MATERIAL GEODESIA ENG 6 SEMESTRE

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CURSO: Engenharia Civil
DISCIPLINA: Geodésia
SÉRIE: 6o Semestre
CARGA HORÁRIA SEMANAL: 02 Horas/Aula (1T + 1P)
CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 40 Horas
I - EMENTA
Astronomia. Triângulos de posição. Tempo, hora, data, conversão de horas. Movimento noturno. Movimentos aparentes do sol. Técnicas de observações astronômicas. Determinação aproximada da latitude. Determinação do meridiano. Determinação aproximada da longitude e da hora. Noções sobre escalas de tempo.
II - OBJETIVOS GERAIS
Fornecer todos os elementos necessários, para que a Geodésia sirva como apoio às atividades do Engenheiro Civil.
III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Capacitar o aluno para execução e interpretação de projetos, cálculos e representações diversas. 
IV - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Astronomia. Introdução. Função dentro da topografia. Noção geral do universo de corpos celestes em movimentos. Referências e coordenadas. Triângulos de posição. Correlação das coordenadas. Tempo, hora, data, conversão de horas. Movimento Noturno. Problemas clássicos. Movimentos aparentes do sol. Aplicação ao estudo gráfico e analítico da insolação. Técnica das observações astronômicas. Efeitos de refração e paralaxe. Redução do semidiâmetro. Uso dos anuários para fins de topografia. Determinação aproximada da latitude. Determinação do meridiano. Métodos das distâncias zenitais do sol ou estrelas. Métodos das elongações. Aplicação dos acessórios solares e do giroscópio. Determinação aproximada da longitude e da hora. Noções sobre escalas de tempo. Comparação e conservação da hora.
V - ESTRATÉGIA DE TRABALHO
Aulas teóricas com auxílio de apostila, catálogos e instrumentação topográfica. Aulas práticas. Campos - uso de instrumentação e execução de levantamentos e locações topográficas. Representação e cálculos - de porções topográficas Plani-Altimétricas e Geodésicas.
VI - AVALIAÇÃO
O desempenho do aluno será avaliado de acordo com as normas de avaliação do curso.
VII - BIBLIOGRAFIA
Básica
BORGES, A. C. “Topografia Aplicada à Engenharia Civil”, Volumes 1 e 2, Editora 
Edgard Blucher, 2002.
MC CORMAC, J. “Topografia”, Editora LTC, 2007.
CASACA, J. M. “Topografia Geral”, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2007.
Complementar
LOCH, C.; CORDINI, J. “Topografia Contemporânea”, Florianópolis, UFSC, 2000.
DOMINGUES, F. A. “Topografia e Astronomia de Posição”, McGraw-Hill, São 
Paulo, 2000.
GEMAEL, C., ANDRADE J.B. “Geodésia Celeste”, MUNDOGEO, Brasília, 2004.
COMASTRI, J.A.; TULER, J. C. “Topografia e Altimetria”, Imprensa Universitária da Universidade Federal de Viçosa, 1987.
PARADA, M.O. “Elementos de topografia: Manual Prático e Teórico de 
Medições de Medições e Demarcações de Terra”, Editora Edgard Blucher, São 
Paulo1992.
1. INTRODUÇÃO
1.1 Definição da Geodésia.
Entende-se a Geodésia como a ciência que estuda a forma e as dimensões do planeta Terra, bem como a determinação do campo gravitacional e da superfície oceânica. Segundo Webster, “A geodésia é o ramo da matemática aplicada que determina a exata posição de pontos, figuras e áreas de grandes porções da superfície terrestre. Também a forma e o tamanho da Terra, além das variações do seu campo gravitacional.” Esta definição revela a complexidade que o estudo completo da Ciência Geodésica apresenta.
1.2 Objetivos da Geodésia.
O objetivo primordial da Geodésia é a determinação da forma e das dimensões da Terra. Em decorrência deste objetivo, o estudo da Geodésia subdivide-se em dois capítulos da Geodésia:
• Geodésia Global ou Geral que se encarrega da mensuração da forma e das dimensões da Terra;
• Geodésia Aplicada que se encarrega da determinação precisa da posição de pontos sobre a superfície terrestre, nas áreas continentais e nas áreas oceânicas, para mapeamento e outras finalidades.
Para realizar os seus objetivos, a Geodésia vale-se de operações geométricas sobre a superfície terrestre, mensurando ângulos e distâncias, associadas às determinações astronômicas. Realiza também medições gravimétricas para detalhar o campo de gravidade do orbe terrestre, podendo realizar o rastreio da superfície terrestre por meio de satélites artificiais.
1.3 Histórico
A escola de Pitágoras (580 – 500 A.C.) foi a primeira a acreditar na esfericidade da terra, idéia que prevaleceu por dois milênios e meio. As primeiras alusões sobre a atração gravitacional provavelmente são de Aristóteles (384 – 322 A.C.), que também apresentou os primeiros argumentos plausíveis da esfericidade terrestre, que são:
•    Contorno circular da sombra da Terra projetada durante os eclipses lunares.
•    Diferença de horário na observação do mesmo eclipse entre observadores em dois meridianos diferentes.
•    Variação do aspecto do céu estrelado com a latitude.
Com a aceitação da esfericidade terrestre, surgiram as coordenadas esféricas, usadas pela primeira vez por Dicaerchus (353 – 285 A.C.) numa compilação do mapa-múndi que continha informações sobre o sul da Ásia conquistada por uma expedição militar de Alexandre Magnus. 
1.4 Aplicações da Geodésia
PROJETOS DE ENGENHARIA
    A construção de grandes estruturas tais como barragens, pontes e fábricas envolvem o assentamento de componentes estruturais em locais predeterminados. Para isso, são utilizadas as coordenadas vinculadas a pontos de controle. Muitas vezes são necessários estudos do movi-mento do solo e do nível da água antes e durante os tra-balhos.
ADMINISTRACÃO URBANA
    Nas áreas urbanas, as obras realizadas pelo homem tais como serviços de utilidade pública devem ser definidos e documentados através de pontos de controle para futuras referências.
MAPEAMENTO
A implantação do apoio básico através de pontos de controle horizontais e verticais para a produção de mapas nacionais (pequenas escalas) ou municipais (grandes escalas) constituiu uma atividade geodésica imprescindível.
DEMARCACÃO DE FRONTEIRAS
    A definição de fronteiras internacionais e nacionais é realizada através do posicionamento geodésico.
    Atualmente, tornou-se importante a rapidez e a precisão com que esses trabalhos são realizados nas demarcações de áreas para arrendamento mesmo nas regiões remotas e inóspitas.
ECOLOGIA
    Nas últimas décadas, vem sendo reconhecida a necessidade de estudos sobre os efeitos da ação do homem no meio em que vivemos. Um desses efeitos é a movimentação do solo causada pela remoção de recursos minerais (água, óleo, minério) ou depósitos subterrâneos de lixo. A monitoração desses movimentos de matéria também é uma aplicação geodésica importante.
GEOGRAFIA
    Todas as informações posicionais usadas em Geografia são fornecidas pela Geodésia. Ainda que não seja necessário a alta precisão nas informações geométricas e posicionais, elas têm escala global e por isso são fornecidas pela Geodésia.
1.5 Forma da Terra
Na Geodésia moderna são consideradas 4 figuras que representam a forma física da Terra:
– A superfície Topográfica (forma física real);
– O Geóide (forma física do campo gravítico real);
– O Elipsóide de referência (forma matemática aproximada);
– O Esferóide
A Superfície Topográfica – superfície do terreno com seus vales, fundo do mar e montanhas sobre a qual as medidas são executadas.
 
O Geóide – vocábulo que significa o formato geométrico da Terra. Considerado como a superfície de nível de altitude igual a zero e coincidente com o nível médio dos mares; referência para as altitudes. 
    Como os movimentos e composição da terra são muito variáveis, ocorrem deformações no geóide impedindo que o geóide seja determinado matematicamente.
    As ondulações da figura abaixo estão exageradas, pois o raio da terra é próximo de 6370km e as ondulações do geóide são de apenas algumas dezenas de metros. Globalmente falando, as ondulações são muito pequenas, mas para o posicionamento de um ponto é muito grande.
Na Geodésia, o geóide servirá essencialmente para dois propósitos:
•    Definir a forma da Terra, e consequentemente, dar forma ao elipsóide de revolução – datum planimétrico.
•    Definir o sistema de referênciadas altitudes ortométricas – datum altimétrico global.
A forma dada pelo Geóide
•    De acordo com a ideia de Gauss, o geóide é encarado como uma representação da figura da Terra.
•    O geóide é uma superfície com um significado físico preciso: a superfície equipotencial de referência.
•    O geóide corresponde à superfície de um fluido homogêneo.
Gravimetria
•    É um método da geodésia física para determinar os níveis do campo gravitacional da Terra e, com isto, determinar o geóide. O Geóide pode ser determinado com precisão de poucos centímetros, através de medições gravimétricas de pontos bem distribuídos sobre a Terra. A densidade de pontos é muitíssimo importante para a determinação do geóide.
O Elipsóide de Referência – superfície matemática 3D adotada como referência para o cálculo de posições, distâncias, direções e outros elementos geométricos da mensuração. É formada a partir da rotação de uma elipse, usando como eixo de rotação o seu semi-eixo menor.
Datum Horizontal
Para um bom ajuste, cada país ou região adotou um elipsóide de referência diferente e que melhor ajustou às suas dimensões. Ao utilizar um elipsóide numa determinada posição, cria-se uma nova superfície, ou seja, um novo Datum. Para a Definição de um Datum é necessário conter 3 elementos:
•    Contém a forma e tamanho de um Elipsóide
•    Contém a posição do elipsóide relativa ao geóide
    Topocêntrico: vértice na superfície terrestre que serve para a amarração do elipsóide ao geóide.
    Geocêntrico: amarrado ao centro de massa da terra.
•    Contém os parâmetros de conversão para o Datum Internacional WGS-84 (World Geo-detic System of 1984)
No caso brasileiro utilizou-se o Sistema Geodésico Sul Americano (SAD 69) até 25 de Fevereiro de 2015, hoje em dia utiliza-se oficialmente o Sistema de Referencia Geocêntrico para as Américas (SIRGAS 2000).
Diferenças entre o SAD 69 e o SIRGAS2000:
    - São sistemas de concepção diferentes. Enquanto a definição/orientação do SAD69 é topocêntrica, ou seja, o ponto de origem e orientação está na superfície terrestre, a definição/orientação do SIRGAS2000 é geocêntrica. 
    - Isso significa que esse sistema adota um referencial que é um ponto calculado computacionalmente no centro da terra (geóide). 
Datum altimétrico
Coincide com a superfície equipotencial que contém o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas tomadas em Imbituba, no litoral de Santa Catarina.
2 Sistema de Coordenadas
2.1 Cartesianas Geocêntricas
A Superfície de referência para as Coordenadas Cartesianas é o Elipsóide. As Projeções X, Y e Z possuem origem no centro do Datum. Este sistema de coordenadas é o sistema de origem para os cálculos geodésicos. O plano X,Y coincide com o Equador. O eixo Z coincide com o eixo da Terra. O eixo X passa no meridiano de Greenwich.
O ponto P projetado sobre a superfície de referência elipsoidal ficará identificado cartesianamente pelas coordenadas: P(XP,YP,ZP).
2.2 Geodésicas
As coordenadas geodésicas: aspectos conceituais
A Latitude (f) de um ponto situado na superfície terrestre é o ângulo que formado pela normal à superfície de projeção (N), nesse ponto, com o plano que contém a linha do Equador. As latitudes são referenciadas a partir do Equador, de 0 a 90 , no Hemisfério Norte (positivas), e de 0  a 90  no Hemisfério Sul (negativas), seguida da indicação se é Norte (N) ou Sul (S).
A longitude (l) de um ponto da superfície terrestre é o ângulo diedro que forma o plano meridiano que passa pelo ponto com o plano que passa pelo meridiano de Greenwich.
As longitudes são referenciadas a partir de Greenwich, de 0  a 180 , na direção Leste, (positivas) ou na direção Oeste.(negativas). 
A Longitude e a Latitude podem ser aplicadas a um sistema de coordenadas relacionadas ao posicionamento de qualquer ponto situado na superfície da Terra. Admite-se que a partir de 0º de latitude e 0º de longitude, existam os quadrantes NE, SE, SW e NW. O conjunto de linhas meridianos e paralelos forma a rede de linhas imaginárias ao redor do globo terrestre, constituindo as coordenadas geográficas (Esferóide)/geodésicas (Elipsóide). Essas coordenadas também podem ser expressas em metros. No Equador esses arcos podem medir 111.321 m de comprimento, na direção leste/oeste.
As posições dos pontos na superfície terrestre são definidas por meio de linhas de referência, denominadas de coordenadas, que ao se cruzarem em ângulos estabelecidos, os definem naquele lugar.
Sistema Elipsoidal de Coordenadas (Geodésico).
Para que o posicionamento de um ponto sobre o Elipsóide de Referência seja determinado de maneira única, foram estabelecidas linhas de referência que permitem que isto possa ser efetivado.
As linhas desenhadas no sentido Norte/Sul são denominadas de meridianos enquanto que as linhas desenhadas no sentido Leste/Oeste são denominadas de paralelos.
Estas linhas formam um sistema denominado de Sistema de Coordenadas Geodésico, cuja origem é um ponto situado sobre o meridiano que passa por Greenwich (na Inglaterra) e sobre a linha do Equador. As coordenadas definidas do sistema são denominadas de latitudes e longitudes geodésicas.
· Projeção de um ponto sobre a superfície de referência elipsoidal.
Considera-se, simultaneamente, a latitude e a longitude de um ponto na superfície terrestre. A cada latitude corresponde um paralelo e a cada longitude, um meridiano. O ponto de encontro dos dois determina a posição do ponto P1 sobre a superfície de referência. Porém, o ponto P1 é na verdade a projeção do ponto P sobre a superfície de referência, isto porque o ponto P encontra-se sobre a superfície real (topográfica).
   
Geometria do elipsóide
Como afirmado, o elipsóide é um dos sólidos que melhor se adapta à superfície física da Terra, por ter uma geometria simples de se calcular, tornando-se a figura ideal para mapeamentos cartográficos. Este sólido que é gerado pela rotação de uma elipse meridiana em torno de seu eixo menor (B), e, por se tratar de uma figura que possui parâmetros conhecidos, poder-s-á determinar matematicamente a posição relativa de pontos projetados sobre a sua superfície.
Devido à facilidade de programação este sistema é muito usado em procedimentos computacionais informatizados (softwares). As relações entre os dois sistemas de coordenadas (cartesiano e elipsóidico) são obtidas pelas seguintes expressões:
· Transformação de coordenadas geodésicas (j,l, h) para cartesianas (X, Y, Z)
X = (N + h).cos(f).cos(l)
Y = (N + h)xcos(f).sen(l)
Z = [(1 – e²).(N + h)].sen(f)
· Transformação de coordenadas cartesianas (X, Y, Z) para geodésicas (j,l, h)
tan(l) = Y/X
tan(f) = (Z + e².N.sen(f))/(X² + Y²)
h = X.sec(f).sec(l) – N = Y.sec(f)xcossec(l) – N
N = a/ (1 – e².sen(f))1/2
onde,: a : semi-eixo maior
b : semi-eixo menor
h : altitude elipsoidal
(f) : Latitude geodésica
(l) : Longitude geodésica
e : excentricidade
N : raio de curvatura da vertical principal
Esboço Histórico
Ao longo da história da humanidade a Terra foi imaginada possui diversas formas geométricas, descritas sumariamente a seguir as diversas concepções:
· Homero concebeu que a Terra tinha uma forma de disco achatado.
· Pitágoras de Samos, no Século VI a.C., e Aristóteles, no Século IV a.C., descreveram a Terra com possuindo a forma esférica;
· Anaximenes concebia a Terra como tendo uma forma geométrica retangular;
· Eratóstenes pensava na forma esférica e realizou medidas objetivas para a determinação de suas dimensões;
· Isaac Newton, no Século XVII, considerou-a elipsoidal;
· Gauss, no Século XVIII, concluiu que o Geóide seria a melhor definição geométrica da Terra.
A adoção de uma forma geométrica para o planeta Terra depende dos fins práticos a que se propõe; para a Topografia adota-se a geometria plana, para cálculos astronômicos recorre-se a forma esférica., para cálculos mais rigorosos, firma-se o modelo geométrico-matemático tipo elipsoidal de revolução.
A forma física e real da Terra
A superfície terrestre é bastanteirregular, possuindo a variação de seu relevo entre o ponto culminante representado pelo pico do Monte Everest, com cerca de 8.800 metros de altitude, e a maior depressão, situada no Oceano Pacífico, com cerca de 9.000 metros de profundidade em relação ao nível do mar.
Sobre a superfície física da Terra (real, também denominada de topográfica) são desenvolvidas as operações de mensuração, sejam geodésicas ou topográficas. As operações de mensuração, angulares e lineares, no campo, devem ser executadas para a obtenção de coordenadas posicionais, identificadoras de um conjunto de pontos descritores materializados na superfície territorial investigada, as quais serão caracterizadas devidamente por transformações de natureza matemática em função da adoção do modelo geométrico idealizado para representar a Terra.
 
Formas idealizadas para representar a Terra
· O MODELO GEÓIDAL
O geóide é uma forma geométrica idealizada para a Terra, a qual não possui até então definições geométricas com identidade matemática (formulação analítica), sendo definida pela superfície média dos mares, suposta em repouso e penetrando por baixo dos continentes. O sistema de referencia é a superfície equipotencial, também denominada de superfície de nível, que se caracteriza por apresentar o mesmo potencial em todos os seus pontos. Devido as irregularidades na distribuição das massas do planeta, a forma Geoidal é complexa e é observada por meio de medições gravimétricas, por toda a superfície. Tendo o planeta ¾ partes de água, faz-se necessário às observações dos satélites para auxiliar na determinação do Geóide. 
· MODELO ESFEROIDAL
A partir da visualização da projeção da Terra sobre a superfície da Lua, no fenômeno de eclipse solar, e das observações da chegada de navios nos portos, os gregos concluíram pela forma esferoidal para o planeta.
A partir de observações simples e cálculos aproximados, o grego Eratóstenes chegou à conclusão de que o raio da esfera terrestre teria, aproximadamente, valor igual a 6.266 km. Este valor é bem próximo daquele atualmente aceito, como sendo igual a 6.378 km.
· MODELO ELIPSOIDAL
Com o advento das modernas técnicas de mensuração e modernização do seu instrumental, a Ciência Geodésica alcançou um grande avanço no Século XVII com o francês Picard, que conseguiu medir o comprimento de um arco de meridiano, cujo trabalho foi continuado por J. cassini, estendendo a medida do comprimento do arco de meridiano no sentido Norte, em direção à Dunquerque, e para o Sul, até a divisa com a Espanha. Este trabalho de mensuração geodésica resultou em se descobrir que o comprimento do arco é maior para o Sul, indicando a forma de um elipsóide para a Terra, com seu eixo de rotação maior que o eixo equatorial. Porém, o físico-matemático Isaac Newton, no mesmo Século XVII, contestou tal fato, afirmando que sendo a Terra composta de três quarto partes de água, a massa fluída, devido à rotação da Terra, tenderia a alongar-se no plano equatorial e, conseqüentemente, achatar-se nos pólos, resultando que o eixo de rotação ser menor do que o eixo equatorial. A contribuição de Newton foi baseada em sua Teoria da Gravitação, estabelecida sobre a lei da gravidade terrestre.
As duas teorias deram margem à controvérsia entre os cientistas. A Academia Francesa de Ciências, objetivando dirimir dúvidas, organizou uma expedição ao Equador e a Lapônia para realizar a mensuração de arcos de meridiano. As medições provaram que o planeta Terra era achatado nos pólos, conforme a Teoria desenvolvida por Isaac Newton. Estando estabelecida a forma geométrica para a Terra, vários geodesistas procuraram estabelecer a melhor proporção para o elipsóide de revolução. 
No ano de 1967, a União Internacional de Geodésia e Geofísica, em vista de trabalhos mais recentes, recomendou a adoção do denominado Elipsóide de Referência 1967. Sendo então adotados os parâmetros:
a = 6.378,160 km
f = 1/298,25
Com o desenvolvimento da tecnologia de Posicionamento Global por Satélites – Sistema GPS, atualmente justifica-se a adoção de um sistema referencial único de determinação de coordenadas; desta forma, alguns sistemas de referencia geodésico do elipsóide surgiram.
3.1 Sistemas de Projeção TM (Transversa de Mercator)
Gerhard Kremer Mercátor (1512-1594) matemático e cartógrafo belga, é o autor das projeções TM, atualmente considerado o pai da Cartografia Moderna.
Foi o introdutor do uso de projeção cilíndrica e também da confecção de mapas para navegação. Somente em 1950 foi adotado a formatação do sistema como é hoje.
O Sistema UTM é dividido em 60 fusos de 6 graus de amplitude em longitude. Cada fuso também é chamado de Zona UTM que é numerada, iniciando em "1" da esquerda para a direita em relação à longitude 180 graus oeste. Pode-se identificar também o fuso a partir de seu Meridiano Central que fica exatamente no centro do fuso. Existe em algumas publicações estrangeiras a divisão das zonas no Equador, o que resultaria em mais 60 zonas cuja numeração é negativa ao Sul do Equador e manteria-se a numeração normal ao Norte.
A unidade é o metro tendo como origem o Equador e o Meridiano Central. No hemisfério Sul, o sistema possui o valor 10.000.000,00 m no Equador para a coordenada Norte, decrescendo para o Sul. E o valor 500.000,00 m no Meridiano Central para a coordenada Este, decrescendo para Oeste e crescendo para Este.
No hemisfério Norte o sistema difere apenas na coordenada Norte, possuindo o valor de 0,00 m no Equador, crescendo para o Norte.
As Coordenadas UTM definem posições bi-dimensionais e horizontais.
No exterior, alguns softwares consideram o hemisfério Sul como continuação do Norte extendendo o sistema de coordenadas para o Sul negativamente como em um eixo cartesiano.
A origem do Sistema também pode ser deslocado do centro do fuso para algum ponto que facilite o mapeamento de determinada região. É o que ocorre na Irlanda cuja origem de seu sistema UTM é em sua capital Dublin.
Para o caso em que um trabalho esteja sendo realizado na borda de um fuso pode-se utilizar esse procedimento ou, caso a precisão do trabalho em questão seja atendida, estender as coordenadas de um fuso dentro do que está ao lado.
Projeção: Transversa de Mercator (tipo Gauss-Krüger) em zonas de 6° de largura.
Longitude de Origem: Meridiano Central (MC) de cada zona (3°, 9°, 15°, 21°, 27°, 33°, 39°, 45°, 51°, 57°, 63°, 69°, 75°, 81°, 87°, 93°, 99°, 105°, 111°, 117°, 123°, 129°, 135°, 141°, 147°, 153°, 159°, 165°, 171°, 177°, E e W).
Latitude de Origem: 0° (Equador).
Unidade: Metro.
Origem da coord. Norte: 0 metros no Equador para o Hemisfério Norte; 10.000.000 metros no Equador para o Hemisfério Sul.
Origem da coord. Este: 500.000 metros no MC de cada zona.
Fator de Escala (K0) no MC: 0,9996.
Limite de Latitude do Sistema: de 80°S a 84°N.
Limite das Zonas de Projeção: São limitadas pelos meridianos de longitude múltipla de 6° este e oeste do Meridiano de Greenwich.
As zonas UTM possuem identificadores para regiões de 8 graus ao norte e ao sul do Equador. Iniciando em 80° sul e seguindo para o norte, 20 faixas são identificadas com as letras de C até X, omitindo I e O. Essas faixas possuem o tamanho de 8° em latitude excetuando a X que possui 12° (entre 72-84 N).
Para calcular o fuso em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a eq.: F = int [(l)/6] + 31 - sendo (l) a longitude do ponto analisado.
Para calcular o MC em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a eq.: MC = int [(l)/6].6 + 3
Para calcular o MC em função do fuso, utilize a equação: MC = (F - 31).6 + 3
 
 
3.2 Redução de Distâncias
As Distâncias na Topografia são medidas de forma inclinada (DI) com um Medidor Eletrônico de Distância (Estação Total ou Distanciômetro) e calculada na Horizontal (DH) com o ângulo vertical lido da visada. Pode também ser medido diretamente sobre o plano Topográfico (DH) utilizando uma trena. Após se obter a Distância Horizontal (DH), temos que rebatê-la sobre o Geóide (Dn) e em seguida sobre o Elipsóide(De) para que todas as distâncias fiquem num mesmo referencial.
Dn = DH.Fr    Fr = 1 – (Hm/Rm)         De = Dn + (1,027.Dn³.10-15)
Sendo:    Fr = Fator de Redução da Distância Horizontal
    Hm = altitude média das distância
    Rm = raio médio da terra (6.370.000 m)
 
Para distâncias menores que 5km, poderemos fazer De = Dn, pois a mudança é desprezível.
A projeção das distâncias sobre o elipsóide é necessária para cálculos geodésicos. Devemos utilizar os cálculos geodésicos em 2 situações:
- Georreferenciamento: quando necessitarmos de pontos georreferenciados
- Grandes desníveis: mesmo quando não houver a necessidade do georrefe-renciamento, mas na extensão do levantamento tivermos grandes desníveis, devemos fazer uso da geodésia. Quando a área possuir grandes desníveis, estaremos utilizando vários planos topográficos locais em altitudes diferentes e portanto estaremos utilizando várias superfícies de referência. Com isso, as poligonais não possuem bom fechamento, em virtude de estarem em projeções diferentes. O que caracterizará os grandes desníveis será a precisão desejada para os pontos, pois a diferença de projeção, não pode ser maior que a precisão requerida para o levantamento.
 
3.3 Redução de Distâncias no Sistemas de Projeção TM 
Características: Ocorre deformação apenas nas distâncias (projeção Conforme) e consequentemente nas áreas. Os ângulos se deformam tão pouco que cartograficamente são desprezíveis.
Fator de Escala: Para fazer a projeção das distâncias elipsoidais sobre o cilindro, utilizamos um fator de escala denominado K.
O Fator K pode ser calculado pela seguinte equação:
K = K0 / {1-[cos(fm).sen(lm-MC)]2}1/2    sendo: (fm) = longitude média dos pontos; (lm) = longitude média dos pontos; K0 = 0,9996 e MC = Meridiano Central para (lm).
CUIDADO: senos e cossenos das latitudes e longitudes devem observar os sinais, como segue: N(+), S(-), E(+) e W(-).
Para facilitar os cálculos, podemos calcular um Fator que junta o Fr e o K. Chamaremos de Kr.
Kr = K.Fr
DTM = DH.Kr
5 ALTIMETRIA
Como vimos em módulos anteriores, Datum Vertical é uma Superfície de referência para as altitudes.
As altitudes podem ser do tipo Ortométrica ou Geométrica:
5.1 Altitude Ortométrica (ou Altitude Geoidal):
São as altitudes referenciadas ao geóide (nível médio do mar).
Cada região ou país banhado por um oceano pesquisa em sua costa lugares onde a variação de marés é mínima. Nestes locais são instalados instrumentos que medem a variação das marés, denominados Marégrafos. Um destes marégrafos é escolhido como referência denominado de Datum de Controle Vertical.
O referencial altimétrico ou Datum Vertical Oficial é o Datum Imbituba definido por observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, entre os anos de 1949 e 1957. Caso Particular: Datum Porto de Santana, que é referência para o Estado do Amapá, tomado entre os anos de 1957 e 1958.
As Referências de Nível são transportadas a partir de Nivelamentos geométricos e trigonométricos.
 
5.2 Altitude Geométrica (ou Altitude Elipsoidal):
São as altitudes referenciadas ao elipsóide (calculadas geometricamente). Obtido a partir de sistemas de posicionamentos via satélite.
Mudando de Datum, mudaremos de altitude geométrica.
5.3 Mapa Geoidal
O Mapa Geoidal apresenta as ondulações geoidais (N), também conhecidas como alturas geoidais.
Ondulações geoidais são as distâncias a partir do Elipsóide até o Geóide.
O IBGE publica o mapa geiodal, mas possui escala muito pequena para fazer uma interpolação segura.
Para a obtenção de N, utilizamos softwares para interpolação.
No Brasil, o software utilizado para fazer esta conversão é o Mapgeo 2004, disponibilizado pelo IBGE. Mas no Brasil o modelo ainda não tem grande precisão:
Absoluto = ±0,5m (em alguns locais o erro pode chegar a 2m)
Relativo = ±1cm/km
 
5.4 Conversão de Altitudes
Existem 2 métodos para conversão de altitude geométrica em ortométrica: Absoluto e Relativo.
Método Absoluto
sendo
H: altitude ortométrica (geoidal)
h: altitude geométrica (elipsoidal)
N: ondulação geoidal, ou altura geoidal ou ainda distância geoidal
Para encontrar o valor da ondulação Geoidal, utilizaremos o software Mapgeo2004. A ondulação
obtida terá a precisão de ±500mm, porém existem alguns locais que podemos encontrar até 2,00m de erro.
Para diferenciar a ondulação calculada da obtida pelo Mapgeo, chamaremos a ondulação do Mapgeo de “n”
(minúsculo). Portanto a equação no método absoluto ficará assim:
HP=hP–nP
Lembre-se das propagações dos erros para cada cálculo efetuado.
Método Relativo
Este método permite alcançarmos a precisão de ±10mm/km. Para isso precisamos ter um RN rastreado com GNSS, ou nivelado um marco que foi implantado com GNSS.
Podemos fazer esta igualdade, pois consideramos que o Geóide definido pelo Mapgeo é paralelo ao Geóide Real.
Lembre-se das propagações dos erros para cada cálculo efetuado.
O NAVSTAR GPS (NAVigation System with Time And  Ranging - Global Positioning System) é um sistema de rádio navegação por satélite que fornece, a usuários que possuam equipamento apropriado, coordenadas precisas de posicionamento tridimensional e informação sobre a navegação e o tempo. Traduzido para o Português, o Sistema de Posicionamento Global também é conhecido como Sistema de Posicionamento por Satélite. Foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos da América – DoD (Departmento of Defense), com o propósito de ser o principal sistema de navegação das forças armadas americanas.
Em razão da alta acurácia proporcionada e do alto nível tecnológico embutido nos aparelhos receptores GPS, uma grande comunidade de usuários do sistema, surgiu dos mais variados segmentos do meio civil, (navegação, posicionamento geodésico, agricultura, meio ambiente, controle de frotas, etc.)  Como o nome sugere, o GPS é um sistema de abrangência global. Tem facilitado todas atividades que necessitam de posicionamento, permitindo que concepções antigas e que de certa forma ficaram estagnadas no tempo, pudessem ser colocadas em prática. Um exemplo disto, é o que vem ocorrendo com a agricultura de precisão, um conceito estabelecido por volta de 1929, que só agora vem sendo colocado em prática, graças à integração de várias geotecnologias, dentre elas o GPS. A concepção do sistema GPS permite que um usuário, em qualquer ponto da superfície terrestre, ou próximo a ela, tenha sempre a disposição, no mínimo 4 satélites para serem rastreados, permitindo navegação em tempo real, sob quaisquer condições meteorológicas.
O princípio básico de navegação pelo GPS, é relativamente simples. Consiste na medida das distâncias entre o usuário a cada um dos satélites rastreados. Conhecendo-se as coordenadas dos satélites em um sistema de referência apropriado, é possível calcular as coordenadas da antena do receptor em terra, no mesmo sistema de referência dos satélites.  Do ponto de vista geométrico, apenas três distâncias, não pertencentes ao mesmo plano, seriam suficientes para se determinar o posicionamento do usuário.  Neste caso, o problema se reduziria à solução de um sistema de três equações a três incógnitas. Uma quarta medida é necessária em razão do não sincronismo entre os relógios dos satélites e dos receptores em poder dos usuários, o que adiciona uma incógnita ao problema. Toda esta questão envolvendo distâncias e tempo será esclarecida mais adiante.
O GPS disponibiliza dois tipos de serviços, conhecidos por: SPS (Standard Positioning Service – Serviço de Posicionamento Padrão) e PPS (Precise Positioning Service – Serviço de Posicionamento Preciso). O SPS é um serviço de posicionamento e tempo padrão que está disponível a todos usuários do globo, sem cobrança de qualquer taxa. O PPS proporciona melhores resultados, mas é restrito ao uso militar e a usuários autorizados. Na verdade, o sistema sempre teve capacidade de propiciar bons níveis de acurácia, mas ao que tudo indica, isto não era de interesse doDepartamento de Defesa Americano. O Sistema que foi originalmente projetado para uso militar, foi liberado para uso geral, em 1980, por decisão do então presidente Ronald Reagan. Na época, o DoD americano implantou um erro proposital no Sistema, com a finalidade de resguardar a segurança interna do país, uma vez que o  GPS poderia ser utilizado, para fins militares, por nações inimigas. Dessa forma, a limitação da acurácia era imposta pela adoção dos recursos: AS (Anti-spoofing) e SA (Selective Availability – Disponibilidade Seletiva).
O AS é um processo de criptografia de um dos códigos utilizados no GPS para realizar medidas de distâncias (denominado código P), visando proteger seu uso por usuários não autorizados. Pela SA ocorre manipulação das mensagens de navegação e da frequência dos relógios dos satélites, implicando em erros de posicionamento da ordem de 100 a 140 m.  Para grande surpresa e em benefício da comunidade de usuários, o processo de deterioração da acuracidade foi abolido à 0 h (zero hora, tempo universal), do dia 2 de maio de 2000, melhorando a acurácia de posicionamento em aproximadamente 10 vezes. 
O GPS possibilita a utilização de várias técnicas de levantamento, condicionadas à finalidade e ao tipo do equipamento disponível. Em uma classificação simplificada as técnicas podem ser Estáticas e Dinâmicas.   
Estáticas  
Trata-se de uma técnica onde é necessário que a antena do receptor, permaneça coletando dados em um mesmo ponto por um período mínimo de alguns minutos podendo chegar a várias horas. No posicionamento estático pode-se agrupar os levantamentos em absolutos e relativos.  
Absoluto  
Neste caso utiliza-se um único equipamento que permanece imóvel durante o período de aquisição dos dados. Utilizando apenas o código C/A, este tipo de posicionamento chega a uma precisão da ordem de 20 m, com a S.A. desativada, praticamente independente do tempo de rastreamento. É aplicado em reconhecimentos, determinações expeditas e principalmente navegação. Usado em aparelhos de baixo custo (~ US$ 250).    
Relativo   
Pelo menos dois equipamentos são operados simultaneamente.  
a) Com utilização dos códigos (C/A ou Y):  Para equipamentos que têm capacidade de armazenar dados, pode ser realizado o pós-processamento desses dados, com resultados cuja precisão pode variar entre 0,5 e 3,0 m. No modo diferencial em tempo real, é necessário a ligação via rádio entre o aparelho que fica estacionado na base e o(s) receptor(es) que coleta(m) os dados  nos locais de interesse.  
b) Com utilização da fase da portadora:  É a técnica de maior precisão proporcionada pelo GPS. Utilizado para aplicações em Geodésia, Geodinâmica, Engenharia e projetos de alta precisão. Tempo de ocupação entre 30 minutos e várias horas. Normalmente utiliza a dupla frequência de fase das portadoras, L1 e L2. Precisão da ordem de 1 cm + 2 ppm. Custo do equipamento entre US$ 10.000 a US$ 30.000  
Dinâmicas  
Os levantamentos dinâmicos, em geral, baseiam-se na utilização de uma estação fixa (referência) e no deslocamento contínuo de um ou mais equipamentos itinerantes. O posicionamento pode ser obtido em tempo real ou pós-processado. Possibilitam aquisição mais rápida dos dados e são bastante utilizados em levantamentos cadastrais. Algumas das técnicas normalmente utilizadas em levantamentos dinâmicos são:  
Cinemático Stop & GO baseado na fase da portadora  
Aplicação em Geodésia, Topografia e Cadastro. O equipamento se desloca sem perder a sintonia com pelo menos 4 satélites, (sendo recomendável 5 ou mais), com permanência de alguns minutos em cada um dos pontos a serem levantados. Precisão da ordem de 1 a 10 ppm. Custo dos equipamentos entre US$ 10.000 e U$ 15.000.  
Cinemático contínuo baseado na fase da portadora  
Aplicação em Topografia e Cadastro. O equipamento se desloca sem perder a sintonia com pelo menos 4 satélites, (sendo recomendável 5 ou mais). A perda da sintonia implica na necessidade de reinicialização. Há necessidade de resolução das ambiguidades antes do levantamento. As coordenadas são determinadas continuamente durante o levantamento. Precisão da ordem de 1 a 10 ppm. Custo dos equipamentos entre US$ 10.000 e U$ 15.000.  
Pseudo-Cinemático baseado na fase da portadora  
Baseia na fase da portadora. Utilizado em Geodésia, Topografia e Cadastro. O equipamento ocupa cada ponto por aproximadamente 5 minutos, podendo ser desligado durante o trajeto, repetindo a ocupação no mínimo 1 hora após a ocupação precedente. Não é necessário a resolução prévia das ambiguidades. Precisão da ordem de 2 a 20 ppm. Distância entre base e aparelho itinerante menor que 20 km. Custo dos equipamentos entre US$ 10.000 e U$ 15.000.  
Rápido estático  
Utiliza as fases das portadoras L1 e L2. Aplicação em Geodésia, Topografia e Cadastro. Tempo de rastreio entre 5 e 20 minutos, dependendo da quantidade de satélites, sendo recomendável 5 ou mais. Durante a permanência nos pontos de levantamentos, não pode ocorrer perda de sinal, mas o equipamento pode ser desligado durante os deslocamentos. Baseia no código P (Y) para resolução das ambiguidades. Precisão da ordem de 1 a 10 ppm. Limitado a distâncias inferiores a 15 km entre a estação de referência e o aparelho móvel. Custo dos equipamentos entre US$ 10.000 e 30.000.   
Cinemático em tempo real  
Aplicação Geodésia, Topografia, Engenharia, Geofísica e Cadastro. Utiliza link de rádio. Resolve as ambiguidades em tempo real. Precisão da ordem de 2 a 10 cm. Restrito a distâncias menores que 20 km. Custo dos equipamentos maior que US$ 30.000.  
DGPS – Diferential GPS (GPS Diferencial)  
O conceito de DGPS envolve o uso de um receptor estacionário numa estação com coordenadas conhecidas, rastreando todos os satélites visíveis. O processamento dos dados nesta estação permite calcular correções posicionais, das pseudo-distâncias e da fase da portadora. Estas correções são aplicadas ao posicionamento calculado no(s) equipamento(s) itinerante(s) em tempo real ou pós-processado. É necessário que os dados, na estação base e no(s) receptor(es) móvel(is), sejam coletados simultaneamente. Os cálculos realizados no DGPS só é possível se os dados dos satélites, coletados em todos os receptores, forem os mesmos. Aplicado em Navegação, Cadastro Rural e Engenharia. Pode atingir precisão melhor que 0,5 m.  Distância entre base e móvel até 500 km. Custo dos equipamentos entre US$ 3.000 e U$ 15.000. 
O sistema GPS traz importantes benefícios e avanços para a engenharia. Em grandes obras civis, o sistema facilita a implantação de apoio topográfico para a locação da obra, permite levantar planimetricamente uma obra existente, contribui no monitoramento e no controle de grandes estruturas e finalmente auxilia no cadastro e no controle de entidades as mais diversas. O transporte aéreo, marítimo e terrestre receberam igualmente um benefício surpreendente com a facilidade de posicionamento do sistema GPS. O resultado é a melhoria do planejamento e da logística no transporte e na entrega de mercadorias.  
APOIO TOPOGRÁFICO  
Os trabalhos de apoio conduzidos através dos processos topográficos, hoje valendo-se de estações totais eletrônicas, exigem o conhecimento de um ponto de partida com coordenadas conhecidas e de uma direção com um azimute estabelecido. Esta tarefa ficou tremendamente facilitada com o sistema GPS. Utilizando receptores geodésicos de uma ou duas frequências as coordenadas podem ser transportadas em distâncias de centenas ou até milhares de quilômetros com precisão de poucos centímetros em um intervalo de 2 h ou até menos. Desta forma, é fácil implantar dois pontos de apoio numa área de interesse transportando as coodenadas desde uma estação pertencente a uma rede qualquer de referência. Isto satisfaz a exigência da topografia em relação às coordenadas e ao azimute. A condição fundamental para a perfeita operação do GPS é um horizonte razoavelmente desobstruído relativo à antena do receptor. Com isso, o próprio levantamento topográfico na área de interesse ficarestrito aos pontos que apresentem deficiência de visibilidade aos satélites devido a obstáculos como: vegetação, edificação, etc. O levantamento total de uma obra já existente também se vale da combinação do sistema GPS com os métodos topográficos. Neste caso o GPS supre igualmente a tarefa para todos os pontos com uma visibilidade favorável.  
O monitoramento de grandes estruturas é fundamental para a segurança. Diversos controles são necessários, entre eles a deformação e o deslocamento. O controle do deslocamento implica em utilizar como referência um ponto com uma estabilidade confiável, de modo que uma possível variação nas coordenadas ou na distância em relação à referência possa realmente ser atribuída a um deslocamento da estrutura. Quando o ponto de referência está próximo à estrutura e, portanto, na área de influência da mesma, ele pode estar sofrendo algum tipo de deslocamento simultâneo com a estrutura. O GPS traz um grande aporte para este problema permitindo observações desde um ponto remoto com uma estabilidade recomendável.  
Em diversos processos, na área operacional, faz-se necessário proceder a um cadastro de entidades que, ou precisam ser periodicamente monitoradas, ou entram na avaliação para implementação de mudanças, atualizações ou mesmo implantação de novas tecnologias. Exemplos práticos são as torres ou postes de transmissão de energia, estações de retransmissão de sinais de micro-ondas (telefonia), residências para implementação de novas tecnologias (TV a cabo), etc. A obtenção de coordenadas nestes entes para eventual implementação um um sistema de informação geográfica (SIG) é possível e rápida com um receptor GPS. Igualmente aí a precisão exigida irá apontar a técnica recomendável e o equipamento adequado.  
O GPS NO TRANSPORTE  
O sistema GPS foi desenvolvido com um objetivo básico: atender à navegação aérea. Com isso ele realiza basicamente todo o tipo de posicionamento de veículos em movimento. A precisão exigida varia em função do objetivo do posicionamento do ente em movimento. O uso simples do código C/A fornece um erro máximo de ± 30 m. Isto é suficiente para posicionar uma aeronave em rota ou um navio em um cruzeiro em alto mar. Mas há inúmeros casos que um erro de 30 m pode não ser desejável. Por exemplo, uma aeronave no procedimento de aproximação para pouso, uma navegação costeira mais cuidadosa, um levantamento marinho para fins de pesquisa e estudo, etc. Neste caso o DGPS constitui uma alternativa promissora.  
O sistema GPS vem se constituindo numa componente importante do transporte rodoviário de cargas. Um veículo de carga equipado com um receptor GPS e um sistema de transmissão pode ter seu movimento monitorado por uma central de controle. Esta facilidade tem reflexo no planejamento do transporte, no monitoramento das condições de operação do veículo e na segurança da operação. Nas aplicações mais gerais o receptor GPS pode operar simplesmente com o código C/A. A transmissão das informações, do veículo para uma central de controle, pode ser via um "link" de rádio ou utilizando um satélite de comunicação. No primeiro caso, fica-se restrito à área ou corredor atendido pelo "link". O satélite viabiliza transmissões em longas distâncias, possibilitando operações de carater nacional e até continental.  
Os sistemas de monitoramento de carga, numa versão mais simples, contemplam a transmissão da posição do veículo para uma central de controle, sem numhuma interferência do motorista, que mantém uma conveniente vigilância sobre o seu deslocamento. Um passo mais avançado é dado quando o veículo dispõe de uma unidade de controle com algumas teclas que, quando acionadas, dão conhecimento à central de simples mensagens pré-formatadas, tais como: emergência, acidente, tráfego interrompido, etc. A central pode, eventualmente, transmitir mensagens mais completas para o motorista que as lê na unidade do veículo. Uma interação maior entre o motorista e o veículo é conseguida se a unidade de controle do veículo for mais completa e permitir que o motorista digite informações e as transmita para a central, assim como, receba respostas da central. A sofisticação do sistema como um todo pode aumentar se o mesmo contemplar a colocação de sensores no veículo, tais como: temperatura e rotação do motor, velocidade do veículo, consumo de combustível, abertura do compartimento de carga, etc. Estas informações, sendo transmitidas para a central com uma freqüência desejável, resultam numa maior assistência e monitoramento. A abertura do compartimento de carga pode inclusive ter a opção de ser acionada somente pela central de controle.  
Sistema de Referência Celeste
Um sistema inercial é necessário a fim de descrever movimentos da Terra e de outros corpos celestes no espaço, inclusive satélites artificiais. Tal sistema é caracterizado pelas leis do movimento de Newton; pode estar em repouso ou em movimento linear uniforme sem rotação. Um sistema fixo ao espaço (sistema de referência celeste) representa uma aproximação a um sistema inercial e pode ser definido por convenções apropriadas: Conventional Inertial System (CIS – Sistema Inercial Convencional). As coordenadas da rede que materializam tal sistema são obtidas por Astronomia Esférica. A orientação espacial desta rede varia com o tempo e consequentemente é necessário modelar as oscilações.
O Sistema de Referência Celeste Internacional ou International Celestial Reference System (ICRS), recomendado pelo IAU é baseado na teoria geral da relatividade, com coordenadas referidas ao tempo atômico internacional. O ICRS aproxima-se de um sistema inercial convencional (CIS) fixo ao espaço com origem no baricentro do sistema solar.
Assume-se que não existe rotação no sistema global.