ ʹܦݒଵܿݏߠ (18.3) E οݐଶ ൌ ݄ݒଶ (18.4) ݔ� ܦ ࢜ ࢜ Solo Leito rochoso Explosivo ݔ� ܦ ࢜ ࢜ Solo Leito rochoso Explosivo ࡸ ࢎ ࡸ ࣂࢉ www.profafguimaraes.net 16 De (18.1), juntamente com relação trigonométrica (8.4), temos: ܿݏߠ ൌ ሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶ (18.5) Logo, teremos para (18.3): οݐଵ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶଶ െ ݒଵଶ ή ݒଶݒଵ (18.6) Para o tempo total, de (18.2), (18.4) e (18.6), teremos: ݐ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶଶ െ ݒଵଶ ή ݒଶݒଵ ݄ݒଶ (18.7) Agora, para ݒଶ ݒଵ ฺ ݒଶଶ െ ݒଵଶ ื ݒଶଶ��݄ ื ݔ, pois o ângulo crítico tende para um valor muito pequeno. Logo, teremos para (18.7): ݐ ؆ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଵݒଶ ݔݒଶ (18.8) Em linha reta, o tempo para a percorre a distância x será: ݐ ൌ ݔݒଵ (18.9) Tomando a diferença entre (18.8) e (18.9), teremos: ݐ െ ݐ ൌ ݔݒଵ െ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଵݒଶ െ ݔݒଶ (18.10) Para a diferença ser tornar nula, teremos: ݔ ൬ ͳݒଵ െ ͳݒଶ൰ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଵݒଶ � ݔ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶെݒଵ �� ݔ ൌ ʹܦ ή ඨ ݒଶଶ െ ݒଵଶሺݒଶ െ ݒଵሻଶ� ݔ ൌ ʹܦ ή ඨͳ ݊ͳ െ ݊ Ǣ ݊ ൌ ݒଵݒଶ (18.11)
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