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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica 
 
Uberlândia, 30 de junho de 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: CAIO ROBERTO BOTTER (11421EAR006) 
LEONARDO DIAS DA SILVA CABRAL (11421EAR020) 
MESSIAS ALVES PEREIRA NETO (11421EAR007) 
PEDRO ISMAEL PAVINSKI PIMENTEL (11421EAR012) 
 
Relatório 
do laboratório 5 e 6 da disciplina de 
 
Controle de Sistemas Lineares 
(FEMEC42060) 
1. Introdução 
Em muitas situações reais o projeto de controladores para determinadas plantas 
esbarra em um grave inconveniente: o não conhecimento das leis que regem a planta a 
ser controlada. Portanto, é necessário antes de se pensar no controlador propriamente 
dito, identificar o sistema a ser controlado através da coleta de dados experimentais do 
input e do output da planta, da seleção de um modelo e dos parâmetros que regem este 
modelo e da validação do modelo. 
Uma vez que obtivemos um modelo representativo do sistema partimos para o 
projeto do controlador. Para tanto, é necessário identificar os requisitos de projeto, 
como por exemplo, amortecimento, tempo de acomodação e erro do sistema 
compensado e calcular um compensador teórico que os satisfaçam. Entretanto, os 
controladores são constituídos de elementos físicos como resistores, capacitores e 
amplificadores operacionais, que seguem padrões comerciais, ou seja, em muitos casos, 
o controlador teórico não será idêntico ao real. 
 
2. Objetivos 
Projetar um controlador de Rede em Atraso para uma planta cuja lei de controle é 
desconhecida de modo que o sistema compensado atenda aos seguintes requisitos de 
projeto: 𝜉 = 0,7; 𝑇𝑠 = 6 𝑠 e 𝐾𝑝 = 100. 
 
3. Procedimento 
3.1.Identificação da Planta 
 
A partir dos dados obtidos da planta foi realizada a identificação de um modelo 
representativo, para tanto, foram utilizados dois conjuntos de dados, um conjunto para a 
determinação do modelo e outro para sua validação. Esses dados passaram por um pré-
processamento visando retirar suas médias e tendências. 
Para tanto, foram seguidos os seguintes passos: 
 
1) Abertura do software MatLab®; 
2) Carregamento dos dados na Command Window utilizando-se o comando load. 
Deve-se carregar dois conjuntos de dados, o de determinação do modelo e o 
de validação; 
 
 
 
 
Figura 1: Carregamento dos dados. 
 
3) Abertura da Identification Toolbox através do comando ident; 
 
Figura 2: Abertura da Identification Toolbox. 
 
Figura 3: Identification Toolbox. 
 
4) Na janela de identificação clicamos em Import data e então em Data objetct 
para importar os dados; 
 
Figura 4: Importação dos dados. 
 
5) Na janela de importação digitamos o nome dos arquivos em Object e clicamos 
em Import para concluir a importação; 
 
 
Figura 5: Importação dos dados. 
 
6) Após a importação dos dados devemos realizar os pré-processamentos, para 
tanto clicamos em Preprocess e selecionamos Remove Means; 
 
Figura 6: Pré-processamento dos dados. 
 
7) Então devemos realizar a Remoção das tendências, novamente no sub menu 
Preprocess, clicando em Remove Trends; 
 
Figura 7: Pré-processamento dos dados. 
 
8) Repetimos os passos 6 e 7 para os dados de validação; 
9) Após o pré-processamento dos dados é necessário verificar a existência de um 
delay no sistema, para tanto, é necessário clicar em Time Plot; 
 
 
Figura 8: Exibição dos dados. 
 
10) Com o gráfico aberto, damos zoom nos dados experimentais e verificamos a 
inexistência de delay; 
 
Figura 9: Plotagem dos dados no domínio do tempo. 
 
 
Figura 10: Zoom nos dados experimentais para a verificação da existência de delay. 
11) Deve-se então estimar o modelo, neste caso, utilizaremos modelos por funções 
de transferência, para tanto, no sub menu Estimate, clicamos em Transfer 
Function Models; 
 
 
Figura 11: Seleção de modelos de funções de transferência. 
 
12) Deve-se definir a função de transferência utilizada na modelagem do sistema 
escolhendo o número de polos, zeros e o delay. O número de polos é definido 
no campo Number of poles, enquanto que o de zeros, em Number of zeros; o 
delay é ajustado clicando-se no sub menu I/O Delay, neste caso, selecionamos 
um delay variável de 0 a 6 segundos; 
 
 
Figura 12: Janela para a determinação dos parâmetros da função de transferência. 
 
13) Com a função de transferência criada podemos avaliar a representatividade do 
modelo clicando nas opções Model Output e Model Resids. Inúmeras funções 
de transferência foram criadas, porém, determinou-se que a que melhor 
representava o sistema possuía 4 polos e 2 zeros; 
 
Figura 13: As várias funções de transferência testadas. 
 
Figura 14: Os resíduos das várias funções de transferência testadas. 
 
Figura 15: Comparação do modelo com os dados. 
 
 
Figura 16: Avaliação dos resíduos do modelo. 
A função de transferência escolhida possui 4 polos e 2 zeros e possuí a seguinte 
forma: 
𝐺(𝑠) = 
39,16 ∗ 𝑠2 + 0,7245 ∗ 𝑠 + 1,948
𝑠4 + 24,06 ∗ 𝑠3 + 57,76 ∗ 𝑠2 + 2,174 ∗ 𝑠 + 2,846
, 
 
3.2.Projeto teórico da lei de controle 
 
A partir do modelo identificado e dos requisitos de projeto (𝜉 = 0,7; 𝑇𝑠 = 6 𝑠 e 
𝐾𝑝 = 100) um controlador de rede em atraso foi projeto. 
𝜔𝑛 = 
4
𝜉 ∗ 𝑇𝑠
→ 𝜔𝑛 =
4
0,7 ∗ 6
= 0,9524. 
 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
(
𝑎1 ∗ 𝑠 + 𝑎0
𝑏1 ∗ 𝑠 + 1
∗
39,16 ∗ 𝑠2 + 0,7245 ∗ 𝑠 + 1,948
𝑠4 + 24,06 ∗ 𝑠3 + 57,76 ∗ 𝑠2 + 2,174 ∗ 𝑠 + 2,846
) → 
 
𝐾𝑝 = 100 = 𝑎0 ∗
1,1948
2,846
→ 𝑎0 = 238,1590. 
𝑠1 = −𝜉 ∗ 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 ∗ √1 − 𝜉2 ∗ 𝑗 → 𝑠1 = −0,6667 + 0,6801 ∗ 𝑗. 
|𝑠1| = 0,9524. 
𝐺(𝑠1) = 0,8243 − 0,3299 ∗ 𝑗. 
|𝐺(𝑠1)| = 0,8878. 
𝛽 = 134,4270°. 
𝜓 = 338,1878°. 
𝑎1 = 
sin(𝛽) + 𝑎0 ∗ |𝐺(𝑠1)| ∗ sin (𝛽 − 𝜓) 
|𝑠1| ∗ |𝐺(𝑠1)| ∗ sin (𝜓)
= −273,4353. 
𝑏1 = 
sin(𝛽 + 𝜓) + 𝑎0 ∗ |𝐺(𝑠1)| ∗ sin (𝛽) 
−|𝑠1| ∗ sin (𝜓)
= 429,3192. 
O coeficiente 𝑎1 calculado a partir dos requisitos de projeto resultou em um 
número negativo, ou seja, este compensador desestabiliza a planta em questão, como 
podemos ver no root-locus do sistema compensado abaixo. 
 
Figura 17: Root-Locus do sistema compensado com tempo de acomodação de 6 segundos. 
Desse modo, para que fosse possível projetar um controlador para a planta, o 
controlador de rede em atraso foi substituído por um PID. Assim , temos que: 
𝜔𝑛 = 1,9048. 
𝑎0 = 238,1590. 
𝑠1 = −1,3333 + 1,3603 ∗ 𝑗. 
𝐺(𝑠1) = 0,6616 − 0,7734 ∗ 𝑗. 
|𝑠1| = 1,9048. 
|𝐺(𝑠1)| = 1,0178. 
𝛽 = 134,4270°. 
𝜓 = 310,5447°. 
𝐾𝑖 = 10. 
𝐾𝑝 = 
−sin(𝛽 + 𝜓)
|𝐺(𝑠1)| ∗ sin (𝛽)
− 
2 ∗ 𝐾𝑖 ∗ cos (𝛽)
|𝐺(𝑠1)|
= 13,2441. 
𝐾𝑑 = 
sin(𝜓)
|𝑠1| ∗ |𝐺(𝑠1)| ∗ sin (𝛽)
+
𝐾𝑖
|𝑠1|2
= 10,4097. 
A partir dos parâmetros calculados acima obtivemos o seguinte controlador para a 
planta: 
𝐺𝑐(𝑠) = 13,2441 +
10
𝑠
+ 10,4097 ∗ 𝑠. 
O root-locus para o sistema compensado pode ser visto na imagem abaixo. 
 
Figura 18: Root-Locus do sistema compensado por um controlador PID . 
 
 
3.3.Projeto teórico do circuito elétrico que implementa a lei de controle 
projetada 
O circuito elétrico para o compensador em questão é composto de três elementos, 
um detector de erros, o controlador e um inversor de sinal. 
O detector de erros é basicamente um amplificador operacional inversor, que 
subtrai as duas entradas de voltagem e as multiplica por um fator de resistências, abaixo,um desenho esquemático do componente. 
 
Figura 19: Desenho esquemático de um detector de erros. 
A voltagem de saída é dada pela seguinte expressão: 𝑉𝑠 = 
𝑅2
𝑅1
∗ (𝑉2 − 𝑉1). 
As resistências do amplificador de erro podem ser iguais a 100 ohms, por 
exemplo. 
A solução para o controlador do tipo PID pode ser aproximado pelo seguinte 
circuito, sendo que 𝑍1(𝑠) e 𝑍2(𝑠) são conjuntos de capacitores e resistores, como 
mostrado nas Figuras 21 e 22, respectivamente. 
 
Figura 20: Circuito genérico de um controlador. 
 
 
Figura 21: Circuito equivalente ao elemento 𝑍1. 
 
Figura 22: Circuito equivalente ao elemento 𝑍2. 
 
Onde a função de transferência do controlador pode ser definida como: 
𝐺𝑐(𝑠) = − [(
𝑅2
𝑅1
+
𝐶1
𝐶2
) + 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝑠 +
1
𝑅1 ∗ 𝐶2
𝑠
] 
Os valores das resistências e capacitâncias foram encontrados a partir de tabelas 
de amplificadores operacionais e capacitores comerciais mais populares e foram 
selecionados de modo a atender as condições propostas pelos dados adquiridos 
analiticamente para o compensador, sendo assim, seguem abaixo os valores obtidos para 
o controlador: 
𝑅1 = 0,379 𝑘𝛺 
𝐶1 = 2,7 𝜇𝐹 
𝑅2 = 3,855 𝑀𝛺 
𝐶2 = 0,264 𝜇𝐹 
𝐺𝑐(𝑠) = − [(
𝑅2
𝑅1
+
𝐶1
𝐶2
) + 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝑠 +
1
𝑅1 ∗ 𝐶2
𝑠
] 
Com isso, ao utilizar-se do software Proteus, foi possível encontrar como 
amplificador operacional o modelo LM348 e como capacitor comercial o de 2,7 𝜇𝐹. 
O inversor de sinal, assim como o diferencial, apresenta um circuito característico, 
que é exibido na figura abaixo, na qual, a partir da igualdade nos valores das 
resistências, o potencial de saída corresponderá ao inverso do potencial de entrada. 
Dessa maneira, como a fórmula prevista na equação do controlador possui um sinal 
negativo, o inversor de sinal inverte esse sinal, deixando o potencial novamente 
positivo. 
 
Figura 23: Desenho esquemático de um inversor de sinais. 
Equação que rege o inversor de sinais: 𝑉𝑠 = −𝑉𝑒 ∗ (
𝑅2
𝑅1
). 
O circuito montado no Proteus, considerando um motor como planta, os 
amplificadores operacionais e o compensador PID, pode ser visto abaixo. 
 
Figura 24: Circuito de malha fechada. 
 
 
 
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Disciplina: Controle de Sistemas Lineares
Caio Botter 11421EAR 006
Leonardo Dias 11421EAR020
Messias Alves 11421 EAR007
Pedro Pavinski 11421 EAR012
Uberlândia 2017
 Dado um sistema, seja ele mecânico ou elétrico,
existe um modelo que o define, uma lei que
relaciona a entrada do sistema à saída.
 Mas, por muitas vezes para alcançar
determinadas características desejadas sobre o
projeto, precisamos elaborar formas de alcançar
os padrões requeridos, usando assim,
controladores.
 Construir um Controlador de Rede em atraso para 
o sistema dado.
Dessa forma, deve-se:
 Identificar o sistema em questão;
 Elaborar de maneira teórica o controlador;
 Construir o circuito teórico representativo do 
controlador.
 Abrir no MATLAB os dados obtidos
experimentalmente, tanto os de construção
da planta quanto os de validação desta;
 Construir a lei, por uma função de
transferência que rege os dados, através da
Identification Toolbox;
 Construir o Root-Locus da planta, para
analisá-la.
4 polos e dois zeros
𝐺 𝑠 =
39,16 ∗ 𝑠2 + 0,7245 ∗ 𝑠 + 1,948
𝑠4 + 24,06 ∗ 𝑠3 + 57,76 ∗ 𝑠2 + 2,174 ∗ 𝑠 + 2,846
 Cálculo dos parâmetros, através das 
especificações dadas;
 Elaboração da lei do controlador;
 Análise do controlador;
 Reformulação, se necessário.
 𝜉 = 0,7; 
 𝑇𝑠 = 6 𝑠;
 𝐾𝑝 = 100
 𝜔𝑛 =
4
𝜉∗𝑇𝑠
→ 𝜔𝑛 =
4
0,7∗6
= 0,9524
 𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝑎1∗𝑠+𝑎0
𝑏1∗𝑠+1
∗
39,16∗𝑠2+0,7245∗𝑠+1,948
𝑠4+ 24,06∗𝑠3+57,76∗𝑠2+2,174∗𝑠+2,846
→ 𝐾𝑝 =
100 → 𝑎0 = 238,1590.
 𝑠1 = −𝜉 ∗ 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 ∗ 1 − 𝜉2 ∗ 𝑗 → 𝑠1 = −0,6667 + 0,6801 ∗ 𝑗
 𝑠1 = 0,9524;
 𝐺 𝑠1 = 0,8243 − 0,3299 ∗ 𝑗
 𝐺 𝑠1 = 0,8878 ;
 𝛽 = 134,4270°;
 𝜓 = 338,1878°;
 𝑎1 =
sin 𝛽 +𝑎0∗ 𝐺 𝑠1 ∗sin(𝛽−𝜓)
𝑠1 ∗ 𝐺 𝑠1 ∗sin(𝜓)
= −273,4353
 𝑏1 =
sin 𝛽+𝜓 +𝑎0∗ 𝐺 𝑠1 ∗sin(𝛽)
− 𝑠1 ∗sin(𝜓)
= 429,3192
Não garante estabilidade!!!!
 Alterar o controlador para PID. Assim:
 𝜔𝑛 =
4
𝜉∗𝑇𝑠
→ 𝜔𝑛 =
4
0,7∗6
= 0,9524
 𝑎0= Kp/(1.195/2.846) = 238,1590
 𝑠1 = 0.9524
 𝐺 𝑠1 = 0.8878
 𝛽 = 134,4270°
 𝜓 = −21.8125
 𝐾𝑖 = 10
 𝐾𝑝𝑟= (-sin(𝛽 + 𝜓) / ( 𝐺 𝑠1 *sin(𝛽 ))) – (2*𝐾𝑖*cos(𝛽)/ 𝑠1 )
 𝐾𝑑 = = sin(𝜓) / ( 𝑠1 * ( 𝐺 𝑠1 *sin(𝛽)) + 𝐾𝑖/ 𝑠1 ^2
 Assim:
 𝐺𝑐(𝑠) =
10.41 s^2 + 13.24 s + 10
s
𝐺𝑐(𝑠) =
10.41 s^2 + 13.24 s + 10
s
Garante estabilidade!!
 Uso do software Protheus;
 Identificar os subsistemas necessários;
 Construir o circuito baseado da lei encontrada 
para o controlador na Etapa 2
 Detector de Erros;
 Amplificador Operacional;
 Amplificador Operacional Inversor.
 Representado como um amplificador operacional
diferencial;
 Uso de Resistores para alterar o potencial de saída
em relação ao de entrada, dando o erro;
 Resistências de 100 Ohm.
𝑉𝑠 =
𝑅2
𝑅1
∗ 𝑉2 − 𝑉1
 Definido pela lei matemática do controlador;
 Uso de capacitores e resistores;
𝑅1 = 0,379 𝑘𝛺
𝐶1 = 2,7 𝜇𝐹
𝑅2 = 3,855 𝛺
𝐶2 = 0,264 𝜇𝐹
𝐺𝑐 𝑠 = −
𝑅2
𝑅1
+
𝐶1
𝐶2
+ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝑠 +
1
𝑅1 ∗ 𝐶2
𝑠
 Definido por resistências;
 Inverte o sinal do potencial de saída em relação 
ao de entrada
𝑉𝑠 = −𝑉𝑒