case matematica aplicada UNDB

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SINOPSE DO CASE: APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM PROJETO DE VIGAS[1: Case apresentado à disciplina de Matemática Aplicada, da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco - UNDB.]
Luis Eduardo Vasconcelos Vilena[2: Aluno do 5º Período, do Curso de Engenharia Civil da UNDB.3Professor Mestre, orientador.]
Elielson Mendes Pires3
1. DESCRIÇÃO DO CASO
O case retrata um engenheiro civil que trabalha na WT Construtora. Em seu primeiro projeto de 2018, Walter se deparou com a necessidade de projetar uma viga que tenha um carregamento como mostra a figura abaixo. Sabemos que para projetar vigas, consideramos critérios de resistência, assim como também a deflexão. Inicialmente, Walter se interessa em saber como é o comportamento da viga dado o carregamento. Mais precisamente, qual a deflexão da viga em cada ponto dela, submetida a carga fornecida. Tecnicamente, Walter tem em mãos, como problema, uma viga prismática biapoiada AB ,que suporta uma carga distribuída por unidade de comprimento, conforme esquema estrutural ilustrado abaixo.
Walter sabe que a deflexão da viga é determina pela solução da equação diferencial que modela o problema, que é dada por EIy(4)=−w :, em que w0 é o carregamento (constante), E é o módulo de elasticidade de Young e I é o momento de inércia.
 
2. Questões para analise: 
Como Walter pode resolver o problema acima? Fisicamente, podemos expressar as condições de contorno do problema, como a deflexão e o momento nas extremidades, sendo assim quais seriam as condições de contorno deste problema?
Walter percebeu que independente da carga, o ponto onde a deflexão é máxima não varia. Qual seria o ponto e qual o valor da deflexão máxima neste ponto?
Considerando valores reais para L, E e I, qual seria a deflexão máxima da viga em unidade de comprimento?
2.1. ARGUMENTOS CAPAZES DE FUNDAMENTAR CADA DECISÃO 
2.1.1. Como Walter pode resolver o problema acima? Fisicamente, podemos expressar as condições de contorno do problema, como a deflexão e o momento nas extremidades, sendo assim quais seriam as condições de contorno deste problema?
Integrando a equação a seguir:
Obtemos a:
Cortante
Momento fletor
Condições de contorno
A flexão em cima do ponto de apoio é igual a 0. Sendo x e y nulos conseguiremos a condição de contorno expressas a baixo:
 
Devemos calcular as constantes geradas pela integração, levando em consideração que , a viga sendo biapoiada, obtemos a seguinte equação de contorno:
2.1.2. Walter percebeu que independente da carga, o ponto onde a deflexão é máxima não varia. Qual seria o ponto e qual o valor da deflexão máxima neste ponto?
Integrar a equação: 
Que ficará:
Onde essa equação é referente ao cortante da viga
Após feita essa parte se integra de novo para chegar na derivada da segunda que ficara:
x=0, o momento será igual a 0, assim como na segunda condição, onde quando x=L o momento também será 0
O próximo passo seria integrar mais uma vez, afim de encontrar a equação da declividade. que ficara: 
Após encontrada a equação da declividade, integra-se mais uma vez, onde agora se encontrará a equação da deflexão e descobriremos as outras constantes. A integral ficara:
Com a equação da deflexão já feita, aplicaremos as mesmas condições de contorno, onde a deflexão e relacionada ao momento fletor, sendo assim usaremos, x=0 e x=L, onde já vimos que quando for 0, C4 será zero, assim como quando for L, C3 será zero também. Sendo assim ficaremos com a equação da deflexão:
sabemos que para ser máxima, será quando x assumir valor de L/2, então substituindo na formula temos que a equação de deflexão máxima sera:
Ou então 
E assim teremos a equação que deduz a deflexão máxima.
2.1.3. Considerando valores reais para L, E e I, qual seria a deflexão máxima da viga em unidade de comprimento?
Para que os cálculos sejam realizados e para sabermos a deflexão máxima, teremos:
A carga será de 10 kN/m;
As seções da viga são de 10 cm de base por 20 cm de altura e 5 m de comprimento
O momento de Inércia será:
O valor do Módulo da Elasticidade do aço é de 200 GPa, trazendo para kN/m²
Substituindo na fórmula, obtemos:
REFERÊNCIAS:
Prof. Romel Dias Vanderlei. Deflexão de vigas. Disponível em: http://www.gdace.uem.br/romel/MDidatico/MecanicaSolidosI/Capitulo4-DeflexaodeVigas.pdf. Data de acesso: 22/04/2018.
SO matematica. Equações diferenciais. Disponivel em : https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php. Data de acesso:22/04/2018.