vetor aleatório

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Vetores aleatórios
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Prof. José Francisco Moreira Pessanha
professorjfmp@hotmail.com










=
px
x
X M
1
Vetor aleatório
Vetor aleatório é um vetor cujas componentes são variáveis aleatórias
xi é uma variável aleatória ∀i=1,2,...,p
Exemplo: Notas finais obtidas por um aluno nas disciplinas no 6º período
















=
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
X
Variáveis aleatórias:
x1 = nota em processos estocásticos II
x2 = nota em planejamento de experimentos
x3 = nota em tecnologia da amostragem II
x4 = nota de econometria
x5 = nota de estatística multivariada
Vetor aleatório
Vetor 
aleatório 
Vetor de médias
( )
( )
( ) 








=⇒










=
P
X
pxE
xE
XE
µ
µ
µ MM
11
Vetor de médias:










=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
Vetor com as médias 
das variáveis do 
vetor aleatório X
Matriz de covariâncias














σσσ
σσσ
σσσ
=Σ
pppp
p
p
X
L
MOM
K
21
22221
11211
Matriz de covariâncias:










=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 












=Σ
ppp
p
p
X
xVarxxCovxxCov
xxCovxVarxxCov
xxCovxxCovxVar
L
MOM
K
21
2212
1211
,,
,,
,,
Matriz pxp simétrica, σij = σji
Matriz positiva definida, ou seja, 
Matriz com as 
variâncias e 
covariâncias das 
variáveis do vetor 
aleatório X
111 0 pxpxpxpTxp a constantes de vetor aa ∀>Σ
Matriz de covariâncias














σσσ
σσσ
σσσ
=Σ
pppp
p
p
X
L
MOM
K
21
22221
11211
Variância generalizada
(determinante)
Variância total (traço)
Matriz de covariâncias
XΣ
( ) ppXtraço σ++σ+σ=Σ K2211
Matriz de correlação
Matriz de correlação:










=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:














ρρ
ρρ
ρρ
=
1
1
1
21
221
112
L
MOM
K
pp
p
p
XP
Matriz pxp simétrica, ρij = ρ ji
Matriz com as 
correlações entre 
as variáveis do 
vetor aleatório X ( )
( ) ( )ji
ji
ij
xVarxVar
xx
⋅
=ρ
,cov Coeficiente de 
correlação entre as 
variáveis xi e xj
11 ≤ρ≤− ij
Combinações lineares
( ) 11
1
1 px
T
xp
P
p Xa
x
x
aay =










= MK
y é uma variável aleatóriappxaxaxay +++= K2211










=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
Seja a um vetor de constantes: ( )pT aaa K1=
Em notação vetorial:
Combinações lineares
( ) ( ) XTyT aXEayE µµ =⇒=
( ) 11
1
1 px
T
xp
P
p Xa
x
x
aay =










= MK
( ) aayVar XTΣ=
Combinações lineares
Exemplo:






−
−
=Σ
52
28
X






=
2
1
x
x
X vetor aleatório com vetor média µX e matriz de covariâncias ΣX
21 2
1
2
1
xxz +=






=
2
1
Xµ
Qual a média e a variância 
da variável aleatória z ?
( ) ( ) 5,1
2
1
5,05,05,05,0 =





== XZ µµ
( ) ( ) 25,2
5,0
5,0
52
28
5,05,0
5,0
5,0
5,05,02 =











−
−
=




Σ= Xzσ
Considere
Combinações lineares
Exemplo:






=Σ
2212
1211
σσ
σσ
X






=
2
1
x
x
X vetor aleatório com vetor média µX e matriz de covariâncias ΣX
2211 xaxaz +=






=
2
1
µ
µµX
Qual a média e a variância 
da variável aleatória z ?
( ) ( ) 2211
2
1
215,05,0 µµµ
µµµ aaaaXZ +=





==
( ) ( ) 122122221121
2
1
2212
1211
21
2
1
21
2 2 σσσ
σσ
σσ
σ aaaa
a
a
aa
a
a
aa Xz ++=











=




Σ=
Considere
Combinações lineares
1
1
1
1111
pxqxp
Pqpq
p
q
XA
x
x
aa
aa
y
y
Y =




















=










= M
K
MOM
K
M
T
XY AAΣ=Σ
vetor de médias qx1
pqpqqq
pp
pp
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
+++=
+++=
+++=
K
M
K
K
2211
22221212
12121111
q combinações lineares
de p variáveis do vetor 
aleatório X
Vetor aleatório qx1
XY A µ⋅=µ
matriz de covariâncias qxq
Combinações lineares
Exemplo:






−
−
=Σ
52
28
X






=
2
1
x
x
X vetor aleatório com vetor média µX e matriz de covariâncias ΣX
21 2
1
2
1
xxz +=






=
2
1
Xµ
Qual as médias e variâncias das variáveis aleatórias z e w ? 
Qual a covariância entre elas ?












=





2
1
75,025,0
5,05,0
x
x
w
z
Considere 21 4
3
4
1
xxw +=
Combinações lineares
Exemplo:
Vetor de médias






=











=





=





75,1
5,1
2
1
75,025,0
5,05,0
75,025,0
5,05,0
x
w
z µµ
µ






=Σ












−
−






=Σ





Σ





=Σ
5625,2875,1
875,125,2
75,05,0
25,05,0
52
28
75,025,0
5,05,0
75,05,0
25,05,0
75,025,0
5,05,0
,
,
,
wz
wz
xwzMatriz de 
covariâncias
( ) 875,1,cov
5625,2
25,2
2
2
=
=
=
wz
w
z
σ
σ
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
Sejam X1, X2, ..., Xn observações multivariadas de uma 
amostra aleatória de tamanho n.










=
px
x
X
1
11
1 M










=
px
x
X
2
21
2 M










=
np
n
n
x
x
X M
1
...
O vetor média populacional µµµµ é estimado pelo vetor média 
amostral: 










==
px
x
X M
1
µˆ ∑
=
=
n
k
iki x
n
x
1
,
1
i=1,p
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
A matriz de covariâncias populacional ΣΣΣΣ é estimada pela 
matriz de covariãncias amostral: 










==Σ
ppp
p
ss
ss
S
K
MOM
K
1
111
ˆ
( )∑
=
−
−
=
n
k
iikii xx
n
s
1
2
,1
1
( )( )∑
=
−−
−
=
n
k
jjkiikij xxxx
n
s
1
,,1
1
i=1,p
i≠≠≠≠j i,j=1,p
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
Exemplo: Amostra aleatória com quatro observações (n=4) 
de uma população trivariada (p=3)










=
9
2
1
1X










=
6
1
3
2X










=
5
3
2
3X










=
1
5
1
4X










=
















+++
+++
+++
=
25,5
75,2
75,1
4
1569
4
5312
4
1231
X
x1<-c(1,2,9)
x2<-c(3,1,6)
x3<-c(2,3,5)
x4<-c(1,5,1)X=rbind(x1,x2,x3,x4)
X
[,1] [,2] [,3]
x1 1 2 9
x2 3 1 6
x3 2 3 5
x4 1 5 1
mu=apply(X,2,mean)
> mu
[1] 1.75 2.75 5.25
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
Exemplo: Amostra aleatória com quatro observações (n=4) 
de uma população trivariada (p=3)
sigma=var(X)
> sigma
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.9166667 -1.083333 0.4166667
[2,] -1.0833333 2.916667 -4.5833333
[3,] 0.4166667 -4.583333 10.9166667
( ) ( ) ( ) ( ) 9167,0
3
75.1175,1275,1375,11 2222
11 =
−+−+−+−
=s
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0833,1
3
75,2575,1175,2375,1275,2175,1375,2275,11
12 −=
−−+−−+−−+−−
=s