TCC Tiago Pirola (Harmônicas)

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FACULDADE PITÁGORAS 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 TIAGO VINHATI PIROLA 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DOS NÍVEIS DE HARMÔNICAS EM UM 
TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA DE UMA SUBESTAÇÃO DE 
13,8KV QUE ALIMENTA UMA PLANTA PETROLÍFERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LINHARES 
 2015
 
 
 TIAGO VINHATI PIROLA 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DOS NÍVEIS DE HARMÔNICAS EM UM 
TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA DE UMA SUBESTAÇÃO DE 
13,8KV QUE ALIMENTA UMA PLANTA PETROLÍFERA 
 
 
 
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao 
departamento de Engenharia Elétrica da 
Faculdade Pitágoras, como requisito parcial para 
obtenção do grau Bacharel em Engenharia 
Elétrica. 
Orientador: Daniel Franz Reich Magalhães 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LINHARES 
 2015 
 
 
ANÁLISE DOS NÍVEIS DE HARMÔNICAS EM UM 
TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA DE UMA SUBESTAÇÃO DE 
13,8KV QUE ALIMENTA UMA PLANTA PETROLÍFERA 
 
 
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao departamento de Engenharia 
Elétrica da Faculdade Pitágoras, como requisito parcial para obtenção do grau 
Bacharel em Engenharia Elétrica. 
 
 Aprovado em 09 de dezembro 2015. 
 COMISSÃO EXAMINADORA 
 
 ___________________________________________ 
 Daniel Franz Reich Magalhães, Eng. de controle e automação 
 Faculdade Pitágoras de Linhares. 
 
 
 ___________________________________________ 
 Luiz Soneghet Nascimento, Eng. de controle e automação 
 Faculdade Pitágoras de Linhares. 
 
 
 
 ___________________________________________ 
 Tiago Reinan Barreto de Oliveira, Msc Eng. Eletricista 
 Faculdade Pitágoras de Linhares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos meus pais José Francisco e Angela Maria que 
sempre estiveram presentes ao meu lado nas 
decisões importantes da minha vida e às minhas 
irmãs Kébia e Francislainy que sempre 
acreditaram no meu potencial. 
 
 
 AGRADECIMENTOS 
 
A Deus, que me deu força e sabedoria para vencer todos os obstáculos durante 
essa caminhada acadêmica. 
 
À minha família pelo investimento em mim realizado e os anos de carinho e 
dedicação que foram fundamentais para o sucesso desse projeto. 
 
À minha companheira Hawanni Ferrete Batista pelo empenho e carinho na 
conclusão deste trabalho. 
 
Ao professor Daniel Franz que me orientou de forma sabia e eficiente na elaboração 
deste trabalho. 
 
Ao Engenheiro Evandro Nunes Evangelista pelo apoio no desenvolvimento do 
estudo de caso deste trabalho. 
 
Aos companheiros da minha turma pelas varias experiências compartilhadas que 
muito contribuíram para meu crescimento profissional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Somente um principiante que não sabe nada 
sobre ciência diria que a ciência descarta a fé. Se 
você realmente estudar a ciência, ela certamente 
o levará para mais perto de Deus." 
 James Clerk Maxwell. 
 
 
 RESUMO 
 
Este trabalho aborda um tema muito importante no setor elétrico, que são as 
harmônicas, efeito físico responsável por provocar distorções na forma de onda de 
tensão e corrente nas instalações elétricas, sua origem vem principalmente da 
operação de equipamentos que possuem características de operação não lineares. 
As harmônicas vêm ao longo dos anos sendo incansavelmente estudadas com 
objetivo de proporcionar um melhor entendimento de seu comportamento a fim de 
que sejam desenvolvidas soluções para mitigar seus efeitos danosos às instalações 
elétricas e equipamentos. Este trabalho tem por objetivo medir os níveis das 
harmônicas presentes no secundário de um transformador de potência que alimenta 
uma planta petrolífera e compara-las com os níveis recomendados pela norma 
brasileira e/ou internacional. Para um melhor entendimento sobre o tema, foram 
apresentados os conceitos básicos sobre as harmônicas, suas principais 
características, seus indicadores, equipamentos geradores e os sensíveis as 
harmônicas, a influencia das harmônicas na potência e fator de potência, as normas 
que definem e recomendam valores limites que podem ser toleráveis nos sistemas 
elétricos a metodologia realizada para desenvolver a revisão bibliográfica e, por fim, 
um estudo de caso. 
 
Os resultados desse estudo de caso mostraram que havia presença tanto de 
harmônicas de tensão, que apresentaram seus limites totais sensivelmente acima 
dos limites recomendados pela norma, quanto de corrente no sistema, que 
apresentou, para a 5º e 7º ordem e os limites totais acima do recomendado pela 
norma. 
 
Palavras-chave: Distorção harmônica, Harmônicas de tensão, harmônicas de 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 ABSTRACT 
 
This work deals with a very important topic in the electric sector, that are the 
harmonics, responsible for physical effect by distorting the waveform of voltage and 
current in electrical installations, its origin comes mainly from the operation of 
equipment that have nonlinear operating characteristics. The harmonics comes over 
the years being tirelessly studied in order to provide a better understanding of their 
behavior so that solutions are developed to mitigate its harmful effects to electrical 
equipment and installations. This work aims to measure the levels of the harmonics 
present in the secondary of a power transformer that feeds an oil plant and compares 
them with the levels recommended by the Brazilian and / or international standard. 
For a better understanding on the subject, the basics of the harmonic were 
presented, its main features, its indicators, generating equipment and sensitive 
harmonics, the influence of the harmonics on power and power factor, standards that 
define and recommend limits that may be tolerable in the electrical system the 
methodology undertaken to develop a literature review and, finally, a case study. 
 
The results of this case study showed that there was presence of both voltage 
harmonics, which showed its total limits well above the limits recommended by the 
standard, the current in the system, which presented to the 5th and 7th order and the 
total limits above recommendedby the standard. 
Keywords: Harmonic distortion, voltage harmonics, current harmonics. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Forma de onda para um circuito de aquecedor. ............................................................. 3 
Figura 2:Forma de onda para um circuito de motor elétrico de indução. .................................... 3 
Figura 3: Circuito tiristorizado. ............................................................................................................ 5 
Figura 4: (a) Forma de onda de tensão entrada da rede, (b) forma de corrente retificada, (c) 
forma de onda na carga. ..................................................................................................................... 5 
Figura 5: (a) Forma de onda do sinal contínuo;............................................................................... 7 
Figura 6: Harmônicas de 3ª ordem. ................................................................................................... 7 
Figura 7: Harmônicas de 5ª ordem. ................................................................................................... 8 
Figura 8: Onda deformada e suas componentes harmônicas. ..................................................... 8 
Figura 9: Função ímpar. ...................................................................................................................... 9 
Figura 10: Função par. ...................................................................................................................... 10 
Figura 11: (a) Equações e formas de onda para simetria par e (b) Equações e formas de 
onda para simetria par. ...................................................................................................................... 11 
Figura 12: Harmônicas de 3º ordem e os respectivos múltiplos que se acumulam no neutro.
 ............................................................................................................................................................... 12 
Figura 13: Harmônicas múltiplos de 3 acumulados no neutro. ................................................... 13 
Figura 14: Onda quadrada. Aproximação série de Fourier com 1 termo (k = 1). ..................... 14 
Figura 15: Sinal onda quadrada. Aproximação por série Fourier 2 termos (k = 1,3). ............. 14 
Figura 16: Sinal onda quadrada. Aproximação por série Fourier com 3 termos (k = 1, 3, 5). 14 
Figura 17: Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com 6 termos (k = 1, 3, 5, 
7, 9,11). ................................................................................................................................................ 14 
Figura 18: Aproximação por série de Fourier com 11 termos (k = 1, 3,5... 49). ....................... 15 
Figura 19: Sinal onda quadrada. ...................................................................................................... 16 
Figura 20: Sinal onda triangular. ...................................................................................................... 16 
Figura 21: Sinal onda dente de serra. ............................................................................................. 17 
Figura 22: Sinal onda retificada meio ciclo. .................................................................................... 17 
Figura 23: Sinal onda retificada ciclo completo. ............................................................................ 18 
Figura 24: Cintilamento de tensão típico em um forno a arco medido no secundário do 
transformador de alimentação: ......................................................................................................... 21 
Figura 25: Resultados da análise espectral da corrente de fase e tensão nos terminais do 
motor: ................................................................................................................................................... 22 
Figura 26: Triangulo das potências e FP para senóide pura. ..................................................... 27 
Figura 27: Visualização espacial das potências em um sistema com harmônicas. ................ 28 
Figura 28: Circuito elétrico sem presença de harmônicas. .......................................................... 29 
Figura 29: Circuito elétrico com presença de harmônicas. .......................................................... 30 
Figura 30: Fonte de alimentação chaveada ................................................................................... 33 
Figura 31: Onda de corrente e espectro de harmônicas para acionamentos de velocidade 
variável (ASD) tipo PWM................................................................................................................... 33 
Figura 32:Circuito retificador trifásico com carga RL. ........................................................................... 35 
Figura 33: Tensão de saída de retificador ideal. ........................................................................... 36 
Figura 34: (a) Tensões e corrente de entrada com carga indutiva ideal; .................................. 36 
Figura 35: (a) Topologia de retificador trifásico, não controlado, com carga indutiva, ............ 37 
 
 
Figura 36: Distorção na tensão devido ao fenômeno de comutação. ........................................ 38 
Figura 37: Características das harmônicas de retificadores de 6 pulsos. ................................. 39 
Figura 38: Característica não-linear φ(t) x i(t). ............................................................................... 43 
Figura 39: Efeito distorcivo devido à característica φ-i não-linear. ............................................. 44 
Figura 40: Espectro das frequências da corrente. ........................................................................ 44 
Figura 41: Conversor 12 pulsos com unidade de seis pulsos em paralelo. .............................. 57 
Figura 42: Emprego de indutância para atenuação de todas as harmônicas. ......................... 58 
Figura 43: Emprego de Filtro de Harmônicas Ativo LC combinado com indutância para 
atenuação de uma harmônica específica (no exemplo, a 5ª harmônica). ................................ 59 
Figura 44: Emprego de Filtro de Harmônicas Ativo LC Compensado, combinado com 
indutância para atenuação de uma harmônica específica. ......................................................... 60 
Figura 45: Ligação delta – estrela. .................................................................................................. 62 
Figura 46: Transformador para confinamento de 3a harmônica e suas múltiplas. .................. 62 
Figura 47: Transformador para confinamento de 5º e 7º harmônica. ........................................ 63 
Figura 48: Filtro ou condicionador ativo. ......................................................................................... 65 
Figura 49: Ligação típica de um filtro ativo de harmônicas. ........................................................ 66 
Figura 50: Exemplo real de atuação de um filtro ativo. ................................................................ 67 
Figura 51: Sinal com fator de crista (FC) = 2. ................................................................................ 69 
Figura 52: Sistema trifásico a três fios. ........................................................................................... 70 
Figura 53: Sistema trifásico a quatro fios. ...................................................................................... 71 
Figura 54: a) Anlizador de energia Fluke e b) Conexões do Analisador de energia Fluke. ... 75 
Figura 55: a) Transformador de potênciae b) ligação do analisador no barramento 
transformador. ..................................................................................................................................... 76 
Figura 56: Forma de ligação do analisador fluke. ......................................................................... 77 
Figura 57: Forma de onda trifásica Figura 58: Diagrama fasorial. ............................ 78 
Figura 59: Diagrama unifilar básico. ................................................................................................ 80 
Figura 60: Tensões eficazes fase-neutro ao longo do tempo. .................................................... 81 
Figura 61: Frequência fundamental ao longo do tempo. ............................................................. 83 
Figura 62: Potência média medida no TF365501A. ..................................................................... 85 
Figura 63: Média de fator de potência. ........................................................................................... 87 
Figura 64: Afundamento de tensão. ................................................................................................ 88 
Figura 65: Níveis da 3º harmônica de tensão nas 3 fases e neutro em percentual da tensão 
fundamental. ........................................................................................................................................ 89 
Figura 66: Comportamento temporal da 3º harmônica de tensão nas 3 fases e neutro. ....... 90 
Figura 67: Níveis da 5º harmônica de tensão nas 3 fases e neutro em percentual da tensão 
fundamental. ........................................................................................................................................ 91 
Figura 68: Comportamento temporal da 5º harmônica de tensão nas 3 fases e neutro. ....... 91 
Figura 69: Níveis da 7º harmônica de tensão nas 3 fases e neutro em percentual da tensão 
fundamental. ........................................................................................................................................ 93 
Figura 70: Comportamento temporal da 7º harmônica de tensão nas 3 fases e neutro. ....... 93 
Figura 71: Distorção total de tensão. .............................................................................................. 95 
Figura 72: Comportamento temporal das harmônicas totais nas 3 fases. ................................ 95 
Figura 73: Níveis da 3º harmônica de corrente nas 3 fases e neutro em percentual da 
corrente fundamental. ........................................................................................................................ 99 
Figura 74: Comportamento temporal da 3º harmônica de corrente nas 3 fases e neutro. ... 100 
 
 
Figura 75: Níveis da 5º harmônica de corrente nas 3 fases e neutro em percentual da 
corrente fundamental. ...................................................................................................................... 101 
Figura 76: Comportamento temporal da 5º harmônica de corrente nas 3 fases e neutro. ... 102 
Figura 77: Níveis da 7º harmônica de corrente nas 3 fases e neutro em percentual da 
corrente fundamental. ...................................................................................................................... 103 
Figura 78: Comportamento temporal da 7º harmônica de corrente nas 3 fases e neutro. ... 103 
Figura 79: Distorção total de corrente. .......................................................................................... 105 
Figura 80: Comportamento temporal harmônicas totais nas 3 fases. ..................................... 105 
Figura 81: Diagrama de ligação do filtro PQFI. ........................................................................... 114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LISTA DE QUADROS 
 
QUADRO 1: Sequência e ordem dos harmônicos. ....................................................................... 13 
QUADRO 2: Definição matemática das harmônicas e inter-harmônicas. ................................. 19 
QUADRO 3: Características das harmônicas de retificadores de 12 pulsos. ........................... 40 
QUADRO 4: Sequência e ordem dos harmônicos. ....................................................................... 40 
QUADRO 5: Características das harmônicas de retificadores de 12 pulsos. ........................... 41 
QUADRO 6: Características das harmônicas de retificadores de 24 pulsos. ........................... 42 
QUADRO 7: Correntes harmônicas típicas geradas por um motor de indução de rotor 
bobinado. ............................................................................................................................................. 46 
QUADRO 8: Limite de harmônicas para alguns componentes e equipamentos do sistema 
elétrico. ................................................................................................................................................. 50 
QUADRO 9: Limites distorção harmônica de corrente para sistema de baixa tensão de 480v 
eficaz. ................................................................................................................................................... 51 
QUADRO 10: Limites de harmônicos individuais em sistema públicos de baixa tensão ....... 52 
QUADRO 11: Limites de correntes harmônicas para equipamentos classe A. ....................... 53 
QUADRO 12: Limites de correntes harmônicas para equipamentos classe C. ....................... 54 
QUADRO 13: Limites de correntes harmônicas para equipamentos classe D. ....................... 54 
QUADRO 14: Limites de correntes harmônicas para equipamentos com correntes entre 16 e 
75 A. ..................................................................................................................................................... 54 
QUADRO 15: Limites de distorções harmônicas recomendadas pela norma IEC 61000-3-6.
 ............................................................................................................................................................... 55 
QUADRO 16: Valores de referência globais das distorções harmônicas totais em percentual 
da tensão fundamental. ..................................................................................................................... 55 
QUADRO 17: níveis de referência para distorções harmônicas individuais de tensão em 
percentagem da tensão fundamental. ............................................................................................. 56 
QUADRO 18: Tabela 31 da NBR 5410/97, capacidades de condução de corrente, em 
ampères, para métodos de referência a1, a2, b1, b2, c e d. condutores isolados, cabos 
unipolares e multipolares cobre e alumínio, isolação de PVC. temperatura no condutor - 
70°c,temper ......................................................................................................................................... 71 
QUADRO 19: Prescrições da NBR 5410/97. ................................................................................. 74 
QUADRO 20: Faixas de classificação de tensões (440/220V) – tensões de regime 
permanente. ........................................................................................................................................ 82 
QUADRO 21: Potência consumida pelas harmônicas de corrente. ......................................... 107 
QUADRO 22: Combinações de unidades de potência. .............................................................112 
QUADRO 23: Características filtro ativo PQFI. ........................................................................... 113 
 
 
 
 
 
 
 
 LISTA DE GRÁFICOS 
 
Gráfico 1: Redução da corrente nominal de cabos para cargas não lineares com harmônicas 
características para conversores de seis pulsos. .......................................................................... 49 
Gráfico 2: Tensão fase-neutro eficaz, valores máximos, mínimos, médios e P95% . ........... 81 
Gráfico 3: Tensão fase-fase eficaz, valores máximos, mínimos, médios e P95% . ................ 82 
Gráfico 4: Frequência fundamental medida ao longo do período de monitoramento ............. 84 
Gráfico 5: Frequência fundamental medida ao longo do período de monitoramento ............. 85 
Gráfico 6: Tensão fundamental medida no período de monitoramento. ................................... 89 
Gráfico 7: Síntese dos valores medidos de distorção da harmônica de tensão de 3º ordem.90 
Gráfico 8: Síntese dos valores medidos de distorção da harmônica de tensão de 5º ordem.92 
Gráfico 9: Síntese dos valores medidos de distorção da harmônica de tensão de 7º ordem.94 
Gráfico 10: Síntese dos valores de distorção total das harmônicas de tensão registrado no 
período de monitoramento. ............................................................................................................... 96 
Gráfico 11: Valores das correntes fundamentais medidas no período de monitoramento. .... 98 
Gráfico 12: Valores de corrente no neutro medido no período de monitoramento. ................. 99 
Gráfico 13: Síntese dos valores medidos de distorção da harmônica de corrente de 3º 
ordem. ................................................................................................................................................ 100 
Gráfico 14: Síntese dos valores medidos de distorção da harmônica de corrente de 5º 
ordem. ................................................................................................................................................ 102 
Gráfico 15: Síntese dos valores medidos de distorção da harmônica de corrente de 7º 
ordem. ................................................................................................................................................ 104 
Gráfico 16: Síntese dos valores de distorção total das harmônicas de tensão registrado no 
período de monitoramento. ............................................................................................................. 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LISTA DE SIGLAS 
 
TIT: Transmissor indicador de temperatura. 
FIT: Transmissor indicador de vazão. 
PIT: Transmissor indicador de pressão. 
Diac: Diode for Alternating Current (Diodo para corrente alternada). 
Triac: Triode for Alternating Current (Triodo para corrente alternada). 
ANEEL: Agência Nacional de Energia Elétrica. 
PRODIST: Procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no 
Sistema Elétrico Nacional. 
DTH: Distorções harmônicas totais 
DHTv: Distorções harmônicas totais de tensão 
DHTI: Distorções harmônicas totais de corrente 
DTD: Distorção total sob demanda. 
DHv: Distorção harmônica individual para tensão 
DHi: : Distorção harmônica individual para corrente 
FP: Fator de potência 
SCR: Retificador Controlado de Silício 
MW: Mega watt. 
c.a: Corrente alternada 
c.c: Corrente contínua 
RL: Resistor indutor 
TP: Transformador de potencial 
TC: Transformador de corrente 
Rca: Resistência em corrente alternada. 
PCC: Ponto de curto circuito. 
Icc: Corrente de curto circuito. 
IL: Corrente de carga 
IEEE: Instituto de engenheiros eletricistas e eletrônicos 
IEC: Comissão eletrotécnica internacional. 
EUA: Estados Unidos da América. 
QEE: Qualidade de energia elétrica 
IGBT: Transistor Bipolar de Porta Isolada 
FC: Fator de crista 
SF: Bitola do condutor elétrico 
 
 
kVA: Milhar de Potência aparente 
NBR: Norma brasileira 
KV: Milhar de volts. 
rms: valor quadrático médio. 
Sag: Afundamento de tensão. 
UPS: Unidades Ininterruptas de Alimentação de Energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÍNDICE 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1 
2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE HARMÔNICAS ........................................................................ 3 
2.1 Harmônicas par e ímpar ........................................................................................................................... 8 
2.1.1 Simetria Ímpar ............................................................................................................................................ 9 
2.1.2 Simetria par ................................................................................................................................................ 9 
2.2 Harmônicas de sequência positiva, negativa e zero. ............................................................................... 11 
2.2.1 Sequência positiva ................................................................................................................................... 11 
2.2.2 Sequência negativa .................................................................................................................................. 11 
2.2.3 Sequência zero ......................................................................................................................................... 12 
2.3 Aproximações da série de Fourier para onda quadrada .......................................................................... 13 
2.4 Séries de Fourier para algumas formas de onda ..................................................................................... 16 
2.5 Tipos de harmônicas em conversores de frequência ............................................................................... 18 
2.5.1 Harmônicas características ...................................................................................................................... 18 
2.5.2 Harmônicas não características ............................................................................................................... 19 
2.5.2.1 Cargas geradoras de inter-harmônicas ............................................................................................. 20 
2.5.2.1.1 Fornos a arco ............................................................................................................................. 20 
2.5.2.1.2 Motores elétricos ...................................................................................................................... 21 
2.5.2.1.3 Conversores de frequências estativos indiretos ....................................................................... 22 
3. INDICADORES DE HARMÔNICAS .......................................................................................... 23 
3.1 Distorções harmônicas totais (DTH) ....................................................................................................... 23 
3.2 Distorções totais de demanda (DTD) ...................................................................................................... 24 
3.3 Distorção harmônica individual .............................................................................................................24 
4. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA ...................................................................................... 25 
4.1 Valores eficazes de uma onda não senoidal ........................................................................................... 25 
4.2 Potência em regime não senoidal .......................................................................................................... 26 
4.3 Fator de potência .................................................................................................................................. 27 
5. EQUIPAMENTOS GERADORES / SENSÍVEIS ÀS HARMÔNICAS .................................... 31 
 
 
5.1 Conversores estáticos ............................................................................................................................ 31 
5.1.1 Conversores com ponte retificadora mista .............................................................................................. 34 
5.1.2 Retificadores não controlados. ................................................................................................................ 34 
5.1.2.1 Distorção do sinal devido à comutação ............................................................................................ 36 
5.1.3 Harmônicas em conversores de seis pulsos ............................................................................................. 38 
5.1.4 Harmônicas em conversores de 12 pulsos ............................................................................................... 40 
5.1.5 Harmônicas em conversores de 24 pulsos ............................................................................................... 41 
5.2 Transformadores ................................................................................................................................... 42 
5.3 Motores elétricos .................................................................................................................................. 45 
5.4 Capacitores ........................................................................................................................................... 46 
5.5 Relés ..................................................................................................................................................... 47 
5.6 Disjuntores ............................................................................................................................................ 47 
5.7 Medidores de energia ............................................................................................................................ 47 
5.8 Condutor neutro .................................................................................................................................... 48 
7. VALORES DE REFERÊNCIA PARA LIMITAÇÃO DE HARMÔNICAS .............................. 50 
7.1 IEEE ....................................................................................................................................................... 50 
7.2 IEC ......................................................................................................................................................... 52 
7.2.1 IEC 61000-2-2 ........................................................................................................................................... 52 
7.2.2 IEC 61000-3-2 e IEC 61000-3-4 ................................................................................................................. 53 
7.2.4 IEC 61000-3-6 ........................................................................................................................................... 55 
7.3 PRODIST MÓDULO 8 (QUALIDADE DE ENERGIA) ..................................................................................... 55 
8. FILTROS ........................................................................................................................................ 56 
8.1 Filtro Passivo ......................................................................................................................................... 58 
8.1.1 Filtro série ................................................................................................................................................ 58 
8.1.2 Filtro paralelo ........................................................................................................................................... 59 
8.3 Transformadores para separação e redução de harmônica ..................................................................... 61 
8.3.1 Transformador para confinamento de 3º harmônica e suas múltiplas ................................................... 62 
8.3.2 Transformador para confinamento de 5º e 7º harmônica ...................................................................... 63 
8.4 Filtro ativo ............................................................................................................................................. 64 
9. DIMENSIONAMENTOS DE TRANSFORMADORES E CONDUTORES NA 
PRESENÇADE HARMÔNICAS ...................................................................................................... 67 
9.1 Transformador ...................................................................................................................................... 67 
 
 
9.2 Condutores fase e neutro na presença de harmônicas ............................................................................ 69 
9.2.1 Sistema a três fios .................................................................................................................................... 70 
9.2.2 Sistema a quatro fios ................................................................................................................................ 71 
10. METODOLOGIA ........................................................................................................................ 75 
10.1 Introdução ........................................................................................................................................... 75 
10.2 dados dos equipamentos ..................................................................................................................... 76 
10.2.1 Analisador .............................................................................................................................................. 76 
10.2.2 Transformador ....................................................................................................................................... 76 
10.3 Instalação do analisador ...................................................................................................................... 77 
10.4 Grandezas medidas.............................................................................................................................. 78 
11. CASO INDUSTRIAL .................................................................................................................. 79 
11.1 Sistema elétrico ................................................................................................................................... 79 
11.2 Análise das grandezas elétricas do sistema .......................................................................................... 80 
11.2.1 Tensão fase-neutro ................................................................................................................................ 80 
11.2.2 Tensão fase-fase..................................................................................................................................... 82 
11.2.3 Frequência fundamental ........................................................................................................................ 83 
11.2.4 Potência................................................................................................................................................. 84 
11.2.5 Fator de potência (FP) ............................................................................................................................ 86 
11.2.6 Afundamento de tensão (Sag) ............................................................................................................... 87 
11.3 Análise dos níveis de harmônicas ......................................................................................................... 88 
11.3.1 Ánalise da tensão ................................................................................................................................... 89 
11.3.1.1 Análise da 3º harmônica individual de tensão (DHU) ..................................................................... 89 
11.3.1.2 Análise da 5º harmônica individual de tensão (DHU) ..................................................................... 91 
11.3.1.3 Análise da 7º harmônica individual de tensão (DHU) ..................................................................... 93 
11.3.1.4 Análise da distorção harmônica total da tensão (DTHU) ................................................................ 95 
11.3.2 Análise das correntes: ............................................................................................................................ 97 
11.3.2.1 Análise da 3º harmônica individual de corrente (DHI) ................................................................... 99 
11.3.2.2 Análise da 5º harmônica individual de corrente (DHI) ................................................................. 101 
11.3.2.3 Análise da 7º harmônica individual de corrente (DHI) ................................................................. 103 
11.3.2.4 Análise da distorção harmônica total de corrente (DTHI) ............................................................ 105 
11.3.3 Levantamento do custo associado ao consumo de potência gerado pelas harmônicas medidas no 
sistema. ........................................................................................................................................................... 107 
11.3.3.1 Categoria tarifária de energia elétrica .......................................................................................... 107 
11.3.3.2 Cálculo das perdas de potência .................................................................................................... 107 
11.3.3.2.1 Cálculo das perdas por potência ativa ................................................................................... 108 
11.3.3.3 Cálculo do valor monetário gerado pelas perdas de potência no sistema ................................... 108 
12 CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 110 
13. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................... 115 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Os circuitos dos equipamentos elétricos, até meados da década de 70, eram 
formados basicamente por circuitos resistivos, indutivos e capacitivos ou a 
combinação entre esses elementos, sem nenhum tipo de circuito de controle 
eletrônico. Essas características garantiam a proporcionalidade entre o sinal da 
tensão e corrente, permitindo que os equipamentos elétricos trabalhassem com um 
sinal praticamente senoidal tendo apenas o defasamento entre a tensão e a 
corrente, típicos de circuitos mistos, esses circuitos eram classificados como 
circuitos lineares (PIMENTEL, 1992). 
 
A partir da década de 70 houve um aumento expressivo no desenvolvimento de 
tecnologias baseadas em circuitos eletrônicos de controle, esses elementos tinham 
uma gama de aplicações e funcionalidades, mas como tarefa básica realizava a 
retificação do sinal senoidal de tensão e corrente, ou seja, a transformação de um 
sinal alternado em sinal contínuo e o controle do fluxo de potência do circuito, a 
partir daí, os circuitos passaram a apresentar características não lineares 
(PIMENTEL, 1992). 
 
A evolução dessas tecnologias desencadeou e proporcionou novas possibilidades 
para desenvolvimento de projetos que pudessem atender a situações específicas na 
indústria, como, por exemplo, os controladores industriais (CLP), que são 
equipamentos responsáveis por processar e controlar informações do processo, 
como, por exemplo, temperatura, pressão, vazão etc., ou mesmo os equipamentos 
responsáveis por medir as variáveis do processo, como, por exemplo, os TIT 
(transmissor indicador de temperatura), PIT (Transmissor indicador de pressão), FIT 
(indicador transmissor de vazão), entre outros, pode-se também citar o soft-starter, 
que é um equipamento que tem como principal característica o controle de partida 
de motores elétricos, e os conversores de frequência, que tem como principal 
característica o controle de velocidade de motores elétricos, esses são alguns dos 
vários equipamentos desenvolvidos para aplicação industrial. Para a área comercial/ 
residencial, proporcionou desenvolvimento de alguns equipamentos e a evolução de 
2 
 
outros, como, por exemplo: televisores, computadores, impressoras, aparelhos de 
sons etc. Todos os circuitos eletrônicos presentes nestes equipamentos são 
alimentados em corrente contínua, geralmente 12 ou 24 Vcc, e compostos 
basicamente por diodos, transistores, capacitores, diac’s e triac’s (DIAS, 2002). 
 
Contudo, essa nova tecnologia custou inconveniências às instalações elétricas de 
um modo geral, pois a operação desses circuitos eletrônicos geravam as chamadas 
harmônicas, que são deformações ocorridas no sinal de tensão e/ou corrente 
quando um circuito altera a senóide a fim de retificar e/ou controlar o sinal de 
entrada ou saída do equipamento. Na atualidade, as harmônicas tem sido alvo de 
estudos aprofundados pelo setor elétrico, pois suas consequências são 
consideravelmente danosas, podendo causar a diminuição do fator de potência a 
degradação dos componentes da instalação como cabos elétricos, dispositivos de 
proteção, dispositivos de comando entre outros, a redução da vida útil ou até mesmo 
a queima dos equipamentos elétricos (JUNIOR, 2009). 
 
Tendo em vista os vários inconvenientes gerados pelas harmônicas às instalações 
elétricas, é de apreciável necessidade realizar medições e análises a fim de avaliar 
os níveis presentes nos sistemas elétricos e compara-los com os níveis 
recomendados pela Agencia Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) por meio do 
PRODIST módulo 8 (Qualidade da energia elétrica), e também recomendações 
internacionais. Com isso, esse trabalho visa realizar um estudo a fim de subsidiar um 
melhor entendimento sobre o que são harmônicas, definindo seu conceito e 
apresentando alguns equipamentos responsáveis ou que contribuem para injeção de 
harmônicas no sistema elétrico, anunciando alguns métodos para eliminação ou 
atenuação da mesma e, por fim, um estudo de caso realizado em uma instalação 
industrial. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE HARMÔNICAS 
 
Circuitos compostos por componentes lineares, como resistência, indutor e 
capacitor, possuem proporcionalidade entre tensão e corrente, sua forma de onda é 
praticamente senoidal ainda que exista defasamento entre a tensão e corrente. A 
Figura 01 mostra o sinal de tensão e corrente de um aquecedor, equipamento com 
característica puramente resistiva, e a Figura 02 mostra o sinal para um motor 
elétrico, equipamento com característica altamente indutiva, com o defasamento 
entre a tensão e corrente na formade onda (ISONI, acesso em 22 de mar. 2015). 
 
 
 Figura 1: Forma de onda para um circuito de aquecedor. 
 Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
 
 Figura 2:Forma de onda para um circuito de motor elétrico de indução. 
 Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
 
 
 
4 
 
De acordo com a teoria de circuitos mistos, a corrente elétrica estará adiantada da 
tensão em um angulo que dependerá do valor da resistência e reatância do circuito, 
nessa última podendo ser indutiva ou capacitiva, dada pelas equações 01, 02, 03 
abaixo (ALBUQUERQUE, 1989). 
 
Circuito série indutivo 
∅ = tan−1 (
𝑋𝐿)
𝑅
) eq.01 
 
Circuito série capacitivo 
∅ = tan−1 (
𝑋𝐶
𝑅
) eq.02 
 
Circuito Paralelo 
∅ = tan−1 (
𝑧
𝑅
) eq.03 
 
Onde, 
R= resistência do circuito, 
XL= resistência indutiva do circuito, 
XC= Resistência capacitiva do circuito. 
Z= impedância total do circuito. 
 
Quando os circuitos possuem características não lineares, ou seja, sem 
proporcionalidade entre a tensão e a corrente, como no caso de fornos a arco, 
laminadores siderúrgicos, conversores de frequência, e reatores saturados, são 
geradas as chamadas harmônicas, que são componentes distorcidas de tensão e/ou 
corrente e possuem característica de serem múltiplas da frequência fundamental 
(PIMENTEL 1992). 
 
Sendo múltipla da frequência fundamental a série de componentes harmônicas 
assumem a seguinte ordem: 1º = 60hz (fundamental), 2º = 120hz, 3º = 180hz, 4º = 
240hz, 5º = 300hz, 6º = 360hz, 7º = 420hz seguindo assim infinitamente. A Figura 
03 ilustra um circuito hipotético tiristorizado, a Figura 04a apresenta a forma de onda 
5 
 
de entrada do mesmo, a Figura 04b a retificação da onda e a Figura 04c a forma de 
onda de saída do circuito, que é exatamente a soma das componentes harmônicas 
com a fundamental (ISONI, acesso em 22 de mar. 2015). 
 
 
 
 Figura 3: Circuito tiristorizado. 
 Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
 
Figura 4: (a) Forma de onda de tensão entrada da rede, (b) forma de corrente retificada, (c) forma de 
onda na carga. 
Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
Para melhor entendimento do que vem a ser as distorções harmônicas, é necessário 
conhecer a teoria desenvolvida no inicio do século XIX pelo físico e matemático 
francês Jeam Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) (ISONI, acesso em 22 de mar. 
2015). 
 
A teoria de Fourier descreve uma função periódica como uma soma infinita de 
funções senos e cossenos. Essa série é composta por funções com frequências 
múltiplas da frequência fundamental onde cada termo da série é chamado de 
harmônico. A frequência fundamental é o primeiro termo da série ou primeiro 
harmônico. A equação 04 representa a série de Fourier (DIAS, 2002). 
 
(𝑥) =
𝑎0
2
+ ∑ (𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥)∞𝑛=1 eq.4 
(a) (b) (c) 
6 
 
 
O coeficiente 
𝑎0
2
 da série é chamado de “componente contínua” da onda, presente 
principalmente nos sinais de funções pares, que são funções simétricas ao eixo, an 
e bn são os coeficientes das funções senodais e cossenoidais, respectivamente, que 
representam a amplitude do sinal, n= 1, 2, 3... é o coeficiente da série 
trigonométrica, que representa a ordem da harmônicas, onde n é um número inteiro 
(ISONI, acesso em 22 de mar. 2015). 
 
As equações 5, 6 e 7 calculam os coeficientes da série de Fourier (PUCRS, acesso 
em 05 de abr. 2015). 
 
a0 =
1
π
∫ f(x)dx
π
−π
 eq.05 
 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
+ ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 0 eq.06 
 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
+ ∫ 𝑓(𝑥) sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 0 eq.07 
 
A Figura 05 a, b e c mostram respectivamente a representação da componente 
contínua do sinal fundamental e da 2º harmônica (FSA, acesso em 24 abr. 2015). As 
Figuras 06 e 07 apresentam as componentes harmônicas de 3º e 5º ordem de um 
sistema trifásico (Deck Mann, Pomilio, acesso 15 abr. 2015). A Figura 08 exibe a 
forma de onda da componente fundamental (1), a 5º harmônica (2) e a soma da 
componente fundamental e da 5º harmônica (T). Pode-se perceber pela Figura 06 e 
07 que quanto maior for a ordem da harmônica maior será sua oscilação dentro do 
período da onda fundamental e menor será sua amplitude (SANTOS, 2007). 
 
 
 
 
 
 
7 
 
(a) 
 
(b) 
(c) 
 
Figura 5: (a) Forma de onda do sinal contínuo; 
 (b) forma d onda sinal fundamental; 
 (c) forma de onda 2º harmônica. 
 Fonte: FSA, acesso em 24 abr. 2015. 
 
 
 
Figura 6: Harmônicas de 3ª ordem. 
Fonte: Deckmann, Pomilio, acesso 15 abr. 2015. 
 
8 
 
 
 Figura 7: Harmônicas de 5ª ordem. 
 Fonte: Deckmann, Pomilio, acesso 15 abr. 2015. 
 
 
 Figura 8: Onda deformada e suas componentes harmônicas. 
 Fonte: Santos, 2007. 
 
 
 
2.1 Harmônicas par e ímpar 
 
A série de Fourier é composta por funções que são simétricas em relação à abscissa 
(funções pares), funções que são simétricas à origem (Funções ímpares) e funções 
que possuem tanto características pares como impares (USP, acesso em 22 abr. 
2015). 
 
 
9 
 
 
2.1.1 Simetria Ímpar 
 
Segundo a USP (acesso em 22 abr. 2015), se a onda possuir simetria ímpar, onde 
[f(-t) = -f(t)], em relação à origem, a série de Fourier possuirá apenas as 
componentes senoidais, a Figura 09 mostra graficamente uma função ímpar. Sendo 
assim, as equações 5 e 6, para o cálculo da série de Fourier, se resumirão a 
seguinte forma: 
 
a0 = 0 
 
an = 0 n = 1,2,3 … …. 
 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
+ ∫ 𝑓(𝑥) sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 0 
 
 
Figura 9: Função ímpar. 
Fonte: USP, acesso em 29 abr. 2015. 
 
 
 
2.1.2 Simetria par 
 
Segundo a USP (acesso em 22 abr. 2015), se a onda apresentar simetria par, onde 
[f(t) = f(-t)] em relação à origem, a série de Fourier possuirá apenas as componentes 
10 
 
cossenoidais, a Figura 10 mostra graficamente uma função par. Sendo assim, a 
equação 07, para o cálculo da série de Fourier, se resumirá da a seguinte forma: 
 
a0 =
1
π
∫ f(x)dx
π
−π
 
 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
+ ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 0 
 
bn = 0 n = 1,2,3 … …. 
 
 
Figura 10: Função par. 
Fonte: USP, acesso em 29 abr. 2015. 
 
A Figura 11a mostra as equações para o cálculo dos coeficientes de Fourier 
referentes às funções pares, e a Figura 11b exibe as equações para o cálculo dos 
coeficientes de Fourier pertencentes às funções ímpares (PUCRS, acesso em 22 
abr. 2015). 
 
 
(a) 
11 
 
 
Figura 11: (a) Equações e formas de onda para simetria par e (b) Equações e formas de onda para 
simetria par. 
 Fonte: Portal PUCRS, acesso em 22 abr. 2015. 
 
 
 
2.2 Harmônicas de sequência positiva, negativa e zero. 
 
2.2.1 Sequência positiva 
 
Formada por três fasores de amplitudes iguais, deslocados de 120º, onde sua 
sequência de fase terá o mesmo sentido da sequência do sinal fundamental (SILVA, 
2007).As harmônicas de sequência positiva, tomando um motor como exemplo, tenderiam 
a fazer o motor girar no mesmo sentido que a componente fundamental, com isso 
ele sofreria um acréscimo de corrente em seus enrolamentos que provocaria 
aquecimento excessivo, levando da degradação do mesmo (RODRIGUES, 2009). 
 
 
2.2.2 Sequência negativa 
 
Formada por três fasores de amplitudes iguais, deslocados de 120º, onde sua 
sequência de fase será oposta a do sinal fundamental (SILVA, 2007). 
 
A harmônica de sequência negativa, utilizando um motor como exemplo, faria com 
que o motor sofresse um acréscimo de corrente em seus enrolamentos, todavia, 
agora a componente harmônica tenderia girar o motor no sentido oposto ao giro da 
componente fundamental, agravando ainda mais, em relação à sequência positiva, o 
aquecimento excessivo nos enrolamento do motor (RODRIGUES, 2009). 
(b) 
12 
 
 
2.2.3 Sequência zero 
 
De acordo com Silva (2007), as harmônicas de sequência zero consistem em três 
fasores de iguais magnitudes, deslocado de 0º de fase. Por esse motivo, os fasores 
das harmônicas são concorrentes em direção, produzindo uma amplitude de 
corrente no neutro podendo chegar até três vezes o valor da corrente nominal de 
fase, como mostra a figura 13. Essas harmônicas de sequência zero são múltiplas 
de três, sendo componentes de ordem 3º, 9º, 15º, 18º... 
 
As harmônicas de sequência zero podem ser escritas da seguinte forma: 3(2k+1) , 
em que K é um número inteiro. Por ser múltiplo de três, essas harmônicas coincidem 
com a deslocação de 1/3 do período das correntes trifásicas conforme Figura 12 
(APCMEDIA, acesso em 28 abr. 2015). 
 
. 
Figura 12: Harmônicas de 3º ordem e os respectivos múltiplos que se acumulam no neutro. 
Fonte: Apcmedia, acesso em 28 abr. 2015. 
 
13 
 
 
 Figura 13: Harmônicas múltiplos de 3 acumulados no neutro. 
 Fonte: Apcmedia, acesso em 28 abr. 2015. 
 
 
O QUADRO 01 apresenta a relação das três sequências das harmônicas. 
 
QUADRO 1: Sequência e ordem dos harmônicos. 
Fonte: Mariana, 2007. 
 
 
 
 
2.3 Aproximações da série de Fourier para onda quadrada 
 
As Figuras 14, 15, 16, 17,18 mostram, respectivamente, a aproximação da série de 
Fourier para uma onda quadrada, onde são adicionados termos na série, a fim de 
mostrar a aproximação com a onda original (UBI, acesso em 29 abr. 2015). 
 
A Figura 11 apresenta a aproximação da série de Fourier para 1 termo, onde x(t) = 
b1 sen(πt) = (4/π)sen(πt). 
 
14 
 
 
Figura 14: Onda quadrada. Aproximação série de Fourier com 1 termo (k = 1). 
Fonte: UBI, acesso em 29 abr. 2015. 
 
A Figura 12 apresenta a aproximação da série de Fourier para 2 termos, onde x(t) = 
b1 sen(πt) + b3 sen(πt). 
 
Figura 15: Sinal onda quadrada. Aproximação por série Fourier 2 termos (k = 1,3). 
Fonte: UBI, acesso em 29 abr. 2015. 
 
A Figura 13 apresenta a aproximação da série de Fourier para 3 termos, onde x(t) = 
b1 sen(πt) + b3 sen(πt) + b5 sen(πt). 
 
Figura 16: Sinal onda quadrada. Aproximação por série Fourier com 3 termos (k = 1, 3, 5). 
Fonte: UBI, acesso em 29 abr. 2015. 
 
Para a Figura 14, a série contempla um número de termos igual a 6 , ou seja, até 
n=11, tendo os seguintes termos n= 1, 3, 5, 7, 9,11. 
 
 
Figura 17: Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com 6 termos (k = 1, 3, 5, 
7, 9,11). 
 Fonte: UBI, acesso em 29 abr. 2015. 
15 
 
 
Para a Figura 15, a série contempla um número de termos igual a 25, ou seja, até n 
igual a 49, tendo os seguintes termos n= 1, 3, 5,... 49. 
 
 
Figura 18: Aproximação por série de Fourier com 11 termos (k = 1, 3,5... 49). 
Fonte: UBI, acesso em 29 abr. 2015. 
 
 
Após a observação das Figuras 11, 12, 13, 14 e 15, nota-se que quanto maior for o 
número de termos presentes na série de Fourier mais próximo o sinal X(t) se torna 
da onda original, a onda quadrada. A série de Fourier converge para o sinal X(t) no 
próprio ponto X(t) onde o sinal é contínuo (UBI, acesso em 29 abr. 2015). 
 
Por exemplo, para t = 0,5, portanto x=(0,5), a série abaixo mostrará que a função 
convergirá para 1. 
 
.𝒇(𝟎, 𝟓) =
𝟒
𝝅
𝒔𝒆𝒏 (𝟎, 𝟓𝒕) +
𝟒
𝟑𝝅
𝒔𝒆𝒏(𝟏, 𝟓𝒕) +
𝟒
𝟓𝝅
𝒔𝒆𝒏(𝟐, 𝟓𝒕) +
𝟒
𝟕𝝅
𝒔𝒆𝒏(𝟑, 𝟓𝒕) +
𝟒
𝟗𝝅
𝒔𝒆𝒏(𝟒, 𝟓𝒕) … ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
2.4 Séries de Fourier para algumas formas de onda 
 
A Figura 19 apresenta uma onda quadrada, com característica de função ímpar 
onde [f(-t) = -f(t)]: 
 
 Figura 19: Sinal onda quadrada. 
 Fonte: USP, acesso em 29 abr. 2015. 
 
 
𝒇(𝒘𝒕) = 𝟒𝒂 [𝒔𝒆𝒏 (𝒘𝒕) +
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒘𝒕) +
𝟏
𝟓
𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒘𝒕) +
𝟏
𝟕
𝒔𝒆𝒏(𝟕𝒘𝒕) + ⋯ ] 
 
A Figura 20 mostra uma onda triangular, com característica de função par, onde [f(t) 
= f(-t)]: 
 
 Figura 20: Sinal onda triangular. 
 Fonte: (USP, acesso em 29 abr. 2015). 
 
𝒇(𝒘𝒕) =
𝒂
𝟐
+
𝟒𝒂
𝝅𝟐
[𝒄𝒐𝒔 (𝒘𝒕) +
𝟏
𝟑𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒘𝒕) +
𝟏
𝟓𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒘𝒕) +
𝟏
𝟕𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝟕𝒘𝒕) + ⋯ ] 
 
A Figura 21 apresenta uma onda dente de serra com, característica de função 
ímpar, onde [f(-t) = -f(t)]: 
17 
 
 
 Figura 21: Sinal onda dente de serra. 
 Fonte: USP, acesso em 29 abr. 2015. 
 
𝒇(𝒘𝒕) =
𝟐𝒂
𝝅
[𝒔𝒆𝒏
𝟏
𝟐
(𝟐𝒘𝒕) +
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒘𝒕) +
𝟏
𝟒
𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒘𝒕) +
𝟏
𝟓
𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒘𝒕) + ⋯ ] 
 
A Figura 22 mostra uma onda retificada meio ciclo, com características tanto de 
função par quanto de função impar. 
 
 
 Figura 22: Sinal onda retificada meio ciclo. 
 Fonte: USP, acesso em 29 abr. 2015. 
 
𝒇(𝒘𝒕) =
𝒂
𝝅
[𝟏 +
𝝅
𝟐
𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕) −
𝟐
𝟏. 𝟑
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒘𝒕) −
𝟐
𝟑. 𝟓
𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒘𝒕) +
𝟐
𝟓. 𝟕
𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒘𝒕) + ⋯ ] 
 
A Figura 23 apresenta uma onda retificada ciclo completo, com característica de 
função par, onde [f(t) = f(-t)]: 
18 
 
 
 Figura 23: Sinal onda retificada ciclo completo. 
 Fonte: USP, acesso em 29 abr. 2015. 
 
𝒇(𝒘𝒕) =
𝟐𝒂
𝝅
[𝟏 +
𝟐
𝟏. 𝟑
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒘𝒕) −
𝟐
𝟑. 𝟓
𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒘𝒕) −
𝟐
𝟓. 𝟕
𝒄𝒐𝒔(𝟔𝒘𝒕) +
𝟐
𝟕. 𝟗
𝒄𝒐𝒔(𝟖𝒘𝒕) + ⋯ ] 
 
 
 
2.5 Tipos de harmônicas em conversores de frequência 
 
2.5.1 Harmônicas características 
 
De acordo com Mello (1988), as harmônicas características teoricamente são 
previsíveis e representadas por ordens cujo valor de frequência é um número inteiro. 
Com ferramentas especializadas, como a análise de Fourier, por exemplo, 
consegue-se determinar seu valor com uma aproximação considerável. De acordo 
com a teoria clássica, o conversor de frequência gera harmônicas características de 
acordo com as equações (15) e (16). A ordem das harmônicas no lado CC (Corrente 
contínua) de um conversor é definida em relação à frequência fundamental do lado 
CA (Corrente alternada) e seus pulsos são comutações não simultâneas por ciclo de 
tensão alternada fundamental. 
 
Segundo Silva (2007), é necessário assumir algumas hipóteses ou pré-requisitos a 
fim de definir condições para que umharmônico seja característico. Nos conversores 
de seis pulsos, assume-se que as tensões são trifásicas alternadas, senoidais, 
balanceadas e de sequência positiva; a corrente CC é constante, ou seja, sem 
ondulação, sendo consequência de um reator CC de indutância infinita no lado CC, 
tempos iguais para os disparos das válvulas para um tempo igual a um 1/6 do ciclo, 
19 
 
ou seja, com ângulo de atraso de disparo α medido a partir dos zeros das 
respectivas tensões de comutação. Com isso, conclui-se que os zeros são 
espaçados igualmente e que nas três fases as indutâncias de comutação são iguais. 
O QUADRO 5, presente no subitem 5.1.3, mostra os harmônicas características 
geradas no lado CA e CC no conversor de 6 pulsos. 
 
 
2.5.2 Harmônicas não características 
 
Segundo Junior (2009), as harmônicas não características são valores não inteiros e 
são imprevisíveis, por ser resultado de comportamento aleatório do sistema ou por 
modelamento prévio extremamente complexo. A frequência inter-harmônica ou não 
característica é determinada pela relação entre a frequência da inter-harmônica e a 
frequência fundamental, se a ordem tem valor menor que a unidade, a frequência 
também é chamada de subharmônica. De acordo com a recomendação da IEC 
(International Electrotechnical Commission) 61000-2-2, a ordem da inter-harmônica 
é designada pela letra “m”. Matematicamente as harmônicas e inter-harmônicas 
podem ser representadas conforme QUADRO 02. 
 
 
 QUADRO 2: Definição matemática das harmônicas e inter-harmônicas. 
 Fonte: Junior, 2009. 
 
 
A norma IEC 61000-2-1 define a harmônica não característica da seguinte forma: 
 
“Entre as harmônicas da tensão e corrente na frequência de alimentação, 
outras frequências adicionais podem ser observadas, as quais não são 
múltiplas inteiras da fundamental. Eles podem aparecer como frequências 
discretas ou como um espectro de larga faixa”. 
 
 
20 
 
 
As principais causas para surgimento das harmônicas não características são 
relacionadas aos itens descritos abaixo (COGO, ARANGO, SÁ, 1985). 
 
 Erro intrínseco dos sistemas de disparo dos tiristores e das pontes 
conversoras. 
Desequilíbrio das tensões dos sistemas C.A (Corrente alternada) de 
suprimento de energia das pontes conversoras. 
 Desequilíbrio das impedâncias, por fase, dos transformadores e/ou do 
sistema C.A de suprimento de energia das pontes conversoras. 
 Situações anormais de operação do sistema C.A tais como falta de uma fase 
ou curto-circuito. 
 
2.5.2.1 Cargas geradoras de inter-harmônicas 
 
2.5.2.1.1 Fornos a arco 
 
De acordo Hanzelka e BIEN (acesso em 04 out. 2015), pode-se citar, nessa 
categoria, os fornos a arco e as máquinas de solda. Nos fornos as harmônicas são 
produzidas geralmente na fase inicial da fusão do material, nesse processo surge 
condição de ressonância no sistema e isso proporciona o surgimento das inter-
harmônicas, a Figura 24a mostra o comportamento da tensão em um dado forno e a 
Figura 24b os espectros das inter-harmônicas geradas. 
 
 
21 
 
 
Figura 24: Cintilamento de tensão típico em um forno a arco medido no secundário do transformador 
de alimentação: 
a) flutuação de tensão; 
b) espectro mostrando harmônicas (linhas maiores) e inter-harmônicas. 
Fonte: Hanzelka, Bien, acesso em 04 out. 2015. 
 
 
2.5.2.1.2 Motores elétricos 
 
Os motores elétricos geram inter-harmônicas devido à combinação entre a ranhura 
do estator e do rotor com a saturação do circuito magnético, conhecida como 
harmônicas de ranhura. As componentes que geram perturbações possuem uma 
faixa de frequência que variam entre 500 e 2000HZ, entretanto, durante o período de 
partida, esse valor pode aumentar demasiadamente. Assimetrias naturais, como 
desalinhamento do motor, podem gerar inter-harmônicas. Alguns motores com 
carga de torque variável, como forjas, martelo de forjas, máquinas de estampagens, 
serras, compressores, bombas de recalque etc. também podem ser fontes de inter-
harmônicas, neste caso, com características de frequências menores que a unidade, 
ou seja, subharmônicas. A Figura 25 a, b, c, d mostra o comportamento da tensão e 
corrente, através de seus espectros, nos terminais de um motor de indução 
(HANZELKA e BIEN, acesso em 04 out. 2015). 
 
22 
 
 
Figura 25: Resultados da análise espectral da corrente de fase e tensão nos terminais do motor: 
(a) e (c) espectros completos dos sinais; 
(b) e (c) espectros com a componente de frequência fundamental eliminada. 
Fonte: Hanzelka, Bien, acesso em 04 out. 2015. 
 
 
2.5.2.1.3 Conversores de frequências estativos indiretos 
 
Esse equipamento é composto por um circuito em corrente contínua (CC) no lado da 
rede alimentação, retificando o sinal de entrada, e um circuito conversor de saída, 
que normalmente opera como um inversor no lado da carga. Do lado CC da rede 
existe um filtro que desacopla os sistemas de corrente ou tensão da alimentação da 
carga, em virtude disso, as duas frequências, de alimentação e da carga, são 
independentes ou mutuamente desacopladas. Contudo, esse filtro não desacopla 
perfeitamente as duas frequências, sempre existirá um grau de acoplamento entre 
elas e, em consequência disso, existirão componentes de subharmônicas ou 
harmônicas com frequências menores que a unidade e também interharmônicas no 
23 
 
lado CC, que por sua vez, estrão presentes também no lado da alimentação do 
sistema de potência. 
 
 
 
3. INDICADORES DE HARMÔNICAS 
 
As harmônicas são deformações presentes no sinal de alimentação das instalações 
elétricas e são produzidas, na maioria das vezes, pelas próprias cargas instaladas. 
Essas alterações do sinal são nocivas, causando perdas elétricas e queda na 
qualidade da energia consumida, esse efeito leva consequentemente a prejuízos 
para toda instalação envolvida. Esses efeitos devem ser medidos e analisados a fim 
de que sejam tomadas medidas para sua correção ou atenuação. Nos itens 
subsequentes serão apresentados os principais indicadores das harmônicas, os 
quais são responsáveis por mensurar os níveis presentes em um sistema elétrico 
(TEXEIRA, 2009). 
 
 
3.1 Distorções harmônicas totais (DTH) 
 
Este é o indicador mais utilizado para quantificar níveis totais de harmônicas de uma 
instalação ou parte dela, ele mede a distorção total tanto para tensão quanto para 
corrente. Caso a medição seja para tensão o indicador é identificado como DHTv, se 
for para corrente é identificado como DHTI. As equações 08 e 09, respectivamente, 
mostram como é feito o levantamento desse indicador (TEIXEIRA, 2009). 
 
𝐷𝑇𝐻(%) = √
(𝑆𝑜𝑚á𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑥100 eq.08 
 
 
OU 
𝐷𝑇𝑉(%) =
√∑ 𝑉²ℎℎ 𝑚á𝑥 ℎ=2
𝑉1
𝑥100 
24 
 
 
𝐷𝑇𝐼(%) =
√∑ 𝐼²ℎℎ 𝑚á𝑥 ℎ=2
𝐼1
𝑥100 eq.09 
 
Onde, 
h – número inteiro (ordem harmônica) 
Vh – valor rms da componente de tensão harmônica h 
V1 – valor rms de tensão fundamental 
I h – valor rms da componente de corrente harmônica h 
I 1 – valor rms de corrente fundamental 
 
 
3.2 Distorções totais de demanda (DTD) 
 
O Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (IEEE 519) usa como 
recomendação, para quantificar a distorção total das harmônicas, o indicador DTD. 
Sua equação matemática é bem similar ao da DTH, apenas com a diferençade que 
a DTH utiliza a medição das harmônicas em relação ao valor máximo da corrente 
fundamental no horário da medição, já a medição da DTD é calculada em relação à 
corrente máxima demandada pela carga. A equação 10 define A DTD (TEIXEIRA, 
2009). 
 
𝐷𝑇𝐷(%) =
√∑ 𝐼²ℎℎ 𝑚𝑎𝑥ℎ=2
𝐼𝐿
𝑥100 eq.10 
 
 
3.3 Distorção harmônica individual 
 
Em alguns casos, faz-se necessário determinar a distorção para alguma harmônica 
específica, para estas situações tem-se as equações 11 e 12, que calculam o valor 
da amplitude de cada harmônica presente no sinal, podendo ser tanto para tensão 
como para corrente. (ISONI, acesso em 22 de mar. 2015). 
25 
 
 
𝐷𝐻𝑣(𝑛) =
𝑉𝑛
𝑉1
𝑥100 (%) eq.11 
 
𝐷𝐻𝑖(𝑛) =
𝑉𝑛
𝑉1
𝑥100 (%) eq.12 
 
Onde, 
n = ordem da harmônica (3ª, 5ª, 7ª, etc, ou uma harmônica de ordem par, se for o 
caso). 
V(n) = tensão harmônica de ordem “n” em Volts, valor eficaz (RMS). 
V(1) = tensão fundamental em Volts, valor eficaz (RMS). 
I(n) = corrente harmônica de ordem “n” em Ampéres, valor eficaz (RMS). 
I(1) = corrente fundamental em Ampéres, valor eficaz (RMS). 
 
 
 
4. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA 
 
4.1 Valores eficazes de uma onda não senoidal 
 
Segundo Dias (2002), a equação 13 abaixo calcula o valor eficaz de uma função 
qualquer. 
 
𝑓𝑒𝑓 = √
1
𝑡
+ ∫ [𝑓(𝑡)]2𝑑𝑡
𝑡
0
 eq. 13 
 
Aplicando uma corrente i(t) genérica, na equação acima 13, temos: 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖0 + 𝑖𝑚1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 +∝1 ) + 𝑖𝑚2𝑠𝑒𝑛(2𝜔𝑡 +∝2) + 𝑖𝑚3𝑠𝑒𝑛(3𝜔𝑡 +∝3 )+. . +𝑖𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 +∝𝑛 ) 
 
Onde, 
 
𝑖𝑚𝑛 = Valor de pico da senóide considerada. 
26 
 
 
É possível mostrar, fazendo operações necessárias, que a corrente eficaz total será: 
 
𝐼 = √𝑖²0 + 𝑖²1 + 𝑖²2 + 𝑖²3 + 𝑖²4 + ⋯ + 𝑖²𝑛 
 
Onde, 
𝐼 = Valor eficaz da corrente i(t). 
𝑖²𝑛= Valor eficaz do quadrado da corrente harmônica. 
 
 
4.2 Potência em regime não senoidal 
 
Segundo Dias (2002), a expressão da potência média, de modo geral, é dada 
conforme a equação 14. 
 
𝑃 =
1
𝑇
∫ 𝑢(𝑡). 𝑖(𝑡)
𝑇
0
𝑑𝑡 eq.14 
 
Sendo, 
 
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 +∝1 ) + 𝑈𝑚2𝑠𝑒𝑛(2𝜔𝑡 +∝2) + 𝑈𝑚3𝑠𝑒𝑛(3𝜔𝑡 +∝3 ) + ⋯ + 𝑈𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 +∝𝑛 ) 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑚1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 +∝1 ) + 𝑖𝑚2𝑠𝑒𝑛(2𝜔𝑡 +∝2) + 𝑖𝑚3𝑠𝑒𝑛(3𝜔𝑡 +∝3 ) + ⋯ + 𝑖𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 +∝𝑛 ) 
 
De acordo com Dias (2002), desenvolvendo operações necessárias no segundo 
membro da equação que define a potência média, o resultado será de expressões 
que terão produto de termos de frequências desiguais e produtos de termos de 
frequências iguais. Fazendo a integral ao longo do intervalo de integração dos 
termos desiguais o resultado será zero, restando apenas os termos de frequências 
iguais. Desenvolvendo operações necessárias, teremos o seguinte resultado: 
 
𝑃 = 𝑈1. 𝐼1𝑐𝑜𝑠(∝1− ∝1 ) + 𝑈2. 𝐼2𝑐𝑜𝑠(∝2− ∝2 ) + 𝑈3. 𝐼3𝑐𝑜𝑠(∝3− ∝3 ) + 𝑈𝑛. 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑠(∝𝑛− ∝𝑛 ) … 
 
27 
 
 
O produto das tensões e correntes eficazes tem como resultado a potencia 
aparente, conforme mostra a equação 15 (DIAS, 2002). 
 
𝑆 = 𝑈. 𝐼 = √𝑢²0 + 𝑢²1 + 𝑢²2 + 𝑢²3 + ⋯ + 𝑢²𝑛 𝑥 √𝑖²0 + 𝑖²1 + 𝑖²2 + 𝑖²3 + ⋯ + 𝑖²𝑛 eq.15 
 
 
4.3 Fator de potência 
 
O fator de potência em um sistema senoidal puro, ou seja, sem presença de 
distorções do sinal ou harmônicas, é a relação entre o cosseno do ângulo formado 
por dois fasores, um representando a potência aparente e o outro a potencia ativa. 
Um terceiro fasor, que representa a energia reativa do sistema, é resultado da 
interação angular entre os dois primeiros. (Dias, 2002) 
 
A energia ou potência reativa de um sistema é responsável pela criação e 
manutenção do campo magnético necessário ao funcionamento de equipamentos 
industriais como, por exemplo, transformadores, motores, geradores, reatores, etc. 
Na figura 26 estão representadas as relações fasoriais citadas. (ALBUQUERQUE, 
1993). 
 
 
 Figura 26: Triangulo das potências e FP para senóide pura. 
 Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
28 
 
Quando há distorções harmônicas no sinal, o triângulo das potências ganha mais 
uma dimensão, pois as reatâncias indutivas crescem proporcionalmente com o 
aumento da frequência decorrente dos VA’s necessário para suprir a distorção do 
sinal, conforme mostra a Figura 27 (ISONI, acesso em 22 de mar. 2015). 
 
 
 Figura 27: Visualização espacial das potências em um sistema com harmônicas. 
 Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
Segundo Isoni (acesso em 22 de mar. 2015), o fator de potência (FP) equivale ao 
cos𝜑 apenas para senóides puras. Em sinais com presença de harmônicas, o fator 
de potência deve ser calculado pelo fator de potência real, ou seja, calculado 
considerando cada ordem de harmônica presente e este é o que efetivamente deve 
ser corrigido. Na determinação do FP real, os ângulos de fase serão considerados 
para cada harmônica bem como a potência reativa necessária para produzi-las. 
Considerando um sistema equilibrado, a equação 16 calcula o fator de potência real, 
considerando apenas harmônicas ímpares, situação que na prática é a mais comum 
na indústria, as Harmônicas pares também serão consideradas caso existam. 
 
𝐹𝑃𝑅𝑒𝑎𝑙(3ø 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜) = 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
√3.𝑉1.𝐼1𝑐𝑜𝑠𝜑1+√3.𝑉3.𝐼3𝑐𝑜𝑠𝜑3+√3.𝑉5.𝐼5+⋯+√3.𝑉𝑛.𝐼𝑛𝑐𝑜𝑠𝜑𝑛
√3.𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧.𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧
 eq. 16 
 
Onde, 
 
𝑉1 = Tensão fundamental 
𝐼1 = Corrente fundamenta 
29 
 
𝑉n onde o n = 2,3,4 … n representa as harmônicas de tensão 
𝐼n onde o n = 2,3,4 … n representa as harmônicas de corrente 
𝑉total eficaz = Onda resultante distorcida de tensão 
𝐼total eficaz = Onda resultante distorcida de corrente 
 
De acordo com Isoni (acesso em 22 mar. 2105), os exemplos ilustrativos a seguir 
mostram o cálculo do fator de potência FP para um circuito genérico, 
desconsiderando a presença de harmônicas (Figura 28) e outro considerando a 
presença de harmônicas (Figura 29). 
 
Sem presença de harmônicas: 
 
 
 Figura 28: Circuito elétrico sem presença de harmônicas. 
 Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
𝑃1 = 𝑅. 𝐼²1 = 2.10² = 200𝑊 
 
𝑄1 = 𝑋𝐿1. 𝐼²1 = 1.10² = 100𝑉𝐴𝑅 
 
𝒄𝒐𝒔𝝋 = 𝐜𝐨𝐬 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
)] ≈ 𝟎, 𝟖𝟗 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
Com a presença da 3º e 5º harmônicas: 
 
 
 Figura 29: Circuito elétrico com presença de harmônicas. 
 Fonte: Isoni, acesso em 22 de mar. 2015. 
 
𝑃1 = 200𝑊 𝑄1 = 100𝑉𝐴𝑅 
 
 𝑃3 = 𝑅. 𝐼²3 = 2.3² = 18𝑊 
 
𝑄3 = 𝑋𝐿1. 𝐼²3 = 3.3² = 27𝑊 
𝑃5 = 𝑅. 𝐼²5 = 1.5² = 4,5𝑊 
 
𝑄5 = 𝑋𝐿1. 𝐼²5 = 5.1,5² = 11,25𝑊 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 200 + 18 + 4,5 = 222,5𝑊 
 
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 100 + 27 + 11,25 = 138,25𝑊 
 
𝒄𝒐𝒔𝝋 = 𝐜𝐨𝐬 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝟏𝟑𝟖, 𝟐𝟓
𝟐𝟐𝟐, 𝟓
)] ≈ 𝟎, 𝟖𝟓 
 
 
 
 
31 
 
 
5. EQUIPAMENTOS GERADORES / SENSÍVEIS ÀS HARMÔNICAS 
 
No inicio do século 20, as máquinas elétricas estáticas e rotativas constituíam as 
principais fontes de harmônicas das redes elétricas industriais, a saber, 
transformadores, geradores, e motores elétricos. Embora esses equipamentos não 
causassem distorções significativas na rede, quando operando em condições 
normais, os mesmos