Provas Hoepfner

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2 3 / 0 4 / 2 0 1 0 P r o f e s s o r : 0 1 1 s t a v o H o e p f n u r
N o m e : T u r m a : I
J u s t i f i q u e t o d a s a s s u a s a f i r m a ç õ e s S e j a c l a r o B o a P r o v a !
, 
s r (2 p o n t o s ) D e fi n a 0 q u e é u m a s e q u ên c i a c o n v e r ge n t e D ê e x e m p lo d e u m a s e q u ên c i a
c o n v e r g e n t e n o c o n s t a n t e e u m a n o c o l r v e r ge n t e J u s t i fi q u e
(1 p o n t o c a d a ) P r o v e :
a ) a 0 = 0 p a r a t o d o a ¬ R
b ) · 0 i n v e r s o a d i t i v o é ú n i c o : d a d o a F R
, 
e x i s t e 11m ú n i c o a 1 E R t a J q u e a + a ' _ 0
T a l a : é d e n o t a do p o r a (ugest ão : w e c o n t r a d i ç ã o )
c ) D e f i n i m o s r e c u r s i v a m e Ä e a ' - a e a n + 1 _ a · a P r o s p o r i n d u ç o q u e a " +
a
"
a 
m ? ( 0 " )- _ a n ' (Su ge s E i o : u s e / T; : /u ç a o e m m )
d y Se j a A c R + , 1/ A = { 1/ z : T ¬ A } U s e q u e i n f (1 / A ) = 1 / s u p A p a r a m o s t r a r
q u e Se (a n ) é u & s e q u ên c i a c o m a n > û , p a r a t o d o n e b. - 1/ a n e n E i o
a n 4 0 - b. + + 0 0
3 ' 12 p o n t o s ) C a l c u l e s u p , i n f , m a x e m i n d o c o n j u n t o s o l u ç o d a i n e q u a ç i i o
1エ 11 1エ 2 1〉 Z
n
, 
B
' (2 p o n t o s ) Se j a m f e g fu n çõ e s d e f i n id a s e m R t a is q u e
M o s : r e q u e s e g é c o n t i n u a e m c e n t o f é c o n t fn u a e m c
5 1 (1 p o n t o c a d a ) C a l c u l e l i m f ( · ) c a b o e x i t a Se n o e x i s t e , j u s t i fi q u e E m a m b o s o s
= - p
c a s o s
, 
é p o s s f v e l def i r f e n l p d e m o d o q u e a f\1n ç o f iq u e c o n t fn u a e m p ? Qu a l o v a l o r
d e 1 (p)
z 1
' l :o 1 
0 15
6
' (1 p o n t o ) ! r < q l i e a e q u a ção z 3 1 + z 4 - 0 t e m a o m e n o s l u n a sol uço r e a l
7
' (1 p o n t o c a d a ) C a l c u e (j ust i f i e : l do :) :
n 
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a 暴/ 0 6 / 2 0 10 P n 1f n R » o r : G \ u t a v o H . . ì t r . . ,
C * k u 1o I f V A 2
园
J ï 1n t i f l q u e t o d a s a s s u a s a f i r m a ç ô e s ï ] o a P r o v a !
1 J u 1 t t f 1q u e 1 e c a n u m a da a af r r maqee a b a 1x o é v e r d a d e i r a o u fa l s a
(a ) Sp 1 e g tBM f u n çô e « di f er nci ávei a e m (a , b) t a is w e J" (I ) = g ' (ï ) P A T A l o d o
1 ( (a
, 
b) a n t o f = 9 
(b ) Sp j a f u m a fu n çiio d ife r e n c iÁv e l e m (a , b) , e n t ii o f é a »n t ín u a e m (a , b)
(c ) A d n r 1v n d a 3e f (r y [ . ) , f e 9 di fe r e n c iáv e i s e m R , é d a d a p o r g (T ) f (z y " ) 1
A d p n v a r l a d e a r c t a n ( · / a ) é igu a l a
2 D ë e x e m p l o , p o r m e io d e Gr u ic o , d e u m a f t 1n ç o f (I ) d u a s - d 1fe r e n c iá v e l e m R d ¢ :
fü r r n a q n e
( · ) f " (T ) > 0 e e z ¬ ( 0 0 , 4) u (0 , + o o ) ;
M B ß ( r l ) f " (T ) < 61 p ' r F ( 4 0 ) ;
Qu a l e 0 (8 ) p o n t o (8 ) c r ft i c o (e ) d e f ? Qu a i s 0 (a ) p o n t o (s ) d e in fl e x ão d e 
3 D r t e r u 1i n e a e q u a : ç o d a r e t a m e u t e 8 0 g r M c o d e f (I ) = e : n o p o n t o I - 1
-
4 D p m u l i u e a p a r a q u e y - c o s (a ï ) - q u e a e q u a ç o
d y A
ろ
di + 9y - 0
Eb b o ç e 0 g r áf i c o d e f (z ) = Qt 1 0 (s ) p o n t o (8 ) c r i t i c o (s ) d e f 7 Q u m s 0 (s )
p o n t o (a ) d e i n fl e x o d e f ? I n t e r v a l o s de c r e s c i m e n : 0 / d e c r e s c i n 1e n t o ? Co n c a v i d a d e ?
6 V o c & t r » b a l 11a p t u a a in d ús t D a q l r e fa b r i c a l a t a s d e c e r v e j a Sa b e n d · J q u e I ) 0 v o l u m e
 
d e 5 c m s
, 
i l ) n a s l a t e r a is u s a d u m a l ; e r i a < q u e c u s t a R$ 100 , 00 0 m e t r o q u a d r a 1 l o ; E :
u i ) n & t a m p a e n o fu n d o 0 ma t e r i CU STa R$ 200 , 00 0 m e t r o q u a d r u l o d e t e r u : ! : ! · U i
山 m - d a la t a q u e m i r 1i m i z a 0 L i s t o d o m a t e r 1a l e m p r e g a d o
7 C ü c u 1e (J ut 1t i ñcndN
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0 1 / 0 6 / 2 0 1 1 P r o fe s s o r : G u ß t a v o H o e p fn e r
【q m u l o I P R
T u r m a : I
J u s t i fi q u e t o d a s a s s u a s a f i r m a ç ô e s . B o a P r o v a !
1 (1
, 
6 p t s ) D e fin a d i fe r e n c i a b i l id ad e d e u m a fu n ção f : R + R e m u m p o n t o c ¬ R D ê u m
e x e m p l o de u m a f unçi o c o n t ín u a e m R e d i fe r e n c iáv e l e m t o do s 0 8 p o n t o s e x c e t o 2 , 0 , 2
:
, 
5 p t s ) M o s t r e q u e s e 0 : ( · · b) > R é d i fe r e n c iáv e l , . . l ' (T ) = 0 p a r a t o d o T , e n t o
e x i s t e e = c o n s t a n t e t a l q u e f (r i = c p a r a t o d o E ¬ (a , b) Su g e s t ã o : u s e 0 Te o r e m a do
Va lo r M éd i o 0 r e s u l t a d o c o n t i n u a v H id o s e t r o c a r m o s 0 i n t e r v a l o (a , b) p o r u m c o n j u n t o
q u a lq u e r ?
3 (2 p t s ) D e t e r m i n e M n o g r áf ic o d e y - 3 , 0 < z < 1 d e m o do q u e a ár e a d o t r i n g u lo
d e v ér t i c e s (0
, 
0)
, 
(1
, 
1) e M s e j a m áx i m a Qu a l a e q u a ç o d a r e t a t a n ge n t e n o p o n t o M ?
z
3
4 (2 p t s ) E s b o çe 0 g r M e o d e f ( ) - 4 2z 2 , c o m p le t a n d o a s s e g u i n t e s i n f o r m a çMe s :
a ) ° ( · ) z e r o (s ) d e f :
b ) o ( · ) p o n t o ( · ) c r í t i c o (s ) d e f :
c ) 0 (s ) p o n t o (s ) d e i n f l d e f :
d ) o s I n t e r v a l o s d e c r e s c im e n t o / d e c r e s c i m e n t o :
e ) c o n c a v i d a d e ?
f ) a s s fn t o t a (s )?
g ) f p o s s u i m áx i 1n o e / o u m fn im o l o c a l ? E g l o ba l ?
5 (2 p t s ) C a l c u l e 0 p o l i n ôm i o d e T a y l o r d e o r d e m 4 e e m c - 1 d a fu n ç o f (z ) = l n (2 + z ) :
P4 (£ , 1 ; f ) M o s t r e q u e
Su g e s t ão : 11s e a f ör m u la do T e s t o de L a g r a n ge p a r a e s t i m a r a di fe r e n ç a J P4 
6 (2 p t s ) C a l c u le (j u s t i f ic a n d o !) :
a ) [. c o s (2 r ) ] ' , a > o ; b) エ 3 , #
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1 1 / 0 6 / 2 0 1 4 P r o f e s s o r : G u s t a v o H o e p
fn e r
园里。 南南 囤卧
J u s t i f i q u e t o d a s a s s u a s a f i r m a ç õ e s . B o a 
P r o v a !
1 J u s t i fi q u e s e c a d a u m a d a s a fi r m a çôe s a b a i x o é v e ] : d a d e i r a o u f a ls a
(a ) Se f e 9 8 f \ì n çõe s d i f e r e n c i áv e ì s e m (a , b) t a is q u e f ' (1 :) = ý
' (1 : ) p a r a t o d o
» e (a
, 
b) enci o 1 - g
(b ) Se f é u 111a f i t n ça o c o n t ín u a e m (a , 1i ) , e n t o f é d i fe r e n c i á v e l e 1n (a , b)
(c ) A d e r i v a da de f (T y (. ) , / e g d i f e r e n c i Bi v e is e m R , é 1 ä d a p o r - ) g (. }
1
2 D a d o 0 g r áfi c o d e y , e s b o ça r gr f i eo d e / Qu a i s e fe ) p o n t o (s } c r í t i c o (8 ) -
0 (s h ) o J1t o (s ) d e i n&er n d e T ? I n t e r v a lo s d e C ] ; esci 1nent ol decresci BnenGoBBcavi dade<
A s o l u çâo - i n i c a ? { L ノ
3 D e t e r m i n e a e q u a çi c: d a r e t a t . N{, n t e a . / , i i fi c o ; e Ï . ) - x p o n t o - 1,
? \ 4 D e t e r 1n i n e a p a r a q u e ?j - c o s (em ) v e r i fi q u e a e q u a ç i io
d< y - 0
十 3 : )
dz z
苏 3
ノ 勺X
5
- F I e T F T ( ) -
. 
2 4 
Qua i s 0 (s ) p o n t o ( · ) c r íE e o f= ) d e f z q u a (s )
p o n t o (s ) d e ín i l e x ão d e / ? I n t e l : v a】 o s d e c ] : e ó c i m e n t o / d e c r e s c i 1n e n t e z - d a d e ?
6 V o (: ê t ] : a b a .h a p a r a u l n a i n d ú s t r i a q u e f a Br i c a l a t a s d e c e r v e ja Sa b e n d o q u e : I) 0 v o l u m e
é d e 5 c m 3 ; j i ) n a s l a t e r a i s é u s a d o m a t e r i a l q t r e c u s t a R $ 100
, 
00 0 m e t r o q u a d ] : a d o ; e
i i i ) n a t a m p a c 110 f u n d o 0 m a t e r i a l c t t s t a R $ 200
, 
00 0 m e t i : 0 q u a d ]. A d o
, 
d e t e r m i n e a s
d i l n m 1s Me s d a l a t a Q1K ' 111h l h n i z a 0 ( 1m t o Ci o i n a , t e r i a l e l l l p r e g a do
3 1
7 C a Jc u Je :
d 10 0
卺