fisica 3 ufrj P2 Fisica III Completo 2015.1 2010.1

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Provas Antigas 
 
P1 - P2 - PF
P1
P2
PF
Física III 
 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Segunda Prova: 01/07/2015
Versa˜o: A
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B · d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× Rˆ
R2
, 1 + tan2 θ = sec2 θ , d(tan θ) = sec2 θdθ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , Lsol = µ0
N2
l
A , uB =
1
2
B2
µ0
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. Durante o processo de carga de um capacitor de placas pa-
ralelas por uma corrente constante ic, como se comportam
os campos ele´trico, ~E, e magne´tico, ~B, entre as placas do
capacitor? [estaciona´rio = na˜o depende do tempo]
(a) ~E 6= 0 e na˜o estaciona´rio; ~B 6= 0 e estaciona´rio
(b) ~E 6= 0 e estaciona´rio; ~B = 0
(c) ~E 6= 0 e estaciona´rio; ~B 6= 0 e estaciona´rio
(d) ~E = 0; ~B 6= 0 e estaciona´rio
(e) ~E 6= 0 e na˜o estaciona´rio; ~B 6= 0 e na˜o esta-
ciona´rio
2. A figura abaixo mostra uma regia˜o atravessada perpendi-
cularmente por va´rias correntes estaciona´rias com inten-
sidades de mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por ⊙ e as que en-
tram na pa´gina por ⊗. Esta˜o representados, tambe´m, treˆs
diferentes caminhos fechados, orientados, para a a deter-
minac¸a˜o da integral Γ :=
∮
C
~B·d~ℓ. Assinale a opc¸a˜o abaixo
que melhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os di-
ferentes caminhos.
C3
C1 C2
⊙
⊙
⊙
⊙
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(c) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhecermos as
dimenso˜es dos caminhos utilizados.
1
3. Uma regia˜o possui campo ele´trico e magne´tico uniformes.
O campo ele´trico aponta na direc¸a˜o e sentido de xˆ e o
campo magne´tico aponta na direc¸a˜o e sentido de yˆ. Uma
part´ıcula de carga positiva atravessa a regia˜o em movi-
mento retil´ıneo e uniforme. Em qual direc¸a˜o e sentido
aponta a velocidade da part´ıcula?
(a) zˆ
(b) −zˆ
(c) xˆ
(d) yˆ
(e) −yˆ
4. Um circuito e´ formado por duas semicircunfereˆncias de
raios a e b, como e´ mostrado na figura abaixo. O vetor
campo magne´tico ~B produzido pelas correntes do fio no
ponto P e´ dado por:
(a) ~B =
µ0I
4
(
1
a
−
1
b
)
(−yˆ)
(b) ~B =
µ0I
4
(
1
a
−
1
b
)
(zˆ)
(c) ~B =
µ0I
4π
(
1
a
−
1
b
)
(zˆ)
(d) ~B =
µ0I
4
(
1
a
−
1
b
)
(yˆ)
(e) ~B =
µ0I
4
(
1
a
−
1
b
)
(−zˆ)
5. Considere dois cilindros ocos, de mesmo comprimento,
o primeiro de PVC (isolante), CPVC, e o segundo de
alumı´nio (condutor na˜o magne´tico), CAl, ambos posici-
onados na vertical com relac¸a˜o ao solo. Desejamos soltar
duas barras, uma imantada, Bi, e a outra na˜o imantada,
Bni, no interior desses cilindros, simultaneamente. O que
acontece quando: (I) soltamos a barra Bi no tubo CPVC
e a barra Bni no tubo CAl; e (II) soltamos a barra Bni
no tubo CPVC e a barra Bi no tubo CAl? Suponha que
o experimento e´ feito na superf´ıcie da Terra e despreze a
resisteˆncia do ar.
(a) (I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo
ao solo; (II) Ambas as barras chegam ao mesmo
tempo ao solo.
(b) (I) A barra Bi chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(c) (I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) A barra
Bni chega primeiro ao solo.
(d) (I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(e) (I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo ao
solo; (II) A barra Bni chega primeiro ao solo.
6. Considere um soleno´ide ideal de auto-indutaˆncia L0, com-
primento l0 e com N0 espiras. Ao montar-se um novo so-
leno´ide com um fio maior, de modo que ele tenha o dobro
de espiras e o dobro do comprimento, qual sera´ a auto-
indutaˆncia desse novo soleno´ide?
(a) 4L0
(b) 2L0
(c) L0
(d) L0/2
(e) L0/4
2
7. Considere as afirmativas abaixo:
(i)A corrente induzida num circuito, devido a` variac¸a˜o
temporal do fluxo do campo magne´tico externo ~Bext, surge
sempre no sentido de gerar um campo magne´tico induzido
oposto a ~Bext.
(ii) Um soleno´ide infinito, de raio a, paralelo ao eixo z, e´
percorrido por uma corrente constante varia´vel I(t). Uma
espira e´ colocada fora do soleno´ide, a uma distaˆncia d de
seu eixo. Podemos afirmar que a corrente induzida na
espira gira no sentido anti-hora´rio.
(iii) Duas espiras condutoras (do mesmo material) C1 e
C2, de raios respectivos a e 2a, sa˜o postas numa regia˜o de
campo magne´tico uniforme, pore´m na˜o constante, dado
por ~B(t). Considerando o fenoˆmeno de induc¸a˜o, pode-
mos afirmar que a corrente induzida em C2 e´ o dobro da
induzida em C1.
Quais sa˜o as afirmativas verdadeiras?
(a) (i) e (ii).
(b) (i) e (iii).
(c) (ii) e (iii).
(d) Nenhuma.
(e) Todas.
8. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S dividida em duas semiesfe-
ras S1 e S2 por uma espira circular condutora oˆhmica C.
Sabendo-se a esfera esta´ numa regia˜o onde ha´ um campo
magne´tico ~B, que a espira tem uma resisteˆncia finita e
desprezando qualquer efeito auto-indutivo ou capacitivo,
podemos afirmar que
(a) o fluxo de ~B atrave´s de S1 e´ nulo.
(b) o fluxo de ~B atrave´s de S1 e´ proporcional a` cor-
rente induzida na espira C.
(c) a circulac¸a˜o de ~B em torno de C e´ proporcional a`
corrente atrave´s de S.
(d) a taxa de variac¸a˜o temporal do fluxo de ~B atrave´s
de S1 e´ proporcional a` corrente induzida na espira
C.
(e) a taxa de variac¸a˜o temporal do fluxo de ~B atrave´s
de S1 e´ nula.
9. Uma espira circular de a´rea A e´ atravessada por um
campo magne´tico uniforme que oscila periodicamente no
tempo. Considere que a dependeˆncia temporal dos cam-
pos I (curva cheia) e II (curva pontilhada) ilustrados nas
figuras abaixo. A f.e.m. ma´xima e o fluxo ma´ximo de
campo magne´tico se da˜o, respectivamente, nas situac¸o˜es
- 4 - 2 2 4
t
- 2
- 1
1
2
B
I
II
(a) I e II.
(b) II e I.
(c) I e I.
(d) II e II.
(e) Para determinarmos a f.e.m. ma´xima e o fluxo
ma´ximo precisar´ıamos conhecer a resisteˆncia ofe-
recida pelas espiras.
10. Infinitos fios condutores retil´ıneos, de comprimento infi-
nito e sec¸a˜o transversal quadrada, sa˜o colocados lado a
lado no plano xy, de forma compacta e paralelamente a`
direc¸a˜o yˆ. Cada fio conduz uma corrente I (no sentido
−yˆ) e ha´ n fios por unidade de comprimento transversal.
Qual das seguintes afirmac¸o˜es e´ correta?
(a) O campo magne´tico aponta na direc¸a˜o e sentido
de zˆ para z > 0 e de −zˆ para z < 0 e seu mo´dulo
e´ Bz =
µ0 n I
2
.
(b) O campo magne´tico aponta na direc¸a˜o e sentido
de xˆ e seu mo´dulo e´ Bx =
µ0 n I
2
.
(c) O campo magne´tico aponta na direc¸a˜o e sentido
de yˆ para z > 0 e de −yˆ para z < 0 e seu mo´dulo
e´ By =
µ0 n I
2
.
(d) O campo magne´tico aponta na direc¸a˜o e sentido
de xˆ para z > 0 e de −xˆ para z < 0, e seu mo´dulo
e´ Bx =
µ0 n I
2
.
(e) O campo magne´tico aponta na direc¸a˜o e sentido
−ˆ ˆ
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [4 pontos] Considere um trilho condutor em forma de U , ao lado de um fio infinito que transporta uma corrente estaciona´ria
I, como indica a figura (onde indicamos ainda os vetores unita´rios das coordenadas cil´ındricas sˆ, ϕˆ e zˆ). Suponha que uma
haste meta´lica de comprimento L e´ colocada entre os dois brac¸os do trilho formando um circuito fechado, e que uma forc¸a
externa faz a haste deslizar sobre o condutor com velocidade constante ~v. Despreze as forc¸as de atrito e a resisteˆncia do
trilho, e considere que a resisteˆnciada haste e´ igual a R. Despreze ainda qualquer efeito auto-indutivo e capacitivo.
z
s
^
^
^
(a) Qual a direc¸a˜o do campo magne´tico gerado pelo fio infinito, num ponto arbitra´rio? Argumente detalhadamente, utili-
zando seus conhecimentos de magnetismo e/ou argumentos de simetria.[0,7 ponto]
(b) Obtenha o mo´dulo do campo magne´tico gerado pelo fio, num ponto arbitra´rio. Note que, dependendo do argumento
ultilizado, argumentos de simetria se fara˜o necessa´rios. [0,8 ponto]
(c) Calcule o fluxo magne´tico gerado pelo campo magne´tico do fio infinito no circuito (trilho + haste) [0,7 ponto]
(d) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente induzida no circuito. Novamente, argumente detalhadamente, utilizando
seus conhecimentos de magnetismo. [1 ponto]
(e) Calcule a forc¸a magne´tica sobre a haste quando ela esta´ a uma distaˆncia s(t) do fio infinito. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. (a)
2. (c)
3. (a)
4. (b)
5. (e)
6. (b)
7. (d)
8. (d)
9. (b)
10. (e)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
a) Seja o sistema de coordenadas cil´ındrico usual, onde as coordenadas radial, angular, e de altura sa˜o denotadas respecti-
vamente por s, ϕ, e z; e os vetores unita´rios correspondentes sa˜o denotados por sˆ, ϕˆ, e zˆ. Suponhamos ainda que o eixo Z
desse sistema coincida com o fio infinito. Pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Soluc¸a˜o por simetrias, lei de Ampe`re e lei de Gauss para o campo magne´tico: Temos, em princ´ıpio, ~B = Bssˆ+Bϕϕˆ+
Bz zˆ. Para determinarmos se ~B tem alguma componente radial, podemos trac¸ar uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica,
coaxial ao fio, e usar o fato de que
∫
S
~B ·d~A = 0. Por simetria de translac¸a˜o no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas
se compensam, ou seja, o fluxo na superf´ıcie lateral tem de se anular por si so´. Mas, pela simetria cil´ındrica, esse fluxo
so´ e´ zero se o fluxo infinitesimal em todos os pontos da superf´ıcie se anula, donde conclu´ımos que Bs = 0.
Tracemos agora uma curva amperiana retangular em um plano contendo o fio infinito, de modo que dois dos lados do
retaˆngulo estejam paralelos a ele. Como na˜o passa corrente no interior dessa amperiana, temos
∫
C
~B·d~ℓ = 0. Como na˜o
temos componente radial, a contribuic¸a˜o dos lados perpendiculares ao fio se anulam trivialmente, donde coclu´ımos que
a contribuic¸a˜o dos lados paralelos se compensam. Mas, por simetria de translac¸a˜o em Z, o campo em cada um desses
lados e´ uniforme, donde conclu´ımos que a componente z do campo (a u´nica que contribui para a circulac¸a˜o nesses
lados) independe da distaˆncia ao fio. Finalmente, como infinitamente longe do fio o campo deve ir a zero, conclu´ımos
que Bz = 0 em todo o espac¸o.
• Soluc¸a˜o por lei de Biot-Savart: Da lei de Biot-Savart, sabemos que um elemento infinitesimal de fio produz um campo
dado por
d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ′ × (~r−~r′)
|~r−~r′|3
=
µ0
4π
Id~ℓ× Rˆ
R2
, (1)
onde ~R = ~r−~r′, R = |~R| e, para simplificar a notac¸a˜o , tiramos a linha de dℓ. Escolhendo-se um sistema de coordendas
de tal modo que (i) a origem esteja no fio e (ii) que o ponto de observac¸a˜o esteja no plano z = 0, temos d~ℓ = dzzˆ e
~R = ssˆ− zzˆ, e enta˜o
d~ℓ× ~R = dzzˆ× (ssˆ− zzˆ) = sdzzˆ× sˆ = sdzϕˆ. (2)
Como esse argumento vale para qualquer elemento do fio, vemos que ~B = Bϕϕˆ.
b) Tambe´m pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Soluc¸a˜o por lei de Ampe`re: Do item anterior, sabemos que o campo magne´tico “circula” em torno do fio, ou seja, que
~B = B(s,ϕ,z)ϕˆ. Pela simetria cil´ındrica apresentada pelo fio (simetria axial em torno do eixo do fio + simetria de
translac¸a˜o ao longo desse eixo), conclu´ımos que o campo independe de s e z, ou seja, que ~B = B(s)ϕˆ. Enunciemos
agora a lei de Ampe`re ∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc (3)
Para calcularmos a circulac¸a˜o de ~B (que e´ o lado esquerdo de (3)) devemos escolher uma curva amperiana adequada.
Dada a simetria do problema, escolhemos como amperiana uma circunfereˆncia num plano perpendicular ao fio infinito
e coaxial a ele, de raio s. Da´ı temos
∮
C
~B · d~ℓ =
∮
C
B(s)ϕˆ· dℓϕˆ =
∫ 2pi
0
B(s) sdϕ ϕˆ · ϕˆ︸ ︷︷ ︸
=1
= B(s) s
∫ 2pi
0
dϕ = 2πsB(s), (4)
que, substituido em (3), nos permite determinar o mo´dulo do vetor B = | ~B|
2πrB(r) = µ0Ienc = µ0I ⇒ B(s) =
µ0I
2πs
• Soluc¸a˜o por lei de Biot-Savart: Aproveitando o resultado do item anterior e lembrando que R =
√
s2 + z2, temos
~B =
µ0
4π
∫
Id~ℓ× Rˆ
R2
=
µ0
4π
∫
∞
−∞
Isdzϕˆ
(s2 + z2)3/2
=
µ0Iϕˆ
4πs2
∫
∞
−∞
dz
(1 + z2/s2)3/2
(5)
2
Fazendo agora a transformac¸a˜o de varia´veis z/s = tan θ, temos
| ~B| =
µ0I
4πs2
∫ pi/2
−pi/2
s
=s sec2 θdθ︷ ︸︸ ︷
d(tan θ)
(1 + tan2θ)3/2︸ ︷︷ ︸
=sec3 θ
=
µ0I
4πs
∫ pi/2
−pi/2
dθ cos θ =
µ0I
4πs
sin θ
∣∣∣∣
pi/2
−pi/2︸ ︷︷ ︸
=2
⇒ B(s) =
µ0I
2πs
(6)
c) O fluxo magne´tico e´ obtido da expressa˜o
ΦB =
∮
S
~B · nˆ dA (7)
onde S e´ o retaˆngulo definido pelo trilho mais a haste, e nˆ = ϕˆ. Temos enta˜o
ΦB =
∫
S
~B · ϕˆ dA =
µ0I
2π
∫ L
0
dz
︸ ︷︷ ︸
=L
∫ s
a
ds
s
=
µ0IL
2π
ln
[s
a
]
(8)
d) O primeiro passo e´ a obtenc¸a˜o da f.e.m. induzida pela variac¸a˜o de fluxo de campo magne´tico
E = −
dΦ
dt
= −
µ0IL
2π
d
dt
ln
[s
a
]
. (9)
Notemos que, devido a` nossa escolha de d~A, a f.e.m. positiva e´ no sentido hora´rio. Como a haste esta´ a velocidade constante
~v, temos:
s(t) = a+ vt,
onde colocamos a origem do sistema de coordendas sobre o fio. Efetuando a derivada acima, temos
E = −
µ0IL
2π
v
s(t)
, (10)
onde ds/dt = v, e enta˜o a corrente e´ dada por
Iind =
|E|
R
=
µ0IL
2πR
v
s(t)
. (11)
O sentido da corrente pode ser deduzido da lei de Lenz. Esta afirma que a corrente induzida sempre “conspira” contra
a variac¸a˜o de fluxo do campo magne´tico externo (estamos desprezando efeitos de auto-indutaˆncia), ou seja, a corrente
induzida gera campos de maneira a inibir a variac¸a˜o de fluxo atrave´s do circuito. Para que isso acontec¸a nesse caso, a
corrente induzida deve estar no sentido anti-hora´rio.
e) A forc¸a magne´tica sobre a haste pode ser deduzida da seguinte expressa˜o:
~Fm = I
∫
C
d~ℓ× ~B
O mo´dulo do campo magne´tico sobre a haste e´ constante, ale´m disso:
d~ℓ× ~B = dzB(s) (−sˆ) ,
temos enta˜o:
3
~Fm = IindB(s)
∫
dz (−sˆ) = IindB(s)L (−sˆ) .
Substituindo B(s) e Iind na expressa˜o acima,
~Fm =
(
µ0IL
2π
)2
v
Rs2
(−sˆ) .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014
Versa˜o: A
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ~µ = IA nˆ , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
1
a2
u
(u2 + a2)1/2
+ C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um soleno´ide ideal de raio Rsol e uma es-
pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha que
Resp > Rsol (ou seja, a espira esta´ fora do soleno´ide).
Pelo soleno´ide passa uma corrente na˜o-estaciona´ria
I(t). Denotando a indutaˆncia mu´tua do sistema por
M , as auto-indutaˆncias do soleno´ide e da espira por
Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo soleno´ide em
seu exterior por Bext, qual das afirmac¸o˜es abaixo e´
verdadeira?
(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.
(b) M depende de I(t).
(c) M = 0 pois Bext = 0.
(d) Lsol depende de I(t).
(e) M depende de Rsol.
(f) Lesp depende de Rsol.
2. A figura a seguir mostra a sec¸a˜o reta de treˆs fiosque
conduzem correntes estaciona´rias, com intensidade de
mesmo mo´dulo I, que atravessam o plano da figura
com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-
entadas indicadas pelas letras a ate´ d sa˜o apresentadas
na figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-
ona a circulac¸a˜o do campo magne´tico Ci =
∮
i
~B · d~l
(i = a, b, c, d) em cada curva e´
(a) Cb < Ca = Cc < Cd.
(b) Ca < Cb < Cc < Cd.
(c) Ca < Cb = Cd < Cc.
(d) Cd < Cc = Ca < Cb.
(e) Ca = Cc < Cb = Cd.
1
3. Por um condutor cil´ındrico macic¸o e infinito de raio
R passa uma corrente estaciona´ria e axial I uniforme-
mente distribu´ıda atrave´s de sua sec¸a˜o reta. O campo
magne´tico ~B a uma distaˆncia radial s do eixo do con-
dutor, em coordenadas cil´ındricas (s, ϕ), e´ igual a
(a) ~B(s < R) =
µ0iIs
2πR2
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(b) ~B(s < R) =
µ0Is
2πR2
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(c) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(d) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0
4. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S, dividida em duas me-
tades S1 e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da
lei de Ampe`re, podemos afirmar que
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S1 e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(b) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ proporcional ao a` intensidade de corrente
atrave´s de S.
(c) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo
de C e´ proporcional a` intensidade de corrente
atrave´s de S2.
(d) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(e) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ nula.
5. Um pro´ton (carga +e, massa m), um deˆuteron
(carga +e, massa 2m), e uma part´ıcula alfa (carga
+2e, massa 4m) entram numa regia˜o com campo
magne´tico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-
dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o pro´ton se
move numa circunferncia de raio R, podemos dizer
que os raios das o´rbitas circulares do deˆuteron Rd e
da part´ıcula alfa Rα sa˜o, respectivamente:
(a) Rd =
√
2R e Rα =
√
2R.
(b) Rd = 2R e Rα = 2R.
(c) Rd = 2R e Rα = R/2.
(d) Rd =
√
2R/2 e Rα =
√
2R/2.
(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.
6. Considere dois ane´is circulares, um condutor e outro
isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a
um campo magne´tico varia´vel no tempo, perpendi-
cular ao plano dos ane´is. Estando os dois ane´is em
repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a eletromo-
triz induzida? Em qual deles surgira´ uma corrente
induzida?
(a) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos ane´is.
(b) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Somente no anel condutor. Somente no anel
condutor.
(d) Em ambos os ane´is. Somente no anel condutor.
(e) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
7. Uma espira circular move-se de baixo para cima na
direc¸a˜o de um ima˜ permanente fixo, assim como na
figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera´:
(a) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
cima
(b) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para cima
(c) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
baixo
(d) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para baixo
(e) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ zero
(f) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
zero
2
8. Considere um plano infinito com uma densidade su-
perficial de corrente ~K = Kxˆ. Sabendo que esse plano
conte´m os eixos X e Y (que sa˜o perpendiculares entre
si) e e´ perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas
abaixo e´ verdadeira? (Obs.: simetria plana e´ a sime-
tria de translac¸a˜o nas direc¸o˜es X e Y , e simetria axial
e´ a simetria de rotac¸o˜es em torno de um eixo dado)
(a) Pela simetria plana, o campo magne´tico sem-
pre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(b) Pela simetria axial em torno de Z, o mo´dulo do
campo magne´tico independe das coordenadas
x e y.
(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(d) Pela simetria plana, o mo´dulo do campo
magne´tico independe das coordenadas x e y.
(e) Pela simetria axial em torno de X , o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o xˆ.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estaciona´ria I no sentido
anti-hora´rio, e sujeita a um campo magne´tico externo estaciona´rio e uniforme ~B0 = B0xˆ. A espira se encontra no
plano XY , conforme a figura.
(a) [0,6 ponto] Calcule as forc¸as ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a` direita
do quadrado, exercidas pelo campo magne´tico externo.
(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magne´tico ~µ associado a` espira e calcule o vetor torque ~τ que o
campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.
(c) [1,4 pontos] Determine o campo magne´tico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).
2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutaˆncia desprez´ıvel, tem lados a e b e resisteˆncia R.
Um fio retil´ıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e´ colocado ao longo do eixo Z a
uma distaˆncia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.
(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retil´ıneo em um ponto P e´ dado por ~B = B(s)ϕˆ, onde s e´
a distaˆncia de P ao fio e ϕˆ e´ o vetor unita´rio que “circula”em torno do fio, encontre B(s).
(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magne´tico atrave´s da espira, tomando yˆ como o unita´rio normal a` superf´ıcie.
(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forc¸a eletromotriz induzida na espira?
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (a)
3. (b)
4. (c)
5. (b)
6. (d)
7. (c)
8. (d)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Ambas as forc¸as podem ser obtidas da expressa˜o geral
~F = I
∫
~dl× ~B.
No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto
~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)
Ja´ no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e´ uniforme, a integral simplifica-se bastante
~F2 = I
∫
l.v.d.
~dl× ~B0 = I
∫
l.v.d.
dyB0(−zˆ) = IB0(−zˆ)
∫
l.v.d.
dy
ou seja,
~F2 = −2IB0azˆ (2)
(b) O momento magne´tico da espira e´ dado por
~µ = IAquad zˆ ⇒ ~µ = 4Ia
2zˆ (3)
e o torque enta˜o pode ser obtido de
~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia
2B0(zˆ× xˆ) ⇒ ~τ = 4Ia
2B0yˆ (4)
(c) Devido a` simetria de rotac¸o˜es mu´ltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magne´tico produzido
por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos enta˜o o lado vertical a´ direita. Temos
d~ℓ = dy yˆ , ~rP = ~r = ayˆ , ~r
′ = axˆ + yyˆ
donde
~r−~r′ = −axˆ + (a− y)yˆ ⇒ |~r−~r′| =
√
a2 + (y − a)2
e logo
d~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3
=
µ0I
4π
(dy yˆ)× [−axˆ + (a− y)yˆ]
[a2 + (y − a)2]3/2
= −
µ0I
4π
dy(−a)(−zˆ)
[a2 + (y − a)2]3/2
Integrando, temos
~Bl.v.d. =
∫
l.v.d.
d~B =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ 2a
0
dy
[a2 + (y − a)2]3/2
=
µ0Ia
4π
zˆ
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
(5)
onde no u´ltimo passo fizemos a substituic¸a˜o u = y − a. Utilizando o resultado∫
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
u
√
u2 + a2
⇒
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
2a
√
2a
=
√
2
a2
que, substitu´ıdo em (5), leva a
~Bl.v.d. =
µ0
√
2I
4πa
zˆ
e, por fim, temos
~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B =
µ0
√
2I
πa
zˆ (6)
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ sabendo que ~B = Bϕˆ e que na˜o ha´ efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinarB aplicando
a lei de Ampe`re. Para isso, basta trac¸ar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular a
circulac¸a˜o de ~B
∫
C
~B · ~dl =
∫
C
(B(s)ϕˆ) · (dlϕˆ) =
∫
C
B(s)dl
1︷ ︸︸ ︷
(ϕˆ) · ϕˆ) = B(s)
∫
C
dl = B(s)× 2πs,
donde, aplicando a lei de Ampe`re, temos
∫
C
~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) =
µ0I
2πs
. (7)
(b) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira e´ dado por
Φm =
∫
S
~B · ~dA
onde S e´ a a´rea retaˆngular delimitada pela espira. Como o plano da espira e´ perpendicular ao vetor unita´rio ϕˆ e
sabendo que nesse plano particular temos ϕˆ = yˆ, podemos fazer ~B = Byˆ, ~dA = dAyˆ e enta˜o
Φm =
∫
S
(Byˆ) · (dAyˆ) =
∫
S
BdA
1︷ ︸︸ ︷
(yˆ · yˆ) =
∫
S
Bdxdy =
∫
S
(
µ0I
2πx
)
dxdy
=
µ0I
2π
∫ a
0
dy
∫ x0+b
x0
dx
x
=
µ0Ia
2π
[
log x
]x0+b
x0
ou seja,
Φm =
µ0Ia
2π
log
(
x0 + b
x0
)
(8)
(c) A forc¸a eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos
ε = −
dφm
dt
= −
d
dt
µ0
I0 cosωt︷︸︸︷
I(t) a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
= −
µ0a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
d
dt
I0 cosωt
donde
ε =
µ0aωI0
2π
sin(ωt) log
(
x0 + b
x0
)
(9)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014
Versa˜o: B
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ~µ = IA nˆ , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
1
a2
u
(u2 + a2)1/2
+ C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um soleno´ide ideal de raio Rsol e uma es-
pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha que
Resp > Rsol (ou seja, a espira esta´ fora do soleno´ide).
Pelo soleno´ide passa uma corrente na˜o-estaciona´ria
I(t). Denotando a indutaˆncia mu´tua do sistema por
M , as auto-indutaˆncias do soleno´ide e da espira por
Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo soleno´ide em
seu exterior por Bext, qual das afirmac¸o˜es abaixo e´
verdadeira?
(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.
(b) M depende de I(t).
(c) M = 0 pois Bext = 0.
(d) Lsol depende de I(t).
(e) M depende de Rsol.
(f) Lesp depende de Rsol.
2. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S, dividida em duas me-
tades S1 e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da
lei de Ampe`re, podemos afirmar que
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S1 e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(b) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ proporcional ao a` intensidade de corrente
atrave´s de S.
(c) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo
de C e´ proporcional a` intensidade de corrente
atrave´s de S2.
(d) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(e) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ nula.
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Prova: 12/05/2014
Teste
VERSA˜O: A
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma barra de comprimento a ocupa uma regia˜o onde
ha´ um campo magne´tico constante (estaciona´rio e uni-
forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~ω,
em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-
dades, em um plano perpendicular ao campo. Qual
e´ o mo´dulo da tensa˜o ou da diferenc¸a de potencial
que acaba se estabelecendo entre as extremidades da
barra?
(a) ωa2B/4 .
(b) 2ωa2B .
(c) ωa2B .
(d) ωa2B/2 .
(e) 2πωa2B .
(f) πωa2B .
(g) 0 .
2. Calcule o campo magne´tico no ponto P devido ao cir-
cuito com corrente estaciona´ria de intensidade I.
(a) −
µ0I
4
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(b)
µ0I
4
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(c) −
µ0I
2
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(d)
µ0I
2
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(e) −
µ0I
2π
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(f)
µ0I
2π
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(g) −
µ0I
4π
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
(h)
µ0I
4π
(
1
a
−
1
b
)
zˆ .
1
3. Calcule a forc¸a magne´tica resultante sobre o pedac¸o
de fio, atrave´s do qual passa uma corrente ele´trica
estaciona´ria de intensidade I, composto por dois seg-
mentos retil´ıneos, de comprimento L, muito grande, e
uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, de raio a, na pre-
senc¸a de um campo magne´tico constante (estaciona´rio
e uniforme) ~B = Byˆ, B = const > 0 .
(a) 2IaBzˆ .
(b) −2IaBzˆ .
(c) 2ILBzˆ .
(d) −2ILBzˆ .
(e) 2I(a+ L)Bzˆ .
(f) −2I(a+ L)Bzˆ .
(g) 2I(a− L)Bzˆ .
(h) −2I(a− L)Bzˆ .
4. Todas as part´ıculas carregadas que passam atrave´s
de uma regia˜o em que existem campos ele´trico e
magne´tico constantes, ortogonais, sem serem defleti-
das teˆm em comum
(a) a massa.
(b) o momento linear.
(c) a velocidade.
(d) a energia.
(e) a raza˜o entre carga e massa.
5. Por um fio retil´ıneo, muito longo, em repouso, passa
uma corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade I.
Pro´ximo a tal fio, ha´ um retaˆngulo condutor, r´ıgido,
coplanar com o fio, conforme mostra a figura. Ori-
ginalmente, o retaˆngulo tambe´m encontra-se em re-
pouso, mas, em um certo instante, ele passa a se mo-
vimentar em uma das quatro maneiras seguintes: (1)
translac¸a˜o com velocidade ~v1 = v1yˆ; (2) translac¸a˜o
com velocidade ~v2 = v2xˆ; (3) translac¸a˜o com velo-
cidade ~v3 = v3xxˆ + v3yyˆ, ou (4) rotac¸a˜o (r´ıgida) em
torno do eixo do pro´prio fio, com velocidade angular
~ω = ωzˆ. Em qual(is) das quatro situac¸o˜es, na˜o surge
uma corrente ele´trica induzida ao longo do retaˆngulo?
(a) Somente em 1.
(b) Somente em 4.
(c) Somente em 2.
(d) Somente em 3.
(e) Em 1 e 4.
(f) Em 2 e 3.
(g) Em nenhuma surgira´ corrente induzida, pois o
campo gerado pelo fio, mante´m-se estaciona´rio
e a r´ea do retaˆngulo na˜o varia.
2
6. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujo
raio das placas e´ muito maior que a distaˆncia entre as
mesmas esta´ inicialmente descarregado. A partir de
um certo instante, o capacitor comec¸a a ser carregado
por uma corrente que cresce linearmente com o tempo
i(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os campos
ele´trico e magne´tico que podem eventualmente surgir
entre as placas durante o carregamento do capacitor
pode-se afirmar que:
(a) surgira´ apenas um campo ele´trico estaciona´rio.
(b) surgira˜o um campo ele´trico estaciona´rio e um
campo magne´tico na˜o estaciona´rio, colineares
entre si.
(c) surgira´ apenas um campo ele´trico na˜o esta-
ciona´rio.
(d) surgira˜o um campo ele´trico na˜o estaciona´rio e
um campo magne´tico estaciona´rio, colineares
entre si.
(e) surgira˜o um campo ele´trico na˜o estaciona´rio e
um campo magne´tico estaciona´rio, perpendi-
culares entre si.
(f) surgira˜o um campo ele´trico e um campo
magne´tico, ambos na˜o estaciona´rios, e perpen-
diculares entre si.
7. Seja um soleno´ide longo, formado por um enrolamento
de espiras circulares. Considere as seguintes treˆs afir-
mativas sobre sua auto-indutaˆncia: (I) ela e´ propor-
cional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela e´ pro-
porcional a` taxa de variac¸a˜o da corrente no soleno´ide,
e (III) ela e´ proporcional a` corrente que circula no so-
leno´ide. Assinale a opc¸a˜o que indica qual(is) dessas
afirmativas esta´(a˜o) correta(s).
(a) Nenhuma das afirmativas esta´ correta.
(b) Apenas a I.
(c) Apenas a II.
(d) Apenas a III.
(e) Apenasa I e a II.
(f) Apenas a I e a III.
(g) Apenas a II e a III.
(h) Todas as afirmativas esta˜o corretas.
8. Considere as seguintes treˆs afirmac¸o˜es sobre a lei de
Ampe`re: (I) ela so´ vale quando ha´ um alto grau de
simetria da distribuic¸a˜o de correntes; (II) ela so´ vale
quando as correntes forem estaciona´rias, e (III) ela
so´ vale quando os campos magne´ticos forem esta-
ciona´rios. Assinale a alternativa que indica qual(is)
de tais afirmac¸o˜es e´(sa˜o) correta(s).
(a) Nenhuma afirmac¸a˜o e´ correta.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o corretas.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e´ composto por um fio so´lido, cil´ındrico, circular, de raio R, envolto por uma casca
espessa, cil´ındrica, tambe´m circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sa˜o muito
longos e teˆm o eixo comum Z. Atrave´s do fio interno, passa uma corrente ele´trica estaciona´ria, cuja densidade de
corrente e´ dada por ~J int = Cr zˆ, onde C = const > 0 e r e´ a distaˆncia ate´ o eixo do fio. Atrave´s da casca externa,
passa uma corrente estaciona´ria, cuja densidade de corrente e´ dada por ~J ext = −J0 zˆ, onde J0 = const > 0.
3
(a) Qual e´ a (intensidade de) corrente ele´trica no fio interno? [0,6 ponto]
(b) Qual e´ a (intensidade de) corrente ele´trica na casca externa? [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B em cada uma das quatro regio˜es em que o cabo “divide” o espac¸o. [1,6 ponto]
2. [2,6 pontos] Um pedac¸o de fio condutor oˆhmico isolado e´ torcido de modo a constituir um circuito em forma de
oito. Por raza˜o de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunfereˆncias de c´ırculo. O
raio do c´ırculo superior e´ a e o do inferior e´ 2a. O circuito completo e´ puramente resistivo (com capacitaˆncia e
auto-indutaˆncia desprez´ıveis), tendo resisteˆncia R. A partir de t = 0 s, um campo magne´tico uniforme, mas na˜o
estaciona´rio,
~B = Ct zˆ ,
onde C = const > 0, e´ aplicado perpendicularmente ao plano dos dois c´ırculos, conforme mostrado na figura.
(a) Para t > 0 s, determine o fluxo total atrave´s do circuito. [1,2 ponto]
(b) Para t > 0 s, determine o sentido da corrente ele´trica induzida ao longo do fio, indicando-o claramente em
cada uma das circunfereˆncias, seja por interme´dio de uma seta, seja pelas expresso˜es hora´rio ou anti-hora´rio.
[0,6 ponto]
(c) Para t > 0 s, determine o mo´dulo da intensidade da corrente ele´trica induzida no fio. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (a)
3. (b)
4. (c)
5. (e)
6. (f)
7. (b)
8. (g)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6] A intensidade de corrrente ele´trica I[S] atrave´s de uma superf´ıcie S e a densidade de corrente ele´trica
nela, ~J , esta˜o relacionadas por
I[S] =
∫
S
~J · nˆ dA .
Logo, para uma sec¸a˜o reta do fio interno, temos
Iint =
∫
Sint
Crzˆ · zˆ dA
=
∫
Sint
Cr 2πr dr
= 2πC
∫ R
r=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =
2
3
πCR3 . (1)
�
(b) [0,4] Na casca externa, temos
Iext =
∫
Sext
Jext · nˆ dA
=
∫
Sext
(−J0 zˆ) · zˆ dA
= −J0
∫
Sext
dA
= −J0Aext ,
ou seja,
Iext = −J0π(b
2
− a2) . (2)
�
1
(c) [1,6] Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o estaciona´ria de corrente e a` lei de Gauss do magnetismo, em
qualquer uma das quatro regio˜es, o campo magne´tico, so´ tera´ componente azimutal (circular), ou seja,1
~B(r, ϕ) = Bϕ(r) ϕˆ(ϕ) .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampe`re e que tomemos, como curva ampe`riana, uma circunfereˆncia de
c´ırculo, conceˆntrico com o eixo da distribuic¸a˜o de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio gene´rico r. Assim,
a expressa˜o funcional para a circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo da ampe´riana fica, em qualquer uma das
quatro regio˜es, igual a
Γ~B[C] :=
∮
C
~B · dℓ
=
∮
C
Bϕ(r) ϕˆ(ϕ) · dℓϕ ϕˆ
=
∮
C
Bϕ(r)dℓϕ
= Bϕ(r)
∮
C
dℓϕ ,
ou seja,
Γ~B[C] = 2πrBϕ(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampe`riana dependera´, contudo, da regia˜o em questa˜o. De fato,
• 0 ≤ r ≤ R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e´ dada pela Eq. (1), contanto que, nela, troquemos R por
r, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=
2
3
πCr3 .
Enta˜o, pela lei de Ampe`re, vem
Bϕ(r)2πr =
2
3
µ0πCr
3 ,
e, finalmente,
~B =
1
3
µ0Cr
2 ϕˆ .
• R ≤ r ≤ a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e´ dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pela
Eq. (1):
Ienc(r) = Iint
=
2
3
πCR3 .
Enta˜o, pela lei de Ampe`re, vem
Bϕ(r)2πr =
2
3
µ0πCR
3 ,
e, finalmente,
~B =
µ0Iint
2πr
ϕˆ =
1
3
µ0CR
3
r
ϕˆ .
1A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
2
• a ≤ r ≤ b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e´ dada pela corrente do fio interno mais a corrente na casca
externa, Eq, (2), contanto que, nessa u´ltima, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=
2
3
πCR3 − J0π(r
2
− a2) .
Enta˜o, pela lei de Ampe`re, vem
Bϕ(r)2πr = µ0π
[
2
3
πCR3 − J0(r
2
− a2)
]
,
e, finalmente,
~B = µ0
[
1
3
CR3
r
−
1
2
J0
(
r −
a2
r
)]
ϕˆ .
• b ≤ r <∞: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e´ dada pela corrente total, Eq. (1) + Eq. (2), do fio interno
mais a corrente na casca externa, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext .
Enta˜o, pela lei de Ampe`re, vem
Bϕ(r)2πr = µ0(Iint + Iext) ,
e, finalmente,
~B = µ0
Iint + Iext
2πr
ϕˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [1,2] Tomaremos como orientac¸a˜o positiva da curva C que modela o circuito aquela indicada na figura, de modo
que os versores nas suas partes inferior e superior sa˜o dados por
nˆsup = −zˆ
nˆinf = zˆ .
3
Enta˜o, o fluxo atrave´s do c´ırculo superior e´
Φsup :=
∫
Ssup
~B · nˆ dA
=
∫
Ssup
(Ctzˆ) · nˆsup dA
=
∫
Ssup
(Ctzˆ) · (−zˆ) dA
= −Ct
∫
;Ssup
dA
= −CtAsup
= −πCta2 .
Analgoamente, para o fluxo atrave´s do c´ırculo inferior, temos
Φinf = CtAinf
= 4πCta2 .
Logo, o fluxo total atrave´s do circuito e´
Φ = Φsup + Φinf
ou seja,
Φ = 3πCa2t . (3)
�
(b) [0,6 ponto] Como, nitidamente, o mo´dulo do fluxo esta´ aumentando e a maior contribuic¸a˜o para ele vem do
c´ırculo inferior, devera´ surgir, pela lei de Lenz, uma corrente induzida que parcialmente cancelara´, por interme´dio
do correspondente campo magne´tico “induzido”, no centro do c´ırculo inferior, o campo magne´tico externo. Isso
implica que a corrente induzida tera´ o sentido indicado pelas setas na figura a seguir, ou ainda,
• circunfereˆncia inferior: sentido hora´rio
• circunfereˆncia superior: sentido anti-hora´rio .
�
4
(c) [0,8] Pela lei de Faraday, temos que a forc¸a eletromotriz (fem) induzida ao longo do circuito e´, tendo em vista
a Eq. (3),
Eind[C] = −
dΦ
dt
= −3πCa2 .
Como o circuito e´ puramente resistivo e satisfaz a lei de Ohm, temos que a corrente ele´trica induzida vale
Iind =
Eind
R
,
ou seja,
|Iind| =
3πCa2
R
.
�
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Prova: 12/05/2014
Teste
VERSA˜O: B
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma barra de comprimento a ocupa uma regia˜oonde
ha´ um campo magne´tico constante (estaciona´rio e uni-
forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~ω,
em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-
dades, em um plano perpendicular ao campo. Qual
e´ o mo´dulo da tensa˜o ou da diferenc¸a de potencial
que acaba se estabelecendo entre as extremidades da
barra?
(a) ωa2B/4 .
(b) 2ωa2B .
(c) ωa2B .
(d) ωa2B/2 .
(e) 2πωa2B .
(f) πωa2B .
(g) 0 .
2. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujo
raio das placas e´ muito maior que a distaˆncia entre as
mesmas esta´ inicialmente descarregado. A partir de
um certo instante, o capacitor comec¸a a ser carregado
por uma corrente que cresce linearmente com o tempo
i(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os campos
ele´trico e magne´tico que podem eventualmente surgir
entre as placas durante o carregamento do capacitor
pode-se afirmar que:
(a) surgira´ apenas um campo ele´trico estaciona´rio.
(b) surgira˜o um campo ele´trico estaciona´rio e um
campo magne´tico na˜o estaciona´rio, colineares
entre si.
(c) surgira´ apenas um campo ele´trico na˜o esta-
ciona´rio.
(d) surgira˜o um campo ele´trico na˜o estaciona´rio e
um campo magne´tico estaciona´rio, colineares
entre si.
(e) surgira˜o um campo ele´trico na˜o estaciona´rio e
um campo magne´tico estaciona´rio, perpendi-
culares entre si.
(f) surgira˜o um campo ele´trico e um campo
magne´tico, ambos na˜o estaciona´rios, e perpen-
diculares entre si.
1
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/2 – Segunda Prova: 13/11/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Qual das alternativas abaixo e´ falsa?
(a) A densidade de energia magne´tica em um
ponto do espac¸o e´ proporcional ao quadrado
do campo magne´tico naquele ponto.
(b) A indutaˆncia em um soleno´ide e´ proporcional
a` taxa de variac¸a˜o da corrente no soleno´ide.
(c) A fem induzida em um circuito e´ proporci-
onal a` taxa de variac¸a˜o do fluxo do campo
magne´tico atrave´s do circuito.
(d) Pode existir uma fem induzida em um instante
em que o fluxo de campo magne´tico atrave´s de
um circuito e´ zero.
(e) Apesar de uma corrente estaciona´ria em um
dado circuito na˜o gerar uma fem induzida nesse
pro´prio circuito, quanto maior a intensidade de
tal corrente, maior sera´ a energia magne´tica ar-
mazenada no circuito.
2. Temos duas situac¸o˜es relativas a` figura a seguir:
(I) a chave S e´ aberta depois de ficar um longo tempo
fechada, com todo o aparato em repouso;
(II) a chave S esta´ fechada ha´ um longo tempo e a
bobina A aproxima-se da bobina B, que se mante´m
em repouso.
Assinale a alternativa que melhor indica o sentido da
corrente que aparece, ao longo do resistor Rab, no cir-
cuito da direita.
Bobina A Bobina B
(a) Em ambas as situac¸o˜es, o sentido e´ de a para
b.
(b) Em ambas as situac¸o˜es, o sentido e´ de b para
a.
(c) Na situac¸a˜o I, o sentido e´ de a para b e, na
situac¸a˜o II, o sentido e´ de b para a.
(d) Na situac¸a˜o I, o sentido e´ de b para a, e, na
situac¸a˜o II, o sentido e´ de a para b.
(e) Na situac¸a˜o I, na˜o surge corrente, ao passo que,
na situac¸a˜o II, o sentido e´ de a para b.
(f) Na situac¸a˜o I, na˜o surge corrente, ao passo que,
na situac¸a˜o II, o sentido e´ de b para a.1
3. Considere um fio retil´ıneo, vertical, muito longo, por-
tando uma corrente estaciona´ria de intensidade I, que
se bifurca no ponto O, dando origem a dois outros
fios retil´ıneos, inclinados, tambem muito longos, por-
tando, cada um, uma corrente estaciona´ria de intensi-
dade I/2. Todos os treˆs fios sa˜o coplanares. No ponto
P, situado a uma distaˆncia L de cada um dos dois
fios inclinados, qual e´ o mo´dulo do campo magne´tico
resultante, devido a todos os treˆs fios retil´ıneos?
(a)
µ0I
2L
.
(b)
µ0I
2πL
.
(c)
µ0I
2L
cos θ.
(d)
µ0I
2L
sen θ.
(e) 0.
4. O espectroˆmetro de massa de Bainbridge e´ um dispo-
sitivo usado para medir a massa de part´ıculas carrega-
das. As part´ıculas passam por um seletor de velocida-
des, que funciona com um campo ele´trico ~E =const,
ortogonal a um campo magne´tico ~B= const. Somente
as part´ıculas com um valor bem definido de velocidade
v saem do seletor de velocidades. Em seguida, pene-
tram numa regia˜o, onde apenas o campo magne´tico ~B
persiste, descrevendo uma trajeto´ria circular de raio
R. A medida de R fornece o valor da massa m da
part´ıcula, se sua carga q for conhecida. Em termos
dos paraˆmetros mencionados (E,B,R e q), diga quais
as expresso˜es de v e m:
(a) v = E/B;m = qB2R/E.
(b) v = E/B;m = qBR/E.
(c) v = B/E;m = qB2R/E.
(d) v = B/E;m = qE2R/B.
(e) v = B/E;m = qBR/E.
5. Aplicamos uma ddp V a um fio condutor, cil´ındrico,
de raio a e comprimento L. Se dobrarmos os valores
de V , a e L, podemos afirmar que o efeito sobre o
mo´dulo J da densidade de corrente e´ o seguinte:
(a) seu valor se mante´m o mesmo.
(b) seu valor quadruplica.
(c) seu valor duplica.
(d) seu valor aumenta de um fator 8.
(e) seu valor diminui pela metade.
(f) seu valor diminui de um fator 4.
(g) seu valor diminui de um fator 8.
2
6. Uma casca cil´ındrica, circular, muito longa, espessa,
de raios interno a e externo b conduz uma corrente
I, uniformemente distribu´ıda em sua sec¸a˜o reta. Diga
qual e´ a expressa˜o para o mo´dulo do campo magne´tico
na regia˜o macic¸a do condutor, ou seja, para a < r <
b.
(a)
µ0I
2πr
.
(b)
µ0I(r − a)
2πr(b2 − a2)
.
(c)
µ0Ir
b2 − a2
.
(d)
µ0I(r
2
− a2)
2πr(b2 − a2)
.
(e) 0.
7. Um fio condutor, ao longo do qual flui uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade I, constitui-se de
duas semi-retas paralelas e uma semi-circunfereˆncia
de c´ırculo, perpendicular ao plano das semi-retas. Su-
pondo, sempre, que Bx, By e Bz sa˜o grandezas posi-
tivas, assinale a alternativa que melhor indica o vetor
campo magne´tico, ~B(O), resultante no ponto O, cen-
tro da semi-circunfereˆncia.
(a) Bzzˆ.
(b) −Bzzˆ.
(c) −Byyˆ.
(d) Byyˆ +Bzzˆ.
(e) −Byyˆ +Bzzˆ.
(f) Byyˆ − Bzzˆ.
8. Considere as treˆs seguintes afirmativas: (I) uma fem
induzida em um determinado caminho fechado, so´
pode ser gerada por variac¸a˜o temporal do fluxo de
campo magne´tico atrave´s de uma superf´ıcie que te-
nha esse caminho como fronteira; (II) uma circulac¸a˜o
do campo magne´tico ao longo de um caminho fechado,
so´ pode ser gerada por variac¸a˜o temporal do fluxo de
campo ele´trico atrave´s de uma superf´ıcie que tenha
esse caminho como fronteira; (III) campos ele´tricos e
magne´ticos sa˜o sempre conservativos. Assinale a al-
ternativa que indica qual(is) de tais afirmativas e´(sa˜o)
verdadeira(s).
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e III.
(d) Somente a III.
(e) Somente a II.
(f) Somente a I.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um circuito r´ıgido, quadrado, com lados de comprimento a, transportando uma corrente estaciona´ria
de intensidade I, esta´ imerso em uma regia˜o com campo magne´tico externo ~B, estaciona´rio, mas na˜o uniforme,
dado por
~B = B0
x
a
zˆ ,
3
onde B0 e´ uma constante positiva. Determine a forc¸a magne´tica (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) sobre cada um dos
quatro lados do quadrado, devida somente ao campo magne´tico externo.
2. [2,6 pontos] Considere uma espira condutora, r´ıgida, quadrada, com lados de comprimento L, coplanar com um fio
retil´ıneo muito longo, por onde passa uma corrente estaciona´ria de intensidade I. A espirase move nesse plano,
com um movimento puramente de translac¸a˜o, afastando-se do fio com uma velocidade constante, de mo´dulo v e
fazendo um aˆngulo de medida θ com respeito ao eixo da corrente. Ale´m disso, ela mante´m dois de seus lados
paralelos ao fio, como indica a figura.
(a) Determine o sentido da corrente induzida que surge na espira. [0,6 ponto]
(b) Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R e desprezando efeitos de indutaˆncia e capacitaˆncia, determine o
mo´dulo da corrente induzida na espira, quando a distaˆncia entre o fio e o lado mais pro´ximo da espira vale a. [2,0
ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (c)
3. (e)
4. (a)
5. (a)
6. (d)
7. (e)
8. (f)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
Trata-se de um problema de forc¸a magne´tica sobre um fio portando corrente ele´trica. A expressa˜o ba´sica, tomada
como ponto de partida, e´
d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
constante do formula´rio da prova. Como a corrente filamentar e´ estaciona´ria, sua intensidade I e´ igual em todos
os pontos do fio. Consequ¨entemente, no i-e´simo lado, a forc¸a magne´tica resultante sera´
~Fm,i = I
∫
Ci
d~ℓ× ~B .
Logo,
• lado 1:
Aqui,
x = a
d~ℓ = dy yˆ ;
portanto,
~Fm,1 = I
∫ a
y=0
dy yˆ ×B0 zˆ
= IB0
(∫ a
y=0
dy
)
xˆ ,
ou seja,
~Fm,1 = IaB0 xˆ .
• lado 2:
Aqui,
d~ℓ = dx xˆ ;
portanto (cuidado com os limites da integral!!),
~Fm,2 = I
∫
0
x=a
dx xˆ× B0
x
a
zˆ
=
IB0
a
∫ 0
x=a
x dx (−yˆ)
= −
IB0
a
(∫ 0
x=a
x dx
)
yˆ ,
1
ou seja,
~Fm,2 =
1
2
IaB0 yˆ .
• lado 3:
Aqui,
x = 0 =⇒ ~B = ~0 ;
portanto,
~Fm,3 = ~0 .
• lado 4:
Por questa˜o de simetria (convenc¸a-se disso!), temos que a forc¸a nesse lado e´ menos a forc¸a no lado 2; de fato,
~Fm,4 =
IB0
a
∫ a
x=0
dx xˆ× (xzˆ)
=
IB0
a
∫ a
x=0
x dx(−yˆ) ,
ou seja,
~Fm,4 = −
1
2
IaB0 yˆ = −~Fm,2 .
�
2. Resoluc¸a˜o:
Trata-se de um problema de lei de Faraday da induc¸a˜o sobre um circuito em movimento sujeito a um campo
magne´tico (externo) estaciona´rio, ou seja, e´ um problema de forc¸a eletromotriz (fem) de movimento.
(a) Como a espira afasta-se da fonte de campo magne´tico (externo), gerado pelo fio retil´ıneo, e´ o´bvio que o mo´dulo
do fluxo esta´ variando, mais especificamente, esta´ diminuindo, com o tempo. Logo, pela lei de Lenz, devera´ surgir,
na espira, uma fem induzida de modo que a correspondente corrente induzida gere, no interior da espira, um
campo magne´tico induzido de direc¸a˜o e sentido (essencialmente) iguais ao do campo gerado pelo fio, ou seja, no
sentido para fora da folha do papel. Isso, por sua vez, significa que a corrente induzida deve ser, pois, no sentido
anti-hora´rio.
�
(b) Usaremos como fo´rmula ba´sica a seguinte
Eind[C] = −
dΦB[S]
dt
, (1)
constante no formula´rio da prova. Ale´m disso, ja´ que podemos desprezar efeitos de indutaˆnca e capacitaˆncia, a
relac¸a˜o entre a fem induzida e a corrente induzida sera´ dada pela lei de Ohm:
Eind[C] = R[C]Iind . (2)
O campo magne´tico (externo), gerado pelo fio, e´, simplesmente,
~B =
µ0I
2πs
ϕˆ ,
onde s e´ a distaˆncia ate´ o fio e ϕˆ e´ o versor (vetor unita´rio) azimutal (circular em torno do fio).
2
Em um dado instante t, o fluxo atrave´s da superf´ıcie plana S interna da espira e´ dado por
ΦB[S] =
∫
S
~B · d~A
=
∫
S
µ0I
2πs
ϕˆ · dA ϕˆ
=
µ0I
2π
∫
S
1
s
ds dz
=
µ0I
2π
∫ a+L
s=a
∫ L
z=0
ds
s
dz
=
µ0IL
2π
ln
(
a + L
a
)
=
µ0IL
2π
ln (1 + L/a)
Usando a equac¸a˜o (1), obtemos
Eind = −
µ0IL
2π
d
dt
[ln (1 + L/a)]
= −
µ0IL
2π
d
dt
(1 + L/a)
1 + L/a
=
µ0IL
2π
L
a2
da
dt
1 + L/a
=
µ0IL
2
2πa(a+ L)
da
dt
.
Pela figura, vemos que
da
dt
= v sen θ ;
logo,
Eind =
µ0IL
2 v sen θ
2πa(a + L)
.
Finalmente, usando a equac¸a˜o (2), obtemos, para o mo´dulo da corrente induzida,
Iind =
µ0IL
2 v sen θ
2πa(a+ L)R
.
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/2 – Segunda Prova: 13/11/2013
Versa˜o: B
Formula´rio
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Aplicamos uma ddp V a um fio condutor, cil´ındrico,
de raio a e comprimento L. Se dobrarmos os valores
de V , a e L, podemos afirmar que o efeito sobre o
mo´dulo J da densidade de corrente e´ o seguinte:
(a) seu valor se mante´m o mesmo.
(b) seu valor quadruplica.
(c) seu valor duplica.
(d) seu valor aumenta de um fator 8.
(e) seu valor diminui pela metade.
(f) seu valor diminui de um fator 4.
(g) seu valor diminui de um fator 8.
2. O espectroˆmetro de massa de Bainbridge e´ um dispo-
sitivo usado para medir a massa de part´ıculas carrega-
das. As part´ıculas passam por um seletor de velocida-
des, que funciona com um campo ele´trico ~E =const,
ortogonal a um campo magne´tico ~B= const. Somente
as part´ıculas com um valor bem definido de velocidade
v saem do seletor de velocidades. Em seguida, pene-
tram numa regia˜o, onde apenas o campo magne´tico ~B
persiste, descrevendo uma trajeto´ria circular de raio
R. A medida de R fornece o valor da massa m da
part´ıcula, se sua carga q for conhecida. Em termos
dos paraˆmetros mencionados (E,B,R e q), diga quais
as expresso˜es de v e m:
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/1 – Segunda Prova: 01/06/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere uma espira retangular de lados a e b (a > b)
e um fio retil´ıneo infinito, coplanar. Sabendo-se que o
fio retil´ıneo e´ paralelo aos lados longos da espira e que
o fio e a espira portam, respectivamente, correntes I1
para a direita e I2 no sentido hora´rio, assinale a u´nica
opc¸a˜o incorreta.
(a) A soma das forc¸as nos lados curtos da espira e´
nula.
(b) A forc¸a em cada um dos lados curtos da espira
e´ nula.
(c) A soma das forc¸as nos lados longos da espira e´
na˜o nula.
(d) As forc¸as sobre os lados longos da espira esta˜o
na mesma direc¸a˜o.
(e) A forc¸a total sobre a espira e´ perpendicular ao
fio retil´ıneo.
2. Uma corrente estaciona´ria, de intensidade I, flui
ao longo de um segmento retil´ıneo que se divide,
igualmente, em quatro meridianos de uma esfera
de raio a, perpendiculares (dois a dois) entre si, e
reencontrando-se num outro segmento retil´ıneo. Qual
e´ o mo´dulo do campo magne´tico no centro P da es-
fera?
(a)
µ0i
a
.
(b)
µ0i
2a
.
(c) 0.
(d)
µ0i
4a
.
(e)
3µ0i
2a
.
1
3. Uma corrente estaciona´ria percorre o circuito condu-
tor abaixo. Qual e´ o mo´dulo do campo magne´tico no
ponto P?
(a)
17µ0Iθ
24πa
.
(b) 0 .
(c)
7µ0I
12a
.
(d)
17µ0I
12a
.
(e)
µ0Iθ
12πa
.
(f)
7µ0Iθ
24πa
.
4. Um acelerador de part´ıculas e´ projetado para desviar
um ele´tron, de massa M e carga −e, que incide ho-
rizontalmente, com velocidade inicial ~vi = v0xˆ, para
uma velocidade final ~vf = −v0yˆ. Assinale o campo
magne´tico constante que permite que isso acontec¸a.
(a)
Mv0
e(d+ L)
zˆ .
(b) −
Mv0
ed
yˆ .
(c)Mv0
ed
yˆ .
(d) −
Mv0
eL
zˆ .
(e)
Mv0
eL
zˆ .
(f) −
Mv0
e(d+ L)
yˆ .
(g) −
Mv0
e(d+ L)
zˆ .
(h)
Mv0
e(d+ L)
yˆ .
5. Determine a circulac¸a˜o Γ~B[Ci] :=
∮
Ci
~B·d~ℓ (i = 1, 2, 3)
para as treˆs curvas fechadas orientadas, respectiva-
mente.
(a) −µ0I, 0, 3µ0I .
(b) µ0I, 0,−µ0I .
(c) µ0I, 6µ0I,−µ0I .
(d) µ0I,−6µ0I,−µ0I .
(e) −µ0I, 0,−3µ0I .
(f) µ0I, 0, 3µ0I .
(g) 0, 0, 0, pois todas sa˜o perpendiculares.
6. Considere o seguinte gra´fico mostrando o fluxo do
campo magne´tico atrave´s de um espira isolante em
repouso, como func¸a˜o do tempo. Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa a forc¸a eletromotriz ao longo
da espira, como func¸a˜o do tempo, nos 6 intervalos de
tempo t´ıpicos do gra´fico, respectivamente.
(a) −Φ0/t0, 0,−2Φ0/t0, 5Φ0/t0,−2Φ0/t0, 0 .
(b) Φ0/t0, 0, 2Φ0/t0,−5Φ0/t0, 2Φ0/t0, 0 .
(c) A fem e´ sempre zero, pois a espira e´ isolante.
(d) −Φ0/2,−Φ0,−2Φ0,−Φ0/2,Φ0, 0 .
(e) Φ0/2,Φ0,−2Φ0,Φ0/2,−Φ0, 0 .
2
7. Em uma certa regia˜o, temos um campo magne´tico ~B
uniforme. Qual e´ o mo´dulo do seu fluxo atrave´s da su-
perf´ıcie sombreada, constitu´ıda pela superf´ıcie lateral
de um cilindro circular inclinado e uma de suas bases,
perpendicular ao campo?
(a) BπR2.
(b) B(2πRL cos θ + πR2).
(c) B(2πRLsen θ + πR2).
(d) 0.
(e) πR2 ~B.
8. Considere um fio retil´ıneo neutro e infinito e uma
part´ıcula (pontual) carregada em repouso, a uma
certa distaˆncia do fio. Em um determinado instante
t0, surge, no fio, uma corrente na˜o estaciona´ria I(t).
Se o fio e´ o u´nico agente interagindo com a part´ıcula,
o que acontece com esta depois do instante t0?
(a) Ela deve permanecer em repouso, pois forc¸as
magne´ticas na˜o realizam trabalho.
(b) Ela pode sair do repouso, devido a` ac¸a˜o de
forc¸as magne´ticas.
(c) Ela deve permanecer em repouso, devido a` si-
metria do problema.
(d) Ela pode sair do repouso, devido a` ac¸a˜o de
forc¸as ele´tricas.
(e) Ela deve permanecer em repouso, pois o fio e´
neutro.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e´ composto por um fio
so´lido, cil´ındrico, circular, de raio R, e uma casca es-
pessa, cil´ındrica, tambe´m circular, coaxial, de raios a
e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sa˜o
muito longos. Atrave´s do fio interno, passa uma cor-
rente ele´trica, estaciona´ria, cuja densidade de corrente e´
~J int = Jint zˆ (Jint = const > 0), enquanto que, atrave´s
da casca externa, passa uma corrente ele´trica, tambe´m
estaciona´ria, com densidade de corrente ~J ext = −Jext zˆ
(Jext = const > 0).
(a) Qual e´ a (intensidade de) corrente ele´trica no fio in-
terno? [0,4 ponto]
(b) Qual e´ a (intensidade de) corrente ele´trica na casca
externa? [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico em cada uma das qua-
tro regio˜es t´ıpicas em que o cabo “divide” o espac¸o. [1,8
ponto]
2.
3
[2,6 pontos] Um basta˜o retil´ıneo, de comprimento a,
massa m e resisteˆncia R, desliza, sem atrito, sobre um
fio (r´ıgido) condutor ideal (sem resisteˆncia), em forma de
U. O sistema todo esta´ completamente imerso em uma
regia˜o de campo magne´tico constante (estaciona´rio e uni-
forme), perpendicular ao plano que conte´m o sistema.
Inicialmente, uma forc¸a externa e´ aplicada e o basta˜o
move-se com uma velocidade constante ~v0 para a direita.
A partir do instante t = 0, essa forc¸a externa deixa de
agir e o basta˜o passa a mover-se apenas sob a ac¸a˜o da
forc¸a magne´tica, com uma velocidade ~v(t). Despreze a
capacitaˆncia e a auto-indutaˆncia do sistema, assim como
a corrente de deslocamento.
(a) Qual e´ o mo´dulo da forc¸a eletromotriz induzida no
circuito (fio + basta˜o)? [0,8 ponto]
(b) Qual e´ o mo´dulo da (intensidade de) corrente ele´trica
que passa pelo basta˜o e o seu sentido? [0,6 ponto]
(c) Qual e´ a forc¸a magne´tica (vetorial) sobre o basta˜o?
[0,6 ponto]
(d) Qual e´ a velocidade (vetorial) do basta˜o como func¸a˜o
expl´ıcita do tempo, para t > 0? [0,6 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (c)
3. (f)
4. (g)
5. (e)
6. (a)
7. (a)
8. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) A corrente ele´trica pode ser calculada como o fluxo do vetor densidade de corrente ee´trica, uma vez que
Iint =
∫
Sfio
~J int ·dA,
onde Sfio e´ a superf´ıcie da sec¸a˜o reta do fio. Como a densidade de corrente e´ uniforme, a intensidade de corrente
interna sera´ simplesmente
Iint = Jint πR
2 .
�
(b) Novamente, a corrente ele´trica pode ser calculada como o fluxo do vetor densidade de corrente ee´trica, uma vez
que
Iext =
∫
Scasca
~J ext ·d~A,
onde Scasca e´ a superf´ıcie da sec¸a˜o reta da casca. Como a densidade de carga e´ uniforme, a intensidade de corrente
interna sera´ simplesmente
Iint = Jint π(b
2 − a2) .
�
(c) Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o de correntes, podemos usar a lei de Ampe`re para calcular o campo
magne´tico.
Para tanto, precisamos desenvolver, separadamente, os seus dois membros. Comecemos com a circulac¸a˜o.
Como o fio e a casca sa˜o muito longos, o campo magne´tico so´ podera´ ter dependeˆncia radial
~B = Bϕ(s)ϕˆ,
Como curva amperiana, C, escolhemos, enta˜o, o lugar geome´trico dos pontos equidistantes a` distribuic¸a˜o de cor-
rentes, ou seja, um c´ırculo de raio s e vetor deslocamento dado por d~ℓ = sdϕϕˆ.
Com essas escolhas, a circulac¸a˜o do campo magne´tico vai ser dada por
ΓC~B =
∮
C
~B ·d~ℓ = Bϕ(s)2πs
Continuemos, agora, com a corrente encerrada, que tera´ uma expressa˜o diferente para cada uma das quatro regio˜es.
1
• regia˜o 1: s < R
Neste caso, I = Jintπs
2, de modo que
Bϕ(s)2πs = µ0Jintπs
2,
o que nos leva ao resultado
~B1 =
1
2
µ0Jints ϕˆ .
• regia˜o 2: R < r < a
Neste caso, I = JintπR
2, de modo que
Bϕ(s)2πs = µ0JintπR
2,
o que nos leva ao resultado
~B2 =
1
2
µ0Jint
R2
s
ϕˆ .
• regia˜o 3: a < r < b
Neste caso, I = JintπR
2 − Jextπ(s
2 − a2), de modo que
Bϕ(s)2πs = µ0
[
JintπR
2 − Jextπ(s
2 − a2)
]
,
o que nos leva ao resultado
~B3 =
1
2
µ0
[
JintR
2 + Jexta
2
s
− Jexts
]
ϕˆ .
• regia˜o 4: b < r
Neste caso, I = JintπR
2 − Jextπ(b
2 − a2), de modo que
Bϕ(s)2πs = µ0
[
JintπR
2 − Jextπ(b
2 − a2)
]
,
o que nos leva ao resultado
~B4 =
1
2
µ0
[JintR
2 − Jext(b
2 − a2)]
s
ϕˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Temos que ~v(t) = vxxˆ e ~B = −Bzˆ. Colocando a origem do eixo X no lado vertical fixo do trilho, temos que
ΦB = Bax e, pela lei de Faraday,
Eind = −
dΦ~B
dt
= −Bavx
�
(b) Como I = |E|/R, temos
I = Bavx/R .
Pela lei de Faraday (Lenz), o sentido da corrente induzida deve ser anti-hora´rio.
�
(c) A forc¸a sera´
~F = −IaBxˆ
2
�
(d) Pela segunda lei de Newton,
max = m
dvx
dt
= −IaB = −
B2a2vx
R
,
de onde temos
dvx
vx
= −
B2a2
RM
dt ,
cuja soluc¸a˜o e´
vx(t) = v0e
−t/τ ,
onde
τ :=
RM
B2a2
.
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/1 – Segunda Prova: 01/06/2013
Versa˜o: B
Formula´rio
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Determine a circulac¸a˜o Γ~B[Ci] :=
∮
Ci
~B·d~ℓ (i = 1, 2, 3)
para as treˆs curvas fechadas orientadas, respectiva-
mente.
(a) −µ0I, 0, 3µ0I .
(b) µ0I, 0,−µ0I .
(c) µ0I, 6µ0I,−µ0I .
(d) µ0I,−6µ0I,−µ0I .
(e) −µ0I, 0,−3µ0I .
(f) µ0I, 0, 3µ0I .
(g) 0, 0, 0, pois todassa˜o perpendiculares.
2. Um acelerador de part´ıculas e´ projetado para desviar
um ele´tron, de massa M e carga −e, que incide ho-
rizontalmente, com velocidade inicial ~vi = v0xˆ, para
uma velocidade final ~vf = −v0yˆ. Assinale o campo
magne´tico constante que permite que isso acontec¸a.
(a)
Mv0
e(d+ L)
zˆ .
(b) −
Mv0
ed
yˆ .
(c)
Mv0
ed
yˆ .
(d) −
Mv0
eL
zˆ .
(e)
Mv0
eL
zˆ .
(f) −
Mv0
e(d+ L)
yˆ .
(g) −
Mv0
e(d+ L)
zˆ .
(h)
Mv0
e(d+ L)
yˆ .
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2012/1
Segunda Prova (P2) – 19/06/2012
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
Nu´mero de Registro:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J·nˆ dA , J = nqv , F = qE+qv×B , dF = Id`×B ,
∮
S
B·nˆ dA = 0 , dB = µ0
4pi
Id`× rˆ
r2∮
C
B · d` = µ0Iint + µ0�0 dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB [1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Das afirmac¸o˜es que seguem diga quais sa˜o corre-
tas:
(i) Um soleno´ide de auto-indutaˆncia L e com-
primento l ao ser dividido em duas partes
iguais de comprimento l/2 tem a auto-
indutaˆncia de cada uma das partes dada por
2L.
(ii) Ao ser dobrada a corrente que circula num
soleno´ide a energia armazenada no mesmo
tambe´m e´ dobrada.
(iii) Ao ser dobrada a corrente que circula num
soleno´ide sua indutaˆncia tambe´m e´ dobrada.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
2. Uma bobina circular de a´rea A possui N espiras e
pode girar em torno de um diaˆmetro que coincide
com o eixo Ox. Uma corrente I esta´ circulando
na bobina e existe um campo magne´tico ~B = Byˆ
no sentido positivo de Oy. O torque ~τ e a ener-
gia potencial U quando a bobina e´ orientada na
posic¸a˜o indicada na figura abaixo sa˜o dados por:
(a) ~τ = 0, U = NIAB
(b) ~τ = −NIABxˆ, U = 0
(c) ~τ = NIABxˆ, U = 0
(d) ~τ = −NIABxˆ, U = NIAB
(e) ~τ = NIABxˆ, U = −NIAB
3. Condutores retil´ıneos longos, com sec¸o˜es retas
quadradas, cada um deles conduzindo uma cor-
rente estaciona´ria I com sentido para fora do
plano da pa´gina, sa˜o colocados um ao lado do
outro, formando duas placas finas que se estendem
ate´ o infinito, como mostrado na figura abaixo:
Cada plano formado possui n condutores por
unidade de comprimento. Quais sa˜o, respectiva-
mente, os mo´dulos dos campos magne´ticos pro-
duzidos nos pontos P , R e S?
(a) µ0nI , 0, µ0nI
(b) 0, µ0nI , 0
(c) µ0nI , µ0nI , µ0nI
(d) 0, µ0nI2 , 0
(e) 0, 0, 0
2
4. Um pro´ton de massa mp, carga +e e velocidade
de mo´dulo v e um ele´tron de massa me, carga −e
e velocidade de mo´dulo 2v entram numa regia˜o
de campo magne´tico constante (uniforme e esta-
ciona´rio) de mo´dulo B, como mostrado na figura
abaixo:
Qual e´ a raza˜o RpRe entre o raio da o´rbita do pro´ton
e o raio da o´rbita do ele´tron?
(a) mp2me
(b) 2memp
(c) mpme
(d) 2
(e) 1
(f) 12
5. Calcule a forc¸a resultante sobre o pedac¸o de fio
da figura abaixo, composto por dois segmen-
tos de comprimento L e um semiarco de raio a
perpendicular aos segmentos retil´ıneos, por onde
passa uma corrente I , na presenc¸a de uma campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio)
~B = B0yˆ.
(a) 2IB0(a+ L)zˆ
(b) −2IB0(a+ L)zˆ
(c) 2IB0azˆ
(d) −2IB0azˆ
(e) 2IB0Lzˆ
(f) −2IB0azˆ
(g) 0
6. Das afirmac¸o˜es que seguem diga quais sa˜o corre-
tas:
(i) A forc¸a resultante sobre uma espira local-
izada em uma regia˜o de campo magne´tico
constante (uniforme e estaciona´rio), pela
qual passa uma corrente estaciona´ria e´ sem-
pre nula.
(ii) O ana´logo da Lei de Gauss para o mag-
netismo e´
∮
S
~B · ~dA = 0.
(iii) Somente e´ poss´ıvel criar campo magne´tico
quando cargas ele´tricas se movem.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas.
(h) Nenhuma delas.
3
7. Numa placa transportando uma corrente uni-
forme cujo vetor densidade de corrente e´ dado
por ~J = Jxxˆ (Jx > 0) e´ aplicado um campo
magne´tico tambe´m constante ~B = Byyˆ (By > 0).
Um volt´ımetro e´ ligado entre as superf´ıcies su-
perior e inferior da placa para medir a diferenc¸a
de potencial Vab = Va − Vb, com za = zb, como
mostrado na figura abaixo. Sobre essa situac¸a˜o
podemos afirmar que apo´s atingido o equil´ıbrio:
(a) Se o portador da corrente for uma carga
positiva Vab > 0.
(b) Se o portador da corrente for uma carga
positiva Vab < 0.
(c) Se o portador da corrente for uma carga
negativa Vab < 0.
(d) Se o portador da corrente for uma carga
negativa Vab > 0.
(e) Vab = 0 independentemente do portador
de carga.
8. Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do
campo magne´tico resultante no ponto P da figura
abaixo, que representa dois fios finos isolados con-
duzindo corrente I . Considere o ponto P local-
izado no centro das duas semi-circunfereˆncias e
na direc¸a˜o dos fios retil´ıneos.
(a) 0
(b) −µ0I2R zˆ
(c) µ0I4R zˆ
(d) −µ0I4R zˆ
(e) µ0I2R zˆ
9. Determine, respectivamente, a circulac¸a˜o do
campo magne´tico
∫
Ci
~B · ~dl para cada uma das
curvas orientadas da figura abaixo, C1, C2 e C3.
(a) −µ0I , µ0I , 0
(b) 2µ0I , 0, −µ0I
(c) −µ0I , 0, 2µ0I
(d) 0, 2µ0I , µ0I
(e) µ0I , µ0I , µ0I
(f) 0, 0, 0
10. Das afirmac¸o˜es que seguem diga quais sa˜o incor-
retas:
(i) No interior de um capacitor que esta´ se car-
regando ha´ corrente de deslocamento e na˜o
ha´ corrente de conduc¸a˜o.
(ii) A corrente de deslocamento e´ originada pela
variac¸a˜o do fluxo do campo magne´tico no
tempo.
(iii) O campo ele´trico induzido e´ sempre conser-
vativo.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Um fio cil´ındrico muito longo de raio a
esta´ envolto por uma casca cil´ındrica, tambe´m muito
longa, coaxial com o fio, possuindo raio interno b e
raio externo c, como mostrado na figura ao lado. No
fio interno passa uma corrente I no sentido zˆ e na
casca cil´ındrica passa uma corrente 2I no sentido −zˆ,
ambas uniformemente distribu´ıdas ao longo da sec¸a˜o
reta.
(a) Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido das
densidades de corrente ~Jf no fio interno e ~Jc na casca
cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo magne´tico ~B1 produzido
pelos fios na regia˜o r < a. [0,5 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B2 produzido
pelos fios na regia˜o a < r < b. [0,5 ponto]
(d) Determine o campo magne´tico ~B3 produzido
pelos fios na regia˜o b < r < c. [0,5 ponto]
(e) Determine o campo magne´tico ~B4 produzidopelos fios na regia˜o r > c. [0,5 ponto]
Obs: Respostas sem justificativas nao sera˜o consider-
adas.
2. [2,5 pontos] Uma barra condutora de resisteˆncia R,
massam e comprimento Lmove-se sem atrito com ve-
locidade constante ~V = V xˆ sobre um trilho condutor
de resisteˆncia desprez´ıvel, localizado numa regia˜o de
campo magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio)
dado por ~B = Byˆ, como mostrado na figura ao lado.
Considere o trilho sobre um plano na˜o inclinado na
superf´ıcie da Terra.
(a) Quais sa˜o o sentido e o mo´dulo da corrente
induzida, I , no circuito formado pelo trilho e a barra?
[0,75 ponto]
(b) Quais sa˜o o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido da
forc¸a ~F realizada pelo agente externo sobre a barra?
[0,75 ponto]
(c) Supondo que em t = 0 o agente externo deixe
de atuar sobre a barra, determine o mo´dulo da
velocidade ~v(t) = v(t)xˆ da mesma para instantes de
tempo t > 0. [0,5 ponto]
(d) Em qual instante de tempo T a velocidade da
barra atinge o valor V2 . [0,5 ponto]
Obs: Respostas sem justificativas nao sera˜o consider-
adas.
5
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (h)
2. (b)
3. (a)
4. (a)
5. (d)
6. (d)
7. (e)
8. (b)
9. (c)
10. (f)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) As densidades de corrente sa˜o dadas por:
~Jf =
I
pia2
zˆ,
e
~Jc = − 2I
pi(c2 − b2) zˆ.
(b) Utilizando a lei de Ampe`re e o fato de na˜o haver corrente de deslocamento, pois o campo ele´trico
produzindo as correntes na˜o varia no tempo, escrevemos:∫
c1
~B1 · ~dl = µ0Iint,
onde c1 corresponde a uma circunfereˆncia de raio r < a, orientada de modo que corrente positiva aponta
no sentido zˆ. Devido a` simetria cil´ındrica o campo ~B1 tem direc¸a˜o φˆ e seu mo´dulo e´ constante no caminho
c1. Assim:
B12pir = µ0Jfpir2,
substituindo o valor de Jf , encontramos:
~B1 =
µ0I
2pia2
rφˆ.
(c) Utilizando novamente a lei de Ampe`re escrevemos:∫
c2
~B2 · ~dl = µ0Iint,
onde c2 corresponde a uma circunfereˆncia de raio a < r < b, orientada de modo que corrente positiva
aponta no sentido zˆ. Devido a` simetria cil´ındrica o campo ~B2 tem direc¸a˜o φˆ e seu mo´dulo e´ constante no
caminho c2. Assim:
B22pir = µ0I,
ou seja:
~B2 =
µ0I
2pir
φˆ.
(d) Utilizando a lei de Ampe`re escrevemos:∫
c3
~B3 · ~dl = µ0Iint,
onde c3 corresponde a uma circunfereˆncia de raio b < r < c, orientada de modo que corrente positiva aponta
no sentido zˆ. Devido a` simetria cil´ındrica o campo ~B3 tem direc¸a˜o φˆ e seu mo´dulo e´ constante no caminho
c3. Assim:
B32pir = µ0
[
I − Jcpi(r2 − b2)
]
,
substituindo o valor de Jc, encontramos:
~B3 =
µ0I
2pir
[
1− 2(r
2 − b2)
(c2 − b2)
]
φˆ.
(e) Utilizando novamente a lei de Ampe`re escrevemos:∫
c4
~B4 · ~dl = µ0Iint,
2
onde c4 corresponde a uma circunfereˆncia de raio r > c, orientada de modo que corrente positiva aponta
no sentido zˆ. Devido a` simetria cil´ındrica o campo ~B4 tem direc¸a˜o φˆ e seu mo´dulo e´ constante no caminho
c4. Assim:
B42pir = µ0(I − 2I),
ou seja:
~B4 = −µ0I2pir φˆ.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Escolhendo um elemento de a´rea ~dA = dAyˆ, temos que o fluxo do campo magne´tico no circuito formado
pela barra e pelo trilho esta´ aumentando. Assim sendo, de acordo com a lei de Lens, a corrente induzida
aparecera´ no sentido hora´rio, criando um campo no sentido contra´rio ao campo estabelecido.
Utilizando agora a lei de Faraday, ao escolhermos o elemento de a´rea no sentido yˆ, definimos como positiva
a forc¸a eletromotriz no sentido anti-hora´rio. Assim:
ΦB = BLX,
e
� = −BLdX
dt
,
� = −BLV.
A forc¸a eletromotriz negativa significa que o sentido da corrente induzida e´ hora´rio, em acordo com o que
obtivemos utilizando a lei de Lens.
A corrente induzida tambe´m e´ hora´ria, e tem mo´dulo dado por:
I =
BLV
R
.
(b) A forc¸a magne´tica atuando na barra e´ dada por:
~FB = I~L× ~B = BLV
R
LB(−xˆ),
~FB = −B
2L2V
R
xˆ.
Para manter a velocidade da barra constante o agente externo deve fazer uma forc¸a ~F = −~FB , assim:
~F =
B2L2V
R
xˆ.
(b) Quando o agente externo deixa de atuar apenas a forc¸a magne´tica atua na barra e a velocidade da mesma
~v(t) passa a diminuir com o tempo. Assim aplicando a segunda lei de Newton para a barra encontramos:
m
dv(t)
dt
xˆ = −B
2L2
R
v(t)xˆ,
ou:
m
dv(t)
dt
= −B
2L2
R
v(t).
Resolvendo a equac¸a˜o diferencial acima, observando que v(0) = V :∫ v
V
dv
v
= −
∫ t
0
B2L2
Rm
dt,
3
encontramos:
v(t) = V e−
B2L2
Rm t.
(c) Para v(T ) = V/2 temos:
V
2
= V e−
B2L2
Rm T ,
1
2
= e−
B2L2
Rm T ,
ln
(
1
2
)
= −B
2L2
Rm
T,
assim:
T =
Rm
B2L2
ln(2),
e´ o tempo que leva para a velocidade da barra atingir metade da sua velocidade inicial. �
4
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica
III – 2012/2
Segunda Prova: 04/02/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
I =
∫
S
~J · nˆ dA , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B · nˆ dA = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere dois ane´is circulares em repouso: um con-
dutor (1) e outro isolante (2). Ambos esta˜o sujeitos a
campos magne´ticos na˜o estaciona´rios orientados para
dentro do plano dos ane´is. Quanto ao campo ele´trico
induzido ~E e a` corrente ele´trica induzida I, nos ane´is,
podemos afirmar que
(a) ~E[1] = ~0, I[1] = 0; ~E[2] = ~0, I[2] = 0 .
(b) ~E[1] 6= ~0, I[1] 6= 0; ~E[2] = ~0, I[2] = 0 .
(c) ~E[1] 6= ~0, I[1] 6= 0; ~E[2] 6= ~0, I[2] = 0 .
(d) ~E[1] 6= ~0, I[1] 6= 0; ~E[2] 6= ~0, I[2] 6= 0 .
(e) ~E[1] = ~0, I[1] 6= 0; ~E[2] = 0, I[2] = 0 .
2. Considere treˆs situac¸o˜es independentes, envolvendo
correntes estaciona´rias de intensidade com mo´dulo
I > 0 e as correspondentes curvas ampe`rianas Ci.
Qual e´ a circulac¸a˜o Γi :=
∮
Ci
~B ·d~ℓ em cada uma das
situac¸o˜es?
(a) Γ1 = −µ0I,Γ2 = 0,Γ3 = 0 .
(b) Γ1 = µ0I,Γ2 = 0,Γ3 = 0 .
(c) Γ1 = −µ0I,Γ2 = 0,Γ3 = 2µ0I .
(d) Γ1 = −µ0I,Γ2 = 0,Γ3 = −2µ0I .
(e) Γ1 = −µ0I,Γ2 = −2µ0I,Γ3 = −2µ0I .
1
3. Uma caˆmara de bolhas, representada na figura abaixo,
possui um campo magne´tico constante (estaciona´rio e
uniforme) ~B, perpendicular a` folha de papel. Uma
part´ıcula neutra, em repouso no centro da caˆmara,
transforma-se (decai) em outras part´ıculas, cujas tra-
jeto´rias sa˜o mostradas na figura. Quanto a` carga
dessas part´ıculas resultantes do decaimento, podemos
afirmar que
(a) Todas as part´ıculas 1, 2, 3 e 4 teˆm carga zero.
(b) As part´ıculas 1 e 2 teˆm cargas positivas, ao
passo que as part´ıculas 3 e 4 teˆm cargas nega-
tivas.
(c) As part´ıculas 1 e 2 teˆm cargas negativas, ao
passo que as part´ıculas 3 e 4 teˆm cargas posi-
tivas.
(d) As part´ıculas 1 e 3 teˆm cargas positivas, ao
passo que as part´ıculas 2 e 4 teˆm cargas nega-
tivas.
(e) As part´ıculas 1 e 4 teˆm cargas positivas, ao
passo que as part´ıculas 2 e 3 teˆm cargas nega-
tivas.
4. Treˆs resistores cil´ındricos circulares oˆhmicos, 1, 2 e 3,
sa˜o constru´ıdos com o mesmo material, de resistivi-
dade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L
e a´rea de sec¸a˜o reta A, o resistor 2 tem comprimento
L e a´rea de sec¸a˜o reta 2A, enquanto o resistor 3 tem
comprimento L/2 e a´rea de sec¸a˜o reta A/2. Se cada
um desses resistores for submetido a uma mesma dife-
renc¸a de potencial entre suas extremidades, podemos
afirmar, sobre os mo´dulos Ji (i = 1, 2, 3) das densida-
des de corrente que fluem ao longo deles e sobre suas
resisteˆncias Ri, que
(a) J1 = J2 = J3