Exercícios de Cálculo II

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Cálculo II
Primeiro semestre de 2018
Lista 1
1. Determine o domínio da função vetorial γ(t) = t− 2
t+ 2 i+ sen tj+ ln(9− t
2)k.
2. Calcule os limites.
(a) lim
t→0
(
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
t+ 1
)
(b) lim
t→∞
(
arctg t, e−2t, ln t
t
)
3. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
(a) γ(t) = (t, 2− t, 2t) (b) γ(t) = (t, cos 2t, sen 2t)
4. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t está no cone z2 = x2 + y2, e use esse fato para
esboçar a curva.
5. Parametrize e esboce a curva obtida pela intersecção das superfícies z = x2 e x2 + y2 = 1.
6. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t2, y = 1− 3t, z = 1 + t3 passa pelos pontos (1, 4, 0) e (9,−8, 28), mas
não passa pelo ponto (4, 7,−6).
7. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção do cone z =
√
x2 + y2 com o plano z = 1 + y.
8. Suponha que a trajetória de duas partículas sejam dadas pelas funções vetoriais γ1(t) = (t2, 7t − 12, t2) e γ2(t) =
(1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t), para t ≥ 0. As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
9. Sejam γ(t) e σ(t) funções vetoriais que possuem limites quando t→ a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes
propriedades de limites.
(a) lim
t→a (γ(t) + σ(t)) = limt→a γ(t) + limt→aσ(t)
(b) lim
t→a (cγ(t)) = c limt→a γ(t)
(c) lim
t→a (γ(t) · σ(t)) = limt→a γ(t) · limt→aσ(t)
(d) lim
t→a(γ(t)× σ(t)) = limt→a γ(t)× limt→aσ(t)
10. Em cada um dos itens abaixo: esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada; encontre γ′(t); esboce o vetor
posição γ(t) e o vetor tangente γ′(t) para o valor de t dado.
(a) γ(t) = (t− 2, t2 + 1);
t = −1
(b) γ(t) = sen ti+ 2 cos tj;
t = pi/4
(c) γ(t) = (1 + cos t)i+ (2 + sen t)j;
t = pi/6
11. Determine a derivada da função vetorial.
(a) γ(t) = (tg t, sec t, 1/t2) (b) γ(t) = arcsen(t)i+
√
1− t2j+ k
12. Determine o vetor tangente unitário T(t) à curva γ(t) = cos(t)i+ 3tj+ 2 sen(t)k no ponto com valor de parâmetro t = 0.
13. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva γ(t) = (et cos t, e−t sen t, et) no ponto (1, 0, 1).
14. As curvas γ1(t) = (t, t2, t3) e γ2(t) = (sen t, sen 2t, t) se interceptam na origem. Determine o ângulo de intersecção destas
com precisão de um grau.
15. Encontre o ponto da curva γ(t) = (2 cos t, 2 sen t, et), 0 ≤ t ≤ pi, em que a reta tangente é paralela ao plano √3x+ y = 1.
Robson Figueiredo
Entregar 2, 7, 8, 10(c), 11, 12, 16(a), 17, 20(c), 22
Robson Figueiredo
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16. Calcule a integral.
(a)
∫ 2
0
(
ti− t3j+ 5etk) dt
(b)
∫ pi/2
0
(3 sen2(t) cos(t), 3 sen(t) cos2(t), 2 sen(t) cos(t)) dt
(c)
∫ 1
0
(
4
1 + t2 i+
2t
1 + t2k
)
dt
17. Encontre γ(t) se γ′(t) = 2ti+ 3t2j+
√
tk e γ(1) = i+ j.
18. Se γ(t) = (sen t, cos t, t) e σ(t) = (1, t cos t, sen t), use a fórmula 5 do Teorema 3 da Seção 13.2 de [1] para encontrar
d
dt
(γ(t) · σ(t)).
19. Calcule dγ
dt
e d
2γ
dt2
.
(a) γ(t) = (3t2, e−t, ln(t2 + 1)) (b) γ(t) = 3
√
t2i+ cos(t2)j+ 3tk (c) γ(t) = sen(5t)i+ cos(4t)j− e−2tk
20. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
(a) γ(t) = (cos t, sen t, t) e γ(pi/3) (b) γ(t) = (t2, t) e γ(1) (c) γ(t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
e γ(2)
21. Determine γ(t) sabendo que
(a) γ′(t) = ti+ 2k e γ(0) = i+ j
(b) γ′(t) = sen(t)i+ cos(2t)j+ 1
t+ 1k, t ≥ 0, e γ(0) = i− j+ k
(c) γ′(t) = 11 + 4t2 i+ e
−tj+ k e γ(0) = k
22. Se γ(t) 6= 0, mostre que
d
dt
‖γ(t)‖ = 1‖γ(t)‖γ(t) · γ
′(t).
[Dica. ‖γ(t)‖2 = γ(t) · γ(t).]
23. Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição γ(t) ser sempre perpendicular ao vetor tangente γ′(t), mostre que essa
curva está em uma esfera com o centro na origem.
[Dica. Basta mostrar que a ‖γ(t)‖ é uma função constante.]
24. Seja F(t) uma força dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1 e t2. Supondo F integrável
em [t1, t2], o vetor
I =
∫ t2
t1
F(t) dt
denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado.
(a) F(t) = ti+ j+ t2k, t1 = 0 e t2 = 2. (b) F(t) = 1
t+ 1 i+ t
2j+ k, t1 = 0 e t2 = 1.
Referências
[1] STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 7ª edição. São Paulo, Pioneira/Thomson Learning.
[2] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, vol. II, LTC, 5ª edição, 2001.
[3] MA211 - Cálculo II - Unicamp,
http://www2.ime.unicamp.br/ ma211/index.php
2
Robson Figueiredo
Entregar 2, 7, 8, 10(c), 11, 12, 16(a), 17, 20(c), 22
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	Referências