2018_Teoria_das_Comunicacoes_AULA_3_Transmissao

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Professora: Fernanda Smith
fernandasmith@unifap.br
 1 - Representação de Sinais e Sistemas de comunicação:
 Transformada de Fourier
 Propriedades da Transformada de Fourier
 Transmissão de Sinais
 2 - Transmissão de sinais através de Sistemas Lineares:
 Equalização, Não linearidades
 Multipercussão
 Densidade Espectral de Energia e de Potência.
 Ganho e Atenuação
 Filtros
 3 - Modulação: 
 Modulação em Amplitude: DSB-SC e DSB
 Geração e demodulação de sinais AM, SSB e VSB
 Multiplexação por divisão em frequência e receptor super-heteródino
 Modulação em ângulo: Largura de banda de sinais modulados em ângulo
 Geração de sinais FM
 Demodulação FM
 Princípios da Transmissão Digital
 4 - Interferência e Ruído
 Processos Aleatórios e Ruído,
 Transmissão na Presença de Ruído.
 [1] Carlson, Bruce: Communication Systems – 5a Ed. Ano 2009 – McGraw Hill.
 [2] Haykin, Simon: Sistemas de Comunicação – 5a Ed. Ano 2011 – Bookman.
 [3] Haykin, S. Introdução aos Sistemas de Comunicação, 2a edição, Bookman.
 [4] Lathi, B. P.; Ding, Zhi Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitais 
Modernos , 4a edição. LTC.
 [5] Lathi, B. P.: Modern Digital and Analog Communication Systems – 4th Ed. Ano
2009 – Oxford University Press
 [6] Haykin, Simon: Sinais e sistemas – Bookman 2011.
 [7] OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. H. Sinais e Sistemas. 2a. ed. 
Pearson Prentice Hall, 2010
𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑁𝑓 =
𝐴𝑝1 + 𝐴𝑝2 +𝐴𝑝3
3
+ 𝐴𝑓
2
 𝐴𝑝1 = Avaliação Parcial 1
 𝐴𝑝2 = Avaliação Parcial 2
 𝐴𝑝3 = Avaliação Parcial 3 (prática)
 𝐴𝑓 = Avaliação Final
Aprovado: 𝑁𝑓 ≥ 5
e
75% de presença
 Anteriormente, desenvolvemos representações de Fourier para quatro classes de
sinais distintas: a Série de Fourier de tempo discreto (DTFS) para sinais periódicos
de tempo discreto, a Série de Fourier (FS) para sinais periódicos de tempo
contínuo, A Transformada e Fourier de tempo discreto (DTFT) para sinais
periódicos de tempo discreto e a Transformada de Fourier (FT) para sinais não
periódicos de tempo contínuo.
 Seguiremos agora com as aplicações destas representações em Fourier.
 Uma das aplicações mais comum é a análise da interação entre sinais e sistemas.
 Um sistema se refere a qualquer dispositivo ou fenômeno físico que produz um
sinal de saída em resposta a um sinal de entrada.
 É comum referirmos ao sinal de entrada por excitação e ao sinal de saída como a
resposta.
 Em um sistema linear, a resposta de um sistema linear a um número de excitações
aplicadas simultaneamente é igual à soma das respostas do sistema quando cada
excitação é aplicada individualmente.
 Exemplos importantes de sistemas lineares incluem filtros e canais de comunicação
operando em suas regiões lineares.
 Um filtro se refere a um dispositivo seletivo em frequência utilizado para limitar o
espectro do sinal a alguma faixa de frequências.
 Um canal se refere a uma mídia física que conecta o transmissor e o receptor de
um sistema de comunicação.
 Queremos determinar os efeitos da transmissão de sinais através de filtros lineares
e canais de comunicação.
 Esta determinação pode ser realizada de duas formas, dependendo de descrição
adotada para o filtro ou canal.
 Ou seja, podemos utilizar características no domínio do tempo ou domínio da
frequência.
 No domínio do tempo, um sistema linear é descrito em termos de sua resposta ao
impulso, a qual é definida como a resposta do sistema (com condições iniciais nulas)
ao impulso unitário ou a função delta δ(t) aplicada à entrada do sistema.
 Se o sistema for invariante no tempo, então esta propriedade implica em que um
impulso unitário deslocado no tempo na entrada do sistema produz uma resposta
ao impulso na saída, deslocada exatamente pelo mesmo valor.
 Conhecendo-se a resposta ao impulso, podemos encontrar a resposta à qualquer
excitação arbitrária.
 Seja portanto, uma excitação arbitrária, 𝑥(𝑡), aplicada a um sistema linear do qual
se conhece sua resposta ao impulso.
 A figura abaixo mostra uma aproximação em escada de 𝑥(𝑡). Cada retângulo, de 
duração ∆𝜏 e área 𝑥(𝜏)∆𝜏, tem como resposta:
 Temos, portanto, que a resposta do sistema a função delta, ponderada pelo fator
𝑥(𝜏)∆𝜏 e ocorrendo em 𝑡 = 𝜏 deve ser 𝑥 𝜏 ℎ(𝑡 − 𝜏)∆𝜏.
 A resposta completa será o somatório das respostas de cada um desses retângulos, 
ou, quando ∆𝑡 → 0, teremos a integral dada por:
 Ou seja, a resposta de um sistema linear a uma excitação arbitrária é a convolução
dessa excitação com a resposta ao impulso do sistema. Assim escrevemos:
 A caracterização no domínio da frequência dos sistemas LTI em termos de sua
resposta em frequência representa uma alternativa a caracterização no domínio do
tempo por meio da convolução.
 Analisando os sistemas LTI, muitas vezes é particularmente conveniente utilizar o
domínio da frequência porque equações diferenciais e de diferenças e operações
de convolução no domínio do tempo se tornam operações algébricas no domínio
da frequência.
 Seja um sistema linear e invariante no tempo (LTI), com resposta ao impulso, ℎ(𝑡), 
excitado por uma exponencial complexa:
 Usando a equação de convolução, obtemos:
 Define-se a função de transferência ou resposta em frequência do sistema como a
transformada de Fourier de sua resposta ao impulso, mostrado por
 Podemos reescrever a equação de 𝑦(𝑡) como:
 Portanto, a resposta de um sistema linear invariante no tempo a uma função
exponencial complexa com frequência f é a mesma função exponencial complexa
multiplicada pelo coeficiente constante 𝐻(𝑓).
 Para uma excitação qualquer, sabemos que:
 Aplicando a propriedade da convolucao:
 Onde,
 A função 𝐻(𝑗𝜔) é chamada de resposta em frequência do sistema, ou seja, a
transformada de Fourier da resposta ao impulso do sistema.
 A resposta em frequência 𝐻(𝑗𝜔) é uma propriedade característica de um sistema
linear invariante no tempo. Ela é, em geral, uma grandeza complexa e, portanto,
podemos expressá-la em termos de seus componentes real e imaginário, ou em
termos de magnitude e fase:
 Onde, 𝐻 𝑗𝜔 é a resposta em magnitude do sistema, e 𝜃𝐻(𝑗𝜔) é a resposta em fase 
do sistema.
 Além disso,
 A magnitude da transformada de Fourier da entrada é ponderada pela magnitude
da resposta em frequência, por esse motivo, 𝐻 𝑗𝜔 é chamado de ganho do
sistema.
 A fase da entrada é modificada acrescentando a ela a fase da resposta em
frequência, onde 𝜃𝐻(𝑗𝜔) é chamado de deslocamento de fase do sistema.
 Quando o espectro de amplitude 𝐻 𝑗𝜔 de um sistema não é constante para toda
frequência, os componentes em frequência do sinal de entrada são transmitidos
com diferentes ganhos. Esse efeito é chamado de distorção de amplitude.
 Quando o espectro de fase 𝜃𝐻(𝑗𝜔) de um sistema não é linear com a frequência,
chamamos de distorção de fase.
 Em muitas aplicações, prefere-se trabalhar com o logaritmo de 𝐻 𝑗𝜔 , expresso em
𝑑𝐵:
20𝑙𝑜𝑔10|𝐻(𝑗𝜔)|
 Tempo discreto: Considerações análogas ao tempo contínuo:
 A resposta em frequência dos sistemas discreto é periódica com período 2π:
 Exemplo 1:
 Um sistema não apresenta distorção se o sinal na sua saída for uma réplica exata
do sinal na entrada, exceto por uma possível mudança na escala de amplitudes ou
um retardo constante.
 Ou seja, se 𝑥(𝑡) for a excitação do sistema e 𝑦(𝑡) for a sua resposta, então, para não 
haver distorção devemos ter:
 No domínio da frequência, aplicando a propriedade do deslocamento no tempo:
 Contudo, como:
 Temos,
 Essa é a função de transferência necessária para transmissão sem distorção.
 Muitos sistemas LTI de interesse práticos podem ser escritos como equações
diferenciais.
 A representação por equação diferencial de um sistema LTI de tempo continuo é:
 Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados e a propriedade da 
diferenciação repetidamente:
 Reorganizando esta equação como a razão da FT entre a saídae a entrada,
obtemos:
 Logo, a resposta em frequência do sistema é:
 Análogo para o tempo discreto:
 Exemplos 2, 3 e 4:
 Tipicamente, o conteúdo espectral de um sinal portador de informações ocupa
uma faixa de frequência com extensão finita.
 Por exemplo o conteúdo espectral de um sinal de fala essencial para
comunicações telefônicas situa-se na faixa de frequência de 300 a 3100Hz.
 Para extrair o conteúdo de informação fundamental de um sinal de fala para esse
tipo de aplicação, necessitamos de um sistema seletivo em frequências, ou seja, um
filtro que limite o espectro do sinal à faixa desejada de frequências.
 De fato, os filtros são fundamentais para o estudo de sistemas de comunicação em
termos de que todo sistema usado para processar sinais contém um filtro de algum
tipo em sua composição.
 O surgimento da noção de filtragem vem da multiplicação que ocorre na
representação no domínio da frequência.
 O sistema filtra o sinal de entrada, apresentando uma resposta diferente aos
componentes de entrada de diferentes frequências.
 Frequentemente, descrevemos os sistemas em termos do tipo de filtragem que
eles executam no sinal de entrada.
 Um filtro passa-baixas atenua os componentes de alta frequência da entrada e
deixa passar os componentes de frequências mais baixas.
 Um filtro passa-altas atenua as baixas frequências e deixa passar as frequências
elevadas.
 Um filtro passa-faixa deixa passar sinais dentro de certa faixa de frequência e
atenua os sinais fora dessa faixa.
 A figura abaixo ilustra os filtros passa-baixas, passa-altas e passa-faixas ideias,
correspondendo tanto a sistemas de tempo contínuo como discreto. Note que a
caracterização do filtro de tempo discreto baseia-se em seu comportamento na
faixa de frequências −𝜋 < Ω ≤ 𝜋 porque sua resposta em frequência tem período
2𝜋.
 A faixa de passagem de um filtro é a faixa de
frequências que são passada pelo sistema, ao
passo que faixa de rejeição refere-se a faixa de
frequências que são atenuadas pelo sistema.
 É impossível construir um sistema prático que
tenha as características descontínuas de
resposta em frequência dos sistemas ideais.
 Os filtros reais sempre têm uma transição
gradual da faixa de passagem para a faixa de
rejeição. A faixa de frequências ao longo das
quais isto ocorre é conhecida como faixa de
transição.
 Além disso, os filtros reais não tem ganho nulo
ao longo da faixa de rejeição inteira, mas ao
contrário, tem um ganho muito pequeno em
relação ao da faixa de passagem.
 Em geral, filtros com transições agudas da
faixa de passagem para a faixa de refeição são
mais difíceis de implementar.
 Considere então um filtro passa-baixas ideal, o qual transmite todas as frequências
dentro da faixa de passagem sem qualquer distorção e rejeita todas as frequências
dentro da faixa de rejeição.
 No que diz respeito a filtragem passa-baixa, o interesse principal está na transição
fiel de um sinal portador de informação em que o conteúdo espectral está
confinado a alguma faixa de frequências definida por 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 .
 Consequentemente, nesse tipo de aplicação, as condições para transmissão sem
distorção somente precisam ser satisfeitas dentro da faixa de passagem do filtro.
 Especificamente, a resposta em frequência de um filtro passa-baixa ideal com
frequência de corte 𝜔𝑐 é definida por
 Em que, por conveniência de apresentação, definimos a constante 𝐾 = 1.
 Para avaliar ℎ(𝑡), tomamos a transformada de Fourier inversa de 𝐻(𝑗𝜔), obtendo
 A partir da definição da função sinc, temos
 Consequentemente, podemos reescrever ℎ(𝑡) na forma compacta
 Essa resposta ao impulso tem uma amplitude de pico de 𝜔𝑐/𝜋 centralizada no
instante 𝑡0. Como é mostrado na figura abaixo para 𝜔𝑐 = 1 e 𝑡0 = 8.
 Vemos na figura que, para qualquer valor
finito de 𝑡0 , há alguma resposta do filtro
antes do instante 𝑡 = 0, no qual o impulso
unitário é aplicado a entrada do filtro.
 Ou seja, ℎ(𝑡) é a resposta do sistema ao
impulso unitário 𝛿(𝑡) aplicado em 𝑡 = 0, a
resposta ℎ(𝑡) tem início antes mesmo da
aplicação da entrada (em 𝑡 = 0).
 O filtro passa-baixas ideal é não-causal e
portanto, não realizável, ou seja um sistema
como esse é fisicamente impossível, pois
nenhum sistema razoável é capaz de
responder a uma entrada antes que a mesma
seja aplicada.
 Um pulso retangular desempenha um papel fundamental nas comunicações digitais.
 Por exemplo, para a representação elétrica de uma sequência binária através de um
canal, podemos usar o seguinte:
 Transmitir um pulso retangular, para o símbolo 1.
 Desligar o pulso para o símbolo 0.
 Considere então um pulso retangular 𝑥(𝑡) de amplitude unitária e duração 𝑇, escrito
como
 Esse pulso é aplicado a um canal de comunicação modelado como um filtro passa-
baixas ideal cuja resposta em frequência é definida pela equação
 A questão que nos interessa é determinar a resposta do
canal à entrada do pulso.
 A resposta ao impulso do filtro que representa o canal é dada por
 Reescrita na forma expandida como:
 Podemos expressar a resposta do filtro usando a integral de convolução da seguinte
maneira
 Substituindo ℎ(𝑡) em 𝑦(𝑡), obtemos:
 Admitamos que
 Então mudando a variável de integração de 𝜏 para 𝜆, podemos reescrever 𝑦(𝑡) como
 Em que os limites de integração,𝑎 e 𝑏, são definidos por
 Para reescrever a equação de 𝑦(𝑡) numa forma compacta, introduzimos a integral
seno, definida por
 A integral seno 𝑆𝑒(𝑢) tem simetria
ímpar em torno da origem 𝑢 = 0.
 Ela tem máximos e mínimos em
múltiplos de 𝜋.
 Ela se aproxima do valor limite de ±𝜋/2
para valores grandes de 𝑢
 Usando a definição da integral seno, podemos reescrever a resposta 𝑦(𝑡) na forma
compacta:
 Em que 𝑎 e 𝑏 são
 A figura abaixo descreve a resposta 𝑦(𝑡) para três valores diferentes de frequência de
corte 𝜔𝑐, supondo que o retardo de transmissão 𝑡0 seja nulo. Em cada caso, vemos que
a resposta 𝑦(𝑡) é simétrica em torno de 𝑡 = 0.
 Observamos ainda que a forma da resposta 𝑦(𝑡) é dependente da frequência de
corte.
1. Quando 𝜔𝑐 é maior do que
2𝜋
𝑇
, como na figura ao
lado, a resposta 𝑦(𝑡) tem aproximadamente a
mesma duração que o pulso retangular 𝑥(𝑡)
aplicado à entrada do filtro. Entretanto, ele difere
de 𝑥(𝑡) em dois importantes aspectos:
 Diferentemente da entrada 𝑥 𝑡 , a resposta 𝑦(𝑡) tem
tempos de subida e descida não nulos que são
inversamente proporcionais a frequência de corte 𝜔𝑐.
 A resposta 𝑦(𝑡) exibe oscilações tanto na borda anterior
como na borda posterior.
2. Quando 𝜔𝑐 =
2𝜋
𝑇
, como na figura ao lado, a
resposta 𝑦(𝑡) é reconhecível como um pulso.
Entretanto, os tempos de subida e descida de 𝑦(𝑡)
agora são significativos em comparação a duração
do pulso retangular de entrada 𝑥(𝑡).
3. Quando 𝜔𝑐 é menor do que
2𝜋
𝑇
, como na figura ao
lado, a resposta 𝑦(𝑡) é uma versão grosseiramente
distorcida da entrada 𝑥(𝑡).
 Essa observações apontam para a relação inversa que existe entre os dois parâmetros:
a duração de um pulso retangular que age como o sinal de entrada para um filtro
passa-baixas ideal e a frequência de corte do filtro.
 Especificamente, se a exigência for simplesmente a de reconhecer que a resposta de
um canal passa-baixas se deve a transmissão do símbolo 1 representado por um pulso
de duração 𝑇, é adequado definir a frequência de corte do canal em 𝜔𝑐 =
2𝜋
𝑇
.
 No caso de filtros passa-baixa, onde a principal restrição é aproximar a resposta em
amplitude ideal podemos mencionar duas famílias de filtros: Filtros de Butterworth e
Filtros de Chebyshev.
 Filtros de Butterworth
 Desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o mais plana o quanto for
matematicamente possível na banda passante.
 No caso de filtros passa-baixa, onde a principal restrição é aproximar a resposta em
amplitude ideal podemos mencionar duas famílias de filtros: Filtros de Butterworth e
Filtros de Chebyshev. Filtros de Chebyshev
 Possuem um aumento na atenuação (roll-off) mais íngreme e uma maior ondulação (ripple)
na banda passante que os Filtros de Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a
propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com
relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda passante.
 Voltando nossa atenção à questão de realização física do filtro, vemos que existem
duas opções básicas para esta realização. Uma analógica e outra digital:
 Filtros analógicos, construídos usando (a) indutores e capacitores ou (b) capacitores,
resistores e amplificadores operacionais. A vantagem dos filtros analógicos é a simplicidade
de implementação.
 Filtros digitais, para os quais os sinais são amostrados no tempo e suas amplitudes
quantizadas. Estes filtros são construídos usando hardware digital, por isso o nome. Uma
característica importante de um filtro digital é que ele é programável, oferecendo, portanto,
um alto grau de flexibilidade no projeto. De fato, existe um compromisso entre complexidade
e flexibilidade.
 A largura de faixa de um sinal fornece uma medida da extensão do conteúdo espectral
significativo de um sinal para frequências positivas.
 Quando o sinal é estritamente limitado em faixa, a largura de faixa é bem definida.
 Por exemplo, o pulso sinc descrito na figura abaixo possui largura de faixa igual a W.
 Entretanto, quando o sinal não é estritamente limitado em faixa, o que geralmente
ocorre, temos dificuldade em definir sua largura de faixa. A dificuldade aparece
porque a palavra “significativo”, associada ao conteúdo espectral de um sinal, é
matematicamente imprecisa. Consequentemente, não existe definição universal aceita
para largura de faixa.
 De qualquer forma, existem algumas definições geralmente aceitas para largura de faixa.
 Quando o espectro do sinal é simétrico com um lóbulo principal limitado por nulos bem
definidos (isto é, frequências nas quais o espectro é zero), podemos utilizar o lóbulo
principal como base para definição da largura de faixa.
 A razão para isto é que o lóbulo espectral principal contém a porção significativa da
energia do sinal.
 Se um sinal é passa-baixa, a largura de faixa é definida como metade da largura total do
lóbulo espectral principal, pois apenas metade do lóbulo estará dentro da região de
frequências positivas
 Por exemplo, um pulso retangular de duração T
segundos possui lóbulo espectral principal com
largura total de (2/T) hertz, centrado na origem.
 Portanto, podemos definir a largura de faixa deste
pulso retangular como (1/T) hertz.
 Por outro lado, se o sinal é passa-faixa com lóbulo espectral principal centrado em ±fc
na qual fc é grande. A largura de faixa é definida como a largura do lóbulo principal
para frequências positivas.
 Esta definição de largura de faixa é chamada de largura de faixa de nulo para nulo.
 Por exemplo, um pulso RF de duração T segundos e frequência fc possui lóbulos
espectral principais com largura (2/T) hertz centrados em ±fc. Logo, podemos definir
a largura de faixa de nulo para nulo deste pulso RF como sendo (2/T) hertz.
 Com base nas definições apresentadas aqui, podemos afirmar que o deslocamento
espectral do conteúdo de um sinal passa-baixa por uma frequência suficientemente
grande possui o efeito de dobrar a largura de faixa do sinal. Tal translação de
frequência é obtida utilizando o processo de modulação.
 Outra definição popular de largura de faixa é a largura de faixa de 3dB:
 Especificamente, se o sinal é passa-baixa, a largura de faixa de 3dB é definida como a
separação entre a frequência zero, na qual a amplitude do espectro é mantida em seu valor
de pico e a frequência positiva na qual a amplitude do sinal cai para 1/ 2 de seu valor de
pico.
 Na prática, as condições para transmissão sem distorção somente podem ser
satisfeitas de maneira aproximada.
 Equivale a dizer que sempre há certa quantidade de distorção presente no sinal de
saída de um sistema LTI físico, seja de tempo contínuo ou de tempo discreto,
devido a desvios na resposta em frequência do sistema.
 Em especial podemos distinguir dois componentes de distorção linear produzidos
pela transmissão de sinais através de um sistema LTI:
1. Distorção de amplitude: Quando a resposta em módulo do sistema não é
constante dentro da faixa de frequência de interesse, os componentes da
frequência do sinal de entrada são transmitidos através do sistema com
diferentes valores de ganho e atenuação. Esse efeito é chamado distorção de
amplitude. A forma mais comum de distorção de amplitude é o excesso de
ganho em uma ou ambas as extremidades da faixa de frequência de interesse.
2. Distorção de fase: A segunda forma de distorção linear surge quando a resposta em
fase do sistema não é linear, em frequências dentro da faixa de interesse. Se o sinal de
entrada for dividido num conjunto de componentes, cada um dos quais ocupa uma
faixa estreita de frequências, consideramos que cada um desses componentes está
sujeito a um retardo diferente ao passar pelo sistema, com o resultado de que o sinal
de saída emerge com uma forma de onda diferente daquela do sinal de entrada, Essa
forma de distorção linear é chamada distorção de fase ou retardo.
 Enfatizamos a distinção entre um retardo constante e um deslocamento de fase constante.
No caso de sistemas LTI de tempo contínuo, um retardo constante significa uma resposta
em fase linear, ou seja, em que 𝑡0 é o retardo constante.
 Por outro lado, deslocamento de fase constante significa que é igual a uma
constante para todo 𝜔. Estas duas condições tem diferentes implicações. Um retardo
constante é um requisito para uma transmissão sem distorções. Um deslocamento de fase
constante, por outro lado, provoca distorção no sinal.
 Diz-se que um sistema LTI que apresenta distorção linear é dispersivo, em termos de que
os componentes de frequência do sinal de entrada emergem com características
diferente de amplitude e fase que são diferentes daquelas do sinal de entrada original
depois da transmissão do sistema. O canal telefônico é um exemplo de sistema
dispersivo.
 Para compensar a distorção linear, podemos usar uma rede conhecida como
equalizador, conectada em cascata com o sistema em questão.
 O equalizador é projetado de tal maneira que, dentro da faixa de frequência de
interesse, as respostas em módulo e em fase globais desta conexão em cascata
aproximam as condições para transmissão sem distorções dentro dos limites
prescritos.
 Considere, por exemplo, um canal de comunicação com resposta em frequência
𝐻𝑐(𝑗𝜔). Digamos que um equalizador de resposta em frequência 𝐻𝑒𝑞(𝑗𝜔) esteja
conectado em cascata com o canal.
 A resposta em frequência global dessa combinação é igual a 𝐻𝑐(𝑗𝜔)𝐻𝑒𝑞(𝑗𝜔). Para
que a transmissão global através da conexão em cascata da figura acima seja sem
distorções, é necessário que
𝐻𝑐 𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑞 𝑗𝜔 =𝑒
−𝑗𝜔𝑡0
 Em que 𝑡0 é um retardo de tempo constante.
 Idealmente, portanto, a resposta em frequência do equalizador é inversamente
relacionada com a do canal, como é mostrado por
𝐻𝑒𝑞 𝑗𝜔 =
𝑒−𝑗𝜔𝑡0
𝐻𝑐(𝑗𝜔)
 Na prática o equalizador é projetado de tal forma que sua resposta em frequência
se aproxime do valor ideal da equação acima de forma bastante estreita para que a
distorção linear se reduza a um nível satisfatório.
 A Densidade espectral de energia descreve como a energia de um sinal será
distribuída com a frequência.
 Seja 𝑔(𝑡) um sinal de energia definido para todo o 𝑡, com transformada 𝐺 𝑓 ⇒
𝐺(𝑗𝜔).
 Já vimos que sua energia pose ser dada por:
 onde usamos o módulo de 𝑔(𝑡) admitindo que ele também possa ser complexo.
Então temos:
 Portanto,
 Trocando a ordem da integração, obtemos:
 Este último resultado é conhecido como teorema de Parseval.
 A quantidade |𝐺(𝑓)|2 tem dimensão de Joule/Herttz, sendo portanto conhecida 
como a densidade espectral de energia. 
 Ela nos fornece a distribuiçãode energia do sinal ao longo do seu espectro e 
escrevemos:
 Exemplo 5:
 A potência de um sinal 𝑔(𝑡) é dada por:
 A potência do sinal e os conceitos a ela associados podem ser entendidos com 
facilidade se definirmos um sinal truncado 𝑔𝑇(𝑡) como
 A integral do lado direito corresponde a energia do sinal truncado 𝑔𝑇 𝑡 . Assim,
 Esta equação descreve a relação entre potência e energia de sinais não-
periódicos. Como a potência de um sinal é o valor médio de sua energia, todos os
conceitos e resultados relativos a energia de um sinal também se aplicam a
potência do sinal.
 Caso um sinal 𝑔(𝑡) seja um sinal de potência, sua potência é finita, e o sinal
truncado 𝑔𝑇(𝑡) é um sinal de energia desde que 𝑇 permaneça finito. Se 𝑔𝑇(𝑡) ↔
𝐺𝑇(𝑓), do teorema de Parseval, temos
 Portanto,𝑃𝑔, a potência de 𝑔 𝑡 , fica dada por
 A medida que 𝑇 aumenta, a duração de 𝑔𝑇(𝑡) aumenta e sua energia 𝐸𝑔𝑇 aumenta
proporcionalmente. Isso significa que |𝐺𝑇 𝑓 |
2também aumenta com 𝑇 e quando
𝑇 → ∞, |𝐺𝑇 𝑓 |
2 tende a ∞.
 A convergência do lado direito da equação permite que troquemos a ordem do 
processo de limite e da integração e obtenhamos
 Definimos a densidade espectral de potência (PSD), como 
 Logo, 
 Exemplo 6:
 Vimos até aqui, a importância da transformada de Fourier como ferramenta teórica
para a representação de sinais determinísticos e sistema linear invariante no
tempo.
 A importância da transformada de Fourier é maior ainda pelo fato de existir uma
classe de algoritmos chamados de algoritmos de transformada de Fourier para a
determinação numérica da transformada de Fourier de forma muito eficiente.
 O algoritmo da transformada rápida de Fourier é derivado da transformada
discreta de Fourier, na qual, como o próprio nome informa, tanto o tempo quanto a
frequência são representados na forma discreta.
 A transformada discreta de Fourier fornece uma aproximação da transformada de
Fourier.
 Para representar adequadamente o conteúdo de informação do sinal original,
precisamos tomar cuidado especial na execução de operações de amostragem
envolvidas na definição da transformada discreta de Fourier.
 Neste momento, é suficiente dizer que dado um sinal limitado em faixa, a taxa de
amostragem deve ser maior do que duas vezes a maior componente de frequência
do sinal de entrada.
 Além disso, se as amostras forem uniformemente espaçadas por 𝑇𝑠 segundos, o
espectro do sinal se torna periódico, repetindo a cada 𝑓𝑠 = (1/𝑇𝑠) Hz.
 Seja 𝑁 o número de amostras de frequência contidas no intervalo 𝑓𝑠. Logo, a
resolução de frequência envolvida na determinação numérica da transformada de
Fourier é definida por
 Na qual T = 𝑁𝑇𝑠 é a duração total do sinal.
 Considere, então, uma sequência finita de dados 𝑔0, 𝑔1, … , 𝑔𝑁−1 .
 Por simplicidade, iremos nos referir a esta sequência como 𝑔𝑛, na qual o subscrito
é o índice de tempo 𝑛 = 0,1, … , 𝑁 − 1.
 Esta sequência pode representar o resultado da amostragem de um sinal analógico
𝑔(𝑡) nos tempos 𝑡 = 0, 𝑇𝑠, … , (𝑁 − 1)𝑇𝑠, na qual 𝑇𝑠 é o intervalo de amostragem.
 A ordem da sequência de dados define o tempo de amostragem na qual
𝑔0, 𝑔1, … , 𝑔𝑁−1 representa as amostras de 𝑔(𝑡) tomadas nos tempos 0, 𝑇𝑠, … , (𝑁 −
1)𝑇𝑠, respectivamente.
 Portanto, temos
 Definimos, formalmente, a transformada discreta de Fourier (TDF) da sequência 𝑔𝑛
por
 A sequência 𝐺0, 𝐺1, … , 𝐺𝑁−1 é chamada de sequência transformada. Por
simplicidade iremos nos referir a esta nova sequência por 𝐺𝑘, na qual o subscrito é
o índice de frequência 𝑘 = 0,1, … . , 𝑁 − 1.
 De forma correspondente, definimos a transformada discreta inversa de Fourier
(TDIF) de 𝐺𝑘 por
 A TDF e a TDIF formam um par transformada.
 Especificamente, dada a sequência 𝑔𝑛, podemos utilizar a TDF para calcular a
sequência transformada 𝐺𝑘 e dada a sequência transformada 𝐺𝑘, podemos utilizar
a TDIF para recuperar a sequência de dados original 𝑔𝑛.
 Quando discutimos a TDF (e algoritmos para a sua implementação), as palavras
“amostra” e “ponto” são utilizadas com o mesmo significado, para nos referirmos a
um valor da sequência.
 Além disso, é prática comum se referir a sequência de tamanho N como uma
sequência de N pontos e se referir à TDF de uma sequência de tamanho N como
uma TDF de N pontos.
 O número de contas necessário para o cálculo de uma DFT foi drasticamente
reduzido em um algoritmo desenvolvido por Tukey e Cooley, em 1965.
 Esse algoritmo conhecido como transformada rápida de Fourier (FFT – fast
Fourier transform), reduz o número de contas de algo 𝑁2 para 𝑁𝑙𝑜𝑔𝑁.
 Para calcular o valor de uma amostra 𝐺𝑘 pela equação, precisamos de 𝑁
multiplicações complexas e 𝑁 − 1 adições complexas. Para calcular 𝑁 valores de
𝐺𝑘 (𝑘 = 0,1, … . , 𝑁 − 1), precisamos de um total de 𝑁
2 multiplicações complexas e
𝑁(𝑁 − 1) adições complexas.
 Para grandes valores de 𝑁, isto pode exigir um tempo proibitivamente grande,
mesmo com o uso de um computador de alta velocidade.
 O algoritmo da FFT é um salva-vidas em aplicações de processamento de sinais. O
algoritmo de FFT fica simplificado se escolher 𝑁 como uma potência de 2, por
exemplo.
 Detalhes da FFT podem ser encontrados em qualquer livro de processamento de
sinais.
 Escolha dos valores de 𝑇, 𝑇𝑠, 𝑁:
 No cálculo da DFT, primeiro, precisamos selecionar valores adequados para
𝑇, 𝑇𝑠, 𝑁. Para isso devemos especificar o valor de 𝐵, a largura de banda essencial
de 𝑔(𝑡).
 Considere os sinais abaixo:
 Da letra d) da figura, fica claro que a sobreposição espectral ocorre na frequência 𝑓𝑠/2.
Essa sobreposição espectral também pode ser interpretada como se o espectro além
de 𝑓𝑠/2 sofresse uma dobra em 𝑓𝑠/2. Essa frequência recebe o nome de frequência de
dobramento.
 Se a frequência de dobramento for escolhida de modo que o espectro 𝐺(𝑓) além da
mesma seja desprezível, a sobreposição espectral não será relevante.
 Portanto a frequência de dobramento deve ser pelo menos igual a maior frequência
significativa, ou seja, a frequência além da qual 𝐺(𝑓) é desprezível. Chamaremos essa
frequência largura de banda essencial 𝐵 em hertz. Caso 𝑔(𝑡) seja limitado em
frequência, sua largura de banda será igual a largura de banda essencial.
 Assim,
 Dado que o intervalo de amostragem 𝑇𝑠 = 1/𝑓𝑠, temos
 Uma vez determinado o valor de 𝐵, podemos escolher o valor de 𝑇𝑠, como:
𝑓 =
1
𝑇
 Em que 𝑓 é a resolução de frequência (separação de amostra de 𝐺(𝑓)).
 Conhecidos os valores de 𝑇 e 𝑇𝑠, determinamos o de 𝑁:
𝑁 =
𝑇
𝑇𝑠
 Exercício: Empreguemos a DFT (implementada pelo algoritmo de FFT) para
calcular a transformada de Fourier de 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡).