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CCE0732 – Seminários Integrados de Engenharia Mecânica
Aula 12: Exercícios – Engenharia dos Fluidos
2
Qual o mais resistente ?
gelo com algodão, 
o gelo puro ao receber 
uma "pancada" começa a 
formar fissuras, estas 
fissuras se espalham por 
toda peça e logo todo 
gelo estará quebrado. 
Quando se tem gelo com 
o algodão, este absolve 
as fissuras além de não 
permitir que elas se 
espalhem, com isso a 
peça fica mais 
resistente.
3
A diferença básica entre um sólido e um fluido é o modo como cada um se comporta quando 
submetido a uma força de cisalhamento. 
A figura a seguir ilustra uma fina camada de fluido que está sendo cisalhado entre uma superfície fixa 
e uma placa plana que se movimenta no sentido horizontal. 
Uma pequena distância separa a placa da superfície, e o fluido entre ambas pode ser uma fina camada 
de óleo de máquina. 
Quando se aplica uma força à placa superior, ela começará a deslizar por cima da camada de óleo e a 
cisalhará. 
Um fluido responde à tensão de cisalhamento com um movimento contínuo chamado fluxo. 
Como analogia, coloque-se uma pilha de cartas de baralho sobre uma mesa e, à medida que se 
pressiona a mão sobre as cartas, elas deslizarão horizontalmente (ver figura 1b, a seguir). 
As cartas de cima irão deslocar-se com a sua mão, e as que estão mais abaixo ficarão paradas sobre a 
mesa. 
As demais cartas que se encontram no meio são cisalhadas, e cada uma desliza um pouco em relação 
às suas vizinhas.
A camada de óleo na figura 1a comporta-se de maneira semelhante. 
1
4
Figura 1
figura 1
5
6
Uma camada de fluido também é cisalhada entre duas superfícies quando um disco de hóquei 
desliza sobre uma mesa de hóquei aéreo, o pneu de um automóvel entra em aquaplanagem na 
superfície de uma estrada e quando uma pessoa mergulha na água. 
No campo da armazenagem de dados em computador, o cabeçote de leitura e gravação no drive do 
disco rígido (figura anterior) flutua na superfície do disco rotativo sobre uma fina camada de ar e 
lubrificante líquido. 
De fato, a camada de ar entre o cabeçote de leitura/gravação e o disco é uma parte importante no 
conceito do drive no disco rígido, e sem ele o desgaste e o aquecimento rápido do cabeçote de 
gravação e do meio magnético impediriam o funcionamento do produto de maneira confiável. 
A experiência empírica mostra que, na maioria das aplicações de engenharia, ocorre em nível 
microscópico uma situação chamada não deslizamento entre uma superfície sólida e qualquer fluido 
que esteja em contato com ela. 
Uma camada de fluido, que pode ter apenas algumas moléculas de 
espessura, adere à superfície sólida, e o fluido restante move-se em relação a essa camada. 
7
No caso do filme de óleo na figura 1(a), a condição de não deslizamento significa que a 
camada mais inferior do fluido permanecerá estacionária, e o elemento superior do 
fluido se movimentará na mesma velocidade que a placa adjacente. 
Ao se observar a espessura do filme de óleo, verifica-se que cada camada do fluido se 
move a uma velocidade diferente e que a velocidade do óleo muda gradualmente ao 
longo da sua espessura. 
Figura 2
Quando a placa superior da figura 2 desliza sobre a camada de fluido a uma velocidade constante, ela 
estará em equilíbrio no contexto da segunda lei de movimento de Newton. 
A força aplicada F é equilibrada pelo efeito cumulativo da tensão de cisalhamento exercida pelo fluido 
sobre a placa. 
 = F / A
A propriedade de um fluido que lhe permite resistir a uma força de cisalhamento ao desenvolver um 
movimento constante é chamada viscosidade. 
Esse parâmetro é uma propriedade física de todos os gases e líquidos, e ela mede a aderência, o 
atrito ou a resistência de um fluido. 
Quando comparados à água, o mel e o melado, por exemplo, apresentam valores de viscosidade 
relativamente altos. 
Todos os fluidos possuem algum atrito interno, e experiências indicam que, na maioria dos casos, a 
magnitude da tensão de cisalhamento é diretamente proporcionai à velocidade de deslizamento da 
placa. 
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Essas substâncias são chamadas fluidos newtonianos, e satisfazem a relação
 =  . (v / h)
o parâmetro  (o caráter grego em minúsculo um – pronuncia-se mi) é chamado viscosidade do fluido 
e relaciona a tensão de cisalhamento do fluido com a velocidade da placa. 
Para que a equação anterior seja dimensionalmente uniforme, pode-se observar que a viscosidade 
possui as unidades de massa/(comprimento-tempo). 
A tabela a seguir relaciona os valores de viscosidade para vários fluidos comuns. 
11
Em geral, os valores numéricos para  são pequenos. 
Como a propriedade da viscosidade aparece com frequência na engenharia dos fluidos, criou-se 
uma unidade especial chamada poise P nome dado em homenagem ao físico e cientista francês 
Jean Poiseuille (1797 -1869, que estudou a circulação do sangue nos capilares do corpo humano. 
O poise é definido como : 1P = 0,1 kg/m . s
Pode-se usar cada uma das unidades de kg/(m . s) e poise (P) para viscosidade. 
Além de poise, como os valores numéricos para  muitas vezes envolvem um expoente à décima 
potência, usa-se a dimensão menor denominada centipoise (cP). 
De acordo com os prefixos , centipoise é definido como 1 cP = 0,01 P. 
O centipoise é uma dimensão relativamente fácil de se lembrar, visto que a viscosidade da água 
doce à temperatura ambiente sempre é de aproximadamente 1 cP.
12
Guias de máquina-ferramenta
Fábricas e metalúrgicas usam uma fresa para fazer fendas e ranhuras em peças de 
metal (figura a seguir). 
O material a ser trabalhado é preso e movimentado abaixo de uma ferramenta cortante 
que gira em alta velocidade. 
A peça a ser trabalhada e o dispositivo que a prende deslizam sobre guias 
lubrificadas com um óleo com viscosidade de 240 cP.
Cada guia possui 40 cm de comprimento e 8 cm de largura (ver figura). 
Ao preparar a máquina para um corte especial, o operador desengata o mecanismo 
de acionamento, aplica uma força de 90 N à mesa que segura a peça e então pode 
empurrá-la por 15 cm durante um segundo. 
Calcule a espessura do filme de óleo entre a mesa e as guias. 
13
14
Abordagem 
Quando o operador empurra a mesa, o filme de óleo sofre um cisalhamento 
semelhante à ilustração na figura anterior.
A mesa é empurrada a uma velocidade v = (0,15 m)/(1 s) = 0,15 m/s. 
A área de contato entre a mesa e as guias é A = 2(0,08 m)(0,4 m) = 0,064 ².
Calcular espessura do filme aplicando as equações para relacionar a força, a 
velocidade, a área de contato e a espessura do filme. 
15
Solução 
Primeiro convertemos a viscosidade do óleo para unidades dimensional mente 
uniformes, usando a definição da unidade centipoise: 
 = (240 cP).(0,001 kg/(m.s) / cP)
 = 0,24 (cP).(kg/(m.s) / cP)
 = 0,24 kg/(m.s) 
A tensão de cisalhamento na camada de óleo é
 = 90 N / 0,064 m² = 1.406 N/m²   = F / A
16
A espessura do filme de óleo :  =  . (v / h)
h = (0,24 kg/ (m.s) (0,15 m/s)) / 1.406 N/m²
h = 2,56 x 10-5
𝒌𝒈
𝒎.𝒔
.
𝒎
𝒔
.
𝒎²
𝑵
h = 2,56 x 10-5
𝒌𝒈
𝒎.𝒔
.
𝒎
𝒔
.
𝒎².𝒔²
𝒌𝒈 .𝒎
h = 2,56 x 10-5 m
Como esse é um valor numérico baixo, aplica-se um prefixo do SI para representar 
um fator de um milionésimo. A espessura passa a ser 
h = (2,56 x 10-5 m (106 m /m) = 2, 56 (m) (m /m) = 25,6 m
17
Discussão 
Quando comparado à espessura de um fio de cabelo humano 
(aproximadamente 70-100 m de diâmetro), o filme de óleo é muito delgado, mas não 
tão diferente em relação à quantidade de lubrificante presente entre as partes móveis de 
uma máquina. 
Examinando a equação, vê-se que a tensão de cisalhamento é inversamenteproporcional à espessura do filme de óleo. 
Com apenas metade dessa quantidade de óleo, seria duas vezes mais difícil deslocar a 
mesa. 
h = 25,6 m 
18
PRESSÃO E FORÇA DE FLUTUAÇÃO 
As forças conhecidas como flutuação, arrasto e sustentação surgem quando fluidos 
interagem com uma estrutura ou veículo sólidos. 
As forças de arrasto e sustentação ocorrem quando há um movimento relativo entre um 
fluido e um objeto sólido. 
Um veículo pode mover-se através do fluido (como um avião que se desloca pelo ar, por 
exemplo), ou o fluido pode mover-se em torno da estrutura (como uma rajada de vento 
que atinge um arranha-céu).
No entanto, podem ocorrer forças entre fluidos e objetos sólidos mesmo quando não há 
um movimento relativo. 
A força que se desenvolve quando um objeto encontra-se imerso num fluido é chamada 
flutuação, e está relacionada ao peso do fluido deslocado.
19
O peso de certa quantidade de fluido é determinado por sua densidade  (o caráter 
grego em minúsculo rô) e volume. 
A tabela anteriormente mostrada relaciona os valores de densidade de diversos 
gases e líquidos. 
O peso de um volume V de fluido é indicado pela expressão : w = .g.V
em que g é a constante de aceleração gravitacional de 9,81 m/s².
20
Quando se mergulha no fundo de uma piscina ou viaja até as montanhas, a pressão da 
água ou do ar à sua volta muda, e seus ouvidos "tapam" à medida que se ajustam ao 
aumento ou à diminuição da pressão. 
A experiência é que a pressão em um líquido ou gás aumenta com a profundidade. 
21
Em relação ao béquer de líquido apresentado na figura a seguir, a diferença na 
pressão p entre os níveis 0 e 1 aumenta por causa do peso do líquido no meio 
de ambos. 
Com os dois níveis separados pela profundidade h, o peso da coluna de 
líquido é w = gAh, em que Ah é o volume delimitado.
Usando o diagrama de corpo livre da figura, a compensação de equilíbrio-força da 
coluna de líquido indica que a pressão na profundidade 1 é 
p1 = p0 + gh
22
O aumento da pressão é diretamente proporcional à profundidade e à densidade do 
fluido. 
Assim como a tensão, a pressão apresenta as dimensões de força por unidade de 
área. 
No SI, a unidade de pressão é o pascal (1 Pa = 1 N/m²), nome dado em homenagem ao 
cientista e filósofo do século XVII Blaise Pascal, que realizou experiências químicas 
envolvendo o ar e outros gases.
Quando navios ficam ancorados no porto e balões de ar quente flutuam acima do solo, 
eles estão submetidos forças de flutuação criadas pelo fluido à sua volta. 
23
Como mostra a figura a seguir, quando um submarino submerge e permanece a uma 
profundidade constante, a força líquida sobre ele é zero, já que a força de flutuação 
(para cima) equilibra o peso do submarino. 
A força de flutuação FB é igual ao peso do fluido deslocado por um objeto de acordo 
com a equação FB = fluido g Vobjeto
em que  representa a densidade do fluido e V é o volume do fluido deslocado pelo 
objeto.
24
Historicamente, esse resultado é atribuído a Arquimedes, matemático e inventor grego, 
que teria encontrado uma fraude na confecção de uma coroa de ouro encomendada pelo 
rei Hieros II. 
O rei suspeitou que um ourives inescrupuloso substituíra parte do ouro da coroa por 
prata. 
Arquimedes percebeu que o princípio básico da equação FB = fluido g Vobjeto
poderia ser usado para verificar se a coroa fora feita de ouro puro ou de uma liga menos 
densa (e menos valiosa) de ouro e prata.
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Veículo de resgate para grandes profundidades
Projetado para missões de resgate em caso de acidentes com submarinos, o Veículo de 
Resgate para Grandes Profundidades é capaz de mergulhar a uma profundidade máxima 
de 1.500 m no oceano. 
Em dimensões de MPa, qual é a diferença entre a pressão da água a essa profundidade 
e a pressão na superfície do oceano? 
Abordagem 
Para encontrar a diferença de pressão, aplicaremos a equação p1 = p0 + gh , em que a 
pressão da água aumenta proporcionalmente à profundidade. 
A tabela anterior indica que a densidade da água do mar é de 1.026 kg/m³, e também 
pressupomos que a densidade da água do mar seja constante. 
26
Solução 
Indicamos a diferença de pressão entre a superfície do oceano (p0) e o submarino (p1) por 
p = p1 – p0
O aumento da pressão é dado por 
p = (1.026 kg/m³) (9,81 m/s² )(1.500 m)  [p1= p0 + gh] 
= 1,51 X 107 (kg/m³)(m/s²)(m) 
= 1,51 x 107 kg/(m· s²) 
Constata-se que essas unidades são equivalentes à unidade Pa, sendo 
p = 1,51 x 107Pa = 15,1 MPa 
27
Discussão 
Nessa profundidade, a pressão da água é mais de 150 vezes maior que a pressão 
atmosférica padrão de 101,4 kPa. 
Mais de 14,3 MN de força age sobre cada metro quadrado no casco do Veículo de 
Resgate para Grandes Profundidades, e a força sobre cada centímetro quadrado é 
equivalente ao peso de dois homens adultos de estatura média. 
Provavelmente a densidade da água salgada irá variar a essa profundidade, mas isso 
oferece uma boa estimativa para a diferença de pressão. 
p = 15,1 MPa 
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No clássico filme de suspense “Tubarão”, o 
capitão Quint consegue fincar arpões no grande 
tubarão-branco que está atacando seu barco. 
Cada arpão está preso a um cabo que, por sua 
vez, está amarrado a um barril estanque vazio. 
A intenção de Quint é cansar o tubarão, 
forçando-o a arrastar os barris na água. 
Para um barril estanque de 210 L que pesa 155 
N, que força o tubarão terá de aplicar para 
mergulhar próximo ao barco e submergir 
totalmente o barril? (ver figura) 
Ataque do grande tubarão branco
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Abordagem 
Para encontrar a força que o tubarão terá de 
aplicar, precisa-se levar em conta as três 
forças atuantes sobre o barril: seu peso w, a 
tração T no cabo e a força de flutuação FB
(figura ). 
O tubarão terá de superar a tração do cabo, 
que depende de duas outras forças. 
Começa-se ao traçar um diagrama de corpo 
livre do barril, indicando que se escolheu o 
sentido para cima como a direção positiva. 
A força de flutuação é proporcional à 
densidade da água do mar, equivalente a 
1.026 kg/m³.
30
Solução 
Como o peso do barril é conhecido, primeiro calcula-se a magnitude da força 
de flutuação aplicando a equação Fb = fluido . g . Vobjeto
Em seguida, converte-se o volume do barril nas unidades dimensionalmente
uniformes de m³ : 
V = (210 L) (10-3 m³/L)
= 0,21(L)(m³/L) 
= 0,21 m³ 
31
A força de flutuação é 
FB = (1.026 kg/m³) (9,81 m/s²) (0,21 m³) 
= 2.113,7 (kg/m³)(m/s²)(m³) = 2.113,7 kg.m/s² = 2.113,7 N 
em que usou-se a definição de Newton 1N = (1 kg) (1 m/s²).
Com base no diagrama de corpo livre e na convenção de sinal positivo indicada no 
diagrama, o balanço de equilíbrio-força do barril é 
FB - T - w = 0  σ𝒊=𝟏
𝒏 𝑭𝒚,𝒊 = 𝟎
que é resolvida para atração do cabo : T = 2.113,7 N – 155 N 
T = 1.958,7 N
32
Discussão 
No que se refere ao tubarão, ele sente a tração do cabo, que é a diferença 
entre a força de flutuação e o peso do barril. 
Se, em vez disso, o barril pesasse o mesmo que FB a tração do cabo seria 
zero. 
Nesse caso, o barril teria uma força de flutuação neutra e o tubarão teria de 
fazer muito menos esforço para arrastar o barril. 
T = 1.958,7 N 
33
FLUXOS LAMINAR E TURBULENTO DE FLUIDOS 
Se você que já viajou de avião, deve-se lembrar do momento em que o piloto instrui os 
passageiros a prender o cinto de segurança por causa da turbulência associada a 
padrões de clima severos ou ao fluxo de ar sobre cadeias de montanhas. 
Também é provável que você já tenha tido outras experiências pessoais com fluxos 
laminares e turbulentos de fluidos. 
Tente abrira torneira de uma mangueira de jardim (sem bico) apenas um pouco e veja 
como a água jorra de forma ordenada. 
O formato da corrente de água não muda muito de um momento para o outro, o que é 
um exemplo clássico de fluxo de água laminar. 
34
À medida que você abre gradualmente a torneira, chegará um momento em que o jato 
constante de água começará a oscilar, sofrerá interrupções e passará a ser turbulento. 
O que antes era água com aparência de vidro agora é desigual e entrecortado. 
De modo geral, fluidos que escoam lentamente parecem laminares e uniformes, mas, a 
uma velocidade suficientemente alta. o padrão do fluxo torna-se turbulento e 
aparentemente aleatório. 
Quando um fluido passa suavemente por um objeto, como no desenho do fluxo de ar 
em torno de uma esfera na figura a seguir (a), dizemos que o fluido move-se de 
maneira laminar. 
Fluxos laminares ocorrem quando o fluido movimenta-se de forma relativamente lenta 
(em breve será dada a definição exata de "relativo"). 
35
À medida que o fluido passa a mover-se mais rapidamente depois de 
passar pela esfera, o padrão do fluxo começa a falhar e se torna aleatório, 
particularmente no lado posterior da esfera. 
Diz-se que o padrão irregular do fluxo ilustrado na figura (b) é 
turbulento. 
Atrás da esfera surgem pequenos redemoinhos e turbilhões, e o fluido atrás da 
esfera é interrompido significativamente por sua presença. 
O critério para determinar se um fluido move-se num padrão laminar ou 
turbulento depende de vários fatores: o tamanho do objeto que se move pelo 
fluido (ou o tamanho do tubo ou duto pelo qual o fluido corre); a velocidade do 
objeto (ou do fluido); e as propriedades de densidade e viscosidade 
do fluido. 
36
A relação exata entre essas variáveis foi descoberta no final do 
século XIX por um engenheiro britânico chamado Osborne Reynolds , que 
realizou experiências relacionadas à transição entre os fluxos laminar e 
turbulento em tubos. 
Ele estabeleceu um parâmetro adimensional, que agora sabemos tratar-se da 
variável mais importante na engenharia dos fluidos, para descrever essa 
transição. 
O número de Reynolds (Re) é definido pela equação :
𝑹𝒆 =
.𝒗 .𝑳

em termos da densidade  e viscosidade do fluido  , sua velocidade v e um 
comprimento característico L, que é representativo para o problema em questão.
37
38
O número de Reynolds (Re) é definido pela equação :
𝑹𝒆 =
.𝒗 .𝑳

da densidade  = [kg/m³]
viscosidade do fluido  = [kg/m.s]
velocidade v = [m/s]
comprimento característico L = [m]
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Comprimento característico
No caso do óleo cru bombeado por um duto, o comprimento característico L é o 
diâmetro do duto; para a água que flui ao passar pela esfera na figura é o diâmetro da 
esfera; para o sistema de ventilação de um prédio, L é o diâmetro do duto 
de ar, e assim por diante. 
40
A interpretação física do número de Reynolds consiste na relação entre as forças de 
inércia e as viscosas que atuam em um fluido; a primeira é proporcional à densidade 
(segunda lei de Newton), e a segunda, à viscosidade .
Quando o fluido move-se rapidamente, não é viscoso demais nem muito denso, o 
número de Reynolds será grande, e vice-versa. 
A inércia de um fluido tende a interrompê-lo e fazer com que ele flua de maneira irregular. 
Por outro lado, os efeito da viscosidade são similares ao atrito e, ao dissipar energia, 
podem estabilizar o fluido de modo que escoe uniformemente. 
Quanto aos cálculos, situações em engenharia mecânica que envolvem fluxos laminares, 
em geral, podem ser descritas com a ajuda de equações matemáticas relativamente 
simples, o que geralmente não é o caso dos fluxos turbulentos. 
41
A utilidade dessas equações, porém, limita-se a baixas velocidades e formas 
ideais, como esferas, placas planas e cilindros. 
Muitas vezes, são necessários experimentos e simulações computadorizadas 
para que os engenheiros compreendam a complexidade dos fluidos que 
circulam em equipamentos e em velocidades operacionais igualmente reais. 
42
Número de Reynolds
Calcule o número de Reynolds para as seguintes situações: 
(a) A bala de um Winchester com 7,6 mm de diâmetro sai do cano do rifle a 720 m/s. 
(b) (b) A água doce passa por um tubo de 1 cm de diâmetro com velocidade média de 
0,5 m/s. 
(c) O óleo SAE 30 passa por um tubo nas mesmas condições de (b). 
(d) Um veloz submarino de guerra com casco de 10 m de diâmetro viaja a 8 m/s. 
Abordagem 
Para calcular o número de Reynolds para cada situação, aplicamos a definição da 
𝑹𝒆 =
.𝒗 .𝑳

certificando-nos de que as grandezas numéricas sejam 
dimensionalmente uniformes. A tabela anterior relaciona os valores 
da densidade e da viscosidade do ar, da água doce, do óleo e da água do mar. 
SAE = Society of Automotive Engineers –USA usado para ações carbono
43
Solução
(a) O diâmetro da bala é 7,6 mm. Isto é 
d = 7,6 mm = 7,6 X 10-3m 
o número de Reynolds passa a ser 
Re =((1,2 kg/m³)(720 m/s)(7,6 X 10-3 m)) / ((1,8 x 10-5 kg/(m.s))
Re = 3,65 X 105 (kg/m³)(m/s)(m)(m.s/kg) = 3,65 X 105
b) Com valores numéricos do SI, o número de Reynolds para a água que passa pelo 
tubo é 
(cortando as unidades de cada variável como no item a)
Re = ((1.000 kg/m3)(0,5 m/s)(0,01 m)) / (1,0 x 10-3 kg/(m.s)) = 5.000
44
c) Quando se bombeia óleo SAE 30 pelo tubo em vez de água, 
o número de Reynolds cai para 
Re = ((917 kg/m3)(0,5 m/s)(0,01 m)) / 0,26 kg/(m . s) 
(cortando as unidades de cada variável como no item a)
Re = 17,63 
(d) A velocidade do submarino é v = 8 m/s 
O número de Reynolds da embarcação passa a ser 
Re = ((1.026 kg/m3)(8 m/s)(10 m)) / (1,2 X 10-3 kg/(m . s) )
(cortando as unidades de cada variável como no item a)
Re = 6,8 X 107
45
Discussão 
Tal como se espera para uma grandeza adimensional, as unidades do 
numerador em Re cancelam exatamente aquelas do denominador. 
Medições em laboratório demonstraram que fluidos passam por tubos em 
padrão laminar quando Re é menor que aproximadamente 2.000. 
O fluxo é turbulento para valores mais altos de Re. 
Em (b), espera-se que o fluxo da água no tubo deva ser turbulento, ao passo 
que o fluxo em (c) certamente será laminar, porque o óleo é muito mais 
viscoso que a água. 
Rebala = 3,65 x 10
5 Retubo com água = 5.000 
Re tubo com óleo = 17,63 Resubmarino = 6,8 X 10
7
46
ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM TUBULAÇÕES 
Uma aplicação prática para os conceitos de pressão, viscosidade e número de Reynolds 
é o escoamento de fluidos por tubos, mangueiras e dutos. 
Além de distribuir água, gasolina, gás natural, ar e outros fluidos, o escoamento em 
dutos ou tubos também é um tópico importante para estudos biomédicos do sistema 
circulatório humano (figura). 
O sangue passa por artérias e veias em seu corpo para transportar oxigênio e nutrientes 
aos tecidos e remover o dióxido de carbono e outros resíduos. 
O sistema vascular compreende artérias relativamente grandes e veias subdivididas em 
muitos capilares, bem menores, que se estendem por todo o corpo. 
Em alguns aspectos, o fluxo de sangue através desses vasos é semelhante ao que 
encontramos em aplicações de engenharia, como nas áreas de hidráulica e pneumática.
47
48
Os fluidos tendem a escoar de um local com pressão elevada para outro cuja pressão é 
menor. 
Quando o fluido se move como resposta a essa diferença, ele desenvolve tensões de 
cisalhamento em virtude da viscosidade, que equilibra a diferença entre as pressões e 
produz um fluxo constante. 
No sistema circulatório humano, como todos os fatores são iguais, quanto maior a 
diferença de pressão entre o coração e a artéria femoral, maisrapidamente o sangue 
fluirá. 
A mudança de pressão ao longo do comprimento do tubo, mangueira ou duto é 
chamada queda de pressão, representada por p. 
49
Quanto mais viscoso for o fluido, maior terá de ser a diferença de 
pressão necessária para produzir movimento. 
A figura a seguir mostra um diagrama de corpo livre do volume de um fluido que foi 
conceitualmente retirado de um tubo. 
Como a queda de pressão está relacionada à tensão de cisalhamento, 
espera-se que p aumente com a viscosidade e a velocidade do fluido. 
Numa parte do tubo que está longe de perturbações (como uma entrada, bomba, válvula 
ou curva) e com valores do número de Reynolds suficientemente baixos, o fluxo no tubo 
é laminar. 
50
A evidência experimental indica que o fluxo laminar ocorre em tubos cujo Re < 2.000. 
Lembrando a condição de não deslizamento, a velocidade do fluido é exatamente zero 
na superfície interna do tubo. 
Segundo o princípio da simetria, o fluido se deslocará com maior rapidez ao longo da 
linha central do tubo e chegará à velocidade zero no raio R do tubo (figura). 
Na verdade, a distribuição de velocidade num fluxo laminar é uma função parabólica do 
raio, conforme indica a equação 
v = vmáx (1 – (r/R)²) (Caso especial: Re < 2000) 
em que r é medido para fora da linha central do tubo. 
51
A velocidade máxima do fluido ocorre na linha central do tubo, e 
depende da queda de pressão, do diâmetro do tubo d = 2R, da viscosidade do 
fluido  e do comprimento do tubo L. 
Os engenheiros geralmente especificam o diâmetro de um tubo e não o raio, 
porque é mais fácil medir o primeiro. 
A expressão p/L na equação é interpretada como a queda de pressão que 
ocorre por unidade de comprimento do tubo. 
vmáx = d².p / 16. . L (Caso especial: Re < 2000) 
52
53
Além da velocidade do fluido, em geral, estamos mais interessados em conhecer o 
volume V do fluido que passa pelo tubo durante determinado intervalo de tempo t. 
Nesse sentido, a grandeza 
q = V / t
é chamada vazão volumétrica, e suas dimensões no SI são m³/s ou L/s. 
A tabela a seguir indica os valores de conversão entre essas dimensões. 
Podemos ver os fatores de conversão para a dimensão m³/s na primeira linha dessa 
tabela: 
54
A vazão volumétrica está relacionada ao diâmetro do tubo e à velocidade do fluido que passa em 
seu interior. 
A figura acima ilustra um elemento cilíndrico de fluido com área transversal A e comprimento x que 
escoa por um tubo.
No intervalo de tempo t, o volume de fluido que passa por qualquer seção transversal do tubo é 
indicado por V = A.x. Como a velocidade média do fluido no tubo é vméd = xt , a vazão 
volumétrica também é dada por q = A.vméd
55
Quando o fluxo é laminar, a velocidade média do fluido e a velocidade máxima na 
Equação (6.8) estão relacionadas por 
vméd =1/2 vmáx (Caso especial: Re < 2000) 
como mostra a figura . 
Ao calcular número de Reynolds para o fluxo do fluido em tubos, devemos usar a 
velocidade média vméd e o diâmetro d do tubo na equação 𝑹𝒆 =
.𝒗 .𝑳

56
Se combinarmos as equações abaixo, 
v = vmáx (1 – (r/R)²)
vmáx = d².p / 16. . L 
vméd =1/2 vmáx
a vazão volumétrica em um tubo para o fluxo laminar constante e incompressível é 
q = 
𝝅𝒑 𝒅𝟒
𝟏𝟐𝟖 𝑳
Esta é chamada lei de Poiseuille ela limita-se a condições de fluxo laminar. 
Quando medida pelo volume, a taxa de escoamento de um fluido que passa por um 
tubo aumenta na quarta potência de seu diâmetro, e é diretamente proporcional à 
queda de pressão e inversamente proporcional ao comprimento do tubo. 
57
Pode-se usar a lei de Poiseuille para calcular a vazão volumétrica quando o 
comprimento, o diâmetro e a queda de pressão do tubo são conhecidos, 
para calcular a queda de pressão, ou para determinar o diâmetro necessário 
para um tubo quando q, L e p são fornecidos. 
58
Quando a compressibilidade de um fluido é insignificante, a vazão volumétrica 
permanecerá constante mesmo quando houver mudanças no diâmetro do tubo, 
conforme ilustra a figura acima. 
Essencialmente, como o fluido não pode se acumular nem se tomar mais concentrado 
em algum ponto do tubo, a quantidade de fluido que entra no tubo deverá ser igual 
àquela que sai. 
59
Na figura, a área transversal do tubo diminui entre as seções 1 e 2. 
Para que o mesmo volume de fluido que entra no estreitamento por unidade de tempo 
também saia dele, a velocidade do fluido na seção 2 tem de ser mais alta. 
Ao aplicarmos a equação q = A.vméd a velocidade média do fluido muda de acordo com a 
equação 
A1v1 = A2v2
Se a área transversal de um tubo, mangueira ou duto ficar mais estreita, o fluido passará 
mais rapidamente, e vice-versa. 
Provavelmente, você já fez experiências com a vazão volumétrica sem perceber, quando 
colocou seu dedo sobre a extremidade de uma mangueira de jardim para que o jato de 
água fosse mais longe. 
60
Mangueira de combustível de automóveis
Um automóvel está sendo conduzido a 64 km/h e apresenta um consumo de combustível 
de 11,8 km/L. 
A mangueira de combustível do tanque até o motor apresenta um diâmetro interno de 
9,6 mm.
(a) Determine a vazão volumétrica do combustível em unidades de m3/s. 
(b) Nas dimensões de cm/s, qual é a velocidade média da gasolina? 
(c) Qual é o número de Reynolds para essa vazão? 
61
Abordagem 
Podemos usar as informações sobre a velocidade do automóvel e o consumo de 
combustível para encontrar a vazão volumétrica do consumo de gasolina. 
Em seguida, conhecendo a área da seção transversal da mangueira de combustível, 
aplica-se a equação q = A.vméd para encontrar a velocidade média do combustível. 
Finalmente, calculamos o número de Reynolds , na qua o comprimento característico é 
o diâmetro da mangueira de combustível. A tabela indica a densidade e a viscosidade da 
gasolina. 
62
Solução 
(a) A vazão volumétrica é a razão entre a velocidade do veículo e o consumo 
médio do combustível: 
q = 64 kg/h / 11,8 kg/L 
= 5,4 (km/h) (L/ km) 
= 5,4 L/h 
63
Se fizermos a conversão do valor por hora para o valor por segundo, essa vazão será 
equivalente a 
q = (5,4 L/h) (10-3 m3/L) (1/3.600 h/s)
q = 1,5 x 10-6 (L/h) (m3/L) (h/s)
q = 1,5 x 10-6 m3/s
64
(b) A área da seção transversal da mangueira de combustível 
A =  / 4 (9,26 x 10-3m)² = 7,23 x 10-5 m²
A velocidade média da gasolina é 
vméd = 1,5 x 10
-6 m³/s / 7,23 x 10-5 m² 
= 2,07 X 10-2 (m³/s) (1/m²)
= 2,07 X 10-2 m/s ou vméd = 2,07 cm/s
65
(c) Com o diâmetro da mangueira de combustível d = 9,6 x 10-3 m, o número de Reynolds 
para essa vazão é 
Re = (680 kg/m3)(2,07 x 10-2 m/s)(9,6 X 10-3 m) / (2,9 X 10-4 kg/(m . s) 
= 466 (kg/m³)(m/s)(m)(m.s/kg) 
= 466 
66
Discussão 
Como Re < 2000, o fluxo deve ser constante e laminar. 
Um consumo de combustível mais elevado resultaria em valores menores 
para a vazão, a velocidade e o número de Reynolds, já que haveria 
necessidade de menos combustível para manter a mesma velocidade do 
veículo. 
q = 1,5 X 10-6 m3/s 
vméd = 2,07 cm/s 
Re = 466
Assuntos da próxima aula:
Aula 13. Exercícios