Material Aula ARQ 2016 2 Unid 1 2 e 1 3 Sistemas Numeracao s3

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Mario A. Monteiro
ARQUITETURA DE COMPUTADORES
Unidade 1
Item 1.2 – SISTEMAS de NUMERAÇÃO. ARITMÉTICA
Item 1.3 – BASES e CONVERSÕES
Mario A. Monteiro
ARQUITETURA DE COMPUTADORES
� FORMAÇÃO DE NÚMEROS
� Definição
� Base do sistema
� CONVERSÃO DE VALORES ENTRE BASES
� ARITMÉTICA EM SISTEMAS POSICIONAIS
� Adição
� Subtração
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
SUMÁRIO
Mario A. Monteiro
ARQUITETURA DE COMPUTADORES
FORMAÇÃO DE NÚMEROS
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Mario A. Monteiro
ARQUITETURA DE COMPUTADORES
Sistema posicional – cada algarismo tem um valor relativo (diferente) conforme sua
posição no número
EX: 44410 vale 4; vale 40; vale 400
Neste exemplo (sistema decimal) : a medida que os algarismos são acrescentados à 
esquerda o número cresce de valor em grupos de 10.
Sistema não posicional – todo algarismo tem valor fixo, independente de sua posição
no número.
EX: sistema romano, onde o algarismo X vale sempre 10
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
XL = 40 (L = 50 menos X = 10 )
LX = 60 (L = 50 mais X = 10)
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
REGRAS PARA FORMAÇÃO DE NÚMEROS
1.Base – quantidade de símbolos de um sistema posicional. O número da base indica o total de símbolos
dela.
EX: Base 10 (decimal) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
base 2 (binário) – 0, 1.
Base 8 (octal) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Base 16 (hexadecimal) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
2. Cada algarismo de um número indica o valor de sua posição, em potências da base. Uma unidade de 
uma posição de um sistema de base X tem valor equivalente a X unidades da posição imediata à direita.
3 610 3 * 101 + 6 * 100
3. Todo número cresce de valor da direita para a esquerda.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
COMO UM NÚMERO É FORMADO EM QUALQUER SISTEMA POSICIONAL
1. Cresce da direita para a esquerda, a partir do valor 0, seguido do 1 e até o último
algarismo válido.
Exemplo: base 3 (algarismos: 0 a 2); base 10 (alg. 0 a 9)
2. Quando a contagem chega ao último alg. válido de uma posição, retorna a 0 e cresce 1 
unidade para à esquerda.
Exemplo: base 10. Cresce de 0 a 9 e depois 10, 11,….19, na direita retorna à 0 e 
cresce 1 para à esquerda: 20
3. E assim por diante até infinito. 
Mario A. Monteiro
ARQUITETURA DE COMPUTADORES
Base 2 Base 8 Base 10 Base 16
0 0 0 0
1 1 1 1
10 2 2 2
11 3 3 3
100 4 4 4
101 5 5 5
110 6 6 6
111 7 7 7
1000 10 8 8
1001 11 9 9
1010 12 10 A
1011 13 11 B
1100 14 12 C
1101 15 13 D
1110 16 14 E
1111 17 15 F
10000 20 16 10
10001 21 17 11
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Base 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Base 10 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Base 16 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
Base 10 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Base 16 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F
Em bases de valor superior a 10, usam-se letras do alfabeto para representação de 
algarismos maiores que 9. A base 16 é especialmente usada em computação, por ser 
de valor de potência de 2.
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CONVERSÃO DE VALORES ENTRE BASES
I. De uma base qualquer X para a base 10
II. Da Base 10 para uma base qualquer Y
III. Casos especiais:
� Base 2 para Base 4 e vice-versa
� Base 2 para Base 8 e vice versa
� Base 2 para Base 16 e vice-versa
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA DECIMAL
Centenas Dezenas Unidades Decimos centésimos
102 101 100 10-1 10-2
4 6 2 . 1 5
4*102 = 4*100 = 400.
6*101 = 6*10 = 60.
2*100 = 2*1 = 2.
1*10-1 = 1*.1 = 0.1
5*10-2 = 5*.01 = + 0.05
462.15
Observe o número decimal 462,15
O primeiro dígito do referido número (à esquerda) é 4, 
mas, tendo em vista que ele está localizado na coluna 
das centenas, sabe-se que ele realmente representa 4 * 
102 ou 400. De modo semelhante, o algarismo 6, 
localizado na coluna das dezenas representa o valor 6 * 
101 ou 60. Continuando o padrão explicado, pode-se 
expressar o número 462,1510 como mostrado ao lado
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA DECIMAL
A mesma formação se aplica ao número binário 110,112
quatros dois uns metades quartos
22 21 20 2-1 2-2
1 1 0 . 1 1
Observe que, agora, os valores em cada posição na tabela são potências de 2 e não 
potências de 10, como aconteceu no exemplo do sistema decimal.
Usando a fórmula acima observa-se que o primeiro dígito (mais a esquerda) do número 
binário do exemplo representa o valor 1 * 22 ou 4 e o segundo dígito representa o valor 1 * 21
=2.
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CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA DECIMAL
1*22 = 1 * 4 = 4.
1*21 = 1 * 2 = 2.
0*20 = 0 * 1 = 0.
1*2-1 = 1 * .5 = 0.5
1*2-2 = 1 * .25 = + 0.25
6.75
Continuando o padrão, pode-se expressar o número 110,11 como se segue na tabela:
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Valores
das posições
24 23 22 21 20 2-1 2-2
16 8 4 2 1 0.5 0.25
Dígitos binários 1 1 1 0 1 . 0 1
Converter o número binário 11101,01
2
para decimal.
Calcula-se o valor de cada posição e depois soma-se todos os valores.
1.Primeiro, cria-se a tabela com tantas colunas quanto algarismos do número origem (número binário). Na 
primeira linha escreve-se as posições e os valores obtidos em potência de 2 para cada posição. Na segunda 
linha coloca-se os correspondentes valores das potências de 2 em decimal.
2.Observe que o valor 20 está localizado imediatamente à esquerda da vírgula que separa a parte fracionária da 
parte inteira. A medida que se avança para a esquerda os expoentes das potências crescem de 1 para cada 
dígito e os valores decrescem de 1 a medida que se avança para a direita da vírgula (valores negativos)
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
Para cada coluna, multiplica-se o valor da posição da respectiva coluna pelo dígito existente na 
coluna (assim, na priemira coluna mais a esquerda, multiplica-se 16 pelo dígito 1). Como 
qualquer número multiplicado por zero resulta em valor zero, pode-se ignorar as colunas em que 
o dígito existente seja 0. Como as demias colunas possuem valor 1, basta registrar seus valores 
de posição como mostrado na tabela a seguir.
Valores das pos. 16 8 4 2 1 0.5 0.25
Algarismo binário 1 1 1 0 1 . 0 1
Produto 16 8 4 0 1 0 0.25
Finalmente, soma-se todos os valores listados e obtem-se o resultado em decimal. 
11101.012 = 16 + 8 + 4 + 1 + 0.25 = 29.25
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Conversão de valores de uma base X para outra base Y
A conversão sempre tem que ser realizada usando a base 10 como intermediária
(pois é a que sabemos efetuar cálculos aritméticos). Então, converte-se da base 
X (origem) para base 10 e o resultado é convertido para base Y (destino).
Exemplo: converter 234 da base 6 para valor equivalente na base 8.
1. O num. a ser convertido é expresso em N produtos, sendo N = qtde alg do nr.
2346 = 2 * 62 + 3 * 61 + 4 * 60
2. Os produtos são calculados usando aritmética da base 10 e, assim, o resultado é expresso em valores
decimais.
(2 * 72) + 18 + 4 = 9410
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SISTEMAS BINÁRIOS E HEXADECIMAIS
* Conversão de valores de uma base X para outra base Y
� O resultado (decimal 94) é convertido para base desejada (base 8).
Este processo é o inverso do anterior (o inversoda multiplicação é a divisão).
� Então, divide-se o valor (94) pela base desejada (base 8). O resto obtido é o 1o algarismo
do número desejado (algarismo mais à direita).
94 / 8 = 11 e resto = 6
� O quociente obtido na divisão é novamente dividido por 8 e o novo resto é acrescentado à 
esquerda do 1o algarismo.
11 / 8 = 1 e resto 3 O número a ser obtido na base 8 já é: 3 6
• Divide-se novamente e até obter-se quociente 0 (zero).
1 / 8 = 0 e resto 1
� O NÚMERO OBTIDO É 1 3 68
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CONVERSÃO DE DECIMAL PARA BINÁRIO
Considere o número 1110. Os passos seguintes mostram como
converter este número em um valor binário, usando o método de
divisões repetidas. O R mostrado indica Resto da divisão.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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CONVERSÃO DE DECIMAL PARA BINÁRIO
5 / 2 = 2 R 1
Resposta:
? ? 1 1
Primeiro, divide-se o valor 11 por 2 para
obter o primeiro dígito, que é o algarismo
(dígito) menos significativo (mais à direita).
Como o resto é igual a 1, então o algarismo
menos significativo da resposta é 1
11 / 2 = 5 R 1
Resposta:
? ? ? 1
Em seguida, pega-se o resultado da divisão
(quociente), valor 5, e divide-se novamente
por 2. Como 5 por 2 resulta em resto 1, o
algarismo seguinte na resposta é 1.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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CONVERSÃO DE DECIMAL PARA BINÁRIO
Novamente efetua-se a divisão do quociente 
anterior (valor 2) por 2. O resto desta vez é 
igual a 0, com resultado igual a 1 (quociente = 
1). Assim, escreve-se 0 na posição à esquerda.
Uma última divisão por 2 resulta no 
algarismo mais significativo (mais à 
esquerda) da nossa resposta. Como 1 
(quociente anterior) é menor que 2 (divisor), 
então o quociente da divisão é 0 e resto é 
igual ao dividendo (valor 1), que é o último 
algarismo da resposta (mais à esquerda). 
2 / 2 = 1 R 0
Resposta:
? 0 1 1
1 / 2 = 0 R 1
Resposta:
1 0 1 1
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
SISTEMAS BINÁRIOS E HEXADECIMAIS
EXERCÍCIO
Converter o número 11011012 em um valor equivalente na base 10 
(conversão binário para decimal) e vice-versa (conversão de decimal para 
binário
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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
ARITMÉTICA (adição e subtração com números inteiros)
I – Soma
Parcelas são somadas, algarismo por algarismo (pares da mesma coluna), do algarismo mais à direita, 
até o último algarismo à esquerda.
Se o resultado da soma de 2 algarismos fôr igual ou maior que o valor da base, então o excesso é 
subtraido e o resultado colocado na respectiva posição e passa 1 unidade (“ vai 1” ) para a posição
imedita à esquerda, que será somado aos dois algarismo seguintes.
Na base 10 Na base 2 Na base 16
1 1 1 1 1 1 1
5 7 4 1 1 0 1 C D 9 4
8 9 3 1 1 1 0 8 E 7 7 
----------- --------- ------------
1 4 6 7 1 1 0 1 1 1 5 C 0 B
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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
ARITMÉTICA (adição e subtração com números inteiros)
II – Subtração
Parcelas são subtraidas, algarismo por algarismo (pares da mesma coluna), do algarismo mais à direita, 
até o último algarismo à esquerda.
Se o minuendo (algarismo superior) fôr maior que o subtraendo (algarismo inferior), realizar a operação
e registrar a diferença em baixo. Caso o minuendo seja inferior ao subtraendo deve ser subtraida 1 
unidade do algarismo à esquerda (“ pedir 1 emprestado” ), a qual passa a vler um valor igual ao da base 
na posição à direita. Este valor de base é somado ao valor existente de minuendo e efetua-se a 
subtração.
Na base 10
210
4 3 0 7
- 2 7 3 4
------------
1 5 7 3 
Na base 16
11 29 8 20
C D 9 4
- 8 E 7 7
--------------------
3 F 1 D
(O "empresta 1" no 
hexadecimal tem valor 16)(B16)
(1416)
(1D16)
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ARITMÉTICA (adição e subtração com números inteiros)
No binário, a operação parece ser mais complicada, mas vamos lá:
0-1=1 e vai 1, para ser subtraído no digito seguinte; 1-1=0; 1-0=1; 0-0=0.
Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do primeiro algarismo diferente de zero. Esse empréstimo vem 
valendo 2 (dois), por ser um número binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 
= 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a valer 0
Na base 2
0 1 1 2
1 0 0 0 1 
- 0 1 1 1 0
------------------
0 0 0 1 1
Quando encontrar 0-1: 
• O zero desta coluna valerá 2;
• Todos os zeros à esquerda, até o primeiro "número 1" valerão 1. 
• Este "primeiro número 1" valerá 0 (zero)
• Se acontecer novamente 0-1, o processo se repete.
(O "empresta 1" no binário tem valor 2)
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
EXERCÍCIOS DE SUBTRAÇÃO
4 C 7 B E 8
- 1 E 9 2 7 A
----------------------------------
1 0 1 1 0 1
- 1 0 0 1 1 1
----------------------------------
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1
- 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
-----------------------------------------------------------------------
7 3 1 2
- 3 4 6 5
----------------------
Base 16
Base 2
Base 2
Base 8
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
EXERCÍCIOS DE SUBTRAÇÃO
27
3 11 23 13 24
4 C 7 B E 8
- 1 E 9 2 7 A
----------------------------------
2 D E 9 6 E
1 0 1 1 0 1
- 1 0 0 1 1 1
----------------------------------
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1
- 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
-----------------------------------------------------------------------
7 3 1 2
- 3 4 6 5
----------------------
Base 16
Base 2
Base 2
Base 8
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
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EXERCÍCIOS DE SUBTRAÇÃO
27
3 11 23 13 24
4 C 7 B E 8
- 1 E 9 2 7 A
----------------------------------
2 D E 9 6 E
0 2
1 0 1 1 0 1
- 1 0 0 1 1 1
----------------------------------
0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1
- 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
-----------------------------------------------------------------------
7 3 1 2
- 3 4 6 5
----------------------
Base 16
Base 2
Base 2
Base 8
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
27
3 11 23 13 24
4 C 7 B E 8
- 1 E 9 2 7 A
----------------------------------
2 D E 9 6 E
0 1 1 1 1 1 2
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1
- 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
-----------------------------------------------------------------------
1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
7 3 1 2
- 3 4 6 5
----------------------
Base 16
Base 2
Base 2
Base 8
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
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EXERCÍCIOS DE SUBTRAÇÃO
27
3 11 23 13 24
4 C 7 B E 8
- 1 E 9 2 7 A
----------------------------------
2 D E 9 6 E
0 2
1 0 1 1 0 1
- 1 0 0 1 1 1
----------------------------------
0 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 2
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1
- 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
-----------------------------------------------------------------------
1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
10 8
6 2 0 10 
7 3 1 2
- 3 4 6 5
----------------------
3 6 2 5
Base 16
Base 2
Base 2
Base 8
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
EXERCÍCIO
Nas arquiteturas de computadores modernas, utilizam-se a aritmética binária
e as notações binárias e hexadecimal. Suponha que o processador de
determinada arquitetura somou dois números de 8 bits, 99h e 11h, ambos
expressos na notação hexadecimal. O resultado dessa soma, na notação
binária, é:
a) 10101010 b
b) 10101011 b
c) 10111010 b
d) 10111011 b
e) 10111110 b 
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ARQUITETURA DE COMPUTADORES
Formação de números: lista de exercícios nr. 1
Conversão de base: lista de exercícios nr. 2
Aritmética : lista de exercícios nr. 3
EXERCÍCIOS
TODAS AS LISTAS ESTARÃO INCLUIDAS NO AVA
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Como mostrado para as operações de adição me subtração,
as operações de multiplicação e divisão podem ser realizadas
de forma semelhante ao sistema decimal