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2.3 Relações de tempo e frequência Denotam-se as transformadas de Fourier direta e inversa, respectivamente, por: e Teorema da superposição: Se a1 e a2 são constantes independentes de t, e então Este resultado pode ser generalizado para a soma de um número arbitrário de parcelas: Ou seja, a uma combinação linear no domínio do tempo corresponde uma combinação linear no domínio da frequência. Prova: exercício para casa. Teorema do retardo (delay) no tempo (ou translação no tempo): (vide demonstração no livro) Se , então Assim, um retardo (delay) no tempo corresponde a um deslocamento de fase (−2πftd) no domínio da frequência. Corolário: como um retardo no tempo não muda o formato do sinal, não há mudança no espectro de amplitudes, só no de fases. Prova: |V(f) exp(j2πftd)| = |V(f)| |exp(j2πftd)| = |V(f)|. Teorema da mudança de escala (ou dilatação/ contração no tempo): (vide demonstração no livro) Se , então Este resultado reflete a propriedade de “espalhamento recíproco” discutido anteriormente, ou seja, a compressão de um sinal temporal causa expansão do espectro, e vice-versa. Corolário: Se α = −1, então (ou seja, o sinal e o espectro são revertidos.) Exemplo 2.3-1: Superposição e retardo no tempo Sendo v(t)=A Π(t/τ) um pulso retangular, considere-se o sinal za(t) constituído a partir de dois pulsos como mostrado na Figura 2.3-1a. Aplicando-se os teoremas da superposição e de retardo no tempo: onde V(f)=Aτ sinc fτ. t0= td+T/2 T. retardo: (continua...) ________________________________________________________ O termo entre colchetes é um caso particular de: . Fatorando a identidade de Euler: __________________________________________________ No problema: e , tal que e onde (como mostrado na Figura 2.3-1a). Após substituir V(f)=Aτ sinc fτ, se obtém: Nota-se que Za(f=0) = 0, concordando com o fato que za(t) tem área líquida nula. (sinal de +) (sinal de −) (continua...) t0= td+T/2V(f)=Aτ sinc fτ ________________________________________ Se t0 = 0 e T = τ (ou T/2 = τ/2), então, za(t) degenera para a forma de onda zb(t) da Figura 2.3-1b, onde Como t0 = td+T/2 = 0, ocorre: exp (−j2πft0) = exp (0) = 1. Portanto, um espectro puramente imaginário [pois zb(t) tem simetria ímpar]. # (multiplicar e dividir por πfτ) t0= td+T/2 Exercício 2.3-1: Seja v(t) um sinal de energia real, porém, arbitrário. Mostrar que, se então: onde Ve(f) e Vo(f) são as partes real e imaginária de V(f). Teorema da Translação em Frequência: O teorema da translação em frequência ou teorema da modulação complexa é o dual do teorema do retardo no tempo: Prova: exercício para casa. A multiplicação de uma função temporal v(t) por exp(jωct) provoca uma translação do espectro de um valor +fc, como mostrado na Figura 2.3-2, para fc>W: Discussão: i) As componentes significativas do espectro de V(f− fc) estão concentradas em torno da frequência fc. ii) Embora V(f) esteja limitado à banda W, o espectro V(f−fc) tem largura espectral 2W (a porção de frequências negativas de V(f) agora aparece em frequências positivas) iii) V(f− fc) não é hermitiano [pois v(t).exp(jωct) não é real], porém, exibe simetria em torno da frequência fc. ________________________________________________ Teorema da modulação real: Dado que: então: Prova: Exercício para casa. )(2 1)(2 1cos)( ccc ffVffVttv ++−↔ω )(2)(2)2/cos()(sen)( 2/2/ c j c j cc ffV effVettvttv ++−↔−= − ππ πωω Exemplo: Dado então: e )( cV ωω − )(arg cV ωω − )( cV ωω − 2)(arg π ωω −− cV mensagem sinais modulados em DSB __________________________________________________________ Exemplo 2.3-2: Pulso de RF Trata-se de uma senóide, z(t), na frequência fc e com duração finita τ ( para fc >> 1/τ): Obs: Dado então z(t)=v(t) cosωct ↔ Z(f) = ?? Como então, de (2.3-7), com φ = 0: )(sinc)()/()( τττ fAfVtAtv =↔Π= A = v(t) cosωct Sinal de duração finita. Espectro ilimitado. Discussão: i) Como a senóide na frequência fc tem duração finita (não é eterna), seu espectro é contínuo e apresenta mais frequências do que simplesmente f = ±fc. ii) Quanto menor for τ, maior será o alargamento do espectro em torno de ±fc (espalhamento recíproco). iii) Se a senóide fosse eterna, τ→∞, o alargamento espectral diminuiria e o espectro conteria apenas duas linhas discretas nas frequências ±fc . _________________________ Pergunta: dado que e também: como calcular ℑ{cosωct}, sendo v(t)=1 em (2.3-7)?? Neste caso, tem-se que calcular V(f) = ℑ{1}!! ____________________________________________________ Teorema da Diferenciação no Tempo: (vide demonstração no livro) Dado um sinal v(t), e verificando-se que dv(t)/dt é um sinal de energia, mostra-se que, se , então: Generalizando: Teorema da Integração no Tempo: (vide demonstração no livro) Considere-se a integral de v(t) ao longo de todos os tempos passados: . O teorema da integração estabelece que, se então A condição de área líquida nula em (2.3-9a) assegura que o sinal v(t) integrado em (2.3-9b) vai a zero quando t→∞. (área sob a curva = 0) Obs: Exemplo 2.3-3: Pulso triangular Já foi visto que: Integrando-se o sinal zb(t), e dividindo o resultado por τ, gera-se a função triangular w(t) abaixo: Aplica-se o teorema da integração para calcular W(f), dado que o sinal zb(t) tem área nula [Zb(0)=0] . (continua...) integrar zb(t) e dividir por τ Área total nula ↔ Qual a TF do pulso triangular? τττπ fAfjfZb 2sinc)2()( = se obtém: __________________________________________________________________________________________________________________________________________ Notação: Função ou pulso triangular de amplitude unitária e largura 2τ : Então, a função triangular de amplitude A e largura 2τ é: w(t) = AΛ(t/τ) . # )(2 11)( fZ fj fW bπτ =↔Como _______________________________________________ w(t)=AΛ(t/τ) ττ fAfW 2sinc)( =↔ )sinc()( ττ τ fAfVtA =↔ Π Comparação: pulsos com mesma área Pulso triangular de amplitude A e largura 2τ: Pulso retangular de amplitude A e largura τ: O pulso triangular (altura A e largura 2τ) apresenta menos conteúdo de alta frequência que o pulso retangular de altura A e largura τ, embora ambos tenham a mesma área, Aτ. ττ τ fAtA 2sinc↔ Λ variações temporais mais abruptas maior conteúdo espectral ∝ integral Discussão: teoremas da diferenciação e da integração A diferenciação acentua as componentes de alta frequência de um sinal, pois | j2πf V(f)| > |V(f)| para |f |>1/2π (ou seja, para |2π f | > 1). Por outro lado, a integração reduz o conteúdo de alta frequência do espectro. Estes resultados concordam com a observação temporal de que a diferenciação acentua as variações temporais, enquanto a integração as suavizam. _____________________________________________________ Exemplo: Pulso triangular ∝ integral do pulso retangular O pulso triangular (altura A e largura 2τ) apresenta menos conteúdo de alta frequência que o pulso retangular (altura A e largura τ), embora tenham a mesma área, Aτ. A diferença é que o pulso triangular se estende por 2τ e não apresenta as variações temporais repentinas/abruptas do pulso retangular. (8) alta frequência __________________________________________________________________ Exercício2.3-2: O dual do teorema da diferenciação é também conhecido como teorema da diferenciação em frequência. Deduzir esta relação para n=1, diferenciando a integral da transformada em relação ao tempo. Teorema da diferenciação no tempo: )()2( fVfj nnπ=
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