ResumoTeoria

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1 CONVENC¸O˜ES
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia / DELAE
S´ıntese de Teoria de Circuitos
Sec¸a˜o 1. Convenc¸o˜es
1.1 Carga Ele´trica
A carga ele´trica (q) de um ’corpo’ e´ uma “grandeza fundamental” expressa em Coulombs
(C), sendo −1C igual a carga de 6.24 · 1018ele´trons.
Unidade: Coulomb(C)
1.2 Corrente
A corrente representa o fluxo de Carga ele´trica por unidade de tempo:
I(t) =
dq(t)
dt
(1.2-1)
A corrente fluindo em um ramo de circuito entre dois no´s, A e B, orientada na direc¸a˜o de
A para B e´ representada por IAB(t) (viz-a`-viz
→
IAB (t))
Unidade: Ampere (A)
1.3 Diferenc¸a de Potencial Ele´trico
A diferenc¸a de potencial ele´trico (Tensa˜o) entre dois terminais A e B (VAB(t)), e´ defi-
nida como o trabalho (energia, w(t)) necessa´ria para mover uma carga (q(t)) entre estes dois
terminais:
VAB(t) =
dw(t)
dq(t)
(1.3-1)
A tensa˜o entre dois pontos A e B (VAB), pode ser calculada como
VAB(t)
4
= VA(t)− VB(t) (1.3-2)
Onde VA representa o potencial ele´trico absoluto de um ponto A (i.e. o trabalho necessa´rio
para mover-se a carga ate´ o infinito). Similarmente, representa-se a mesma como um vetor
orientado
→
VAB (t) (referencial em B).
Assim, por definic¸a˜o, VAA(t)
4
= 0
Unidade: Volts (V )
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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1 Alceu Heinke Frigeri
1.4 Poteˆncia 1 CONVENC¸O˜ES
1.4 Poteˆncia
A poteˆncia Ele´trica, por definic¸a˜o, representa o trabalho (energia) realizado por unidade
de tempo:
p(t) =
dw(t)
dt
∴ p(t) = dw(t)
dq(t)
· dq(t)
dt
= v(t) · i(t) (1.4-1)
Assim a poteˆncia instantaˆnea (energia por unidade de tempo) em qualquer componente,
conectado entre dois no´s A e B, e´ definida como o produto da tensa˜o pela corrente sobre o
mesmo.
PAB(t) =
→
IAB (t).
→
VAB (t) (1.4-2)
Sendo a poteˆncia > 0, o componente esta´ dissipando energia.
Sendo a poteˆncia < 0, o componente esta´ fornecendo energia.
Unidade: Watt (W )
1.5 Energia
A Energia dissipada/fornecida por um componente e´ dada pela integral da poteˆncia ins-
tantaˆnea sobre o mesmo:
EAB(t) =
∫ t
−∞
PAB(τ) dτ =
∫ t
−∞
→
IAB (τ).
→
VAB (τ) dτ (1.5-1)
Unidade: Joule (J)
1.6 Fonte de Tensa˜o Independente
Dada um fonte de tensa˜o Vi conectada entre dois no´s A e B, tem-se que VAB ≡ Vi
+
−Vi
A
B
Q
Figura 1.1: Fonte de Tensa˜o Ideal conectado a` um circuito qualquer
1.7 Fonte de Corrente Independente
Dada um fonte de corrente Ii conectada entre dois no´s A e B, tem-se que IAB ≡ Ii
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2 Alceu Heinke Frigeri
1.8 Fontes Controladas 1 CONVENC¸O˜ES
Ii
A
B
Q
Figura 1.2: Fonte de Corrente Ideal conectada a` um circuito qualquer
1.8 Fontes Controladas
Uma fonte controlada (seja de tensa˜o ou corrente), e´ uma fonte cujo valor da mesma e´
definido por uma expressa˜o auxiliar (e.g. Vi = K.Vx, onde Vx e´ uma tensa˜o n’algum ponto
do circuito).
NB.: Uma fonte controlada pode tanto resultar em uma fonte independente equivalente,
uma impedaˆncia, ou uma combinac¸a˜o de ambos.
1.9 Componentes Passivos I
1.9.1 Resistor Ohmico Ideal
Um Resistor Ohmico e´ um componente linear no qual vale a relac¸a˜o
VR = R.IR (1.9-1)
sendo a unidade de R Ohms (Ω)
Ou, considerando-se que dado resistor esteja entre dois no´s A e B:
VAB = R.IAB (1.9-2)
A
R
+ −
VAB
IAB
B
Figura 1.3: Resistor Oˆhmico
NB. A relac¸a˜o tensa˜o x corrente pode, semelhantemente, ser definida como IY = Y.VY ,
onde Y = 1R . Sendo a unidade de Y Siemens (S ou Ω
−1)
Importante notar que a Poteˆncia (sec¸a˜o 1.4-2) em um resistor Ohmico e´ sempre positiva:
PR(t) = VR(t).IR(t) = VR(t).
VR(t)
R
= (IR(t).R).IR(t) > 0 (1.9-3)
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3 Alceu Heinke Frigeri
3 POTEˆNCIA TOTAL DE UM CIRCUITO
Sec¸a˜o 2. Leis de Kirchoff
2.1 Tensa˜o de Malha
A soma das tenso˜es em um caminho fechado qualquer e´ zero (“Trabalho zero em um
caminho fechado”).
n∑
i=1
Vi = 0 (2.1-1)
Assim, dado um conjunto de No´s quaisquer, e.g., A B C D E F G H, podemos ter:
VAB + VBC + VCD + VDE + VEF + VFG + VGH + VHA = 0
VBD + VDG + VGC + VCE + VEB = 0
2.2 Corrente de No´
A soma das correntes entrando em um no´ e´ zero (“conservac¸a˜o de massa”).
n∑
i=1
Ii = 0 (2.2-1)
Assim, dado um No´ X, o qual e´ conectado a N outros No´s (1 2 3 . . . N), temos que:∑N
i=1 IiX = 0
Sec¸a˜o 3. Poteˆncia Total de um Circuito
3.1 Teorema de Tellegen
Sendo um circuito ele´trico um sistema fechado, a poteˆncia total instantaˆnea, no mesmo,
incluindo todas as fontes e componentes passivos, e´ sempre zero. (“conservac¸a˜o de energia”)
N∑
i=1
Pi(t) =
N∑
i=1
Vi(t).Ii(t) = 0 (3.1-1)
No caso particular de um circuito com apenas uma fonte independente, a poteˆncia forne-
cida por esta fonte (Pf (t) < 0) e´ igual a poteˆncia dissipada por todos os demais componentes
passivos do circuito.
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4 Alceu Heinke Frigeri
4 TEOREMA DA LINEARIDADE
Sec¸a˜o 4. Teorema da Linearidade
4.1 Aplicac¸a˜o Direta de Kirchoff
Da aplicac¸a˜o direta das Leis de Kirchoff (sec¸a˜o 2) e conforme (sec¸a˜o 5), independente das
inco´gnicas escolhidas, sempre e´ poss´ıvel levantar-se um sistema de equac¸o˜es relacionando-
se tenso˜es e correntes em um circuito na forma [A][x] = [B][U ]. Assim sendo, e´ poss´ıvel
resolver-se o mesmo, para uma inco´gnita xi qualquer (Aplicac¸a˜o da “regra de Cramer”):
xi =
∆[Ai]
∆[A]
(4.1-1)
Onde Ai e´ a matriz de cofatores de A, substituindo-se a i-e´sima coluna pelos termos inde-
pendentes, no caso, [B][U ].
Assumindo-se que dado circuito tenha M fontes independentes U1, U2, U3 . . . UM , isso re-
sultara´ que:
xi =
k
′
i1U1 + k
′
i2U2 + k
′
i3U3 + . . .+ k
′
iMUM
∆[A]
ou, simplesmente:
xi =
M∑
j=1
KijUj (4.1-2)
1. Toda e qualquer Tensa˜o ou Corrente, em qualquer ponto de um circuito sempre de-
pendera´, linearmente, das fontes independentes.
2. De outra forma, se multiplicar-se por α todas a fontes independentes, o resultado e´
que todas as correntes e tenso˜es no circuito sera˜o multiplicadas pela mesma constante
4.2 Me´todo de sobreposic¸a˜o:
Particularmente, caso se multiplique cada fonte independente por uma constante indivi-
dual αpj , tem-se que:
xip =
M∑
j=1
KijαpjUj (4.2-1)
Neste caso, pode-se definir M circuitos independentes p = 1, 2, 3 . . .M , tais que αpj = 1 se
p ≡ j e αpj = 0, caso contra´rio. Desta forma, cada um dos M circuitos tera´ apenas uma
fonte na˜o nula, e o valor das tenso˜es e correntes, no p-e´simo circuito, sera˜o:
xip = KipUp
sendo fa´cil observar-se que o somato´rio das tenso˜es e correntes nos M circuitos resulta as
tenso˜es e correntes no circuito original.
xi =
M∑
p=1
xip =
M∑
p=1
 M∑
j=1
KijαpjUj
 = M∑
p=1
KipUp
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5 Alceu Heinke Frigeri
4.3 Efeito de Fontes Controladas 5 LEVANTAMENTO DE EQUAC¸O˜ES
4.3 Efeito de Fontes Controladas
Dado um circuito qualquer, de ordemM , comN+1 fontes independentes (U1, U2, U3 . . . UN , UN+1),
pode-se escrever:
[A] ·

X1
X2
...
XM
 = [B1] ·

U1
U2
...
UN
+ [B2] · [UN+1] ∴ [A][X] = [B1][U ] + [B2][UN+1]
Denominando-se Ai1 a matriz resultante da substituic¸a˜o da i-e´sima coluna da matriz A
pelo vetor [B1][U ] e de Ai2 a matriz resultante da substituic¸a˜o da i-e´sima coluna da matriz A
pelo vetor [B2][UN+1], a determinac¸a˜o de qualquer varia´vel (Teorema da Linearidade, sec¸a˜o
4, particularmente sobreposic¸a˜o) pode ser assim feita:
Xi =
∆[Ai1]
∆[A]
+
∆[Ai2]
∆[A]
=
∆[Ai1]
∆[A]
+
KiN+1UN+1
∆[A]
Se neste sistema a fonte UN+1 for substitu´ıda por uma fonte controlada (UN+1 = Kp.Xp),
resulta agora que:
Xi =∆[Ai1]
∆[A]
+
KiN+1Kp.Xp
∆[A]
e, em particular que:
Xp =
∆[Ap1]
∆[A]
+
KpN+1Kp.Xp
∆[A]
∴ Xp =
∆[Ap1]
∆[A]−KpN+1Kp
Desta forma, para qualquer varia´vel Xi (i 6= p), tem-se:
Xi =
∆[Ai1]
∆[A]
+
KiN+1Kp
∆[A]
· ∆[Ap1]
∆[A]−KpN+1Kp
Ou seja, todas as correntes/tenso˜es no circuito passam a ser uma func¸a˜o linear exclusi-
vamente das demais fontes independentes (U1, U2 . . . UN ).
Observe-se que:
1. Todas as varia´veis (tenso˜es e correntes no circuito) dependem exclusivamente das fontes
independentes. → a fonte dependente afeta os pesos das constantes de dependencia
linear
2. Caso Kp ≡ 0, as expresso˜es resultantes sa˜o as originais com a fonte UN+1 ≡ 0.
3. Caso Kp →∞ e KpN+1 6= 0, tem-se quem Xp → 0 e UN+1 = Kp.Xp → cte. =
∆[Ap1]
−KpN+1
e
Xi =
∆[Ai1]
∆[A]
+
KiN+1
∆[A]
· ∆[Ap1]−KpN+1
ou seja Xi na˜o depende de Kp.
Sec¸a˜o 5. Levantamento de Equac¸o˜es
5.1 Regras ba´sicas
Dado um circuito com Fontes Independentes (Tensa˜o ou Corrente), Fontes Controladas, e
Impedaˆncias, sempre e´ poss´ıvel levantar um sistema de equac¸o˜es linearmente independentes:
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6 Alceu Heinke Frigeri
5.1 Regras ba´sicas 5 LEVANTAMENTO DE EQUAC¸O˜ES
[A][x] = [B][U ], onde o vetor [U ] e´ composto das Fontes Independentes e o vetor [x] sa˜o as
inco´gnitas do circuito (Tensa˜o ou corrente).
Por exemplo:
Figura 5.1: Circuito de Exemplo
1. Pela Lei de Ohm, relaciona-se a tensa˜o e corrente em cada resistor:
(a) VAB = R1.IAB
(b) VBE = R2.IBE
(c) VBC = R3.IBC
(d) VFE = R4.IFE
(e) VCF = R5.ICF
(f) VCD = R6.ICD
2. Para cada no´, tem-se equil´ıbrio de corrente:
(a) No´ A: IAB + I1 + IAE = 0 (Obs.: IAE corrente entrando da fonte V1)
(b) No´ B: IBA + IBC + IBE = 0
(c) No´ C: ICB + ICD + ICF − I1 = 0
(d) No´ D: IDC + IDF = 0 (Obs.: IDF corrente entrando da fonte V2)
(e) No´ E: IEB + IEF + IEA = 0 (Obs.: IEA = −IAE corrente saindo da fonte V1)
(f) No´ F: IFC + IFD + IFE = 0 (Obs.: IFD = −IDF corrente saindo da fonte V2)
NB.: das 6 equac¸o˜es acima, apenas 5 sa˜o linearmente independentes.
3. Malhas (Cuidado, a escolha das malhas e´ arbitra´rio)
(a) Malha A B E A: VAB + VBE + VEA = VAB + VBE − V1 = 0
(b) Malha B C F E B: VBC + VCF + VFE + VEB = 0
(c) Malha C D F C: VCD + VDF + VFC = VCD + V2 + VFC = 0
(d) Malha A C B A: VAC + VCB + VBA = 0 (Obs.: VAC e´ a tensa˜o sobre a fonte de
corrente I1)
NB.: Para garantir que as equac¸o˜es de malha sejam linearmente independentes, e´
importante garantir, em um processo inclusivo, que cada ’nova malha’ contemple
pelo menos um arco na˜o referenciado pelas malhas anteriores.
4. Escolhendo-se (arbitrariamente) as seguintes inco´gnitas: IAB IBE IBC ICF ICD IFE IAE VAC
pode-se montar o seguinte sistema de equac¸o˜es:
1 0 0 0 0 0 1 0
−1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 −1 1 1 0 0 0
0 −1 0 0 0 −1 −1 0
R1 R2 0 0 0 0 0 0
0 −R2 R3 R5 0 R4 0 0
0 0 0 −R5 R6 0 0 0
−R1 0 −R3 0 0 0 0 1

.

IAB
IBE
IBC
ICF
ICD
IFE
IAE
VAC

=

0 0 −1
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 −1 0
0 0 0

.
V1V2
I1

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7 Alceu Heinke Frigeri
5.2 Me´todo das Correntes Virtuais de Malha 5 LEVANTAMENTO DE EQUAC¸O˜ES
5.2 Me´todo das Correntes Virtuais de Malha
Para cada malha, arbitraria, define-se uma “Corrente virtual de Malha” Ii, e monta-se
as equac¸o˜es das malhas em func¸a˜o destas “correntes virtuais de malha”.
Por exemplo:
Figura 5.2: Circuito de exemplo com “correntes de malha”destacadas
1. Para cada uma das malhas destacadas:
(a) Malha A B E A:R1 ∗ (Ib − Ia) +R2 ∗ (Ib − Ic)− V1 = 0
(b) Malha B C F E B:R3 ∗ (Ic − Ia) +R5 ∗ (Ic − Id) +R4 ∗ Ic +R2(Ic − Ib) = 0
(c) Malha C D F C: R6 ∗ Id + V2 +R5 ∗ (Id − Ic) = 0
(d) Malha A C B A: VAC +R3 ∗ (Ia− Ic) +R1 ∗ (Ia− Ib) = 0 (Obs.: VAC e´ a tensa˜o
sobre a fonte de corrente I1)
(e) Ia ≡ I1
2. Neste caso, as inco´gnitas sa˜o: VAC Ib Ic Id
NB.: a fonte de corrente ’define’ Ia, mas insere uma inco´gnita VAC no lugar.
pode-se montar o seguinte sistema de equac¸o˜es:
0 R1 +R2 −R2 0
0 −R2 R3 +R5 +R4 +R2 −R5
0 0 −R5 R6 +R5
1 −R1 −R3 0
 .

VAC
Ib
Ic
Id
 =

1 0 R1
0 0 R3
0 −1 0
0 0 −R3 −R1
 .
V1V2
I1

A qual pode ser re-escrita como:
1 −R1 −R3 0
0 R1 +R2 −R2 0
0 −R2 R3 +R5 +R4 +R2 −R5
0 0 −R5 R6 +R5
 .

VAC
Ib
Ic
Id
 =

0 0 −R3 −R1
1 0 R1
0 0 R3
0 −1 0
 .
V1V2
I1

5.2.1 Me´todo das Correntes Virtuais de Malhas: Caso Particular com uma
Unica Fonte de Tensa˜o
Figura 5.3: Circuito Resistivo Puro, com Fonte u´nica
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8 Alceu Heinke Frigeri
5.3 Me´todo das Tenso˜es de No´ 5 LEVANTAMENTO DE EQUAC¸O˜ES
Aplicando-se o me´todo das correntes de malhas (sec¸a˜o 5.2) a` este circuito com uma u´nica
fonte independente, e sem fontes controladas, resulta:
1. Para cada uma das malhas destacadas:
(a) Malha A B E A:R1 ∗ (Ib − Ia) +R2 ∗ (Ib − Ic)− V1 = 0
(b) Malha B C F E B:R3 ∗ (Ic − Ia) +R5 ∗ (Ic − Id) +R4 ∗ Ic +R2(Ic − Ib) = 0
(c) Malha C D F C: (R6 +R8) ∗ Id +R5 ∗ (Id − Ic) = 0
(d) Malha A C B A: R7 ∗ Ia +R3 ∗ (Ia − Ic) +R1 ∗ (Ia − Ib) = 0
2. Neste caso, as inco´gnitas sa˜o: Ia Ib Ic Id
Resultando no seguinte sistema de equac¸o˜es:
−R1 R1 +R2 −R2 0
−R3 −R2 R2 +R3 +R5 +R4 −R5
0 0 −R5 R6 +R5 +R8
R1 +R3 +R7 −R1 −R3 0
 .

Ia
Ib
Ic
Id
 =

1
0
0
0
 . [V1]
3. Re-ordenando esta matriz de forma que os ’termos positivos fiquem na diagonal prin-
cipal’:
R1 +R3 +R7 −R1 −R3 0
−R1 R1 +R2 −R2 0
−R3 −R2 R2 +R3 +R5 +R4 −R5
0 0 −R5 R6 +R5 +R8
 .

Ia
Ib
Ic
Id
 =

0
1
0
0
 . [V1]
Sendo que, como pode-se observar, a matriz A e´ sime´trica: AT = A.
5.3 Me´todo das Tenso˜es de No´
Escolhe-se, abitrario, um no´ como o no´ de refereˆncia. Define-se a tensa˜o dos demais no´s
em refereˆncia a este. Monta-se as equac¸o˜es de no´s em func¸a˜o destas tenso˜es.
Por exemplo:
Figura 5.4: Circuito de exemplo com “no´s”destacados
1. Escolhendo-se (arbitra´rio) o No´ E como refreˆncia, as equac¸o˜es ficam:
(a) No´ A: VAE ≡ V1
(b) No´ B: VAE−VBER1 +
VCE−VBE
R3
+ VEE−VBER2 = 0
(c) No´ C: VBE−VCER3 +
VDE−VCE
R6
+ VFE−VCER5 + I1 = 0
(d) No´ F : VCE−VFER5 + IDF +
VEE−VFE
R4
= 0 (Obs.: A corrente IDF e´ a corrente
entrante na fonte V2)
(e) No´ D: VCE−VDER6 + IFD = 0 ou seja, IDF = −IFD = VCE−V2−VFER6
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6 EQUIVALEˆNCIA DE CIRCUITOS
2. Neste caso, as inco´gnitas sa˜o: VBE VCE VFE
NB.: VDE = V2 + VFE
pode-se montar o seguinte sistema de equac¸o˜es:− 1R1 − 1R3 − 1R2 1R3 01
R3
− 1R3 − 1R6 − 1R5 1R6 + 1R5
0 1R5 +
1
R6
− 1R5 − 1R4 − 1R6
 .
VBEVCE
CFE
 =

− 1R1 0 0
0 − 1R6 −1
0 −1 0
0 1R6 0
 .
V1V2
I1

Observe-se, igualmente, que a matriz A e´ novamente sime´trica: AT = A.
Alternativamente, pode-se utilizar a condutaˆcia Y , ao inve´s da resisteˆncia R, para
simplificar as expresso˜es.
Sec¸a˜o 6. Equivaleˆncia de Circuitos
Dados dois circuitos quaisquer, A e B:
IA
+
−
VA
A
IB
+
−
VB
B
Figura 6.1: Dipolos A e B
disse que ambos sa˜o equivalentes se, dado um terceiro circuito X:
Ix
+
−
Vx
X
Figura 6.2: Dipo´lo X
Se Iax ≡ Ibx e Vax ≡ Vbx, i.e., se for imposs´ıvel determinar se o circuito X esta´ conectado
com o A ou B.
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10 Alceu Heinke Frigeri
6.1 Equivaleˆncia fonte controlada, impedaˆncia 6 EQUIVALEˆNCIA DE CIRCUITOS
Iax
+
−
Vax
A X
Ibx
+
−
Vbx
B X
Figura 6.3: Dipo´los A e B conectados a X
equivalentemente a relac¸a˜oVax = f(Iax) e´ ideˆntica a Vbx = f(Ibx)
6.1 Equivaleˆncia fonte controlada, impedaˆncia
Dada a natureza funcional de uma fonte controlada, a mesma pode ser usada para
representar/substituir um resistor (e vice-versa):
B
R
A
B
+
−
Vf ≡ R · IR
IR
A A
+
−
VR If ≡ VRR
B
Figura 6.4: Equivaleˆncia Resistor x Fonte Controlada
6.2 Equivaleˆncia fonte independente, impedaˆncia
Se entre dois no´s A e B, tivermos uma resiteˆncia R, sobre a qual conhecermos de ante-
ma˜o a tensa˜o sobre a mesma (digamos Vx), viz-a`-viz a corrente sobre a mesma Ix =
Vx
R ,
enta˜o as representac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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11 Alceu Heinke Frigeri
7 TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
B
R
A
B
+
−Vx
A A
Ix
B
Figura 6.5: Equivaleˆncia Resistor x Fonte Independente
Sec¸a˜o 7. Teoremas de Thevenin e Norton
7.1 Dependencia Linear entre varia´veis
Dada a dependeˆncia Linear de qualquer varia´vel em um circuito com as fontes, resulta
que duas varia´veis quaisquer sempre se relacionaram de forma linear entre si. Em particular,
no circuito abaixo podemos escrever:
Figura 7.1: Circuito A, com fontes
Va = K1Ia +K2, ou, vice-e-versa, Ia = K
′
1Va +K
′
2
Estas duas expresso˜es sa˜o chamadas, respectivamente, de equivalentes Thevenin e Nor-
ton.
7.1.1 Prova Formal
Partindo-se do circuito abaixo:
Figura 7.2: Dep. Linear entre varia´veis
Aplicando-se o me´todo de Correntes de Malhas (sec¸a˜o 5.2), utilizando-se a corrente Ix
como a ’corrente da primeira malha’, pode-se escrever:
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12 Alceu Heinke Frigeri
7.1 Dependencia Linear entre varia´veis 7 TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ix
I2
I3
I4
...
IN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1n b11 . . . b1m
a21 . . . a2n b21 . . . b2m
a31 . . . a3n b31 . . . b3m
a41 . . . a4n b41 . . . b4m
...
...
...
...
. . .
...
aN1 . . . aNn bN1 . . . bNm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
V1
...
Vn
I1
...
Im
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Onde, por definic¸a˜o, Z11 = Rx +
∑
Ri (sendo Ri as demais resisteˆncias da primeira
malha). Colocada a equac¸a˜o acima na forma A.X = U , pela regra de Cramer, Ix pode ser
determindo da seguinte forma:
Ix =
∆[Ai]
∆[A]
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
U1 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
U2 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
U3 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
U4 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
UN ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∑M
j=1KijUj
∆[A]
O determinante da Matriz A, por sua vez, pode ser assim calculado:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
Z11.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
. . .
...
ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
− Z21.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
. . .
...
ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ . . .
+ (−1)N+1.ZN1.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
. . .
...
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
Z11.Ka +Kb = (Rx +
∑
Ri).Ka +Kb = Rx.Ka +K
′
b
Ou seja:
Ix =
∑M
j=1KijUj
Rx.Ka +K ′b
=
KU
Rx.Ka +K ′b
∴ Ix.(Rx.Ka +K ′b) = KU ∴ Vx.Ka + Ix.K ′b = KU
Observe-se que, na expressa˜o acima, Ka,K
′
b eKU independem de Rx Q.E.D.
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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ra
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13 Alceu Heinke Frigeri
7.2 Thevenin 7 TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
7.2 Thevenin
Dada a expressa˜o, VA = K1IA +K2, a mesma pode ser representada como uma fonte de
tensa˜o controlada por corrente:
Figura 7.3: Circuitos equivalentes ao dipo´lo da fig.: 7.1
O termo K1 e´ chamado de Resisteˆncia de Thevenin Rth, e o termo K2 e´ chamado de
tensa˜o de Thevenin Vth.
Figura 7.4: Circuito equivalente Thevenin
para que ambas as representac¸o˜es sejam equivalentes (princ´ıcipio da equivaleˆncia) as
relac¸o˜es tensa˜o corrente no dipolo A e no circuito equivalente devem ser ideˆnticas. Assim:
1. Circuito Aberto:
Figura 7.5: Thevenin em C.A.
Ou seja, deixando-se o circuito aberto, a tensa˜o que se mede entre os terminais X Y
e´ a pro´pria tensa˜o de thevenin Vca = Vth
2. Curto Circuito:
Figura 7.6: Thevenin em C.C.
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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14 Alceu Heinke Frigeri
7.3 Norton 7 TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
Ou seja, aplicando-se um curto circuito, a corrente que se mede entre os terminais X Y
e´ a raza˜o entre a tensa˜o de thevenin Vth e a Resisteˆncia de Thevenin Rth. Icc =
Vth
Rth
3. Uma resisteˆncia Rx qualquer:
Figura 7.7: Thevenin com Rx
Ou seja, colocando-se um resisteˆncia Rx entre os terminais X Y , a corrente sera´ dada
pela expressa˜o Ix =
Vth
Rth +Rx
4. (linearidade) Observe-se que a tensa˜o de Thevenin, relativo ao circuito real A, depende
linearmente de todas as fontes independentes do mesmo. Disso resulta que, uma forma
de determinar-se Rth consiste em multiplicar-se por zero todas as fontes independentes
de A, efetivamente zerando a fonte de Thevenin, e da´ı restando apenas a Rth entre os
terminais X Y .
Figura 7.8: Thevenin de circuito sem fontes independentes
7.3 Norton
Dada a expressa˜o, Ia = K
′
1Va +K
′
2, a mesma pode ser representada como uma fonte de
corrente controlada por tensa˜o:
Figura 7.9: Circuitos equivalentes ao dipo´lo da fig.: 7.1
O termo K
′
1 e´ chamado de Condutaˆncia (Resisteˆncia) de Norton YN =
1
RN
, e o termo
−K ′2 e´ chamado de corrente de Norton IN .
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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15 Alceu Heinke Frigeri
7.3 Norton 7 TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
Figura 7.10: Circuito equivalente Norton
para que ambas as representac¸o˜es sejam equivalentes (princ´ıcipio da equivaleˆncia) as
relac¸o˜es tensa˜o corrente no dipolo A e no circuito equivalente devem ser ideˆnticas. Assim:
1. Circuito Aberto:
Figura 7.11: Norton em C.A.
Ou seja, deixando-se o circuito aberto, a tensa˜o que se mede entre os terminais X Y e´ a
produto da corrente de Norton IN pela resiteˆncia de Norton RN do circuito equivalente
Vca = IN .RN
2. Curto Circuito:
Figura 7.12: Norton em C.C.
Ou seja, aplicando-se um curto circuito, a corrente que se mede entre os terminais
X Y e´ a pro´pria corrente de Norton Icc = IN
3. Uma resisteˆncia Rx qualquer:
Figura 7.13: Norton com Rx
Ou seja, colocando-se um resisteˆncia Rx entre os terminais X Y , a corrente sera´ dada
pela expressa˜o Ix = IN .
RN
RN +Rx
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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16 Alceu Heinke Frigeri
7.4 Equivaleˆncia Norton x Thevenin. 8 REGRAS DE ASSOCIAC¸A˜O
4. (linearidade) Observe-se que a corrente de Norton, relativo ao circuito real A, depende
linearmente de todas as fontes independentes do mesmo. Disso resulta que, uma forma
de determinar-se RN consiste em multiplicar-se por zero todas as fontes independentes
de A, efetivamente zerando a fonte de Norton, e da´ı restando apenas a RN entre os
terminais X Y .
Figura 7.14: Norton de circuito sem fontes indetendentes
7.4 Equivaleˆncia Norton x Thevenin.
Uma vez que um dipo´lo A (fig.:7.1) pode ser substitu´ıdo tanto por um equivalente The-
venin (fig.:7.4) como por um equivalenteNorton (fig.:7.10), tanto o equivalente Thevenin
como o equivalente Norton sa˜o equivalentes entre si.
Dessa equivaleˆncia resulta, como pode-se observar, que Rth ≡ RN e que Vth = RN .IN
viz-a`-viz IN =
Vth
Rth
.
Sec¸a˜o 8. Regras de Associac¸a˜o
8.1 Associac¸a˜o se´rie
Dado N resistores (R1, R2, R3, . . ., RN ) associados em se´rie (i.e., com igual corrente I):
Figura 8.1: Associac¸a˜o se´rie de Resistores
Os mesmos podem ser substitu´ıdos por um Resistor equivalente Req:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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17 Alceu Heinke Frigeri
8.2 Associac¸a˜o paralelo 8 REGRAS DE ASSOCIAC¸A˜O
Figura 8.2: Resistor Equivalente
Para que sejam equivalentes (princ´ıpio de equivaleˆncia), tem-se que: Vab ≡ Vab e Iab ≡ Iab
em ambos os circuitos.
1. Resisteˆncia Equivalente:
Na associac¸a˜o se´rie temos Vab =
∑N
i=1 Vi =
∑N
i=1Ri.Iab enquanto que para o Resistor
equivalente temos Vab = Req.Iab, resultando:
Req =
N∑
i=1
Ri (8.1-1)
2. Divisor de tensa˜o:
A tensa˜o no i-e´simo resistor pode ser calculada como: Vi = Ri.Iab.
Dado Iab como func¸a˜o de Req (Iab =
Vab
Req
), resulta
Vi =
Ri
Req
.Vab (8.1-2)
8.2 Associac¸a˜o paralelo
Dado N condutaˆncias (Y1, Y2, Y3, . . ., YN ) associadas em paralelo (i.e., sob igual tensa˜o
V ):
Figura 8.3: Associac¸a˜o Paralela de Condutaˆncias
As mesmas podem ser substitu´ıdos por uma Condutaˆncia equivalente Req:
Figura 8.4: Condutaˆncia Equivalente
Para que sejam equivalentes (princ´ıpio de equivaleˆncia), tem-se que: Vab ≡ Vab e Iab ≡ Iab
em ambos os circuitos.
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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18 Alceu Heinke Frigeri
9 TEOREMA DA COMPENSAC¸A˜O
1. Condutaˆncia Equivalente:
Na associac¸a˜o paralelo temos Iab =
∑N
i=1 Ii =
∑N
i=1 Yi.Vab enquanto que para a Con-
dutaˆncia equivalente temos Iab = Yeq.Vab, resultando:
Yeq =
N∑
i=1
Yi (8.2-1)
2. Divisor de corrente:
A corrente na i-e´sima condutaˆncia pode ser calculada como: Ii = Yi.Vab.
Dado Vab como func¸a˜o de Yeq (Vab =
Iab
Yeq
), resulta
Ii =
Yi
Yeq
.Iab (8.2-2)
Sec¸a˜o 9. Teorema da compensac¸a˜o
Dado um circuito qualquer do qual destaque-se uma resisteˆncia Rx:
Figura 9.1: Circuito Base A - Teor. Compensac¸a˜o
A corrente Ix e tensa˜o Vx no mesmo podem ser determinados a partir do Equivalente
Thevenin (ver sec¸a˜o 7.2) do Circuito A:
Figura 9.2: Thevenin Circuito Base A - Teor. Compensac¸a˜o
Substituindo, no mesmo circuito, a resisteˆncia Rx por Ry, tem-se, similarmente:
Figura 9.3: Circuito Base B - Teor. Compensac¸a˜o
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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19 Alceu Heinke Frigeri
9 TEOREMA DA COMPENSAC¸A˜O
Figura 9.4: Thevenin Circuito Base B - Teor. Compensac¸a˜o
Fazendo Ry = Rx + ∆R resulta em:
Figura 9.5: Thevenin Circuito Base B - Teor. Compensac¸a˜o
Onde, pode-se redefinir Iy e Vy como func¸a˜o de Ix e Vx:
Figura 9.6: Thevenin Circuito Base B - Teor. Compensac¸a˜o
No qual pode-se substituir o resistor Ry por um resistor Rx e uma fonte controla de
tensa˜o (princ´ıpio de equivaleˆncia, sec¸a˜o 6.1):
Figura 9.7: Circuito Base B - Equivaleˆnte
Aplicando-se o me´todo de sobreposic¸a˜o ao circuito da fig. 9.7, tem-se dois circuitos a
serem analisados:
Figura 9.8: Circuito Base B - Sobreposic¸a˜o - Fonte Vth
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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20 Alceu Heinke Frigeri
10 TEOREMA DE MILLMANN
Figura 9.9: Circuito Base B - Sobreposic¸a˜o - Fonte ’de variac¸a˜o’
Sendo claro que, o circuito da fig. 9.8 e´ o mesmo da fig. 9.1, e que (me´todo da sobre-
posic¸a˜o) Iy = I
′
y + I
′′
y , tal como Vy = V
′
y +V
′′
y . Assim sendo, como I
′
y = Ix e V
′
y = Vx, enta˜o
I ′′y = ∆I e V
′′
y = ∆V . Finalmente, consolidando o fator ∆R.∆I da fonte controlada como
uma resisteˆncia, temos o chamado ’circuito de variac¸o˜es’:
Figura 9.10: Circuito de Variac¸o˜es
O qual pode, igualmente, ser respresentado como:
Figura 9.11: Circuito de Variac¸o˜es
Sec¸a˜o 10. Teorema de Millmann
Dado um no´ A interconectado a n outros no´s via n condutaˆncias YpA (e nenhuma fonte),
conforme figura abaixo:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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21 Alceu Heinke Frigeri
11 CONVERSA˜O ESTRELA-REDE
Figura 10.1: Teorema de Millmann
Tem-se que, aplicando a lei dos no´s de Kirchoff:
n∑
p=1
IpA = 0 =
n∑
p=1
YpA.VpA =
n∑
p=1
YpA.(VpN − VAN )
Assim sendo, pode-se isolar VAN :
n∑
p=1
YpA.VpN =
n∑
p=1
YpA.VAN = VAN .
n∑
p=1
YpA
e finalmente:
VAN =
∑n
p=1 YpA.VpN∑n
p=1 YpA
(10.0-3)
Ou seja, pode-se determinar a diferenc¸a de potencial entre dois no´s conhecendo-se as
condutaˆncias conectadas a um deles, e a diferenc¸a de potencial entre o segundo no´ e os
demais no´s aos quais as condutaˆncias esta˜o conectadas.
Sec¸a˜o 11. Conversa˜o Estrela-Rede
11.1 Teorema de Rosen
Dado um no´ ao qual tem-se n condudaˆncias conectadas:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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22 Alceu Heinke Frigeri
11.1 Teorema de Rosen 11 CONVERSA˜O ESTRELA-REDE
Figura 11.1: Teorema de Rosen - Star
A corrente em cada ramo e´ dada por:
Iq = YqAVqA = YqA(VqN − VAN )
Aplicando-se do Teorema de Millmann, tem-se:
Iq = YqAVqN − YqA
∑n
p=1 YpA.VpN∑n
p=1 YpA
=
YqAVqN
∑n
p=1 YpA − YqA
∑n
p=1 YpA.VpN∑n
p=1 YpA
Fatorando-se e alterando o ı´ndice do denominador, tem-se:
Iq =
YqA
∑n
p=1 YpA.(VqN − VpN )∑n
k=1 YkA
O que permite reescrever a mesma como:
Iq =
n∑
p=1
[
YqAYpA∑n
k=1 YkA
]
(VqN − VpN ) =
n∑
p=1
[
YqAYpA∑n
k=1 YkA
]
Vqp
No caso de uma ’rede’ (mesh), dado pelo seguinte circuito (onde, entre cada um dos
n-no´s tem-se uma condutaˆncia com cada um dos n− 1 no´s restantes):
Figura 11.2: Teorema de Rosen - Mesh
A corrente em cada ramo e´ dada por:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
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23 Alceu Heinke Frigeri
11.2 Conversa˜o Y −∆ 11 CONVERSA˜O ESTRELA-REDE
Iq =
n∑
p=1
YqpVqp
Donde resulta a igualdade de Rosen:
Yqp =
YqAYpA∑n
k=1 YkA
(11.1-1)
que permite converter uma configurac¸a˜o estrela (star) em uma ’de rede’ (mesh).
NB.: Na˜o existe uma regra geral do conversa˜o reversa.
11.2 Conversa˜o Y −∆
Dado dois circuitos com 3 condutaˆncias, como abaixo:
Figura 11.3: Conversa˜o Y −∆
Pelo teorema de Rosen tem-se:
Y12 =
Y1AY2A
Y1A + Y2A + Y3A
Y23 =
Y2AY3A
Y1A + Y2A + Y3A
(11.2-1)
Y13 =
Y1AY3A
Y1A + Y2A + Y3A
11.3 Conversa˜o ∆− Y
Dado dois circuitos com 3 condutaˆncias, como abaixo:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
24 Alceu Heinke Frigeri
12 TEOREMA DA RECIPROCIDADE
Figura 11.4: Conversa˜o ∆− Y
e´ fa´cil verificar que, desconectando-se o terminal 3, a impedaˆncia entre os terminais 1e2
resulta em:
Zequiv12 = Z1A + Z2A = Z12//(Z31 + Z23) =
Z12(Z31 + Z23)
Z12 + Z23 + Z31
Similarmente, desconectando-se os terminais 1 e 2, tem-se:
Zequiv23 = Z2A + Z3A = Z23//(Z12 + Z31) =
Z23(Z12 + Z31)
Z12 + Z23 + Z31
Zequiv31 = Z3A + Z1A = Z31//(Z12 + Z23) =
Z31(Z12 + Z23)
Z12 + Z23 + Z31
Resolvendo estas em termos de Z1A, Z2A e Z3A, tem-se:
Z1A =
Z12Z31
Z12 + Z23 + Z31
Z2A =
Z12Z23
Z12 + Z23 + Z31
(11.3-1)
Z3A =
Z23Z31
Z12 + Z23 + Z31
Sec¸a˜o 12. Teorema da Reciprocidade
Dado um circuito N qualquer, pass´ıvo, sem fontes indepedentes ou controladas, do qual
sejam destacados dois pares de no´s (par a − b e par c − d) o teorema da reciprocidade
estabelece que a corrente I2 medida entre os no´s c− d devida a uma fonte Vi aplicada entre
os no´s a− b e´ igual a corrente I ′1 medida entre os no´s a− b devida a uma fonte Vi aplicada
entre os no´s c− d.
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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25 Alceu Heinke Frigeri
12 TEOREMA DA RECIPROCIDADE
Figura 12.1: Teorema reciprocidade
Levantando-se o sistemas de equac¸o˜es pelo me´todode correntes de malhas (sec¸a˜o 5.2),
tomando-se o cuidado de caracterizar como ’primeira malha’ a malha contendo a fonte Vi e
o par a− b, e como ’segunda malha’ a malha contendo o par c− d, tem-se:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
I1
I2
I3
I4
...
IN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Vi
0
0
0
...
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Onde Zij = Zji (sec¸a˜o 5.2.1).
Aplicando-se a regra de Cramer, a corrente I2 resulta:
I2 =
∆[A2]
∆[A]
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Vi Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 0 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 0 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 0 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 0 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(−1)(1+2).Vi.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z21 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Trocando-se a fonte Vi de lado, resulta no circuito:
Figura 12.2: Teorema reciprocidade
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
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26 Alceu Heinke Frigeri
13 MA´XIMA TRANSFEREˆNCIA DE POTEˆNCIA
Similarmente tem-se:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
I ′1
I ′2
I ′3
I ′4
...
I ′N
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
Vi
0
0
...
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Onde Zij = Zji (sec¸a˜o 5.2.1).
a` qual, aplicando-se a regra de Cramer, a corrente I ′1 resulta:
I ′1 =
∆[A′1]
∆[A]
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Vi Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
0 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
0 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
0 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(−1)(2+2).Vi.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
. . .
...
ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Como Zij = Zji, (sec¸a˜o 5.2.1), pode-se re-escrever I
′
1 da seguinte forma:
I ′1 =
(−1)(2+2).Vi.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z21 Z31 Z41 . . . ZN1
Z23 Z33 Z43 . . . ZN3
Z24 Z34 Z44 . . . ZN4
...
...
...
. . .
...
Z2N Z3N Z4N . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Z11 Z12 Z13 Z14 . . . Z1N
Z21 Z22 Z23 Z24 . . . Z2N
Z31 Z32 Z33 Z34 . . . Z3N
Z41 Z42 Z43 Z44 . . . Z4N
...
...
...
...
. . .
...
ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 . . . ZNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
como |A| = |AT |, enta˜o −I ′1 = I2 (Q.E.D.)
Sec¸a˜o 13. Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia
Dado um circuito A qualquer ao qual esta´ conectada uma carga Rx. A poteˆncia sobre a
impedaˆncia Rx e´ determinada por Px = Vx.Ix.
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
27 Alceu Heinke Frigeri
14 QUADRIPOLOS
Figura 13.1: Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia
Assim, como Ix =
Vth
Rth+Rx
, tem-se que Px = (Rx.Ix).Ix = Rx.(
Vth
Rth+Rx
)2
O ma´ximo desta func¸a˜o ocorre quando
dPx
dRx
= 0
Ou seja:
dPx
dRx
=
d (Rx.(
Vth
Rth+Rx
)2)
dRx
=
Vth
(Rth +Rx)2
− 2. Rx.Vth
(Rth +Rx)3
= 0
o que resulta em:
Vth
(Rth +Rx)2
= 2.
Rx.Vth
(Rth +Rx)3
logo:
Rth +Rx = 2.Rx ∴ Rx = Rth
Sec¸a˜o 14. Quadripolos
Dado um circuito qualquer Q, resistivo, com fontes internas independentes, do qual se
destaquem 2 pares de terminais:
Figura 14.1: Circuito Q
A semelhanc¸a da sec¸a˜o 7.1, pode-se estabelecer, no caso gene´rico, que: VabVcd
Vbc
 =
 K11 K12 K13K21 K22 K23
K31 K32 K33
 ·
 IaIc
Ib
+
 K14K24
K34

N.B. Vbd
∆
= −Vab + Vbc + Vcd e Id ∆= −Ia − Ib − Ic
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
28 Alceu Heinke Frigeri
14.1 Paraˆmetros Y 14 QUADRIPOLOS
Estabelecendo-se que na˜o existira˜o fontes independentes internas no circuito Q, enta˜o os
termos K14,K24eK34 sa˜o zero.
Semelhantemente, fixando-se que Vbd seje zero (curto circuito), enta˜o na˜o existe necessidade
de equacionar-se Vbc. Desta forma o sistema de equac¸o˜es resume-se a:[
Vab
Vcd
]
=
[
K11 K12 K13
K21 K22 K23
]
·
 IaIc
Ib

Alem disso, fixando-se que o circuito A na˜o se conecte com o circuito B de qualquer
outra forma, que na˜o seja o circuito Q, enta˜o pode-se afirmar que: Ia = −Ib e Ic = −Id, e
com isso, tem-se: [
Vab
Vcd
]
=
[
K11 K12
K21 K22
]
·
[
Ia
Ic
]
Renomeando-se Vab = V1, Vcd = V2, Ia = I1 e Ib = I2, chega-se ao “formato padra˜o” de
representac¸a˜o de um quadripolo:
Figura 14.2: Quadripolo Q
cujas equac¸o˜es sa˜o: [
V1
V2
]
=
[
K11 K12
K21 K22
]
·
[
I1
I2
]
De fato, dada a arbritariedade da escolha inicial das varia´veis, e dada a interdependencia
linear entre as mesmas, existem 6 formas padro˜es de representac¸a˜o:
14.1 Paraˆmetros Y
[
I1
I2
]
=
[
Y11 Y12
Y21 Y22
]
·
[
V1
V2
]
(14.1-1)
Que contempla a seguinte representac¸a˜o:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
29 Alceu Heinke Frigeri
14.1 Paraˆmetros Y 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.3: Quadripolo Q, paraˆmetros Y
Cujos paraˆmetros podem ser assim calculados (me´todo de frac¸o˜es parciais):
Y11 =
I1
V1
∣∣∣∣
V2=0
Y12 =
I1
V2
∣∣∣∣
V1=0
Y21 =
I2
V1
∣∣∣∣
V2=0
Y22 =
I2
V2
∣∣∣∣
V1=0
(14.1-2)
Observe-se que, no caso do Quadripolo Q for passivo, sem fontes controladas, o Teorema
da reciplocidade (sec¸a˜o 12) resulta imediatamente que Y12 = Y21.
14.1.1 Conversa˜o de Paraˆmetros
Particularmente, no caso de Paraˆmetros Z e Y , e´ imediato que[
Y11 Y12
Y21 Y22
]
=
[
Z11 Z12
Z21 Z22
]−1
Genericamente, isolando-se I1 e I2 nas demais equac¸o˜es de definic¸a˜o de quadripolos
(sec¸oes 14.1 ate´ 14.6), obteˆm-se:
[
Y11 Y12
Y21 Y22
]
=
[
Z22 −Z12
−Z21 Z11
]
∣∣∣∣ Z11 Z12Z21 Z22
∣∣∣∣ =
[
1 −H12
H21 H11.H22 −H12.H21
]
H11
=
[
G11.G22 −G12.G21 G12
−G21 1
]
G22
=
[
D C.B −A.D
−1 A
]
B
=
[ −A′ 1
A′.D′ − C ′.B′ −D′
]
B′
14.1.2 Associac¸a˜o Paralelo-Paralelo
Dado 2 quadripolos Qa e Qb associados conforme a representac¸a˜o a seguir:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
30 Alceu Heinke Frigeri
14.2 Paraˆmetros Z: 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.4: Quadripolos - Associac¸a˜o Paralelo-Paralelo
Nota-se que V1 ≡ V1a ≡ V1b, V2 ≡ V2a ≡ V2b, I1 = I1a + I1b e I2 = I2a + I2b. Disso
resulta, facilmente, que:[
I1
I2
]
=
[
Y11 Y12
Y21 Y22
]
·
[
V1
V2
]
=
([
Y11a Y12a
Y21a Y22a
]
+
[
Y11b Y12b
Y21b Y22b
])
·
[
V1
V2
]
Cuidado: Caso os dois quadripolos sendo associados na˜o sejam o resultado de decom-
posic¸a˜o parcial de um circuito original do qual eles sejam parte integrante, mas sim, se esteja
tentando associar dois quadripolos gene´ricos quaisquer, enta˜o e´ preciso verificar, antecipa-
damente, se Vx = 0 no circuito abaixo:
Figura 14.5: Quadripolos - Condic¸a˜o de Validade para associac¸a˜o Paralelo-Paralelo
14.2 Paraˆmetros Z:
[
V1
V2
]
=
[
Z11Z12
Z21 Z22
]
·
[
I1
I2
]
(14.2-1)
Que contempla a seguinte representac¸a˜o:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
31 Alceu Heinke Frigeri
14.2 Paraˆmetros Z: 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.6: Quadripolo Q, paraˆmetros Z
Cujos paraˆmetros podem ser assim calculados (me´todo de frac¸o˜es parciais):
Z11 =
V1
I1
∣∣∣∣
I2=0
Z12 =
V1
I2
∣∣∣∣
I1=0
Z21 =
V2
I1
∣∣∣∣
I2=0
Z22 =
V2
I2
∣∣∣∣
I1=0
(14.2-2)
14.2.1 Conversa˜o de Paraˆmetros
Particularmente, no caso de Paraˆmetros Z e Y , e´ imediato que[
Z11 Z12
Z21 Z22
]
=
[
Y11 Y12
Y21 Y22
]−1
Genericamente, isolando-se V1 e V2 nas demais equac¸o˜es de definic¸a˜o de quadripolos
(sec¸oes 14.1 ate´ 14.6), obteˆm-se:
[
Z11 Z12
Z21 Z22
]
=
[
Y22 −Y12
−Y21 Y11
]
∣∣∣∣ Y11 Y12Y21 Y22
∣∣∣∣ =
[
H11.H22 −H12.H21 H12
−H21 1
]
H22
=
[
1 −G12
G21 G11.G22 −G12.G21
]
G11
=
[
A A.D − C.B
1 D
]
C
=
[ −D′ −1
C ′.B′ −A′.D′ −A′
]
C ′
Observe-se que, no caso do Quadripolo Q for passivo, sem fontes controladas, o Teorema
da reciplocidade (sec¸a˜o 12) resulta imediatamente que Y12 = Y21, logo Z12 = Z21.
14.2.2 Associac¸a˜o Se´rie-Se´rie
Dado 2 quadripolos Qa e Qb associados conforme a representac¸a˜o a seguir:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
32 Alceu Heinke Frigeri
14.3 Paraˆmetros H: 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.7: Quadripolos - Associac¸a˜o Se´rie-Se´rie
Nota-se que I1 ≡ I1a ≡ I1b, I2 ≡ I2a ≡ I2b, V1 = V1a + V1b e V2 = V2a + V2b. Disso
resulta, facilmente, que:[
V1
V2
]
=
[
Z11 Z12
Z21 Z22
]
·
[
I1
I2
]
=
([
Z11a Z12a
Z21a Z22a
]
+
[
Z11b Z12b
Z21b Z22b
])
·
[
I1
I2
]
Cuidado: Caso os dois quadripolos sendo associados na˜o sejam o resultado de decom-
posic¸a˜o parcial de um circuito original do qual eles sejam parte integrante, mas sim, se esteja
tentando associar dois quadripolos gene´ricos quaisquer, enta˜o e´ preciso verificar, antecipa-
damente, se Vx = 0 no circuito abaixo:
Figura 14.8: Quadripolos - Condic¸a˜o de Validade para associac¸a˜o Se´rie-Se´rie
14.3 Paraˆmetros H:
[
V1
I2
]
=
[
H11 H12
H21 H22
]
·
[
I1
V2
]
(14.3-1)
Que contempla a seguinte representac¸a˜o:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
33 Alceu Heinke Frigeri
14.3 Paraˆmetros H: 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.9: Quadripolo Q, paraˆmetros H
Cujos paraˆmetros podem ser assim calculados (me´todo de frac¸o˜es parciais):
H11 =
V1
I1
∣∣∣∣
V2=0
H12 =
V1
V2
∣∣∣∣
I1=0
H21 =
I2
I1
∣∣∣∣
V2=0
H22 =
I2
V2
∣∣∣∣
I1=0
(14.3-2)
14.3.1 Conversa˜o de Paraˆmetros
Particularmente, no caso de Paraˆmetros H e G, e´ imediato que[
H11 H12
H21 H22
]
=
[
G11 G12
G21 G22
]−1
Genericamente, isolando-se V1 e I2 nas demais equac¸o˜es de definic¸a˜o de quadripolos
(sec¸oes 14.1 ate´ 14.6), obteˆm-se:
[
H11 H12
H21 H22
]
=
[
G22 −G12
−G21 G11
]
∣∣∣∣ G11 G12G21 G22
∣∣∣∣ =
[
Z11.Z22 − Z12.Z21 Z12
−Z21 1
]
Z22
=
[
1 −Y12
Y21 Y11.Y22 − Y12.Y21
]
Y11
=
[
B A.D − C.B
−1 C
]
D
=
[ −B′ 1
C ′.B′ −A′.D′ −C ′
]
A′
Observe-se que, no caso do Quadripolo Q for passivo, sem fontes controladas, o Teorema
da reciplocidade (sec¸a˜o 12) resulta imediatamente que Y12 = Y21, logo H12 = −H21.
14.3.2 Associac¸a˜o Se´rie-Paralelo
Dado 2 quadripolos Qa e Qb associados conforme a representac¸a˜o a seguir:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
34 Alceu Heinke Frigeri
14.4 Paraˆmetros G: 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.10: Quadripolos - Associac¸a˜o Se´rie-Paralelo
Nota-se que I1 ≡ I1a ≡ I1b, V2 ≡ V2a ≡ V2b, V1 = V1a + V1b e I2 = I2a + I2b. Disso
resulta, facilmente, que:[
V1
I2
]
=
[
H11 H12
H21 H22
]
·
[
I1
V2
]
=
([
H11a H12a
H21a H22a
]
+
[
H11b H12b
H21b H22b
])
·
[
I1
V2
]
Cuidado: Caso os dois quadripolos sendo associados na˜o sejam o resultado de decom-
posic¸a˜o parcial de um circuito original do qual eles sejam parte integrante, mas sim, se esteja
tentando associar dois quadripolos gene´ricos quaisquer, enta˜o e´ preciso verificar, antecipa-
damente, se Vx = 0 no circuito abaixo:
Figura 14.11: Quadripolos - Condic¸a˜o de Validade para associac¸a˜o Se´rie-Paralelo
14.4 Paraˆmetros G:
[
I1
V2
]
=
[
G11 G12
G21 G22
]
·
[
V1
I2
]
(14.4-1)
Que contempla a seguinte representac¸a˜o:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
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35 Alceu Heinke Frigeri
14.4 Paraˆmetros G: 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.12: Quadripolo Q, paraˆmetros G
Cujos paraˆmetros podem ser assim calculados (me´todo de frac¸o˜es parciais):
G11 =
I1
V1
∣∣∣∣
I2=0
G12 =
I1
I2
∣∣∣∣
V1=0
G21 =
V2
V1
∣∣∣∣
I2=0
G22 =
V2
I2
∣∣∣∣
V1=0
(14.4-2)
14.4.1 Conversa˜o de Paraˆmetros
Particularmente, no caso de Paraˆmetros H e G, e´ imediato que[
G11 G12
G21 G22
]
=
[
H11 H12
H21 H22
]−1
Genericamente, isolando-se I1 e V2 nas demais equac¸o˜es de definic¸a˜o de quadripolos
(sec¸ oes 14.1 ate´ 14.6), obteˆm-se:
[
G11 G12
G21 G22
]
=
[
H22 −H12
−H21 H11
]
∣∣∣∣ H11 H12H21 H22
∣∣∣∣ =
[
Y11.Y22 − Y12.Y21 Y12
−Y21 1
]
Y22
=
[
1 −Z12
Z21 Z11.Z22 − Z12.Z21
]
Z11
=
[
C C.B −A.D
1 B
]
A
=
[ −C ′ −1
A′.D′ − C ′.B′ −B′
]
D′
Observe-se que, no caso do Quadripolo Q for passivo, sem fontes controladas, o Teorema
da reciplocidade (sec¸a˜o 12) resulta imediatamente que Y12 = Y21, logo G12 = −G21.
14.4.2 Associac¸a˜o Paralelo-Se´rie
Dado 2 quadripolos Qa e Qb associados conforme a representac¸a˜o a seguir:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
36 Alceu Heinke Frigeri
14.5 Paraˆmetros de Transmissa˜o (ABCD) 14 QUADRIPOLOS
Figura 14.13: Quadripolos - Associac¸a˜o Paralelo-Se´rie
Nota-se que V1 ≡ V1a ≡ V1b, I2 ≡ I2a ≡ I2b, I1 = I1a + I1b e V2 = V2a + V2b. Disso
resulta, facilmente, que:[
I1
V2
]
=
[
G11 G12
G21 G22
]
·
[
I1
V2
]
=
([
G11a G12a
G21a G22a
]
+
[
G11b G12b
G21b G22b
])
·
[
V1
I2
]
Cuidado: Caso os dois quadripolos sendo associados na˜o sejam o resultado de decom-
posic¸a˜o parcial de um circuito original do qual eles sejam parte integrante, mas sim, se esteja
tentando associar dois quadripolos gene´ricos quaisquer, enta˜o e´ preciso verificar, antecipa-
damente, se Vx = 0 no circuito abaixo:
Figura 14.14: Quadripolos - Condic¸a˜o de Validade para associac¸a˜o Paralelo-Se´rie
14.5 Paraˆmetros de Transmissa˜o (ABCD)
[
V1
I1
]
=
[
A B
C D
]
·
[
V2
−I2
]
(14.5-1)
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
37 Alceu Heinke Frigeri
14.5 Paraˆmetros de Transmissa˜o (ABCD) 14 QUADRIPOLOS
Cujos paraˆmetros podem ser assim calculados (me´todo de frac¸o˜es parciais):
A =
V1
V2
∣∣∣∣
I2=0
B = −V1
I2
∣∣∣∣
V2=0
C =
I1
V2
∣∣∣∣
I2=0
D = −I1
I2
∣∣∣∣
V2=0
(14.5-2)
NB.: Na˜o e´ poss´ıvel representar os paraˆmetros de trasmissa˜o (ABCD) na forma de um
circuito equivalente, devendo os mesmos serem tratados, exclusivamente, como um conjunto
de equac¸o˜es equivalentes.
14.5.1 Conversa˜o de Paraˆmetros
Particularmente, no caso de Paraˆmetros de Transmissa˜o Direto (ABCD) e reverso (A′B′C ′D′),
e´ imediato que [
A B
C D
]
=
[
A′ B′
C ′ D′
]−1
Genericamente, isolando-se V1 e I1 nas demais equac¸o˜es de definic¸a˜o de quadripolos
(sec¸oes 14.1 ate´ 14.6), obteˆm-se:
[
A B
C D
]
=
[
D′ −B′
−C ′ A′
]
∣∣∣∣ A′ B′C ′ D′
∣∣∣∣ =
[ −Y22 −1
Y21.Y12 − Y11.Y22 −Y11
]
Y21
=
[
Z11 Z11.Z22 − Z12.Z21
1 Z22
]
Z21
=
[
H12.H21 −H11.H22 −H11
−H22 −1
]
H21
=
[
1 G22
G11 G11.G22 −G12.G21
]
G21
Observe-se que, no caso do Quadripolo Q for passivo, sem fontes controladas, o Teorema
da reciplocidade (sec¸a˜o12) resulta imediatamente que Y12 = Y21, logo A.D − C.B = 1.
14.5.2 Associac¸a˜o em Cascata Direta
Dado 2 quadripolos Qa e Qb associados conforme a representac¸a˜o a seguir:
Figura 14.15: Quadripolos - Associac¸a˜o em Cascata
Nota-se que V1 ≡ V1a, I1 ≡ I1a, V2 ≡ V2b, I2 ≡ I2b, V2a ≡ V1b e I2a ≡ −I1b. Disso
resulta, facilmente, que:[
V1
I1
]
=
[
A B
C D
]
·
[
V2
−I2
]
=
([
Aa Ba
Ca Da
]
·
[
Ab Bb
Cb Db
])
·
[
V2
−I2
]
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
38 Alceu Heinke Frigeri
14.6 Paraˆmetros de Transmissa˜o Reversa (A′B′C ′D′) 14 QUADRIPOLOS
14.6 Paraˆmetros de Transmissa˜o Reversa (A′B′C ′D′)
[
V2
−I2
]
=
[
A′ B′
C ′ D′
]
·
[
V1
I1
]
(14.6-1)
Cujos paraˆmetros podem ser assim calculados (me´todo de frac¸o˜es parciais):
A′ =
V2
V1
∣∣∣∣
I1=0
B′ =
V2
I1
∣∣∣∣
V1=0
C ′ = − I2
V1
∣∣∣∣
I1=0
D′ = −I2
I1
∣∣∣∣
V1=0
(14.6-2)
NB.: Na˜o e´ poss´ıvel representar os paraˆmetros de transmissa˜o reversa (A′B′C ′D′) na forma
de um circuito equivalente, devendo os mesmos serem tratados, exclusivamente, como um
conjunto de equac¸o˜es equivalentes.
14.6.1 Conversa˜o de Paraˆmetros
Particularmente, no caso de Paraˆmetros de Transmissa˜o Direto (ABCD) e reverso (A′B′C ′D′),
e´ imediato que [
A′ B′
C ′ D′
]
=
[
A B
C D
]−1
Genericamente, isolando-se I1 e V2 nas demais equac¸o˜es de definic¸a˜o de quadripolos
(sec¸oes 14.1 ate´ 14.6), obteˆm-se:
[
A′ B′
C ′ D′
]
=
[
D −B
−C A
]
∣∣∣∣ A BC D
∣∣∣∣ =
[ −Y11 1
Y11.Y22 − Y21.Y12 −Y22
]
Y12
=
[
Z22 Z12.Z21 − Z11.Z22
−1 Z11
]
Z12
=
[
G12.G21 −G11.G22 G22
G11 −1
]
G12
=
[
1 −H11
−H22 H11.H22 −H12.H21
]
H12
Observe-se que, no caso do Quadripolo Q for passivo, sem fontes controladas, o Teorema
da reciplocidade (sec¸a˜o 12) resulta imediatamente que Y12 = Y21, logo A
′.D′ − C ′.B′ = 1.
14.6.2 Associac¸a˜o em Cascata Reversa
Dado 2 quadripolos Qa e Qb associados conforme a representac¸a˜o a seguir:
Figura 14.16: Quadripolos - Associac¸a˜o em Cascata
Nota-se que V1 ≡ V1a, I1 ≡ I1a, V2 ≡ V2b, I2 ≡ I2b, V2a ≡ V1b e I2a ≡ −I1b. Disso
resulta, facilmente, que:[
V2
−I2
]
=
[
A′ B′
C ′ D′
]
·
[
V1
I1
]
=
([
A′b B
′
b
C ′b D
′
b
]
·
[
A′a B
′
a
C ′a D
′
a
])
·
[
V1
I1
]
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
39 Alceu Heinke Frigeri
15 COMPONENTES PASSIVOS II
Sec¸a˜o 15. Componentes Passivos II
Na sec¸a˜o 1.9 viu-se um u´nico componente passivo, R, no qual a relac¸a˜o tensa˜o/corrente e´
’instantaˆnea’ (VR(t) = R.IR(t)), a seguir verse-a´ dois componentes passivos, armazenadores
de energia, L e C, cujas relac¸o˜es tensa˜o/corrente dependem da energia armazenada (na
forma de um campo ele´trico ou magne´tico) nos mesmos.
15.1 Capacitor Ideal
Capacitores sa˜o componentes armazenadores de energia na forma de um diferencial de
potencial ele´trico. No caso mais simples (capacitor formado por placas paralelas isoladas
por um diele´trico), supondo cargas sime´tricas (q(t) e −q(t)) em ambas as placas sob uma
diferenc¸a de potencial ele´trico V (t), a capacitaˆncia e´ dada por:
C =
q(t)
V (t)
(15.1-1)
Da qual decorre as expresso˜es de corrente e tensa˜o em um Capacitor:
IC(t) = C.
dV (t)
dt
(15.1-2)
Vc(t) =
1
C
∫ t
−∞
IC(t)dt (15.1-3)
sendo a unidade de Capacitaˆncia (C) Farads (F )
Considerando-se que dado capacitor esteja entre dois no´s A e B:
VAB(t) =
1
C
∫ t
−∞
IAB(t)dt
A
C
+ −
VAB(t)
IAB(t)
B
Figura 15.1: Capacitor Ideal
15.1.1 Poteˆncia/Energia Acumulada
Da pro´pria definic¸a˜o de Potencial Ele´trico (sec¸a˜o 1.3) tem-se dw(t)) = V (t).dq(t), assim
o ’trabalho total’ necessa´rio para carregar um capacitor (Energia armazenada no mesmo) e´:
Earmazenada =
∫ Q
0
q(t)
C
dq(t) =
Q2
2C
=
1
2
Q.V (t) =
1
2
C.V 2(t) (15.1-4)
Importante notar que a Energia armazenada (sec¸a˜o 1.5-1) em um Capacitor, sendo a
excitac¸a˜o senoidal e´ sempre, perio´dicamente, zero. Por exemplo, caso IC(t) = I. cos(wt), e
supondo o capacitor inicialmente descarregado VC0(t = 0) = 0, enta˜o:
Vc(t) =
1
C
∫
IC(t)dt =
I. sin(wt)
w.C
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
40 Alceu Heinke Frigeri
15.1 Capacitor Ideal 15 COMPONENTES PASSIVOS II
A expressa˜o de poteˆncia resulta:
PC(t) = VC(t).IC(t) =
I2. sin(wt). cos(wt)
w.C
A qual e´ ciclicamente positiva e negativa. Agora, a Energia total sobre um capacitor, ao
longo do per´ıodo (T = 2piw ) desta seno´ide sera´ sempre, ciclicamente, zero:
EC(t) =
∫ T
0
PC(τ) dτ =
∫ T
0
I2. sin(wτ). cos(wτ)
w.C
dτ = 0 (15.1-5)
15.1.2 Modelos equivalentes
15.1.2-1 Capacitor com Carga Inicial
Como a integral de definic¸a˜o da tensa˜o sobre um capacitor tem como limite inferior −∞,
e´ comum separar a mesma em intervalos. Por exemplo, se VC0 e´ a tensa˜o sobre um capacitor
em um dado instante de tempo t0, enta˜o pode-se escrever:
VC(t0) =
1
C
∫ t0
−∞
IC(t)dt = VC0
e neste caso enta˜o:
Vc(t) =
1
C
∫ t
−∞
IC(t)dt =
1
C
∫ t0
−∞
IC(t)dt+
1
C
∫ t
t0
IC(t)dt = VC0 +
1
C
∫ t
t0
IC(t)dt
O que acaba comportando a seguinte representac¸a˜o equivalente/alternativa para um
capacitor inicialmente carregado:
A
C
+ −
V ′C(t)
IC(t)
B
+ −
VC0
+ −VC(t)
Figura 15.2: Capacitor Ideal Carregado
Pode-se representar um Capacitor com carga inicial na˜o nula como um Capacitor des-
carregado em se´rie com uma fonte de tensa˜o representando a carga inicial deste capacitor.
E a tensa˜o sobre este ’capacitor inicialmente descarregado’, ou seja, V ′C(t) =
1
C
∫ t
t0
IC(t)dt,
representa a variac¸a˜o de tensa˜o sobre o capacitor com relac¸a˜o ao instante t0
15.1.2-2 Capacitor em um Ponto t0 no tempo
Dada a tensa˜o em um capacitor em um instante de tempo t0, VC(t0) =
1
C
∫ t0
−∞ IC(t)dt =
VC0 , a tensa˜o deste capacitor no entorno deste instante de tempo pode ser determinada por:
lim
�t→0
VC(t = t0 + �t) = VC0 + lim
�t→0
1
C
∫ t0+�t
t0
IC(t)dt
O qual, sendo IC(t) finito, e´ igual a VC0 . onsequ¨enteu¨eˆntemente, conhecida a tensa˜o em um
capacitor em um instante de tempo, o mesmo pode ser substitu´ıdo por uma fonte de tensa˜o
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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ft
41 Alceu Heinke Frigeri
15.2 Indutor Ideal 15 COMPONENTES PASSIVOS II
ideal para todos os efeitos, no entorno deste instante de tempo. Ou gene´ricamente pode-se
substituir o mesmo for uma fonte de tensa˜o ideal/controlada de valor VC(t).
A
C
+
−
VC(t0)
IC(t0)
B B
+
− VC(t0)
IC(t0)
A
Figura 15.3: Modelo de Capacitor no entorno de um ponto no tempo
15.1.2-3 Capacitor em t→∞, com excitac¸a˜o constante
Como sera´ visto mais adiante (sec¸o˜es 17.5 e 17.5.1), no caso de circuitos RLC com
fontes constantes, todas as tenso˜es e correntes, passado um tempo ’suficientemente longo’,
sera˜o igualmente constantes (Resposta em Regime Permanente). Particularmente, para um
capacitor qualquer isso significa que:
lim
t→∞Vc(t) = limt→∞
1
C
∫ t
−∞
IC(τ)dτ = Cte.
do que resulta:
lim
t→∞ IC(t) = 0
caso contra´rio, a tensa˜o no capacitor continuaria variando para t → ∞. Ou seja, um
capacitor, em um circuito com fontes constantes, com t→∞, pode ser substitu´ıdo por um
circuito aberto.
A
C
+
−
VC(t→∞)
IC(t→∞)
B
A
IC(t→∞)
B
+
−
VC(t→∞)
Figura 15.4: Modelo de Capacitor em Regime Permanente para Excitac¸a˜o Constante
15.2 Indutor Ideal
Indutores sa˜o componentes armazenadores de energia na forma de um campo magne´tico.
No caso mais simples (campo magne´tico induzido por uma corrente em um condutor)a
indutaˆncia e´ dada por:
L =
Φ(t)
i(t)(15.2-1)
Da lei de induc¸a˜o de Faraday v(t) = dΦ(t)dt resulta enta˜o as expresso˜es de corrente e tensa˜o
em um Indutor:
VL(t) = L.
dI(t)
dt
(15.2-2)
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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42 Alceu Heinke Frigeri
15.2 Indutor Ideal 15 COMPONENTES PASSIVOS II
IL(t) =
1
L
∫ t
−∞
VL(t)dt (15.2-3)
sendo a unidade de Indutaˆncia (L) Henry (H)
Considerando-se que dado indutor esteja entre dois no´s A e B:
IAB(t) =
1
L
∫ t
−∞
VAB(t)dt
A
L
+ −
VAB(t)
IAB(t)
B
Figura 15.5: Indutor Ideal
15.2.1 Poteˆncia/Energia Acumulada
A Energia armazenada em um indutor pode ser calculada como o ’trabalho total’ ne-
cessa´rio para ’carregar’ o indutor (comec¸a˜ndo em zero). Considerando-se que VL(t) =
LdIL(t)dt e PL(t) = VL(t).IL(t) = L.IL(t)
dIL(t)
dt Assim:
Earmazenada =
∫ I=IL(t)
I=0
PL(t)dt =
∫ I=IL(t)
I=0
L.I.dI =
1
2
L.I2L(t) (15.2-4)
Importante notar que a Energia armazenada (sec¸a˜o 1.5-1) em um Indutor, sendo a ex-
citac¸a˜o senoidal e´ sempre, perio´dicamente, zero. Por exemplo, caso VL(t) = V. cos(wt), e
supondo o indutor inicialmente descarregado IL0(t = 0) = 0, enta˜o:
IL(t) =
1
L
∫
VL(t)dt =
V. sin(wt)
w.L
A expressa˜o de poteˆncia resulta:
PL(t) = VL(t).IL(t) =
V 2. sin(wt). cos(wt)
w.L
A qual e´ ciclicamente positiva e negativa. Agora, a Energia total sobre um indutor, ao
longo do per´ıodo (T = 2piw ) desta seno´ide sera´ sempre, ciclicamente, zero:
EL(t) =
∫ T
0
PL(τ) dτ =
∫ T
0
I2. sin(wτ). cos(wτ)
w.L
dτ = 0 (15.2-5)
15.2.2 Modelos equivalentes
15.2.2-1 Indutor com Carga Inicial
Como a integral de definic¸a˜o da corrente sobre um indutor tem como limite inferior −∞, e´
comum separar a mesma em intervalos. Por exemplo, se IL0 e´ a corrente sobre um indutor
em um dado instante de tempo t0, enta˜o pode-se escrever:
IL(t0) =
1
L
∫ t0
−∞
VL(t)dt = IL0
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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43 Alceu Heinke Frigeri
15.2 Indutor Ideal 15 COMPONENTES PASSIVOS II
e neste caso enta˜o:
IL(t) =
1
L
∫ t
−∞
VL(t)dt =
1
L
∫ t0
−∞
VL(t)dt+
1
L
∫ t
t0
VL(t)dt = IL0 +
1
L
∫ t
t0
VL(t)dt
O que acaba comportando a seguinte representac¸a˜o equivalente/alternativa para um
indutor inicialmente carregado:
A
L
+ −
VL(t)
I ′L(t) IL(t)
B
IL0
Figura 15.6: Indutor Ideal Carregado
Ou seja, pode-se representar um Indutor com carga inicial na˜o nula como um Indutor
descarregado em paralelo com uma fonte de corrente representando a carga inicial deste
indutor. E a corrente passando por este ’indutor inicialmente descarregado’, ou seja, I ′L(t) =
1
L
∫ t
t0
VL(t)dt, representa a variac¸a˜o de corrente sobre o indutor com relac¸a˜o ao instante t0
15.2.2-2 Indutor em um Ponto t0 no tempo
Dada a corrente em um indutor em um instante de tempo t0, IL(t0) =
1
L
∫ t0
−∞ VL(t)dt =
IL0 , a corrente deste indutor no entorno deste instante de tempo pode ser determinada por:
lim
�t→0
IL(t = t0 + �t) = IL0 + lim
�t→0
1
L
∫ t0+�t
t0
VL(t)dt
O qual, sendo VL(t) finito, e´ igual a IL0 . Consequ¨entemente, conhecida a corrente em um
indutor em um instante de tempo, o mesmo pode ser substitu´ıdo por uma fonte de corrente
ideal para todos os efeitos, no entorno deste instante de tempo. Ou gene´ricamente pode-se
substituir o mesmo for uma fonte de corrente ideal/controlada de valor VC(t).
A
C
+
−
VL(t0)
IL(t0)
B
B
+
−
VL(t0) IL(t0)
A
Figura 15.7: Modelo de Indutor no entorno de um ponto no tempo
15.2.2-3 Indutor em t→∞, com excitac¸a˜o constante
Como sera´ visto mais adiante (sec¸o˜es 17.5 e 17.5.1), no caso de circuitos RLC com
fontes constantes, todas as tenso˜es e correntes, passado um tempo ’suficientemente longo’,
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
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ft
44 Alceu Heinke Frigeri
16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
sera˜o igualmente constantes (Resposta em Regime Permanente). Particularmente, para um
indutor qualquer isso significa que:
lim
t→∞ IL(t) = limt→∞
1
L
∫ t
−∞
VL(τ)dτ = Cte.
do que resulta:
lim
t→∞VL(t) = 0
caso contra´rio, a corrente no indutor continuaria variando para t → ∞. Ou seja, um
indutor, em um circuito com fontes constantes, com t → ∞, pode ser substitu´ıdo por um
curto circuito.
A
L
+
−
VL(t→∞)
IL(t→∞)
B
A
IL(t→∞)
B
+
−
VL(t→∞)
Figura 15.8: Modelo de Indutor em Regime Permanente para Excitac¸a˜o Constante
Sec¸a˜o 16. Associac¸o˜es L/C
16.1 Indutores em se´rie
Dado N indutores (L1, L2, L3, . . ., LN ), igualmente, inicialmente, descarregados, asso-
ciados em se´rie (i.e., com igual corrente I(t)):
A
I(t)
L1
+ −
VL1(t)
L2
+ −
VL2(t)
L3
+ −
VL3(t)
Li
+ −
VLi(t)
Ln
+ −
VLn(t)
B
+
−
VAB(t)
Figura 16.1: Associac¸a˜o se´rie de Indutores
Os mesmos podem ser substitu´ıdos por um Indutor equivalente Leq:
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
45 Alceu Heinke Frigeri
16.1 Indutores em se´rie 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
A
I(t)
Leq
B
+
−
VAB(t)
Figura 16.2: Indutor Equivalente
Para que sejam equivalentes (princ´ıpio de equivaleˆncia), tem-se que: Vab(t) ≡ Vab(t) e
Iab(t) ≡ Iab(t) em ambos os circuitos.
1. Indutaˆncia Equivalente:
Na associac¸a˜o se´rie temos Vab(t) =
∑N
i=1 Vi(t) =
∑N
i=1 Li.
˙Iab(t) enquanto que para o
Indutor equivalente temos Vab(t) = Leq. ˙Iab(t), resultando:
Leq =
N∑
i=1
Li (16.1-1)
2. Divisor de tensa˜o:
A tensa˜o no i-e´simo indutor pode ser calculada como: Vi(t) = Li. ˙Iab(t).
Dado ˙Iab(t) como func¸a˜o de Leq ( ˙Iab(t) =
Vab(t)
Leq
), resulta
Vi(t) =
Li
Leq
.Vab(t) (16.1-2)
16.1.1 Cargas Iniciais
A raza˜o da restric¸a˜o de Carga Inicial Nula, i.e., Indutores Descarregado, adve´m da
necessidade de garantir-se, na˜o so´ que a corrente seja ideˆntica em todos os Indutores, mas
igualmente, as tenso˜es em cada um deles seja diretamente proporcional a Indutaˆncia de
cada um. Dada a natureza da associac¸a˜o se´rie, naturalmente, uma vez associados em se´rie,
a corrente de cada indutor sera´ a mesma. Entretanto, caso a carga inicial de cada indutor
for distinta, teremos uma descontinuidade na func¸a˜o corrente, com natural recombinac¸a˜o de
cargas (ver sec¸a˜o 16.1.2), mas, apo´s a recombinac¸a˜o inicial, o processo e´ ideˆntico.
ATENC¸A˜O: Consequ¨entemente, as expresso˜es de divisor de tensa˜o indutivo somente sa˜o
va´lidas para instantes de tempo posteriores a recombinac¸a˜o de cargas!
16.1.2 Recombinac¸a˜o de Cargas
Tendo-se um circuito como o da fig. 16.3, no qual Sendo a corrente em cada indutor, L1 e
L2, no instante de tempo lim�→0 t0−�, distinta, i.e., IL1
0−
6= IL2
0−
, onde lim�→0 IL1(t0−�) =
IL1
0−
e lim�→0 IL2(t0 − �) = IL2
0−
.
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
46 Alceu Heinke Frigeri
16.1 Indutores em se´rie 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
A B
L1 IL1(t)
L2 IL2(t)
t0
Figura 16.3: Circuito com Recombinac¸a˜o Indutiva de Carga
Com a abertura da chave S1 no instante t0, ter-se-a´, forc¸osamente, uma descontinuidade
nas expresso˜es de corrente, ou seja, por exemplo,
∆IL1(t0) = lim
�→0
[IL1(t0 + �)− IL1(t0 − �)] 6= 0
, uma vez que a corrente em ambos os indutores, aberta a chave S1, sera´ a mesma, e
naturalmente distinta da corrente antes da chave abrir.
Assim, apo´s a abertura da chave S1, a corrente em ambos os indutores sera´, instataˆneamente
ideˆntica: lim�→0 IL1(t0 + �) = IL1
0+
≡ lim�→0 IL2(t0 + �) = IL2
0+
∆
= IL0+ . Sendo os induto-
res ideais, surgira´ sobre ambos os indutores um impulso de tensa˜o (u0(t0)) sime´trico, de tal
sorte que a variac¸a˜o total da tensa˜o sobre ambos os indutores e´ zero (se o balanc¸o de tensa˜o
na˜o fosse nulo, sendo, surgiria sobre o resto do circuito uma correnteimpulsiva, u0(t), que
por sua vez implicaria em uma variac¸a˜o de tensa˜o sobre o indutor do tipo u+1(t0). . . . . . )
L1
+ −
VL1(t0)
IL1(t0)
L2
+ −
VL2(t0)
IL2(t0)
Figura 16.4: Tensa˜o sobre os Indutores no momento de abertura da chave, t0
Das expresso˜es de corrente de cada indutor individualmente tem-se:
lim
�→0
IL1(t0 + �) = lim
�→0
1
L1
∫ t0−�
−∞
VL1(τ)dτ + lim
�→0
1
L1
∫ t0+�
t0−�
VL1(τ)dτ =
IL1
0−
+ lim
�→0
1
L1
∫ t0+�
t0−�
VL1(τ)dτ = IL1
0+
e
lim
�→0
IL2(t0 + �) = lim
�→0
1
L2
∫ t0−�
−∞
VL2(τ)dτ + lim
�→0
1
L2
∫ t0+�
t0−�
VL2(τ)dτ =
IL2
0−
+ lim
�→0
1
L2
∫ t0+�
t0−�
VL2(τ)dτ = IL2
0+
Como no intervalo de tempo t0−�→ t0+�, as tenso˜es sobre os indutores sera˜o ideˆnticas e
sime´tricas, VL1(t) = −VL2(t), assumindo-se, ∆Q = lim�→0
∫ t0+�
t0−� VL1(τ)dτ resulta facilmente
que:
IL1
0−
+lim
�→0
1
L1
∫ t0+�
t0−�
VL1(τ)dτ = IL1
0−
+
1
L1
·∆Q ≡ IL2
0−
+lim
�→0
1
L2
∫ t0+�
t0−�
VL2(τ)dτ = IL2
0−
− 1
L2
·∆Q
∆Q = L1 · IL0+ − L1 · IL10− = −L2 · IL0+ + L2 · IL20−
assim
IL0+ = IL10−
· L1
L1 + L2
+ IL2
0−
· L2
L1 + L2
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
47 Alceu Heinke Frigeri
16.2 Indutores em paralelo 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
e
∆Q = (IL2
0−
− IL1
0−
) · L2.L1
L1 + L2
Alternativamente, observe-se que, naturalmente, da conclusa˜o inicial de que VL1(t) =
−VL2(t) no intervalo de tempo t0 − �→ t0 + �, enta˜o, efetivamente, os dois indutores esta˜o
virtualmente em paralelo neste intervalo de tempo. Sendo ambos os indutores ideais (sem
resiteˆncia se´rie associada), pode-se calcular a variac¸a˜o de corrente sobre ambos via expressa˜o
de divisor de corrente indutivo em “Regime Permanente” (N.B. apesar que, obviamente,
na˜o ter-se t → ∞, a extrita situac¸a˜o e´ de “Regime” no sentido de estabilizac¸a˜o). Ou seja,
utilizando-se o modelo de Indutor para Regime Permanente dado por 15.2.2, conforme a
fig:16.5
L1
+ −
VL1(t0)
IL1(t0)
L2
+ −
VL2(t0)
IL2(t0)
Figura 16.5: Modelo equivalente de Indutores para recombinac¸a˜o de cargas
A expressa˜o de variac¸a˜o de corrente em cada indutor, pode assim ser facilmente calculada
como:
∆IL1 |t0+t0− = (IL20− − IL10− ) ·
L2
L1 + L2
ou seja
IL1
0+
= IL1
0−
+ (IL2
0−
− IL1
0−
) · L2
L1 + L2
= IL1
0−
· L1
L1 + L2
+ IL2
0−
· L2
L1 + L2
e
∆IL2 |t0+t0− = (IL10− − IL20− ) ·
L1
L1 + L2
ou seja
IL2
0+
= IL2
0−
+ (IL1
0−
− IL2
0−
) · L1
L1 + L2
= IL1
0−
· L1
L1 + L2
+ IL2
0−
· L2
L1 + L2
Por fim, observe-se que, naturalmente:
∆IL1 |t0+t0− =
∆Q
L1
e
∆IL2 |t0+t0− =
−∆Q
L2
16.2 Indutores em paralelo
Dado N Indutores, representados pelas suas ’condutaˆncias’ (Y †L1 , Y
†
L2
, Y †L3 , . . ., Y
†
LN
,
sendo Y †Li =
1
Li
), igualmente, inicialmente, descarregados, associadas em paralelo (i.e., sob
igual tensa˜o V (t)):
S´ıntese de Teoria de Circuitos
D
ra
ft
48 Alceu Heinke Frigeri
16.2 Indutores em paralelo 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
A
I(t)
B
Y †L1 :
1
L1
IL1(t)
Y †L2 :
1
L2
IL2(t)
Y †L3 :
1
L3
IL3(t)
Y †Li :
1
Li
ILi(t)
Y †Ln :
1
Ln
ILn(t)
+
−
VAB(t)
Figura 16.6: Associac¸a˜o Paralela de Indutaˆncias
As mesmas podem ser substitu´ıdos por uma Indutaˆncia equivalente Y †Leq :
A
I(t)
Y †Leq :
1
Leq
B
+
−
VAB(t)
Figura 16.7: Indutaˆncia Equivalente
Para que sejam equivalentes (princ´ıpio de equivaleˆncia), tem-se que: Vab(t) ≡ Vab(t) e
Iab(t) ≡ Iab(t) em ambos os circuitos.
1. Indutaˆncia Equivalente:
Na associac¸a˜o paralelo temos Iab(t) =
∑N
i=1 Ii(t) =
∑N
i=1 Y
†
Li
.
∫ t
−∞ Vab(t)dt enquanto
que para a Condutaˆncia equivalente temos Iab(t) = Y
†
Leq
.
∫ t
−∞ Vab(t)dt, resultando:
Y †Leq =
N∑
i=1
Y †Li (16.2-1)
2. Divisor de corrente:
A corrente na i-e´sima condutaˆncia pode ser calculada como: Ii(t) = Y
†
Li
.
∫ t
−∞ Vab(t)dt.
Dado
∫ t
−∞ Vab(t)dt como func¸a˜o de Y
†
Leq
(
∫ t
−∞ Vab(t)dt =
Iab(t)
Y †eq
), resulta
Ii(t) =
Y †Li
Y †Leq
.Iab(t) (16.2-2)
16.2.1 Cargas Iniciais
A raza˜o da restric¸a˜o de Carga Inicial Nula, i.e., Indutores Descarregado, adve´m da neces-
sidade de garantir-se que o histo´rico de integrac¸a˜o da tensa˜o
∫ t
−∞ Vab(t)dt em cada indutor
seja identica. Entretanto, no caso de Indutores associados em paralelo, existe uma abor-
dagem simples, por sobreposic¸a˜o. Neste caso, modela-se cada indutor como um indutor
descarregado em paralelo com uma fonte de corrente (tal qual na fig. 15.6), de resto to-
das as expresso˜es sa˜o ideˆnticas, tratando as ’fontes em paralelo’ como ’fontes adicionais’.
ATENC¸A˜O: Consequ¨entemente, as expresso˜es de divisor de corrente indutivo representam
apenas a ’variac¸a˜o de carga/corrente’ no periodo considerado, sendo a corrente total de
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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49 Alceu Heinke Frigeri
16.3 Capacitores em se´rie 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
um indutor dada pela corrente que esta passando no ’indutor descarregado’ mais a carga
inicial!!!
16.3 Capacitores em se´rie
Dado N capacitores, representados por suas ’impedaˆncias’ (Z†C1 , Z
†
C2
, Z†C3 , . . ., Z
†
CN
,
sendo Z†Ci =
1
Ci
), igualmente, inicialmente, descarregados, associados em se´rie (i.e., com
igual corrente I(t)):
A
I(t)
Z†C1 :
1
C1
+ −
VC1(t)
Z†C2 :
1
C2
+ −
VC2(t)
Z†C3 :
1
C3
+ −
VC3(t)
Z†Ci :
1
Ci
+ −
VCi(t)
Z†Cn :
1
Cn
+ −
VCn(t)
B
+
−
VAB(t)
Figura 16.8: Associac¸a˜o se´rie de capacitores
Os mesmos podem ser substitu´ıdos por um Capacitor equivalente Z†Ceq :
A
I(t)
Z†Ceq :
1
Ceq
B
+
−
VAB(t)
Figura 16.9: Capacitor Equivalente
Para que sejam equivalentes (princ´ıpio de equivaleˆncia), tem-se que: Vab(t) ≡ Vab(t) e
Iab(t) ≡ Iab(t) em ambos os circuitos.
1. Capacitaˆncia Equivalente:
Na associac¸a˜o se´rie temos Vab(t) =
∑N
i=1 Vi(t) =
∑N
i=1 Z
†
Ci
.
∫ t
−∞ Iab(t)dt enquanto que
para o Indutor equivalente temos Vab(t) = Z
†
Ceq
.
∫ t
−∞ Iab(t)dt, resultando:
Z†Ceq =
N∑
i=1
Z†Ci (16.3-1)
2. Divisor de tensa˜o:
A tensa˜o no i-e´simo capacitor pode ser calculada como: Vi(t) = Z
†
Ci
.
∫ t
−∞ Iab(t)dt.
Dado
∫ t
−∞ Iab(t)dt como func¸a˜o de Z
†
Ceq
(
∫ t
−∞ Iab(t)dt =
Vab(t)
Z†Ceq
), resulta
Vi(t) =
Z†Ci
Z†Ceq
.Vab(t) (16.3-2)
S´ıntese de Teoria de Circuitos
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50 Alceu Heinke Frigeri
16.4 Capacitores em paralelo 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
16.3.1 Cargas Iniciais
A raza˜o da restric¸a˜o de Carga Inicial Nula, i.e., Capacitores Descarregados, adve´m da
necessidade de garantir-se que o histo´rico de integrac¸a˜o da corrente
∫ t
−∞ Iab(t)dt em cada
capacitor seja ideˆntica. Entretanto, no caso de Capacitores associados em se´rie, existe
uma abordagem simples, por sobreposic¸a˜o. Neste caso, modela-se cada capacitor como um
capacitor descarregado em se´rie com uma fonte de tensa˜o (tal qual na fig. ??), de resto
todas as expresso˜es sa˜o ideˆnticas, tratando as ’fontes em se´rie’ como ’fontes adicionais’.
ATENC¸A˜O: Consequ¨entemente, as expresso˜es de divisor de tensa˜o capacitivo representam
apenas a ’variac¸a˜o de carga/tensa˜o’ no periodo considerado, sendo a tensa˜o total de um
capacitor dada pela tensa˜o que esta passando no ’capacitor descarregado’ mais a carga
inicial!!!
16.4 Capacitores em paralelo
Dado N capacitores, representados pelas suas ’condutaˆncias’ (Y †C1 , Y
†
C2
, Y †C3 , . . ., Y
†
CN
,
sendo Y †Ci = Ci ), igualmente, inicialmente, descarregados, associadas em paralelo (i.e., sob
igual tensa˜o V (t)):
A
I(t)
B
C1
IC1(t)
C2
IC2(t)
C3
IC3(t)
Ci
ICi(t)Cn
ICn(t)
+
−
VAB(t)
Figura 16.10: Associac¸a˜o Paralela de Capacitaˆncias
As mesmas podem ser substitu´ıdos por uma Capacitaˆncia equivalente Y †Ceq :
A
I(t)
Y †Ceq : Ceq
B
+
−
VAB(t)
Figura 16.11: Capacitaˆncia Equivalente
Para que sejam equivalentes (princ´ıpio de equivaleˆncia), tem-se que: Vab(t) ≡ Vab(t) e
Iab(t) ≡ Iab(t) em ambos os circuitos.
1. Capacitaˆncia Equivalente:
Na associac¸a˜o paralelo temos Iab(t) =
∑N
i=1 Ii(t) =
∑N
i=1 Y
†
Ci
. ˙Vab(t) enquanto que
para a Condutaˆncia equivalente temos Iab(t) = Y
†
Ceq
. ˙Vab(t), resultando:
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51 Alceu Heinke Frigeri
16.4 Capacitores em paralelo 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
Y †Ceq =
N∑
i=1
Y †Ci (16.4-1)
2. Divisor de corrente:
A corrente na i-e´sima condutaˆncia pode ser calculada como: Ii(t) = Y
†
Ci
. ˙Vab(t).
Dado ˙Vab(t) como func¸a˜o de Y
†
Ceq
( ˙Vab(t) =
Iab(t)
Y †eq
), resulta
Ii(t) =
Y †Ci
Y †Ceq
.Iab(t) (16.4-2)
16.4.1 Cargas Iniciais
A raza˜o da restric¸a˜o de Carga Inicial Nula, i.e., Capacitores Descarregados, adve´m da
necessidade de garantir-se, na˜o so´ que a tensa˜o seja ideˆntica em todos os Capacitores, mas
igualmente, as correntes em cada um deles seja diretamente proporcional a capacitaˆncia de
cada um. Dada a natureza da associac¸a˜o paralelo, naturalmente, uma vez associados, a
tensa˜o de cada capacitor sera´ a mesma. Entretanto, caso a carga inicial de cada capacitor
for distinta, teremos uma descontinuidade na func¸a˜o tensa˜o, com natural recombinac¸a˜o de
cargas (ver sec¸a˜o 16.4.2), mas, apo´s a recombinac¸a˜o inicial, o processo e´ ideˆntico.
ATENC¸A˜O: Consequ¨entemente, as expresso˜es de divisor de corrente capacitivo somente sa˜o
va´lidas para instantes de tempo posteriores a recombinac¸a˜o de cargas!
16.4.2 Recombinac¸a˜o de Cargas
Tendo-se um circuito como o da fig. 16.12, no qual Sendo a tensa˜o em cada capacitor, C1
e C2, no instante de tempo lim�→0 t0− �, distinta, i.e., VC1
0−
6= VC2
0−
, onde lim�→0 VC1(t0−
�) = VC1
0−
e lim�→0 VC2(t0 − �) = VC2
0−
.
A B
C1
+
−
VC1(t) C2
+
−
VC2(t)
t0
Figura 16.12: Circuito com Recombinac¸a˜o Capacitiva de Carga
Se fechada a chave S1 no instante t0, ter-se-a´, forc¸osamente, uma descontinuidade nas
expresso˜es de tensa˜o, ou seja, por exemplo,
∆VC1(t0) = lim
�→0
[VC1(t0 + �)− VC1(t0 − �)] 6= 0
uma vez que a tensa˜o em ambos os capacitores, fechada a chave S1, sera´ a mesma, e natu-
ralmente distinta da tensa˜o antes da mesma fechar .
Assim, apo´s o fechamento da chave S1, a tensa˜o em ambos os capacitores sera´, ins-
tataˆneamente ideˆntica: lim�→0 VC1(t0 + �) = VC1
0+
≡ lim�→0 VC2(t0 + �) = VC2
0+
∆
= VC0+ .
Sendo os capacitores ideais, surgira´ sobre ambos os capacitores um impulso de correNte
(u0(t0)) sime´trico, de tal sorte que a variac¸a˜o total da corrente sobre ambos os capacitores
e´ zero (se o balanc¸o de corrente na˜o fosse nulo, surgiria sobre o resto do circuito uma tensa˜o
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52 Alceu Heinke Frigeri
16.4 Capacitores em paralelo 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
impulsiva, u0(t), que por sua vez implicaria em uma variac¸a˜o de corrente sobre o capacitor
do tipo u+1(t0). . . . . . )
C1
+
−
VC1(t0)
IC1(t0)
C2
+
−
VC2(t0)
IC2(t0)
Figura 16.13: Corrente sobre os Capacitores no momento de fechamento da chave, t0
Das expresso˜es de tensa˜o de cada capacitor individualmente tem-se:
lim
�→0
VC1(t0 + �) = lim
�→0
1
C1
∫ t0−�
−∞
IC1(τ)dτ + lim
�→0
1
C1
∫ t0+�
t0−�
IC1(τ)dτ =
VC1
0−
+ lim
�→0
1
C1
∫ t0+�
t0−�
IC1(τ)dτ = VC1
0+
e
lim
�→0
VC2(t0 + �) = lim
�→0
1
C2
∫ t0−�
−∞
IC2(τ)dτ + lim
�→0
1
C2
∫ t0+�
t0−�
IC2(τ)dτ =
VC2
0−
+ lim
�→0
1
C2
∫ t0+�
t0−�
IC2(τ)dτ = VC2
0+
Como no intervalo de tempo t0 − � → t0 + �, as correntes sobre os capacitores sera˜o
ideˆnticas e sime´tricas, IC1(t) = −IC2(t), assumindo-se, ∆Q = lim�→0
∫ t0+�
t0−� IC1(τ)dτ resulta
facilmente que:
VC1
0−
+lim
�→0
1
L1
∫ t0+�
t0−�
IC1(τ)dτ = VC1
0−
+
1
C1
·∆Q ≡ VC2
0−
+lim
�→0
1
C2
∫ t0+�
t0−�
IC2(τ)dτ = VC2
0−
− 1
C2
·∆Q
∆Q = C1 · VC0+ − C1 · VC10− = −C2 · VC0+ + C2 · VC20−
assim
VC0+ = VC10−
· C1
C1 + C2
+ VC2
0−
· C2
C1 + C2
e
∆Q = (VC2
0−
− VC1
0−
) · C2.C1
C1 + C2
Alternativamente, observe-se que, naturalmente, da conclusa˜o inicial de que IC1(t) =
−IC2(t) no intervalo de tempo t0− �→ t0 + �, enta˜o, efetivamente, os dois capacitores esta˜o
virtualmente em se´rie neste intervalo de tempo. Sendo ambos os capacitores ideais (sem
resisteˆncia se´rie associada), pode-se calcular a variac¸a˜o de tensa˜o sobre ambos via expressa˜o
de divisor de tensa˜o capacitivo em “Regime Permanente” (N.B. apesar que, obviamente,
na˜o ter-se t → ∞, a extrita situac¸a˜o e´ de “Regime” no sentido de estabilizac¸a˜o). Ou seja,
utilizando-se o modelo de capacitor para Regime Permanente dado por 15.2.2, conforme a
fig:16.14
C1
+
−
VC1(t0)
IC1(t0)
C2
+
−
VC2(t0)
IC2(t0)
Figura 16.14: Modelo equivalente de Capacitores para recombinac¸a˜o de cargas
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53 Alceu Heinke Frigeri
16.5 Similitude de expresso˜es 16 ASSOCIAC¸O˜ES L/C
A expressa˜o de variac¸a˜o de tensa˜o em cada capacitor, pode assim ser facilmente calculada
como:
∆VC1 |t0+t0− = (VC20− − VC10− ) ·
C2
C1 + C2
ou seja
VC1
0+
= VC1
0−
+ (VC2
0−
− VC1
0−
) · C2
C1 + C2
= VC1
0−
· C1
C1 + C2
+ VC2
0−
· C2
C1 + C2
e
∆VC2 |t0+t0− = (VC10− − VC20− ) ·
C1
C1 + C2
ou seja
VC2
0+
= VC2
0−
+ (VC1
0−
− VC2
0−
) · C1
C1 + C2
= VC1
0−
· C1
C1 + C2
+ VC2
0−
· C2
C1 + C2
Por fim, observe-se que, naturalmente:
∆VC1 |t0+t0− =
∆Q
C1
e
∆VC2 |t0+t0− =
−∆Q
C2
16.5 Similitude de expresso˜es
Ao comparar-se as expresso˜es para associac¸a˜o se´rie de Resistores (8.1-1), Indutores
(16.1-1) e Capacitores (16.3-1), e seus pares Divisor de Tensa˜o Resistivo (8.1-2), Indutivo
(16.1-2) e Capacitivo (16.3-2), viz-a`-viz, as expresso˜es para associac¸a˜o paralelo de Resistores
(8.2-1), Indutores (16.2-1) e Capacitores (16.4-1), e seus pares Divisor de Corrente Resistivo
(8.2-2), Indutivo (16.2-2) e Capacitivo (16.4-2), fica claro a similitude destas expresso˜es, que
resultam do formato alge´brico das relac¸o˜es tensa˜o/corrente de cada componente:
V (t) = [Z] · f(I(t))
VR(t) = [R] · IR(t)
VC(t) = [
1
C ] ·
∫ t
−∞ IC(t)dt
VL(t) = [L] · dIL(t)dt
e, similarmente
I(t) = [Y ] · f(V (t))
IR(t) = [
1
R ] · VR(t)
IC(t) = [C] · dVC(t)dt
IL(t) = [
1
L ] ·
∫ t
−∞ VL(t)dt
Ou seja, as expresso˜es de associac¸a˜o de Resistores e Indutores (incluindo na˜o apenas
associac¸a˜o se´rie/paralelo, divisores de tensa˜o/corrente, mas conversa˜o Y −∆ (11.2 e ∆− Y
11.3), e o teorema de Rosen (11.1-1), e demais) sa˜o extritamente ideˆnticas. Alia´s, a u´nica
diferenc¸a resulta que, com ’circuitos capacitivos’, utiliza-se 1C nas expresso˜es, onde com
Indutores/Resistores, utiliza-se diretamente L e R.
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54 Alceu Heinke Frigeri
17 ANA´LISE DE CIRCUITOS RLC
Sec¸a˜o 17. Ana´lise de Circuitos RLC
17.1 Introduc¸a˜o
As leis de Kirchoff (sec¸a˜o 2) sa˜o aplica´veis independente da natureza dos componentes
envolvidos. Em particular, no caso de circuitos RLC (i.e. circuitos compostos por fon-
tes (dependentes e independentes), resistores (R), indutores (L) e capacitores (C)), dada
a depeˆndencia temporal entre as relac¸o˜es Tensa˜o x Corrente em indutores (sec¸a˜o 15.2) e
capacitores (sec¸a˜o 15.1), o levantamento do sistema de equac¸o˜es de um circuito (sec¸a˜o 5)
conduz