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UnB-Gama
Disciplina: Ca´lculo 3
Professora: Tatiane Evangelista
Curso: Engenharias - 2017
Lista 2 (MO´DULO 2): Func¸o˜es de va´rias varia´veis
1. Encontre o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x, y) =
√
x2 − y e identifique suas
curvas de n´ıvel. Esboce uma curva de n´ıvel t´ıpica.
2. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x, y, z) = x2+y2−z e identifique suas
superf´ıcies de n´ıvel. Esboce uma superf´ıcie de n´ıvel t´ıpica.
3. Ache os limites lim(x,y)→(0,0)
2 + y
x+ cos(y)
e lim(x,y)→(1,1)
x3y3
xy − 1.
4. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que o limite
lim(x,y)→(0,0)
y
x2 − y na˜o existe, para y 6= x
2.
5. Encontre a derivada parcial em relac¸a˜o a cada varia´vel:
a) f(x, y) = 12 ln(x
2 + y2) + tan−1 yx .
b) g(x, y, z) = sin(1pix+ y − 3z).
c) P (n,R, T, V ) =
nRT
V
.
6. Determine as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es:
a) f(x, y) = ex + y sinx.
b) g(x, y) = x+ xy − 5x3 + ln(x2 + 1).
7. Encontre dwdt em t = 0 se w = sin(xy + pi), x = e
t e y = ln(t+ 1).
8. Determine o valor da derivada parcial de f(x, y, z) = xy + yz + xz em relac¸a˜o a t
sobre a curva x = cos(t), y = sin(t), z = cos(2t) em t = 1.
9. Ache o valor de dydx no ponto P = (0, 1) na func¸a˜o impl´ıcita 1−x− y2− sin(xy) = 0.
10. Encontre as direc¸o˜es nas quais f(x, y) = x2e−2y cresce e decresce mais rapidamente
em P0 = (1, 0). Determine a derivada de f em cada direc¸a˜o e tambe´m, a derivada
de f em P0 na direc¸a˜o v = i+ j.
11. Encontre as equac¸o˜es parame´tricas para a reta tangente a` curva de intersecc¸a˜o das
superf´ıcies x2 + 2y + 2z = 4 e y = 1 no ponto P = (1, 1, 12).
12. Teste as func¸o˜es abaixo para ma´ximos e mı´nimos locais e pontos de sela. Em seguida,
calcule o valor de cada func¸a˜o nestes pontos.
a) f(x, y) = x2 − xy + y2 + 2x+ 2y − 4.
1
b) f(x, y) = 5x2 + 4xy − 2y2 + 4x− 4y.
c) f(x, y) = 2x3 + 3xy + 2y3.
13. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f sobre a regia˜o R.
a) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 3x + 3y, R : regia˜o triangular cortada do primeiro
quadrante pela reta x+ y = 4.
b) f(x, y) = 5x2−y2−2x+4y+1, R : regia˜o retangular no primeiro limitada pelos
eixos coordenados e pelas retas x = 4 e y = 2.
14. Ache os valores extremos de f(x, y) = xy na circunfereˆncia x2 + y2 = 1.
15. Encontre os valores extremos de f(x, y, z) = x − y + z sobre a esfera unita´ria x2 +
y2 + z2 = 1.
16. Determine uma func¸a˜o w = f(x, y) cujas derivadas de primeira ordem em relac¸a˜o a
x e y sa˜o, respectivamente, 1 + ex cos y e 2y− ex sin y e ale´m disso, o valor no ponto
P = (ln 2, 0) e´ ln 2.
17. Uma part´ıcula atra´ıda pelo calor tem a propriedade de, em qualquer ponto (x, y) do
plano, mover-se no sentido de maior aumento de temperatura. Se a temperatura em
(x, y) for T (x, y) == e−2y cosx, encontre uma equac¸a˜o y = f(x) para o caminho de
uma part´ıcula atra´ıda pelo calor no ponto P = (pi4 , 0).
18. Suponha que f seja uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y e
g(u, v) = f(eu + sin v, eu + cos v).
Use a tabela de valores para calcular gu(0, 0) e gv(0, 0).
f g fx fy
(0, 0) 3 6 4 8
(1, 2) 6 3 2 5
19. Determine a derivada direcional de f(x, y) = x3y4−x4y3 no ponto (1, 1) e na direc¸a˜o
do aˆngulo θ = pi6 .
20. Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xey + yez + zex no ponto (0, 0, 0) e
na direc¸a˜o do vetor v = 5i+ j − 2k.
21. Determine a menor distaˆncia entre o ponto (2, 0,−3) e o plano pi : x+ y + x = 1.
22. Determine treˆs nu´meros positivos cuja soma e´ 100 e cujo produto e´ ma´ximo.
23. Exerc´ıcios selecionados do Stewart - Vol. 2 - Cap´ıtulo 14.
a) Sec¸a˜o 14.1: 1,3,7,9,15,27,33,39,41,47.
b) Sec¸a˜o 14.2: 1,56,7,9,13,19,25,33,37.
c) Sec¸a˜o 14.3: 3,15,17,21,25,37,41,47,59,69,77,83,91.
d) Sec¸a˜o 14.4: 1,3,11,13,25.
e) Sec¸a˜o 14.5: 1,3,5,13,17,21,27,31,45.
f) Sec¸a˜o 14.6: 5,9,11,17,23,29,33.
g) Sec¸a˜o 14.7: 5,7,11,13,29,33,41,49.
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